线性代数第2章矩阵及其运算

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线性代数推荐度：
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第二章矩阵及其运算

向前

向后

第一章

矩阵

一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、小结、思考题

第二节矩阵及其运算2

向前

向后

n n n n m m mn n m

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??

??+++=?1111221121122222

1122 1. 线性方程组的解取决于

(),,,;,,,,ij a i m j n ==1212 系数()

,,,i b i m =12 常数项一、矩阵概念的引入

向前

向后

n n m m mn

m a a a b a a a b a a a b ????????????

12112122221

对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.

线性方程组的系数与常数项按原位置可排为

2. 某航空公司在A,B,C,D 四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A 到B 有航班,则用带箭头的线连接A 与B.

向前

向后返回

四城市间的航班图情况常用表格来表示:

发站

到站A

B C D A

B C D

其中表示有航班.

为了便于计算,把表中的改成1,空白地方填上

0,就得到一个数表:

向前

向后

1111111

00这个数表反映了四城市间交通联接情况.

A B C D

向前

向后

二、矩阵的定义

由个数排成的行列的数表

n m ×m n ()n j m i a ij ,,2,1;,,2,1 ==n n m m mn

a a a a a a a a a 11121212221

称为矩阵.简称矩阵.n m ×n m ×记作

第二章矩阵及其运算

向前

向后

??=mn m m n n a a a a a a a a a A 11

22221

11211

简记为

()().

ij n m ij n m a a A A ===××()元

的

矩阵n m A ,.

,简称为元的元素个数称为这A n m ×元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.

主对角线副对角线8

向前向后返回例如???????10359643是一个实矩阵,

42×?

????

???

?2222222613i 是一个复矩阵,33×????

??????421是一个矩阵,13×()

9532是一个矩阵,

41×()

4是一个矩阵.

11×9

向前

向后

例如

????

??????2222222613i 是一个3 阶方阵.

几种特殊矩阵

(2)只有一行的矩阵

(),,,,21n a a a A =称为行矩阵(或行向量).

(1)行数与列数都等于的矩阵，称为阶n n A .n A 方阵.也可记作10

向前

向后

,????

??=??????

n a a B a 12只有一列的矩阵

称为列矩阵(或列向量).称为对角矩阵(或对角阵）.

?????

??n λλλ 0000002

1（3）形如的方阵,O O 不全为0

向前

向后

（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零

矩阵记作或.

n m ×m n O ×O 注意().000000

00000000000000≠????

???????

?不同阶数的零矩阵是不相等的.

例如

记作

(),,,.

n A diag λλλΛ==12 12

向前

向后

(5)方阵

??????

??==10

001

000

n E E 称为单位矩阵（或单位阵）.同型矩阵与矩阵相等的概念

O O

1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.

全为1

第二章矩阵及其运算

13向前向后返回2.两个矩阵为同型矩阵,并且

对应元素相等,即

()()ij ij b B a A 与=(),

,,2,1;,,2,1n j m i b a ij ij ===则称矩阵相等,记作B A 与.

B A =例如?

????????????????

?9348314736521与为同型矩阵.

向前向后返回例1之个变量与个变量m n y y y m x x x n ,,,,,,2121 间的关系式

??????

?+++=+++=+++=.

,,22112222121212121111n mn m m m n n n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y 的

到变量表示一个从变量m n y y y x x x ,,,,,,2121 线性变换.

为常数其中ij a 15

向前

向后

??????

?+++=+++=+++=.

22112222121212121111n mn m m m n n n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y ?????

????

????=mn

m m n n a a a a a a a a a A

22221

11211

系数矩阵16

向前

向后

线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.若线性变换为???????===n

n x y x y x y ,,2

211称之为恒等变换.

???????===n

n x y x y x y ,,2211对应????

???

???????100010001 单位阵.17向前向后返回线性变换??

?+=?=.

cos sin ,sin cos 11y x y y x x ????对应

???????cos sin sin cos X

()

y x P ,()

111,y x P 这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换.

?18

向前向后返回例2 设

,131

213321??

??=??????=z y x B A .,,,z y x B A 求已知=解

B A =∵.

2,3,2===∴z y x

第二章矩阵及其运算

19向前向后返回三、小结

(1)矩阵的概念??

???

