概率作业集（经管完整版）2012.9

概率论与数理统计（经管类）第一章作业 班级： 学号： 姓名：

第一节 随机事件

一、用集合的形式表示下列随机试验的样本空间与随机事件A

1.在平整的桌面上随机抛骰子，观察出现的点数，设事件A表示“骰子的点数是奇数”，则样本空间

??{ }，A?{ }。

2.观察某呼叫台一个昼夜接到的呼叫次数，设事件A表示“一个昼夜接到的呼叫次数小于2次”，则样 本空间??{ }，A?{ }。

3.对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数，事件A表示“射击次数不超过3次”，则样 本空间??{ }，A?{ }。

二、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件： （1）A，B，C都发生： （2）A，B，C都不发生： （3）A发生，B与C不发生：

（4）A，B，C中至少有一个事件发生： （5）A，B，C中至少有两个事件发生： （6）A，B，C中恰有一个事件发生：

三、若事件A，B，C满足等式A?C?B?C，问A?B是否成立？若成立，请证明；若不成立，请

举反例说明。

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第二节 随机事件的概率（1）

一、选择题

（1）设A与B是两个对立事件，且P(A)?0,P(B)?0，则下列正确的是（ ）。 （A）P(A)?P(B)?1 （B）P(AB)?1 （C）P(AB)?P(A)P(B) （D）P(A)?P(B) （2）设A, B为两个互不相容的随机事件，则下列正确的是（ ）。

（A）A与B互不相容 （B）P(A)?1?P(B) （C）P(AB)?P(A)P(B) （D）P(AB)?P(A)?P(B)

（3）设A、B是任意两事件，则P(A?B)?（ ）。

（A）P(A)?P(B) （B）P(A)?P(B)?P(AB)

（C）P(A)?P(AB) （D）P(A)?P(B)?P(AB)

二、已知P(A?B)?0.8，P(A)?0.5，P(B)?0.6，求P(AB)，P(AB)，P(A?B)。

三、设A，B为随机事件，且P(A)?0.7，P(A?B)?0.3，求P(AB)。

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第二节 随机事件的概率（2）

1.一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。

2. 某寝室住有6名学生，求至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率。

3. 将一枚骰子重复掷n次，求掷出的最大点数为5点的概率。

3

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第三节 条件概率

一、已知P(A)?0.5，P(B)?0.6，P(BA)?0.8，求P(AB)。

二、有人来访，他坐火车、汽车和飞机的概率分别为0.4，0.5，0.1，若坐火车，迟到的概率是0.1，若坐汽车，迟到的概率是0.2，若坐飞机则不会迟到，求他迟到的概率。

三、按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可 能考试不及格，据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：考试及格的学生有多大可能是不努力学 习的人？

四、某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次 品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率。

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第四节 独立性

一、选择题：

（1）设P(A)?0.8，P(B)?0.7，P(AB)?0.8，则下列结论正确的是（ ）。 （A）B?A （B）P(A?B)?P(A)?P(B) （C）事件A与事件B相互独立 （D）事件A与事件B互逆

（2）设0?P(A)?1，0?P(B)?1，P(AB)?P(AB)?1，则（ ）。 （A） 事件A与B互不相容 （B）事件A与B互逆 （C） 事件A与B不相互独立 （D）事件A与B相互独立 二、已知P(A)??，P(B)?0.3，P(A?B)?0.7，

（1）若事件A与B互不相容，求?；（2）若事件A与B相互独立，求?。

三．一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为8081，求此射手每次射击的命中率。

四、加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02，0.03，0.05，0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率。

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第一节 随机变量 第二节 离散型随机变量

一、填空题

（1） 设随机变量X只能取0，1，2，且X取这些值的概率依次为

151，则ｃ＝ 。 ,,2c4c4c（2）一批产品共100个，其中有10个次品，以X表示任意取出的2个产品中的次品数，则X的分布律

为 。（用一个表达式表示）

(3) 某射手对一目标射击，直至击中为止，如果每次射击命中率为p（0

则X的分布律为 。（用一个表达式表示） 二、解答题

1. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律。（列表格表示）

2.某楼有供水龙头5个，调查表明每一龙头被打开的概率为

3.设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,求该市在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？

