无锡市宜兴市2015-2016学年八年级下期末数学试卷含答案解析

2015-2016学年江苏省无锡市宜兴市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内． 1．下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是（ ） A．等边三角形B．正方形C．正六边形D．圆 2．下列根式中，与3A．

B．

C．

是同类二次根式的是（ ） D．

3．要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）

A．x=﹣2B．x＜﹣2C．x＞﹣2D．x≠﹣2

4．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个黑球且摸到黑球的概率为，那么口袋中球的总数为（ ） A．12个B．9个C．6个D．3个 5．下列命题中，真命题是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．一组邻边相等，并且有一个内角为直角的四边形是正方形 6．如果把分式

中的m和n都扩大2倍，那么分式的值（ ）

A．不变B．扩大2倍C．缩小2倍D．扩大4倍

7．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B=40°，∠CAE=60°，则∠DAC的度数为（ ）

A．15°B．20°C．25°D．30°

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8．如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E作直线l∥BD交y轴于点F，则点F的坐标是（ ）

A．（0，﹣）B．（0，﹣）C．（0，﹣3）D．（0，﹣

二、填空题：本大题共10小题，每题2分，共20分． 9．二次根式10．若分式

中字母x的取值范围是 ． 的值为零，则x的值为 ．

）

11．分式，﹣，的最简公分母是 ．

12．要使式子=﹣a成立，a的取值范围是 ．

的值为 ．

13．设函数y=﹣与y=x+2的图象的交点坐标为（m，n），则14．已知关于x的分式方程

﹣

=1的解为负数，则k的取值范围是 ．

，则它的面积为 ．

15．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和

16．BD=AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，如图，在△ABC中，点D在BC上，连接MN．若AB=5，BC=8，则MN= ．

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17．如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AB、CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为 ．

18．如图，点A（a，2）、B（﹣2，b）都在双曲线y=上，点P、Q分别是x轴、y轴上

PQ所在直线的解析式是y=x+， 的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，则k= ．

三、解答题：本大题共56分，解答需写出必要演算步骤． 19．计算： （1）计算：（2）解方程：

+|1﹣ =3；

|；

（3）化简：．

20．如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．

（1）将△ABC绕坐标原点O旋转180°，画出图形，并写出点A的对应点A′的坐标 ；（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，直接写出点A的对应点A″的坐标 ； （3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ．

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21．小明随机调查了若干市民租用公共自行车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如图统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

（1）这次被调查的总人数是多少？

（2）试求表示A组的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图．

（3）如果骑自行车的平均速度为12km/h，请估算，在租用公共自行车的市民中，骑车路程不超过6km的人数所占的百分比．

22．某村计划对总长为1800m的道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成 的道路长度是乙队每天能完成的2倍，并且在独立完成长为400m的道路时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成道路的长度分别是多少m？

（2）若村委每天需付给甲队的道路改造费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的道路改造费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？

23．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D． （1）求证：BE=CF；

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（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），若反比例函数y=

（x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．设直线EF

的解析式为y=k2x+b．

（1）求反比例函数和直线EF的解析式； （2）求△OEF的面积； （3）请直接写出不等式k2x+b﹣

＜0的解集．

25．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（﹣6，0），D（﹣7，3），点B、C在第二象限内． （1）点B的坐标 ；

（2）将正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；

（3）在（2）的情况下，问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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【考点】菱形的性质．

【分析】根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB∥CD，AB=BC，

∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO， 在△AMO和△CNO中，

∴△AMO≌△CNO（ASA）， ∴AO=CO， ∵AB=BC， ∴BO⊥AC， ∴∠BOC=90°， ∵∠DAC=28°， ∴∠BCA=∠DAC=28°， ∴∠OBC=90°﹣28°=62°． 故答案为：62°．

【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．

18．如图，点A（a，2）、B（﹣2，b）都在双曲线y=

上，点P、Q分别是x轴、y轴上

的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是y=x+，则k= ﹣7 ．

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【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；轴对称-最短路线问题．

【分析】作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，根据对称的性质得到C点、D点CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，坐标．根据两点之间线段最短得此时四边形PABQ的周长最小，然后利用一次函数图象上点的坐标特征来求k的值．

【解答】解：作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点坐标为（a，﹣2），D点坐标为（2，b），

