导数在函数单调性极值最值中的应用 - 图文

高三数学第一轮复习 学案 8月 日

第十一讲 导数在函数的单调性、极值、最值中的应用 姓名_________

一、知识梳理： 1．单调性与导数

1）① 若f?(x)?0在?a,b?上恒成立，?f(x)在 函数； 若f?(x)?0在?a,b?上恒成立，?f(x)在 函数。 ② f(x)在区间?a,b?上是增函数?f?(x) 0在

?a,b?上恒成立；

f(x)在区间?a,b?上为减函数?f?(x) 0在?a,b?上恒成立。

2）求函数f(x)的单调区间的步骤：

① ；② ；③ ．④ ． 2．极值与导数

1） 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果左 右 ，则f(x0)是函数f(x)的一个极大值; 2)如果左 右 ，则f(x0)是函数f(x)的一个极小值； 3)如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处 。

注意: ①极值是一个局部概念,不同与最值; ②函数的极值不是唯一的; ③极大值与极小值之间大小关系: ；④函数的极值点一定在定义域内。 2）求函数f(x)的极值的步骤：

① ；② ；③ ． 3．最值与导数

求函数f(x)在闭区间[a,b]上最值的步骤：

① ；② ．③ ．

二、典型例题

例1. ①（09江苏）函数f(x)?x?15x?33x?a 的单调增区间 。

3212x?4lnx 的单调减区间 ；极__值 ,极__值 . 22x③已知函数f(x)?xe，e为自然对数的底数。求函数f(x)在区间[-1,1]上的最值。

②函数f(x)?例2. 已知函数f(x)?x?ax?3x?c，且g(x)?f(x)?2是奇函数． （Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间

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例3.已知函数f(x)??x3?3x2?9x?a在区间[?2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

例4 已知函数f?x??12x?alnx(a?R) 2（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点x?2处的切线方程为y?x?b，求a、b的值； （Ⅱ）若函数f(x)在(1,??)上是增函数，求a的取值范围。 例5.（东城二模 ） 已知函数f(x)?alnx?1，a?R． x（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x?2y?0垂直，求a的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间； （Ⅲ）当a?1，且x?2时，证明：f(x?1)?2x?5．

作业：第十一讲 导数在函数的单调性、极值、最值中的应用

1.函数y?f(x)在一点的导数值为0是函数y?f(x)在这点取极值的（ ）w.w.w.k. A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D必要非充分条件

2.函数f(x)?x3?3ax?b(a?0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的减区间是 ( ) A. （-1，1） B. （0，1） C. （-1，0） D. （-2，-1）

3.以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( )

A．①、② B．①、③ C．③、④ D．①、④

y 2 324.函数f(x)?ax?bx?cx?d的图象如图，且f(x)在x?x0与x?2处取得极值，则f?(1)?f?(?1)的值一定（ ）. A. 等于0 B. 大于0 C. 小于0 D. 小于或等于0

x0 -2 O x 5.函数y?2x?3x?12x?5在[0，3]上的最大值和最小值分别是_______. w.w.w. w.w.w.k.s. 6.对于给定的函数f(x)?x?321(x?0)，有以下四个结论： x①f(x)的图象关于原点对称；②f(x)在定义域上是增函数；

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③f(x)在区间(0,1]上为减函数，且在[1,??)上为增函数； ④f(x)有最小值2。 其中结论正确的是_____________.

7.（10年安徽） 设a为实数，函数f?x??ex?2x?2a,x?R求f?x?的单调区间与极值；

,8.已知函数f?x??x?1?ln?x?1?,其中实数a?1。 1）若a=-2，求曲线y?f?x?在点x?a?0,f?0??处的切线方程； 2）若f?x?在x=1处取得极值，试讨论f?x?的单调性。

9.已知函数f(x)?ax3?x2?bx(其中常数a,b∈R),g(x)?f(x)?f?(x)是奇函数.

