2015直通车高数基础题

第一部分 选择题（微积分）

1 设xn≤a≤yn，且lim(yn xn) 0，则{xn}与{yn}

n

（A）都收敛于a．

（C）可能收敛，也可能发散． 2 下列极限正确的是

（A）lim

（B）都收敛，但不一定收敛于a．

（D）都发散． ［ ］

sinx

1.

x πx

（B）limxsin

x

1

1. x

（C）lim

11

sin不存在． x xx

（D）lim

sinx

1. ［ ］

x x

x4x3

等价无穷小量是 3 当x→0时，与等（A） x 1. （C）

3

（B）e

1 cosx2

1.

sinx

sint2dt.

（D）ln

x

［ ］ sinx

x20

4 设函数f（x）在区间［－1，1］上连续，则x＝0是函数g(x)

（A）可去间断点．

（C）无穷间断点．

f(x2 t)dtx

的

（B）跳跃间断点．

（D）振荡间断点． ［ ］

2

a|x|x

ln(1 e) e 1,x 0, 1

5 设f(x) 要使f（x）在x＝0连续，则必须 xx

ln(1 e) b,x 0,

（A）a＝1，b＝－1．

（C）a＝－1，b＝－1．

1

tanx x , x

6 设f(x) a,

cosx e e 1

, 2

（B）a＝－1，b＝1．

（D）（A），（B），（C）都不正确． ［ ］

0 x

π,4π

x 0, 在( ,]上连续，则

4

x 0,

1

（A）a 1,b e3.

21 3

（C）a e,b e.

2

2

1

（B）a 0,b 1．

13

13

13

4

（D）a e,b 2e. ［ ］

1 e xx|x|

7 曲线f(x) ，在( , )内有

x2(x 1)(x 2)

（A）2条水平渐近线，2条垂直渐近线． （B）3条水平渐近线，2条垂直渐近线． （C）2条水平渐近线，3条垂直渐近线．

（D）3条水平渐近线，3条垂直渐近线． ［ ］ 8 设f（x）对－切x1，x2满足f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），f（x）在x＝0处连续，设x0为不等于零的任意实数，则

（A）limf(x)不存在．

x x0

（B）limf(x)存在，但f（x）在x0处不连续．

x x0

（C）f（x）在x0处连续．

（D）f（x）在x0处的连续性不确定． ［ ］

ln(1 x2)

9 f(x) 在（－∞，＋∞）上连续，limf(x) 0，则a，b满足

x a ebx

（A）a＜0，b＜0．

（C）a≤0，b＞0．

（B）a＞0，b＞0．

（D）a≥0，b＜0． ［ ］

1

(x 1)arctan2x 1,则

10 设f(x) x 1

0,x 1,

（A）f（x）在点x＝1连续，在点x＝－1间断．

（B）f（x）在点x＝1间断，在点x＝－1连续． （C）f（x）在点x＝1，x＝－1都连续．

（D）f（x）在点x＝1，x＝－1都间断． ［ ］ 11 函数f(x) (1 x)

π

x/tan(x )

4

在（0，2 ）内的间断点的个数为

（A）1． （B）2． （C）3． （D）4． ［ ］ 12 f（x）在x＝0的一个邻域内有定义，且f（0）＝0则f（x）在x＝0处可导等价于

f(x2)

（A）lim存在． 2x 0x

f2(x)

（B）lim存在．

x 0x

f(ex 1)（D）lim存在． ［ ］

x 0x

1

f()

存在． （C）limn 1

n

1 1

cos,x 1,

13 设 是实数，f(x) (x 1) f（x）在x＝1处可导，则 的取值为 x 1

0,x 1,

（A） ＜－1．

（C）0≤ ＜1．

（B）－1≤ ＜0．

（D） ≥1． ［ ］

ln(1 x3)1 sin,x 0,

14 设f(x) 则f（x）在x＝0处 xx

x 0, 1 cosx,

（A）极限不存在．

（C）连续但不可导．

（B）极限存在，但不连续．

（D）可导． ［ ］

15 设g（x）可微，h(x) esin2x g(x),h

（A）－ln2－1．

π π π 1,g 2，则g 4 4 4

（C）－ln2－2．

（D）ln2－2．

［ ］

（B）ln2－1．

16 设lim

x a

f(x) bsinf(x) sinb

A，则lim

x ax ax a

（B）sinb．

（C）Asinb．

（D）Acosb．

［ ］

（A）A．

17 已知在（－∞，＋∞）上f (x)