????=mn m m n n a a a a a a a a a A 11

22221

11211列的一个数表

行n m 20

向前向后返回(2) 特殊矩阵????

???方阵();

n m =行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;

零矩阵.

100

01000

???

????

21??????

???????=n a a a B (),,,,21n a a a A =????????????

?n λλλ 000000

2121向前向后返回思考题

矩阵与行列式的有何区别?

向前向后返回思考题解答

矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.

向前

向后

第二节矩阵的运算

一、矩阵的加法二、数与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘四、矩阵的其它运算五、小结、思考题

向前

向后

１、定义

??????

???

??+++++++++=+mn mn

m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A

221

12222

2221

211112

121111一、矩阵的加法

设有两个矩阵那么矩阵与的和记作，规定为

n m ×()(),b B ,a A ij ij ==A B B A +

第二章矩阵及其运算

向前

向后

说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.

例如??????????+????????????

1235189190654368321++?+????=+?++????+++??1213859169504336281.

??=???????

1311474468926

向前

向后

2、矩阵加法的运算规律

();

1A B B A +=+()()().

2C B A C B A ++=++()??

?????

???????????=?mn m m n n a a a a a a a a a A

222

112113()()(),.

+?=?=+?A A O A B A B 4(),

ij a ?=.

负矩阵的称为矩阵A 27向前向后返回1、定义

1222

21112

11??

?????

??==mn m m n n a a a

a a a a a a A A λλλλλλλλλλλ

二、数与矩阵相乘

规定为或的乘积记作与矩阵数,λλλA A A 28

向前向后返回()()()();

λμλμμλ==A A A 1()();2A A A μλμλ+=+()().

3B A B A λλλ+=+2、数乘矩阵的运算规律

矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线

性运算.

（设为矩阵，为数）

μλ,n m ×B A 、29

向前

向后

１、定义

∑=+++==s k kj

ik sj is j i j i ij b a b a b a b a c 1

2211 (),

,,2,1;,2,1n j m i ==并把此乘积记作

AB C =三、矩阵与矩阵相乘

设是一个矩阵，

是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中

()ij a A =s m ×()ij b B =n s ×n m ×()ij c C =A B 30

向前

向后

例１

××?????

=????

???????C 2222242412362

2×??????=16?32?816设

A ?????=????????

101211300514?????

?=??

??????

B 0

41213111

21例2

第二章矩阵及其运算

向前向后

故

??????

?==?????

???????

???

C AB 03

410121

1303

1105141

21.

????????

?=解(),

43×=ij a A ∵(),

34×=ij b B ().

33×=∴ij c C 5?6710

26?2?171032

向前

向后

注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.?????

?????

??106861985123321例如

()???

??????123321()132231×+×+×=().

10=不可乘.()??

??=??????321231×××????×××????×××??313233212223111213????=?

????

?36924612333

向前

向后

２、矩阵乘法的运算规律

()()();1BC A C AB =()(),2AC AB C B A +=+();

CA BA A C B +=+()()()()B A B A AB λλλ==3（其中为数）;

λ();

4A EA AE ==若A 是阶矩阵，则为A 的次幂，即并且()5n k

A k

个

k k

A A A A =,A A A k m k

m +=().

mk k

m A A =()

为正整数k ,m 34

向前

向后

注意矩阵不满足交换律，即：

,BA AB ≠().

B A AB k k k ≠例设??

=??

????A 1111???=??

???

B 1111则

0000??

???=AB ,

??=??????

BA 2222.

BA AB ≠故35

向前

向后

但也有例外，比如设

2002???

?=A ,

???

=?????

B 1111则有

BA AB =?,???=?????AB 2222,???=?????

BA 222236

向前

向后

例3计算下列乘积：

解(1)

(),

T βα=×+×+×=111123323(),,.T T n A A αβαβ??

????

===??????

111121

233设，令求()()n T n

T n T

A αβαβαβ?∴==1,T αβ??

??=?????

12132

1233321().

T n T n A βααβ??==113

第二章矩阵及其运算

向前

向后

()()??

????????????????3213332312322211312113212b b b a a a a a a a a a b b b 解,++a b a b a b 121222323??

?????321b b b .

2223223311321122

33322222111b b a b b a b b a b a b a b a +++++=()??

