实数的概念及性质

篇一：实数的有关概念和性质以及实数的运算

实数的概念

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。而 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。

实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

实数的运算法则

1、加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 可使用①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．即：

②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．即：

2、减法法则：

减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)

3、乘法法则：

（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。

（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。

（3）乘法可使用①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即： ．

②乘法结合律 ：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即： 。③分配律 ： 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即： ．

4、除法法则：

（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。即

（3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。

5、乘方： 所表示的意义是n个a相乘，即

正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．

乘方与开方互为逆运算。

6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。

实数计算的常见类型及方法

一、实数的运算

(1)加法

同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；

异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相加等于原数。

(2)减法a-b=a+(-b)

(3)乘法

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即

(4)除法

(5)乘方

(6)开方如果x2＝a且x≥0，那么＝x； 如果x3=a，那么

在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．

3．实数的运算律

(1)加法交换律 a+b＝b+a

(2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)

(3)乘法交换律 ab＝ba．

(4)乘法结合律 (ab)c=a(bc)

(5)分配律 a(b+c)=ab+ac

其中a、b、c表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便．

一、加法运算中的方法与技巧

例1 计算：

分析：（１）题的关键是确定运算顺序，有括号的还应先计算括号内的；

（2）题的关键是求出绝对值符号中式子的值，进而求出整个式子的值．进行有理数的混合计算时,小学学过的确定运算顺序的方法仍然适用

【小结】巧用加法的交换律与结合律，以达到简化的目的，同时注意交换加数位置时，一定要连同前面的符号一起移动.

实数加法运算中通常有以下规律：互为相反数的两个数先相加—“相反数结合法”；符号相同的数先相加—“同号结合法”；分母相同的数先相加—“同分母结合法”；几个数相加得到整数先相加—“凑整法”；整数与整数，小数与小数相加—“同形结合法”.

二、乘、除运算中的方法与技巧

例2：计算：

分析：（１）这里没有用括号规定运算顺序，所以我们应先算乘方，再算除法，最后算除法．（2）用括号规定运算顺序，所以应先算括号内的，再按顺序进行．另外也可以利用乘法对加法的分配律去掉括号，然后再按顺序进行．

点评：在进行有理数的混合运算时，一要注意运算顺序的正确；二要注意符号的变化；三要注意在运算性质时不要出现错误．

三、幂的运算

【例3】 计算：

【小结】表示4个-2相乘，负数的偶次方是正数，而表示的相反数，结

表示的相反果为负数，两者意义不同，注意区别.同理，表示3个-2相乘，

数，表示3个相乘，表示除以5的商的相反数，两者意义不同，注意观察，当底数是分数时，底数要加括号.

四、在混合运算中灵活运用运算律

【小结】 此题利用分配律计算非常简便，但同时是同学们在计算时容易出错的地方.第一种方法是把括号中的式子看作和的形式，分别相乘，再相加.第二种方法是先定符号，后面注意整体思想.第三种方法，第一部分相乘时先定符号，后定值.

【小结】 善于观察，寻求解决问题的策略，是至关重要的.灵活使用交换律和分配律，使解决本题的步骤变得简捷明快.

篇二：实数的有关概念和性质2015

一、选择题

1. （2015福建泉州，1,3）－7的相反数是（） A．－7 B．7 C．－

11D． 77

考点解剖：本题主要考查了相反数的求法，准确掌握相反数的定义是关键；

解题思路：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数； 解答过程：与－7只有符号不同的数是7，故应选B. 【答案】B规律总结：求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上负号即可. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0. 关键词：相反数；

2. （2015广东广州，1，3分）实数3的倒数是（ * ） A．?

11

B． C．－3 D．3 33

【答案】B

考点解剖：本题考查了求实数的倒数．掌握求倒数的方法是解题的关键． 解题思路：求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一． 解答过程：解：∵3是一个整数，∴3的倒数就是

1

．故选B．3

规律总结：（1）求一个整数（或整式）的倒数，就是写成这个整数（或整式）分之一；（2）求一个分数（或分式）的倒数，就是调换分子和分母的位置．求出倒数之后，如果分母中含有根号，则需要分母有理化． 关键词：实数；倒数

3. （2015广东省，1，3分）－5的绝对值是（）

A．5

B．－5

C．

1 5

D．－

1 5

【答案】A

考点解剖：本题考查了求实数的绝对值．掌握求绝对值的代数方法是解题的关键．

解题思路：－5是一个负数，根据―正数的绝对值等于它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值等于它的相反数‖可以直接求得答案．

解答过程：解：∵－5一个负数，它的绝对值等于它的相反数，而－5的相反数是5，∴－5的绝对值是5．故选A．

规律总结：求一个整数的绝对值通常有代数方法和几何方法，其中代数方法就是直接依据定义，即―正数的绝对值等于它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值等于它的相反数‖；几何方法就是通过数轴，直接根据绝对值的定义在数轴上画出相应的结合长度即可得知答案． 关键词：绝对值

4. （2015广西桂林，1，3分）2012的相反数是（ ） A.2012 B.－2012C.∣-2012∣D.

1

2012

考点解剖：本题考查了相反数的概念，解答本题的关键是理解相反数的意义.