11 ex

2

x2

1，且lim( ax b)

x lim[f(x 1) f(x)]，则

x

（A）a＝1，b＝0． （C）a＝1，b＝1． （B）a＝0，b＝1．

（D）a＝1，b＝－2． ［ ］

18 设当x≥a时|f (x)| g (x)，则当x≥a时

（A）｜f（x）｜≤g（x）．

（B）｜f（x）－f（a）｜≥g（x）－g（a）． （C）｜f（x）－f（a）｜≤g（x）－g（a）． （D）（A）、（B）、（C）均不正确． ［ ］ 19 设函数f（x）为可导函数，且f (x)严格单调递增，则

F(x)

f(x) f(a)

在（a，b］内

x a

（B）有极小值．

（C）单调减少．

（D）单调递增．

［ ］

（A）有极大值．

20 设函数f（x）在x＝a点连续，lim

x a

f(x) f(a)

1，则f（x）在x＝a处 2

(x a)

（B）导数不存在．

（D）取得极小值． ［ ］

（A）导数存在，且f (a) 0. （C）取得极大值．

21 设f（x）在［0，1］上可导，当0≤x≤1时，有0≤f（x）≤1，且对于区间（0，1）内所有的x有f (x) 1，则方程f（x）＝x在［0，1］内根的个数为 （A）0． （B）1．

（C）2． （D）3． ［ ］

22 设sinxln｜x｜是f（x）的一个原函数，则不定积分xf (x)dx

（A）xcosxln|x| x

sinx

sinxln|x| C. |x|

（B）xcosxln｜x｜＋sinx—sinxln｜x｜＋C． （C）cosxln|x|

sinx

sinxln|x| C. |x|

（D）以上均不正确．

23 设F(x)

x

(u2

ln(1 t2)dt)du，则

（A）曲线F（x）在（－∞，0）内是凹的，在（0，＋∞）内是凸的． （B）曲线F（x）在（－∞，0）内是凸的，在（0，＋∞）内是凹的． （C）曲线F（x）在（－∞，＋∞）是凹的．

（D）曲线F（x）在（－∞，＋∞）是凸的． ［ ］ 24 设F(x)

x

(2t x)f(t)dt，f（x）可导，且f (x) 0，则

（A）F（0）是极大值． （B）F（0）是极小值．

（C）F（0）不是极值，但（0，F（0））是曲线F（x）的拐点坐标． （D）F（0）不是极值，（0，F（0））也不是曲线F（x）的拐点坐标． ［ ］ 25设I lim

n

n a

xsin1

n

x

dx（a是大于零的常数），则

（A）I＝a． （B）I＝0． （C）I＝＋∞． （D）无法确定I的值． ［ ］26 曲线y＝x（3－x）（x－2）与x轴所围成的面积可表示为

（A）

3

x(3 x)(x 2)dx.

（B）

3

0x(3 x)(x 2)dx.

（C）

2

3

x(3 x)(x 2)dx 2x(3 x)(x 2)dx.

（D）

2

x)(x 2)dx 30

x(32

x(3 x)(x 2)dx. ［ ］27 已知

2

(x a)

2

dx π,a,b为实数且b＞0则 e

e

x

dx

（A）π.

（B）

ππ

b

（C）π.

（D）

|a|b

．

xy28 二元函数f(x,y) x2 (2x y)2,(x,y) (0,0)

在点（0，0）处

0,(x,y) (0,0)（A）连续且偏导数存在．

（B）连续但偏导数不存在．

（C）不连续但偏导数存在．

（D）不连续且偏导数不存在． ［ ］

129 设z xysin22

,x2 y2 0,则函数z在点（0，0 x y

）处

0,x2 y2 0,（A）不连续．

（B）连续，但偏导数z x(0,0)和z y(0,0)不存在． （C）连续且偏导数z x(0,0)和z y(0,0)都存在，但不可微． （D）可微但偏导数

z x和 z

y

在点（0，0）处都不连续． ［ ］ ］ ［

230 设u＝f（r），而r

x2

y2

z2

，f（r）具有二阶连续导数，则 2u 2u u

x2 y2 z

2等于

（A）f (r)

1rf (r). （B）f (r) 2

r

f (r). （C）1r(r) 1r

f (r). （D）122f r2f (r) rf (r). ［ ］

31 已知函数f（x＋y，x－y）＝x2－y2对任何x与y成立，则

f(x,y) f(x,y)

x

y

等于 （A）2x－2y．

（B）2x＋2y．

（C）x＋y．

（D）x－y． ［ ］

32 设区域D＝{（x，y）｜1≤x2＋y2≤4}，f（u）是区域D上的连续函数，则

f(x2 y2

)dxdy等于 D

（A）2π

2

rf(r2

1

)dr.