????????????????321333231232221131211321b b b a a a a a a a a a b b b (,=++a b a b a b 111212313)++a b a b a b 131********

向前

向后

解

????

?????

???????????=λλλλλλ0010

0010012A .0

0201222

2????

?????

?=λλλλ

λ.0

010

k A A 求设???

????

?=λλ

λ例4

39向前向后返回????

?????????????

?==λλ

λλλλ

λ0

020

1222

23A A A ????

????

?=323

03033λλλλλλ由此归纳出

()()

211

≥??????

??????

??=???k k k k k A k

k k

k k k

k λλλλλλ40

向前向后返回用数学归纳法证明当时，显然成立.

2=k 假设时成立，则时，

n k =1+=n k (),

00100100021121

1??????????????????

???

??==???+λλλλλλλλ

λn n n n n n n n n n n n A A A 41

向前

向后

所以对于任意的都有

k ().0

21121

?????

??????

??=???k k k

k k k k k k k k A λλλλλ

λ()()(),0

0102

111

????

???????

?+++=++?+n n

n n n

n n λ

λλλλλ42

向前

向后

定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.ΤA A A 例

854221??????=A ;

825241?

????

???

??=T A (),

618=B .

618??

???=T B １、转置矩阵

四、矩阵的其它运算

第二章矩阵及其运算

向前

向后

转置矩阵的运算性质

()();

1A A T

T =()();2T T T B A B A +=+()();3T T A A λλ=()().

4T T T A B AB =44

向前

向后

例5已知

,,???

?????==????????

A B 171201423132201().

T AB 求解法1

???

?????=????????

AB ∵171201423132201,

???=????0143171310().

????

∴=???????

AB 017141331045

向前

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解法2

()T

T T A B AB =????????=??????????????142217*********.??

?=????

?017141331046

向前向后返回2、方阵的行列式

定义由阶方阵的元素所构成的行列式，

叫做方阵的行列式，记作或n A A A .

det A ?

?=8632A 例8

A 则.2?=运算性质();==T

A A A 1();

2A A n λλ=()

,==AB A B BA 3.

≠AB BA 但47

向前

向后

3、对称阵与伴随矩阵

定义

设为阶方阵，如果满足，即那么称为对称阵.

A n T A A =()

n ,,,j ,i a a ji ij 21==A .

A 为对称阵例如???

??????=6010861612.

称为反对称的则矩阵如果A A A T ?=对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.

说明48

向前

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例6

设列矩阵满足()T

n x x x X ,,,21 =,

1=X X T .

,,2,E HH H XX E H n E T T =?=且阵是对称矩

证明阶单位矩阵为证明()T

T T XX E H 2?=∵()

T XX E 2?=,

2H XX E T =?=.是对称矩阵H ∴2H HH T =()

2T XX E ?=()()T T T XX XX XX E 44+?=()T

T T X X X X XX E 44+?=T T XX XX E 44+?=.

E =

第二章矩阵及其运算

向前

向后

例7证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.n A 证明

A A C +=设()T

T T A A C +=则A A T +=,C =所以C 为对称矩阵.,

T A A B ?=设()T

T T A A B ?=则A A T ?=,

B ?=所以B 为反对称矩阵.22T

A A A A A ?++=

C +=命题得证.

故50

向前

向后

定义行列式的各个元素的代数余子式所

构成的如下矩阵

A ij A ???

???

????=?nn n n

n n A A A A A A A A A A 2122212

12111性质.

E A A A AA ==??证明

(),ij a A =设(),ij b AA =?

记则

jn in j i j i ij A a A a A a b +++= 2211,

ij A δ=称为矩阵的伴随矩阵.

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4、共轭矩阵

定义

当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记，称为的共轭矩阵.

()ij a A =ij a ij a ()ij a A =A A 故()ij A AA δ=?

()ij A δ=.

E A =同理可得

=??

=????

∑n ki kj k A A A a 1()ij A δ=()ij A δ=.

E A =52

向前

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();2A A λλ=().

3B A AB =运算性质

();1B A B A +=+设为复矩阵，为复数,且都是可运算的:

B A ,λ53

向前

向后

五、小结

矩阵运算

?????????

加法

数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵

对称阵与伴随矩阵方阵的行列式

共轭矩阵

向前向后返回（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.

（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能

进行加法运算.

注意

（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.