(Ⅰ)求f(x)的表达式;(Ⅱ)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值. 10.（海淀一模·文）设函数f?x??ax3?bx2?cx?3?a?a,b,c?R,且a?0?。当x??1时,f?x?取得极大值2, ①用关于a的代数式分别表示b和c； ②当a?1时，求f?x?的极小值； ③求a的取值范

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（10年安徽） 设a为实数，函数f?x??ex?2x?2a,x?R。 (Ⅰ)求f?x?的单调区间与极值；

(Ⅱ)求证：当a?ln2?1且x?0时，e?x?2ax?1。

x2

（10年北京）已知函数f(x)=In(1+x)-x+

k2x (k≥0)。 2(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求f(x)的单调区间。

2解：（I）当k?2时，f(x)?ln(1?x)?x?x，f'(x)?1?1?2x 1?x 由于f(1)?ln2，f'(1)?3， 2 所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y?ln2?3(x?1) 2 即 3x?2y?2ln2?3?0 （II）f'(x)?x(kx?k?1)，x?(?1,??).

1?x1

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当k?0时，f'(x)??x. 1?x 所以，在区间(?1,0)上，f'(x)?0；在区间(0,??)上，f'(x)?0. 故f(x)得单调递增区间是(?1,0)，单调递减区间是(0,??).

x(kx?k?1)1?k?0，得x1?0，x2??0

1?xk1?k1?k,??)上，f'(x)?0；在区间(0,)上， 所以，在区间(?1,0)和(kk 当0?k?1时，由f'(x)?f'(x)?0

故f(x)得单调递增区间是(?1,0)和(1?k1?k,??)，单调递减区间是(0,). kkx2 当k?1时，f'(x)?

1?x 故f(x)得单调递增区间是(?1,??).

x(kx?k?1)1?k?0，得x1??(?1,0)，x2?0.

1?xk1?k1?k)和(0,??)上，f'(x)?0；在区间(,0)上， 所以没在区间(?1,kk当k?1时，f'(x)?f'(x)?0

故f(x)得单调递增区间是(?1,1?k1?k)和(0,??)，单调递减区间是(,0) kk已知函数f(x)?(ax?1)ex，a?R （I）当a?1时，求函数f(x)的极值；

（II）若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a的取值范围.

解：（I）因为f'(x)?(ax?a?1)e ， …………… 2分

x所以当a?1时，f'(x)?xe ， …………… 3分

x令f'(x)?0，则x?0， …………… 4分 所以f(x),f'(x)的变化情况如下表：

x

f'(x)

(??,0)

0 0

(0,??)

+

?

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f(x)

极小

?

值

?

……………5分 所以x?0时，f(x)取得极小值f(0)??1. ……………6分 (II) 因为f'(x)?(ax?a?1)ex，函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数,

所以f'(x)?0对x?(0,1)恒成立. ……………8分 又e?0，所以只要ax?a?1?0对x?(0,1)恒成立, ……………10分 例2. 设函数f(x)?x3?ax2?9x?1(a?0)若曲线y?f(x)的斜率最小的切线与直线

x12x?y?6平行，求：

（1）a的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）函数f(x)的单调区间。

f(x)?x3?ax2?3bx?c(b?0)

2. 已知函数f(x)?x3?ax2?x?1，a?R．

（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；Ks5u

??内是减函数，求a的取值范围． （Ⅱ）设函数f(x)在区间??，33???21?

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f(x)

极小

?

值

?

……………5分 所以x?0时，f(x)取得极小值f(0)??1. ……………6分 (II) 因为f'(x)?(ax?a?1)ex，函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数,

所以f'(x)?0对x?(0,1)恒成立. ……………8分 又e?0，所以只要ax?a?1?0对x?(0,1)恒成立, ……………10分 例2. 设函数f(x)?x3?ax2?9x?1(a?0)若曲线y?f(x)的斜率最小的切线与直线

x12x?y?6平行，求：

（1）a的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）函数f(x)的单调区间。

f(x)?x3?ax2?3bx?c(b?0)

2. 已知函数f(x)?x3?ax2?x?1，a?R．

（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；Ks5u

??内是减函数，求a的取值范围． （Ⅱ）设函数f(x)在区间??，33???21?

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