（B）2π[

2

0rf(r)dr 1

rf(r)dr]

（C）2π

2

rf(r)2

1

21dr.

（D）2π[

rf(r2)dr 0

rf(r)dr]

33 交换积分次序，则累次积分 2

dx

x2

f(x,y)dy

（A） 4dy

20y

f(x,y)dx.

（B） 40dy

y

0f(x,y)dx.

（C） 4dy 2

4

x

2f(x,y)dx.

（D） 0

dy

2

f(x,y)dx. ［ ］

π

34 若

f(x,y)dxdy 2acos π)rdr，其中a＞0为常数，则区域D是

D

d 2

f(rcos ,rsin （A）{（x，y）｜x2＋y2≤a2}． （B）{（x，y）｜x2＋y2≤ax}． （C）{（x，y）｜x2＋y2≤a2，x≥0}． （D）{（x，y）｜x2＋y2≤ay}． ［ ］ 35 设平面区域D＝{（x，y）｜x2＋y2≤1，y≥0}；D1＝{（x，y）｜x2＋y2≤1，x≥0，y≥0}，则

（A） xdxdy 2 xdxdy

（B）xydxdy 2D

D D

xydxdy

1

D1

（C）

|x|dxdy 2 xdxdy

（D）

y)dxdy 2D

D (x (x y)dxdy

1

D

D1

36 对于级数

( 1)

n 1

un，其中un＞0（n＝1，2，…）

，在下列命题中正确的是 n 1

（A）若

( 1)

n 1

un收敛，则

n 1 ( 1)n 1un必条件收敛．n 1

n 1

（B）若

( 1)

un收敛，则n 1 un必收敛．

n 1

（C）若

u

n

发散，则

( 1)

n 1

un必发散．

n 1

n 1

］ ］［

［

（D）若

u

n 1

n

收敛，则

( 1)

n 1

n 1

un为绝对收敛． ［ ］

37 若级数

(a

n 1

n

bn)收敛，则

（A）级数

a, b中一个收敛，一个发散．

n

n

n 1

n 1

（B）级数

a, b要么都收敛，要么都发散．

n

n

n 1

n 1

（C）级数

a, b均收敛．

n

n

n 1

n 1

（D）级数

|a

n 1

n

bn|收敛． ［ ］

n

na

38 设a是常数，则级数

n 1 n 1

（A）当a＞0时收敛．

（C）当a≤1时发散．

（B）当a＞0时发散．

（D）当a≥1时发散． ［ ］

( 1)n(p 2)x

dx均收敛，则p的取值范围是 39 已知级数 与反常积分 e0n 1

（A）p＞2． 40 设方程

（B）p＜2． （C）p＞0． （D）0＜p＜2．

［ ］

dy

(sinx)y ex, dxdy

sinx ey, ③dx

①dy

xsiny ex, dxdy

cosy 1, ④xdx

②

其中是线性微分方程的是 （A）①②． （B）②③． （C）③④． （D）④①． ［ ］ 41 若y1（x），y2（x）是某个二阶齐次线性微分方程的解，则C1y1＋C2y2（C1，C2是任意常数）必然是该方程的

（A）通解． （B）特解． （C）解． （D）全部解．

［ ］ 42 方程y ＋9y＝0通过点（ ，－1）且在该点和直线y＋1＝x－ 相切的积分曲线为

（A）y＝C1 cos3x＋C2 sin3x． （C）y＝cos3x．

（B）y＝cos3x＋C2 sin3x． （D）y cos3x

1

sin3x. ［ ］ 3

43 设A为待定常数，则微分方程y 2y y

（A）Aex．

－

（C）Ax2ex．

－

1 x

e的特解形式为 2

－

（B）Axex．

－

（D）Ax3ex． ［ ］

44 设微分方程y 2y y 0，函数y*＝Cxex（其中C为任意常数），则

－

（A）y*是方程的通解． （B）y*是方程的特解．

（C）y*不是方程的解． （D）y*是方程的解． ［ ］ 45 设A，B，C为待定常数，则差分方程yt＋1－yt＝t2－1的特解具有形式

（A）（t）＝At2＋B． （B）（t）＝At3＋Bt2＋Ct． （C）（t）＝At3＋Bt2． （D）（t）＝At2＋Bt＋C． ［ ］

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nwc4.html