第二章矩阵及其运算

55向前向后返回思考题

问等式阶方阵为与设,n B A ()()

B A B A B A ?+=?22成立的充要条件是什么?

向前向后返回思考题解答

答

()(),

22B AB BA A B A B A ??+=?+∵故成立的充要条件为

()()B A B A B A ?+=?2

BA AB =57

向前

向后

第三节逆矩阵

一、概念的引入

二、逆矩阵的概念和性质三、逆矩阵的求法四、小结、思考题

向前

向后

111==??a a aa ,

11E A A AA ==??则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.

A 1

?A 一、概念的引入

在数的运算中，当数时，0≠a 有

a a 11=?a 其中为的倒数，a （或称的逆）；

在矩阵的运算中，E 单位阵相当于数的乘法运算中

的1，A 那么，对于矩阵，1?A 如果存在一个矩阵,使得

向前

向后

二、逆矩阵的概念和性质

定义

对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵

则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵.

n A ,B ,

E BA AB ==B A n A 使得.

1?A A 的逆矩阵记作例设,,

?????

==?????????

A B 111212111212,

E BA AB ==∵.

的一个逆矩阵是A B ∴60

向前

向后

说明若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.

A A 若设和是的可逆矩阵，

C A 则有

E CA AC E BA AB ====可得EB B =()B CA =()AB C =.C CE ==所以的逆矩阵是唯一的,即

A .

1?==A C B

第二章矩阵及其运算

向前

向后

例

设,01

???=A .的逆阵求A 解设是的逆矩阵,??

??=d c b a

B A 则

?????????????=d c b a AB 01

12?

???=1001???

??=?????

???++?100122b a d b c a 利用待定系数法

向前

向后

??????

?=?=?=+=+?,1,0,02,12b a d b c a ,

,,.

=??=????

=??=?a b c d 0112又因为

???????2110???????0112=???????0112,1001???

???=所以

A ????

=????

10112A B

B ??????

?211063

向前

向后

定理1

矩阵可逆的充要条件是，且

11??=A A

A A 0≠A 证明若可逆，A .E AA A =??11使即有,11

==??E A

A 故.

0≠A 所以.

的伴随矩阵为矩阵其中A A ?64

向前

向后

0时当≠A ?????

???

????=

????

???

????

1112111

21121

222122221212

n n n n n n nn n n nn a a a A A A a a a A A A A A a a a A A A A

A a A a A a n n =+++1112121111 A

A a A a A a nn nn n n n n =+++ 2211,??????

???????

?=A A

向前

向后

E A A A AA ==?

E A A

A A A A ==??

?.1

A A ?

?=按逆矩阵的定义得

证毕

,0,,0非奇异矩阵称为时当称为奇异矩阵时当A A A A ≠=奇异矩阵与非奇异矩阵的定义

为非奇异矩阵是可逆阵的充要条件是由此可得A A 66

向前

向后

1==?E B A ,

0≠A 故,1存在因而?A 于是

EB B =()B A A 1?=()

AB A 1?=证毕

().

,1?===A B E BA E AB 则或若推论证明

()().

,,11

11A A A A =???且亦可逆则可逆若逆矩阵的运算性质

??==A E A 11

第二章矩阵及其运算

向前

向后

()

且

可逆则数可逆若,,0,2A A λλ≠()且

亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,,,3AB B A ()()()1

111????=A BB A A B AB 1?=AEA ,

E AA ==?().

111

???=∴A B AB 证明

()=?1A B B 1?1

?A ().

111??=A A λ

λ68

向前

向后

()()T

T A A A A 11??=∵T E =,E =()().

T A A ??=∴().,

,0,10k

k A A E A A ??==≠定义

时当另外证明

()

为正整数k ().

212??=A A 推广

1A m A 1?m A 1?1A ()()().

,,4A A

A A T =且亦可逆则可逆若T T

?1?则()

k k A A ??=1

向前

向后

()

A A A ??=1

15若可逆则有证明E

AA =?1

∵1

1=∴?A A .

.下略因此1

1??=A A 有

为整数时当,,,0μλ≠A ,

μλμλ+=A A A ().

λμμλA A =()().

k k k

k k A A

A A A ?????===1

1，

向前

向后

例1

求方阵的逆矩阵.

???

?????=343122321A 解==123

2212

343

∵A ,≠0.