4. 已知在5重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}。

1，求恰有3个水龙头同时被打开的概率。 106

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第三节 随机变量的分布函数

一、单项选择题

（1）下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是（ ）。

(A)F(x)?1?1x2 (B) F(x)?12?1?arctanx ? (C) F(x)??1?2(1?e?x),x?0? (D) F(x)??ln(1?x)?1?x,x?0

??0,x?0??0,x?0

二、解答题

1.设随机变量X的分布函数为F(x)???A(1?e?x)，x?0, 试求:（1）系数A；（2）P?1?X?0，x?0?3?。

2.设随机变量X的分布律为:

X 0 1 2 3 pk 116 316 12 14 （1）求X的分布函数F(x)；（2）求概率P?X?2?。

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第四节 连续型随机变量

一、单项选择题

1. 设F(x)和f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度，则必有（ ）。 (A)f(x)单调不减 (B)

?????F(x)dx?1 （C）F(??)?0 (D)F(x)??f(x)dx

????2. 设A是随机事件，则“P(A)?0”是“A是不可能事件”的（ ）。

(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 二、填空题

?e?x,x?011. 随机变量X的概率密度为f(x)??，若P{X?C}?，则C? 。

2?0,x?02. 已知X~N(10,32)，P{X??}?0.67，则?? 。

?2x,??0?x?13.设随机变量X的概率密度为f(x)?? ，记Y表示对X的三次独立重复观察中事件

0,???其他?{X?12}出现的次数，则P{Y?2}= 。

三、解答题

?kx2,?1?x?2,1. 设随机变量X的概率密度为f(x)??，求（1）常数k；（2）X的分布函数F(x)。

其它,?0,

?2/x3,x?1,2.设某河流每年的最高洪水水位(m)具有概率密度f(x)??，现要修能够防御百年一遇的洪

?0,x?1水（即遇到的概率不超过0.01）的河堤，问河堤至少要修多高？

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3. 设K在(0，5)内服从均匀分布, 求方程4x

2?4Kx?K?2?0有实根的概率。

?1000?，x?10004. 某种型号的电子管寿命X (以小时计)具有以下概率密度 fX(x)??x2， 现有一大批

??0，其他此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）, 任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？

5.将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，液体的温度X（以C记）是一个随机变量， （?(2.5)?0.9938，其中?(x)表示标准正 X~N(90,0.42),求液体的温度X保持在89?~91?C的概率。态分布的分布函数）

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第五节 随机变量的函数的分布

1.设离散型随机变量X的分布律为

求Y?X2?1的分布律。

2. 设随机变量X~U(0,1)，求Y?eX的概率密度函数fY(y)。

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3. 设随机变量X~U(2,3)，求Y?X3的概率密度函数fY(y)。

4. 设随机变量X~N(0,1)，求Y?X2的概率密度函数fY(y)。

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第一节 二维随机变量

1.设随机变量(X,Y)的联合分布律为 求（1）常数a；（2）P{X?0,??Y?0}。

2. 一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件.现从中随机抽取一件，记

?1,若抽到一等品;;?1，若抽到二等品X1?? X2??

0,其他.0，其他.??求随机变量(X1,X2)的联合分布律.

3. 设随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)?A(B?arctanx)(C?arctany)?????x,?y???，（1）求常数A,B,C的值；（2）求(X,Y)的联合概率密度函数f(x,?y)。

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4．设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)???k(6?x?y),?0?x?2,?0?y?4,（1）求常数k；

?0,???????????其他.（2）求P{X?1,??Y?3}。

5．设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)???ke?(3x?2y),x?0,?y?0,?0,其他.