连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形PABQ的周长最小， 把C点的坐标代入y=x+得到：﹣2=a+， 解得a=﹣， 则k=2a=﹣7． 故答案是：﹣7．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式；熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题．

三、解答题：本大题共56分，解答需写出必要演算步骤． 19．计算： （1）计算：（2）解方程：

+|1﹣ =3；

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|；

（3）化简：．

【考点】分式的混合运算；负整数指数幂；解分式方程． 【专题】计算题；方程与不等式．

【分析】（1）根据负整数指数幂、绝对值对原式化简并合并同类项可以解答本题； （2）根据解分式方程的方法可以解答本题； （3）根据分式的混合运算的计算方法可以解答本题． 【解答】解：（1）====2

﹣4+﹣4+﹣4+﹣5；

=3 ﹣1 ﹣1 ﹣1

+|1﹣

|

（2）

方程两边同乘以（x+2）（x﹣2），得 3x（x﹣2）﹣2（x+2）=3（x+2）（x﹣2） 去括号，得

3x2﹣6x﹣2x﹣4=3x2﹣12 移项及合并同类项，得 ﹣8x=﹣8 系数化为1，得 x=1，

检验：当x=1时，（x+2）（x﹣2）≠0， 故原分式方程的解是x=1； （3）

=÷[]+

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=+

=

==

=．

【点评】本题考查分式的混合运算、负整数指数幂、解分式方程，解题的关键是明确它们各自的计算方法，尤其是解分式方程，最后要检验．

20．如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．

（1）将△ABC绕坐标原点O旋转180°，画出图形，并写出点A的对应点A′的坐标 （2，﹣3） ； （2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，直接写出点A的对应点A″的坐标 （﹣3，﹣2） ；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 （﹣7，3）或（﹣5，﹣3）或（3，3） ．

【考点】作图-旋转变换．

【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征解答； （2）根据旋转变换的性质解答；

（3）分三种情况，根据平行四边形的判定定理解答．

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【解答】解：（1）图形如图：点A的对应点A′的坐标为：（2，﹣3）； （2）点A的对应点A″的坐标（﹣3，﹣2）；

（3）以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为：（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）或（3，3），

故答案为：（1）（2，﹣3）；（2）（﹣3，﹣2）； （3）（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）或（3，3）．

【点评】本题考查的是旋转变换﹣作图，掌握旋转变换的性质：对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等是解题的关键》

21．小明随机调查了若干市民租用公共自行车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如图统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

（1）这次被调查的总人数是多少？

（2）试求表示A组的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图．

（3）如果骑自行车的平均速度为12km/h，请估算，在租用公共自行车的市民中，骑车路程不超过6km的人数所占的百分比．

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【考点】反比例函数综合题．

【分析】（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE≌△BAF，从而得出DE=AF，AE=BF，再结合点A、D的坐标即可求出点B的坐标；

（2）设反比例函数为y=，根据平行的性质找出点B′、D′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、t的二元一次方程组，解方程组解得出结论；

（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．分B′D′为对角线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m、n的方程组，解方程组即可得出结论．

【解答】解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如图1所示．

∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=AB，∠BAD=90°，

∵∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD+∠BAF=90°， ∴∠ADE=∠BAF． 在△ADE和△BAF中，有∴△ADE≌△BAF（AAS）， ∴DE=AF，AE=BF．

∵点A（﹣6，0），D（﹣7，3），

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，

∴DE=3，AE=1，

∴点B的坐标为（﹣6+3，0+1），即（﹣3，1）． 故答案为：（﹣3，1）． （2）设反比例函数为y=，

由题意得：点B′坐标为（﹣3+t，1），点D′坐标为（﹣7+t，3）， ∵点B′和D′在该比例函数图象上， ∴k=（﹣3+t）×1=（﹣7+t）×3， 解得：t=9，k=6，

∴反比例函数解析式为y=．

（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）． 以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况： ①当B′D′为对角线时，设线段B′D′的中点为M，如图2所示．

∵点B′（6，1），点D′（2，3），点M为线段B′D′的中点， ∴点M的坐标为（4，2）， ∵点M是线段PQ的中点，

∴，解得：，

∴P（，0），Q（，4）；

②当B′D′为边时．

∵四边形PQB′D′为平行四边形，

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∴，解得：，

∴P（7，0），Q（3，2）．

综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形，符合题意的点点P、Q的坐标为P（2）．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出△ADE≌△BAF；（2）找出关于k、t的二元一次方程组；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键．