1存在?∴A ,23

211==

A ,33

212?=?

=A 三、逆矩阵的求法

向前

向后

同理可得

2,6,6,223222113=?===A A A A ,2,5,4333231?==?=A A A ,

??????=?????????

A 264365222故

??=A A

A 1

1?????=?????????264136

522

22.??

???=?????????

132********所以

向前

向后

331212321?

????

?=A .

???

??=????????

B 2311351511解

==??A 123123

212034

133

例2下列矩阵A , B 是否可逆?若可逆,求出其逆矩阵.

第二章矩阵及其运算

向前

向后

??=??==≠123

0344010

010

A 可逆所以,

3332

111?==A ∵,

12212?=?=A ,53

213==

A .

A ,A ,A ,A ,A ,A 341103333231232221?===?===同理可求得

向前向后返回?

??????==∴?

?3323133222123121111

1A A A A A A A A A A A A A .?????=?????????

114044513,

?=?=?B 231

13501511

B 不可逆故由于75

向前向后

,1302

,3512,343122

321????

?????=???

???=????????

??=C B A 例3设.

C AXB X =使满足求矩阵解,023

431223

21≠==A ∵,013

2≠==

B .

,11都存在??∴B A 76

向前

向后

,???

???=?????????

A 1

132********且,????=?????B 13152C AXB =又由1111????=?CB

A AXB

B A .

11??=?CB A X 于是1

1??=CB A X ????????????=????

?????????????

???132133132352205211131E

向前

向后

证明

,022

=??E A A 由()E E A A 2=?得,0≠?A E E

A A

=??2

=??E

A A

,2,:

,022并求它们的逆矩阵都可逆证明满足方程设方阵E A A E A A A +=??例4??

?????=????????????1131025202.

?????=????????

21104104.可逆故A 1

向前

向后

022=??E A A 又由()()0

432=+?+?E E A E A ()()E

E A E A =??

?????+?3412.

E A 可逆故2+()()E A E A 34121

??=+?且.

3A E ?=().2

1E A A ?=

∴?()1

2?+E A (),134

2=??+?E A E A

第二章矩阵及其运算

向前

向后

(),()(),().A B E A E A E B ?????????==+?+?????

?1112324567设求()()E B E E A E A ?+=++?1

由，

()())E A E B E A E A E ++=++?=2得，

()()E B E A ???

?????∴+=+=?????

?11121232

34解例5(),(),,.

A A

B A E B B ?==+21

1设幂等阵，证明可逆并求(),

A B E B E B E B B E =???=???=?22

32()(),

B B E E B E B ???=??=?11

3232

解80

向前向后返回();

X ??????????

=?????????????

1111232110204211015().X ????????

??????

=???????????????????

1111114233110110015211321211();

X ?????

????????

153211414例6解矩阵方程

81向前

向后

X ?????????????

=???????

????????????

1515153214141414得???????????

?????=41231154.

642817???

???????=解

()X ?????

???

?????

153211414给方程两端左乘矩阵,

????

?????1

1514X ???????=?????????1

15321414E

向前

向后返回()??????

????

=?????????????

X 1111232110204211015???????

????=????

?????????

X 1

123111************给方程两端右乘矩阵,????

????????

111110211得

向前

向后

()????????

??????

=???????????????????

X 1111114233110110015211321211.???????????????=??=?????????????????????????1231212

952041112860151324149给方程两端左乘矩阵,????

??????

11111021184

向前

向后

????????

??????=???????????????????????????

121423131111015121132211152.????

??=????????

137530952212112047??????

????

??????

=???????????????

????

X 1

111423111110015110211211321得给方程两端右乘矩阵,????

???

?????1

111110321

第二章矩阵及其运算

85向前向后返回???

??????=+=?714121,61A BA A BA A 且o

.B 求A

BA BA A 61=??()A BA E A 61=???()E

B E A 61=???().

1???=?E A B 解

,满足关系设三阶矩阵B A 例7，86

向前向后返回1

1000100017000400026???

?????????????????????????????=1

6000300016??????

???

??=????????

??=6100031000

16.100020006?

???

??????=()

16???=E A B 87向前向后返回,

0!5≠=A 因由伴随矩阵法得,

A A A ??=解

存在故?A ,.A A ???????

??=????

