华理概率论08-1-B - 答案

华东理工大学2007–2008学年第一学期

《 概率论与数理统计 》课程期末试卷 答案 B卷 2008.1

开课学院：理学院 专业： 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟 考生姓名： 学号： 班级 任课教师

三 题序 一 二 1 得分 评卷人 2 一、填空题：(每题4分，共24分)

1．已知事件A与B相互独立，P(A)?0.4，P(A?B)?0.7，则概率P(BA)为 0.5 。

2．某次考试中有4个单选选择题，每题有4个答案，某考生完全不懂，只能在

4个选项中随机选择1个答案，则该考生至少能答对两题的概率为

67， 256总分 3 4 5 3．若有 ?～N(0,1)，?=2??1，则?～N（ －1 ， 4 ）

4．若随机变量X服从参数为?的泊松分布，且EX?4?DX,则参数?＝ 2

?2(1?x)0?x?15．设连续型随机变量?的概率密度为f(x)??，且???2，则

其他?0?1?1,? ?的概率密度为p(y)??y?0,?0?y?1,其他，。

6．设总体X~N(?,?2)的分布，当?已知，X1,X2,?Xn为来自总体的样本，则统计量?(i?1nXi???)2服从 ?2(n) 分布。

二、选择题：(每小题4分，共20分)

1. 设事件A,B,C是三个事件，作为恒等式，正确的是（B）

A.ABC?AB(C?B) B.A?B?C?ABC C.(A?B)?A?B D.(A?B)C?(AC)?(BC)

2.n张奖券有m张有奖的，k个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概率是（ C ）。

1?1CmCnk?mmA. B. kkCnCnkrnCnCm?mC. 1?k D. ? kCnr?1Cn3. 设EX??，DX??2，则由切比雪夫不等式知P(X???4?)?（ B ） A.

141516 B. C. 15 D. 1616154. 如果随机向量(?,?)的联合分布表为：

? ? 1 2 -1 0.10 0.20 0 0.35 0.20 2 0.10 0.05 则协方差cov(?,?)=（ B ）

A.-0.2 B. –0.1 C.0 D. 0.1

5. 设总体 ?～N(?,?2) ，（X1,X2,?Xn）是 ? 的简单随机样本，则为使

??C??(Xi?1n?1i?1?Xi)2为?2的无偏估计，常数C应为( C )

A.

1111 B. C. D.

2(n?1)nn?1n?2三、计算题：

待用数据（t0.975(35)?2.0301,t0.975(36)?2.0281,t0.95(35)?1.6896,t0.95(36)?1.6883，

?(1)?0.8413,?(2)?0.9772?(1.96)?0.975,?(1.645)?0.95）

1．三个人同时射击树上的一只鸟，设他们各自射中的概率分别为0.5，0.6，0.7。若无人射中鸟不会坠地；只有一人射中的鸟坠地的概率为0.2；两人射中的鸟

坠地的概率为0.6；三人射中的鸟一定坠地的； (1) 当三个人同时向鸟射击实，问分别有一人、两人、三人射中鸟的概率？(2) 三人同时向鸟射击一次,求鸟坠地的概率？

解：设Ai??第i个人射中?，（i=1,2,3），由题意知

P(A1)?0.5,P(A2)?0.6;P(A3)?0.7

（1）

又设B0={三人都射不中}；B1={一人射中}；B2={恰有两人射中}；B3={三人同时射中}，C={鸟坠地}

P(CB0)?0,P(CB1)?0.2,P(CB2)?0.6,P(CB3)?1,P(B0)?0.06,

P(B1)?0.29, （2分）

P(B2)?0.44, （2分） P(B3)?0.21 （2分）

（2）

由全概公式

P(C)??P(Bi)P(CBi)(2分）?0.532 （2分）

i?03

2．已知随机变量?的概率密度为

?(x)?Ae?x ，???x???

求：（1）系数A；（2）求概率P(0???1);(3) ?的分布函数。 解：（1）由于??(x)dx??????0??????Aedx?1 （1分）

1 （1分） 2?x 2A?e?xdx?1（1分） 故A?

11?x11?e?1?x（1分）?(?e)（1分）?（1分）（2）P(0???1)??edx

002221x11x?xedx?ex?（02分）???2?x1?x?2（2分）??（3）F(x)??edx

??2x1x11?xx?x?edx?edx?1?ex?（02分）?02?????22

3．已知随机变量(X,Y)的概率密度

?12e?(3x?4y)f(x,y)??0?0?x,0?y其他

求(1)二维随机变量(X,Y)的边缘概率密度; (2)X?Y 的概率密度。 （1）fX(x)??

fY(y)?????????(3x?4y)?dx（1分）?4e?4y??012ef(x,y)dx（1分）???0??????(3x?4y)?0?xdy（1分）?3e?3x??012e f(x,y)dy（1分）??（1分）其他?0???0?y （1分）其他f(z)??????0,z?0?? f(x,z?x)dx（2分）??z（2分）?(4z?x)12edx,z?0???00,z?0? ???3z （2分） ?4z12e?12e,z?0?4．设总体?～U[0,?]，待定参数??0。X1,X2,?Xn是来自总体的样本。 (1)求?的极大似然估计；（2）求?的矩估计??；（3）证明：矩估计量??为参数?的无偏估计。（14分）

解：

1（1） 似然函数为L(?)?n， （2分）

?lnL(?)??nln? （2分）

令

dlnL(?)n???0 （1分） d??解得???maxX （2分）

1?i?ni（2） 因为EX??2??2X （3分） ，故矩估计量得?2n2n??E??2EX??EXi????。 （4分）

ni?1ni?125．（共10分）某中学入学考试中，设考生的数学考试成绩服从正态分布，从中

任取36位考生的成绩，其平均成绩为66.5分，标准差为15分。 (1) 问在0.05的显著性水平下，是否认为全体考生的数学平均成绩为70分？ (2) 给出全体考生的数学平均成绩在置信水平为0.95下的置信区间。 解：（1）设考生的数学考试成绩作为总体X~N(?,?2),由题意知

X?66.5S,?。 15H0:??70,H1:??70. （1分）

构造统计量T?而t|66.5?70|X?? （2分）且|T|? ?36?1.4 （1分）S15n1?1??2（1分）即T?t(n?1)?t0.975(35)?2.0301，

?2(n?1) （1分）

故可以认为这次全体考生的数学平均成绩为70分。

X??～t(n?1)故查表满足P?Sn界值得到置信水平为0.95的区间 （2）因为T?X??Sn?t1??2(n?1)??1??的临

?Sn?1Sn?1?X?t(n?1),X?t(n?1)?? （4分） ??1?1?nn?22?即区间[61.42475,71.57525]。 （1分）

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