华东师大初中数学七年级上册《相交线与平行线》全章复习与巩固（基础）知识讲解

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《相交线与平行线》全章复习与巩固（基础）知识讲解

【学习目标】

1． 熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距

离的概念；

2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用； 3. 了解平移的概念及性质. 【知识网络】

【要点梳理】 要点一、相交线

1.对顶角、邻补角

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 2 有公共顶点 ∠1与∠2 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 顶点 边的关系 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 大小关系 1 对顶角 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 要点诠释：

⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.

⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.

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⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线．

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2.垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义：

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.

要点诠释：

要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质：

垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).

垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.

（3）点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.

要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 要点二、平行线 1．平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．

要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.

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（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.

（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．

（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离

如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.

要点诠释：

（1）两条平行线之间的距离处处相等.

（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.

（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 要点三、图形的平移

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 要点诠释：平移的性质：

（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等； （2）平移后，对应角相等；

（3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 【典型例题】 类型一、相交线

1.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，那么互为对顶角（平角除外）的角共有 对，它们分别是 ，共有 对邻补角.

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【思路点拨】根据邻补角定义和对顶角定义，每一个顶点处有四个角，可以组成四对邻补角和两对对顶角，而本题图形中，三个顶点重叠在一起，所以再乘以3即可．

【答案】6,∠AOC与∠BOD，∠AOF与∠BOE，∠COF与∠DOE, ∠BOC与∠AOD，∠BOF与∠AOE, ∠DOF与∠COE ,12

【解析】找对顶角或邻补角，先从某一个角开始，顺时针或逆时针旋转，这样做，既不漏也不重.

【总结升华】两条直线相交得到的四个角中，共有2对对顶角，4对邻补角. 举一反三： 【变式】（2015?贺州）如图，下列各组角中，是对顶角的一组是（ ）

A．∠1和∠2 B．∠3和∠5 C．∠3和∠4 D．∠1和∠5 【答案】B．

2.已知：如图，直线a、b、c两两相交，且a⊥b，∠1＝2∠3，，求∠4的度数.

【答案与解析】 解：∵a⊥b, ∴∠2＝∠1＝90°.

又∵∠1＝2∠3，∴90°＝2∠3，∴∠3＝45°, 又∠3与∠4互为邻补角，

所以∠3+∠4＝180°即45°+∠4＝180°. 所以∠4＝135°.

【总结升华】涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（平角、余角、补角、对顶

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角等）是解题的关键． 类型二、平行线的性质与判定

3. （2015?诏安县校级模拟）如图，已知：AB∥DE，∠1=∠2，直线AE与DC平行吗？请说明理由．

答：AE∥DC； 理由如下：

∵AB∥DE（已知），

∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1=∠2（已知）， ∴∠2=∠3（等量代换），

∴AE∥DC（内错角相等，两直线平行）．

【总结升华】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 举一反三：

【变式】如图，已知∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.

解：平行，理由如下：

因为∠ADE=∠B，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行）， 所以∠1=∠BCD（两直线平行，内错角相等）. 又因为∠1=∠2（已知）， 所以∠BCD=∠2.

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【答案与解析】【答案】

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所以CD∥FG（同位角相等，两直线平行）. 【相交线与平行线单元复习 403105经典例题3】

4.如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．

【答案与解析】∠AED=∠ACB，理由如下：

∵∠1＋∠2＝180°，又∠1＋∠4＝180°, ∴∠2＝∠4.

∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）. ∴∠5＝∠3. 又∠3=∠B, ∴∠5＝∠B.

∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）.

∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等).

【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应联想到角相等或互补. 类型三、图形的平移

5.如图(1)，线段AB经过平移有一端点到达点C，画出线段AB平移后的线段CD．

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【思路点拨】连接AC或BC便得平移的方向和距离． 【答案与解析】

解：如图(2)，线段CD有两种情况：(1)当点A平移到点C时，则点D在点C的下方，因此下边线段CD即为所求；(2)当点B平移到点C时，则点D在点C的上方，上边线段CD即为所求．

【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的．本题中未指明哪一端点(A还是B)移动到点C，故应有两种情况：即点A平移到点C或点B平移到点C． 举一反三：

【变式】下列说法错误的是（ ） A．平移不改变图形的形状和大小

B．平移中图形上每个点移动的距离可以不同 C．经过平移，图形的对应线段、对应角分别相等 D．经过平移，图形对应点的连线段相等 【答案】B 类型四、实际应用

6.如图，107国道a上有一个出口M，想在附近公路b旁建一个加油站，欲使通道最短，应沿怎样的线路施工？

【答案与解析】

解：如图，过点M作MN⊥b，垂足为N，欲使通道最短，应沿线路MN施工.

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【总结升华】灵活运用垂线段最短的性质是解答此类问题的关键.

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