????11

00000

20000

030000

000005已知求例8

向前

向后

???????

???????=?????

????????????2345

0000013450001

001245005!0

00123500

0001234.510

004100000310000021000001???????

????????

?=89向前向后返回

四、小结

逆矩阵的概念及运算性质..0≠A 逆矩阵的计算方法

();

A A ?

?=利用公式逆矩阵存在1?A ?();1待定系数法()().

3下一章介绍初等变换法90

向前

向后

思考题

*******()();()(),();()().

n n kA k A A A

A n A

B B A ??==≥=2

15627?

?,11??====BA Y B YA B A X B AX A 是否有唯一解矩阵方程是否有唯一解

那么矩阵方程可逆若1.2.证明方阵结论：**();();

n A A A A A

??==1

112****()()();()()();

A A A A A A ??′′===1134

第二章矩阵及其运算

91向前

向后

.(),(),

01013 n m n m f x a a x a x x b b x b x ?=+++=+++设()()()().

A n f A A A f A ??=为阶方阵，证明:.).

4 k k A O E A A

E A ??+++=?设=，证明:92

向前向后返回思考题解答

**.()()()()();

A A AA E

A A A A A A A E A A A A ?????????==?==∴==11111111124答...

A ?1

1是的这是由于的唯一性决定的.()()()().

k l k l l k k l k l l k a A b A a b A b A a A f A A A f A ??+==∴=3∵i i ，.()(),().

k k k E A E A A E A E E A A E A ????+++=?=∴+++=?1114∵ 93向前向后返回第四节矩阵分块法

一、矩阵的分块

二、分块矩阵的运算规则三、小结、思考题

向前向后返回一、矩阵的分块

对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.

A A A 95向前向后返回,321??????????=

B B B ??????

???

????=b b a a A 1

10101000001例

??????

????

???

?=A 001a b a 110000b 110???

???????=1B 2B 3B 即

向前向后返回?????

????

???

?=b b a a

A 110101000001,??

=????

122122A A A A ??

???=?????

????

???

=A 1a 11A 0012A 1

0010a

21A b b 110022A 即

第二章矩阵及其运算

97向前

向后返回,??=????1

1A O E B (,,,),ααα=124 ???

???????

???

?=b b a a A 1

010*******?????

????

????=b b a a A 1

10101000001,a A a ??=????

10其中,

b B b ??

=????

111.E ??=????1001,O ??

=????

0000,a α??????=??????1010其中,a α??????=??????2101,

b α????

??=??????

300

b α??????=??????400198

向前

向后

=(,,,),

n ααα12 列

n n m m mn a a a a a a A a a a ??

?=??

1112121

22212 n n m m mn a a a a a a A a a a ?????

?=??????11

12121

2221

2 =,T T T m βββ??

??????????

行99

向前

向后

()有

相同的分块法采用

列数相同的行数相同与设矩阵,,,1B A .1

11111

11????

???

??++++=+sr sr s s r r B A B A B A B A B A

二、分块矩阵的运算规则

????

?????=??????????=sr s r sr s r B B B B B A A A A A

1111111,那么

列数相同的行数相同与其中,,ij ij B A 100

向前向后返回.

λλλλλ??

=????

?r s sr A A A A A 1111 (2)设为数，那么

???

?=??????

r s sr A A A A

A 1111

λ101向前

向后

()分块成

矩阵为矩阵为设,,3n l B l m A ××,,1

111

????

?????=????

?????=tr t r st s t B B B B B A A A A A

????

?????=sr s r C C C C AB

111().

,,1;,,11

r j s i B A C kj

k ik ij ===

∑

=其中那么

的行数的列数分别等于其中,,,,,,,2121tj j j it i i B B B A A A 102

向前向后返回(),411?

?????????=sr A A A 设r A 11s A T s A 1T r A 1.11????

??????=T sr T T

A A A

则()是方阵且非零子块都

其余子块都为零矩阵上有非零子块角线

的分块矩阵只有在主对若阶矩阵为设.

,,,5A n A

第二章矩阵及其运算

103向前

向后

,21??????

????????=s A A A A

O O .

21s A A A A =分块对角矩阵的行列式具有下述性质:

即

().

,,2,1对角矩阵为分块那么称都是方阵其中A s i A i

=104

向前向后返回()并有

则若,0,,,2,10≠=≠A s i A i .21??????