（1）求常数k；（2）求(X,Y)的联合分布函数F(x,y)；（3）P{X?Y}。

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第二节 边缘分布

1.完成下列表格：

Y X y1 0.1 0.2 y2 0.3 y3 0.1 pi. 0.3 1 x1 x2 p.j

?1?e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y),?x?0,??y?0,2．设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)??，求(X,Y)的边缘分

0,???????????????????????????其他?布函数FX(x)。

3．二维随机变量(X,Y)在以原点为圆心的单位圆上服从均匀分布，试求(X,Y)的联合概率密度函数和边缘概率密度函数fX(x)。

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4.二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??边缘概率密度函数fX(x)。

5.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)??的边缘概率密度函数fX(x)。

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?(1?2x)(1?2y)/4,0?x?1,0?y?1,，求(X,Y)的

0,其他??4.8y(2?x),0?x?1,???y?x,，求(X,Y)0,????其他?

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第三节 条件分布 第四节 随机变量的独立性

1．二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

X Y 0 1 0 0.3 0.4 1 0.2 0.1 试求在Y=1的条件下X的条件分布律。

2.设X和Y相互独立且有相同的分布(如右图所示)，则下列正确的是（ ）。

（A）X?Y （B）P{X?Y}?1 （C）P{X?Y}?1/2 （D）P{X?Y}?1/4

3．设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0,1）内服从均匀分布，Y的概率密度为

?1?y/2?e,fY(y)??2??0,y?0,y?0，（1）求(X,Y)的联合概率密度函数；（2）设关于a的二次方程为

a2?2Xa?Y?0，求此方程有实根的概率。

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?e?(x?y),x?0,y?04．随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)???0,fX|Y(x|y)；(2）说明X与Y的独立性。

?5．随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)??21?x2y,?4?0,f3Y|X(y|x)；(2）求条件概率P{Y?4|X?12}。

其他，（1）求条件概率密度

x2?y?1,，（1）求条件概率密度函数

其他17

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第五节 两个随机变量的函数的分布

1．设(X,Y)的联合分布律为：

X Y 0 1 0 0.25 0.15 1 0.1 0.15 2 0.3 0.05 求：（1）Z?X?Y的分布律； （2）V?min(X,Y)的分布律。

2．设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??度。

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?6x,0?x?1,y?0,x?y?1;，求Z?X?Y的概率密

其他.?0,概率论与数理统计（经管类）第一章作业 班级： 学号： 姓名：

?1,0?x?1,?2y,0?y?1,3. 设X和Y相互独立，其概率密度分别为fX(x)??，fY(y)??，求

?0,其他?0,其他Z?X?Y的概率密度。

4. 设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)???e?y,0?x?y,0, ，求Z?X?Y的概率密度。

?其他.

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第一节 数学期望

1．设X的分布律为：

求（1）E(X)；（2）E(X2)。

2．设(X,Y)的联合分布律为：

已知E(X2?Y2)?2.4，求常数a,b之值。

?kxa,0?x?1;3. 设X的概率密度为f(x)?? 其中k，a?0，又已知E(X)?0.75，求k，a的值。

0,其它.?

?a3?1?3,x?a4. 设X的分布函数为F(x)??，其中a?0，求E(X)。 x?x?a?0,

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概率论与数理统计（经管类）第一章作业 班级： 学号： 姓名： 3. 某批导线的电阻R~N(?,0.0052)(单位:?)，从中随机地抽取9根，测得其样本标准差s?0.008?，

可否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?(取??0.05)？

24.机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从X~N(?,?)正态分布，规定每袋标准重量为??1kg,方差

?2?0.022。某天开工后，为检验其机器工作是否正常，从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单

位：kg）为：0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数据为：均值为

9x?0.998，标准差s?0.032，?(xi?x)2?0.008192，

i?1问：(1)在显著性水平??0.05下，这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准有显著差异？

(2) 在显著性水平??0.05下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？

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