，0）、Q（，4）或P（7，0）、Q（3，

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【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

【分析】（1）根据B类人数是19，所占的百分比是38%，据此即可求得调查的总人数； （2）利用360°乘以对应的百分比即可求解；

（3）求得路程是6km时所用的时间，根据百分比的意义可求得路程不超过6km的人数所占的百分比．

【解答】解：（1）调查的总人数是：19÷38%=50（人）； （2）A组所占圆心角的度数是：360×C组的人数是：50﹣15﹣19﹣4=12．

=108°，

；

（3）路程是6km时所用的时间是：6÷12=0.5（小时）=30（分钟）， 则骑车路程不超过6km的人数所占的百分比是：

×100%=92%．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

22．某村计划对总长为1800m的道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成 的道路长度是乙队每天能完成的2倍，并且在独立完成长为400m的道路时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成道路的长度分别是多少m？

（2）若村委每天需付给甲队的道路改造费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的道路改造费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．

【分析】（1）设乙工程队每天能完成道路的长度是xm，根据在独立完成400m道路的长度时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；

（2）设应安排甲队工作y天，根据这次的修路总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．

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【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成道路的长度是xm，根据题意得：

﹣

=4，

解得：x=50，

经检验x=50是原方程的解，

则甲工程队每天能完成道路的长度是50×2=100m．

答：甲工程队每天能完成道路的长度是100m，乙工程队每天能完成道路的长度是50m． （2）设应安排甲队工作y天，根据题意得： 0.4y+解得：y≥10．

答：至少应安排甲队修建10天．

【点评】此题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用；关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．

23．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D． （1）求证：BE=CF；

（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

×0.25≤8，

【考点】旋转的性质；勾股定理；菱形的性质． 【专题】计算题；证明题．

AF=AC，∠EAF=∠BAC，【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD；

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（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=

AC=

，于是利用BD=BE﹣DE求解．

【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的， ∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，

∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC， ∵AB=AC， ∴AE=AF，

∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴BE=CF；

（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1， ∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE， ∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°， ∴∠AEB=∠ABE=45°， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴BE=

AC=

， ﹣1．

∴BD=BE﹣DE=

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），若反比例函数y=

（x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．设直线EF

的解析式为y=k2x+b．

（1）求反比例函数和直线EF的解析式； （2）求△OEF的面积； （3）请直接写出不等式k2x+b﹣

＜0的解集．

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【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质．

【分析】（1）由点B、D的坐标结合矩形的性质即可得出点C的坐标，由中点的性质即可得出点A的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k值，由此即可得出反比例函数解析式；由点F的横坐标、点E的纵坐标结合反比例函数解析式即可得出点E、F的坐标，再由点E、F的坐标利用待定系数法即可求出直线EF的解析式；

（2）通过分割图形并利用三角形的面积公式即可求出结论；

（3）观察函数图象，根据两函数图象的上下关系结合交点坐标即可得出不等式的解集． 【解答】解：（1）∵D（0，4），B（6，0）， ∴C（6，4），

∵点A为线段OC的中点， ∴A（3，2）， 把A（3，2）代入y=∴反比例函数为y=，

把x=6代入y=得y=1，则F点的坐标为（6，1）；

把y=4代入y=得4=，解得：x=，则E点的坐标为（，4）．

（x＞0），得：k1=6，

把F（6，1）、E（，4）代入y=k2x+b中得：得：k2=﹣，b=5，

∴直线EF的解析式为y=﹣x+5；

（2）过点E作EG⊥OB于点G ∵点E、F都在反比例函数图象上 ∴S△EOG=S△OBF， ∴S△EOF=S梯形EFBG，

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∵E（，4），F（6，1）， ∴EG=4，FB=1，BG=， ∴S△EOF=S梯形EFBG=（1+4）×=（3）不等式k2x+b﹣观察函数图象可发现：

当0＜x＜或x＞6时，一次函数y=﹣x+5的图象在反比例函数y=的图象的下方， ∴﹣x+5﹣＜0的解集为：0＜x＜或x＞6．

；

＜0，可变形为﹣x+5＜．

【点评】本题考查了矩形的性质、反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，求出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．

25．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（﹣6，0），D（﹣7，3），点B、C在第二象限内．

（1）点B的坐标 （﹣3，1） ；

（2）将正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；

（3）在（2）的情况下，问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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