?????

???=s A A A A

(),62

??????

????

?=s A A A A

设o

1?1?1

?1?105向前

向后

()??????

???????

??????????????

?s s B B B A A A

000000

00000072121

0000002211??

???

??=s s B A B A B A 106

向前

向后

例1 设

A ??

=??

000010023102

301,

B ??

=??

0001001001001000.

AB 求解

分块成

把B A ,????

????

???

=10

011

01A 00

00232

,??

???=E E O 1A 107向前

向后

B ??

?=????

0001001001001000?

???=O B 1B 2O 则E

O O B AB A E B O ????=?

???????

112O EB O O

B O EB A B O B A B +????

==?

?++????

11211211108

向前向后返回O B AB B A B ??=?

???12

11又A B 11??????

==?

???????????

230132231032，.??????=??????

0010

0100

1321

2于是

第二章矩阵及其运算

109

向前

向后

100100000

001???

???

?=b b a a A 设?????

???

????=b b a a

B 1

000001000.

,ABA B A +求例2

110

向前

向后返回

解分块

将B A ,??????

???

?=b b a a A 1

00100000001,0021???

???=

A A ????

????

????=b b a a B 1

000001000,0021????

??=B B 其中

,011

??????=a a A ;1

12??????=b b A ,1

01??????=a a

B ;1

02??

????=b b B 其中111

向前

向后

????+????

??=+21

000B B A A B A ,

2211??

????++=B A B A ??????+??????=+a a a a B A 100111,

2112???

???=a a ??????+??????=+b b b b B A 101122,

2212??

???=b b 112

向前

向后

.?????

?=??????

a a

b b 2100120000210022??

????+??????=+∴2121

000B B A A

B A ?

????++=22110

B A B A 113向前

向后

??????????????

??=21

000

000A A B B A A ABA ,

222111??

????=A B A A B A ,123223111????

????+++=a a a a a a A B A ,

231223223222???

????+++=b b b b b b A B A 114

向前向后返回??

???????????????=∴212121

000000A A B B A A ABA ??

????=2221

1100A B A A

B A .??++??+??=??++????+??

a a a a a a

b b b b b b 32233223210000002210032

第二章矩阵及其运算

115向前

向后

例3 设,120130005???

??????=A .

1?A 求解

????

??????=120130005A ,21??

??=A O O A (),

51=A ;

5111??

???=?A ,

12132??

????=A ;

????=?????A 1

21123116

向前向后返回???

????

?=∴???121

11A O

O A A .??

????

=??????????

10050

11023117

向前

向后

三、小结

在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最

基本,最重要的计算技巧与方法.

(1) 加法采用相同的分块法

同型矩阵,(2) 数乘的每个子块

乘需乘矩阵数A k A k ,(3) 乘法

分块矩阵之间的运算

分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似

行的划分相一致.

的列的划分与需相乘与若B A B A ,118

向前

向后

(4) 转置

???

??????=sr A A A 11r A 11s A T s A 1T r A 1??????????=T sr T T

A A A

11?(5) 分块对角阵的行列式与逆阵?????

???????=s A A A A

21O O .

21s A A A A =?119向前向后返回????

???????=s A A A A

21O O ().

,,,,,2,111

2111????==?s i A A A diag A s i A A 且

可逆可逆120

向前向后返回思考题

,1?A A 并求可逆证明,,都是可逆方阵和其中设C B ??

???

B D A O

C O

A A A A A O 1122

???

设，其中、都是可逆方阵，.

A A 1?证明可逆，并求1.2.

第二章矩阵及其运算

121向前

向后

思考题解答

证1.,,可逆由C B ,0≠=C B A 有.

可逆得A ,X X A X X 1112121

22???=????设.X X B D E O X X O C O E ??????=????????????11122122,

,.BX DX E BX DX O CX O CX E 11211222

2122+=??+=???

=??=?,,,

X B X B DC X O X C 111111221122?????=?=????=??=?则122

向前向后返回.1111

???

??=?????C O

DC B B A 因此

2.;O

A A A O 11

?????=????

s s A A A A A A A 1

112

??????

???

?==????

??????????

一般地，,,,s A A A 12 其中均为可逆方阵.

111a b A b a ????????=????????特别地，=

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