第二讲 函数的表示法及基本性质

第二讲 函数的表示法及基本性质

2011.09.25

一、函数的解析式的求法

1．待定系数法求解析式：此方法适合所求函数的类型的解析式的类型已经确定，那么只需列方程求待定系数就可。

例 1.若f

变式 1.已知二次函数的图像过( 1,0),(3,0),(1, 8)，求f(x)的解析式。

2.换元法求解析式：

例 2.

已知f1) x ，求f(x)的解析式。

3.配凑法求解析式：

例 3.

已知f1) x ，求f(x)的解析式。

变式2.已知函数f(x 1) 3x 2，求f(x)的解析式。

4.特殊值代入求解析式：

例 4.已知函数f(x)对任意的实数x,y，都有f(x y) f(x) 2y(x y)，且f(1) 1，求f(x)的解析式。

f f(x) 27x 26，求一次函数f(x)的解析式。

变式3.定义在R上的函数f(x)满足f(x y) f(x) f(y) 2xy(x,y R),且f(1) 2, 则f( 3)=_________。

二、函数的基本性质

（一）单调性与最大（小）值

1.单调性与单调区间：

注意：单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域中的某个区间，有的函数没有单调性。 例 5.写出下列函数的单调区间

（1）y 2x （2）y

2.常用结论：

（1）函数y f(x)与y f(x)的单调性相反。

（2）函数y f(x) c与函数f(x)具有相同的单调性。

（3）当c 0时，函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性，但c 0时，则单调性相反。 2 （3）y 2x 3 （4）y x2 2x 3 x

（4）若f(x) 0，则函数f(x)与1具有相反的单调性。 f(x)

（5）若f(x) 0，则f(x

)

（6）对于函数f(x) g(x)可以总结为：

增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减

（7）当函数f(x)和g(x)单调性相同时，复合函数y f g(x) 是增函数；

当函数f(x)和g(x)单调性相反时，复合函数y f g(x) 是减函数；

简称为“同增异减”。

变式4.已知y f(x)和y g(x)均为增函数，判断下列函数在公共定义域内的增减性。

y x2 (2)y f(x) 2g(x) (1)

2.函数单调性的证明及判断方法：

例6.（1

）证明函数f(x)

（2）证明函数f(x) x x在R上是增函数； 3

a2

(a 0)在区间 0,a 上是单调递减函数。 变式5.求证：f(x) x x

3.函数单调性的应用

例 7.如果函数f(x) x2 bx c对任意实数t都有f(2 t) f(2 t),试比较 f(1),f(2),f(4)的大小。

变式6.已知函数y f(x)在 0, 上是减函数，试比较f()与f(a a 1)的大小。 23

4

例 8.已知f(x) x2 2(1 a)x 2在 ,4 是减函数，求实数a的取值范围。

变式7.函数f(x) x bx c(x 0, )是单调函数，求b的取值范围。 2

4.函数的最值：

基本初等函数的最值

（1） 正比例函数

（2） 一次函数

（3） 反比例函数

（4） 二次函数

例 9.求f(x) x 2ax 1在区间 0,2 上的最大值和最小值。 2

2变式8.函数f(x) x 2x 3(x 0,3 )的最大值为_______，最小值为_______。

例10.已知函数y f(x)在定义域 1,1 上是减函数，且f(1 a) f(a2 1)，求a的取值范围。

5.函数的奇偶性：

例11.判断下列函数的奇偶性；

2x2 2x (1)f(x) x 1 (2)f(x) x3

2x (3)f(x)

(4)f(x)

例 12.判断函数f(x)

6.函数奇偶性的应用：

（1）求值

53例 13.已知f(x) ax bx cx 8,且f(d) 10，求f( d)。 x(x 1),x 0的奇偶性。 x(x 1),x 0

（2）求解析式

例 14.已知函数f(x)是奇函数，且当x 0时，f(x) xx 2，求x 0时，f(x)的解析式。

（3）解抽象函数不等式

例 15.设f(x)在R上是偶函数，在区间 ,0 递增，且有f(2a2 a 1) f(3a2 2a 1) 求a的取值范围。

三、练习

1.函数(1)y 2(k 1)x b在R上是减函数，则（ ） A.k 1111 B.k C.k D.k 2222

2.函数y x 2 x的最大值是_______。

3.

函数f(x) ）

A. 1, B. 1, C. ,33 D. ,1

4.

函数y x_______。

25.函数y x 2x 3单调递增区间为_______。

6.已知函数f(x) x 2ax 2x 5,5 2

（1）当a 1，求函数f(x)的最大值与最小值；

（2）求实数a的取值范围，使y f(x)在区间 5,5 是单调函数。

7.判断下列函数的奇偶性；

(1)f(x) (x

f(x) x2 4x 3 28.函数f(x 1)是偶函数，且x 1时，f(x) x 1，求x 1时，f(x)的表达式。

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