解题思路：可直接根据相反数的意义求解，方法一：数a的相反数是－a；方法二：在数轴上分居原点左右两侧且到原点的距离相等的两个数互为相反数.

解答过程：方法一：2012的相反数是－2012；方法二：2012在原点的右边且到原点的距离为2012个单位长度，所以它的相反数在原点的左边，到原点的距离也是2012个单位，故这个数是－2012，选择答案B. 答案：B

规律总结：一般地，我们确定一个数的相反数时，只需在这个数前面加上负号即可，即数a的相反数是-a，此题属于基础题.

关键词： 相反数

5. （2015广西桂林，2，3分）下面是几个城市某年一月份的平均温度，其中平均温度最低的是（ ） A.桂林市11.2℃ B.广州13.5℃C.北京-4.8℃D.南京3.4℃ 考点解剖：此题考查的是有理数的大小比较，直接比较这四个数的大小即可找到答案. 解题思路：根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数可知，此四个数中，－4.8最小. 解答过程：因为13.5＞11.2＞3.4＞－4.8，所以均温度最低的是北京-4.8℃，选择C. 答案：C

规律总结：有理数大小比较的法则是：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 关键词： 有理数的大小比较

1

2015贵州安顺，1，3分）在，0，1，,－2这四个数中，最小的数是（ ）

21

A． B．0 C．1 D．－2

2

考点解剖：本题考查了有理数的大小比较.掌握有理数大小比较方法是关键. 解题思路：有理数中，负数小于0，负数小于正数，所以最小的是-2. 解答过程：解：∵-2＜0＜

1

＜1，∴最小的数是-2．故选D． 2

规律总结：有理数大小比较的一般方法：①正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小；②在数轴上表示的数，右边的总比左边的大. 关键词：有理数比较大小

?1?，π，22） 7. （2015贵州安顺，8，3分）在实数：3.14159

，1.010010001, 4.27

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

考点解剖：本题考查了无理数的判别，正确理解无理数的概念是解题的关键． 解题思路：根据无理数的概念逐个进行识别．

?1?是无限循环小数，所以也不是无理解答过程：解：∵3.14159，1.010010001是有限小数，所以是有理数， 4.2

数，64?4是有理数，

22

是分数，是有理数，只有π是无限不循环小数，所以是无理数的就1个，故选A. 7

规律总结：无理数是无限不循环小数，在中学阶段常见的无理数包括三种情况：①含有根号，但开方开不出来；②含有π的式子；③人为构造的且有一定规律的数，且后面要加上省略号，如1.010010001?（后面每2个1之间多一个0）. 关键词：无理数

8. （2015贵州贵阳，1，3分）下列整数中，小于－3的整数是（） A. －4B. －2 C. 2 D.3

考点解剖：本题考查整数的比较大小.根据有理数大小的比较方法：―正数大于负数‖；―两个负数，绝对值大的反而而小‖，不难解答.

解题思路：用排除法.由―正数大于负数‖可排除选项C、D，由|－3|＞|－2|，得－3＜－2，∴选项B也不正确.故选A.

解答过程：∵|－4|＞|－3|，∴－4＜－3，故选A.

规律总结：有理数大小的比较：―正数大于负数‖；―两个负数，绝对值大的反而而小‖. 关键词：有理数比较大小

（2015贵州铜仁，1，4分）－2的相反数是（ ）

11

B． －错误！未找到引用源。 B． －2 22

考点解剖：本题考查相反数，正确理解相反数的概念是解题的关键． 解题思路：相反数是绝对值相同，符号不同的两个数．

A．

解答过程：解：－2的相反数是?(?2)?2；故选D．

B． 2

规律总结：根据相反数的概念，以及在数轴上的特征进行判断，在形式上看只有符号不同，在数轴上表现为位于原点的两侧，并且到原点的距离相等，另外，互为相反数的两个数的和为0． 关键词：相反数

10. （2015河南，1，3分）下列各数中，最小的是（ ）

（A）-2 (B)-0.1 (C)0 (D) -

考点解剖：本题考查的是绝对值和有理数的大小比较，该考点应注意的是比较两个负数的大小，关键点就在于负数绝对值的求法及理解和掌握比较有理数大小的方法.

解题思路：首先求出?1=1，这样4个数中有正、负数和零，由于要求最小的数所以只需要比 较出负数中最小的数就可以了，得最小的数是﹣2.

解答过程：解：∵?1=1，∴?＞0＞﹣0.1＞﹣2，∴最小的数是﹣2.故选A

规律总结：绝对值的求法：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反 数；有理数比较大小的方法：正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反 而小.

关键词：有理数 有理数的相关概念 绝对值 有理数的比较大小 11. （2015湖北黄冈，1，3分）下列实数中是无理数的是（ ）

A．4

B．

C．?

D．2

考点解剖：本题考查了无理数的概念.根据概念求解是解决问题的根本.

解题思路：∵4＝2，4是有理数；∵8＝2＝2，8是有理数；∵π0＝1，?是有理数；∵2中，被开方2为无理数.

解答过程：解：∵4＝2，∴A是有理数；∵8＝2＝2，∴B是有理数；∵π0＝1，∴C2中，被开方数开方开不尽，∴D为无理数，故选D． 规律总结：常见的几种无理数①与π有关的，如

3

3

3

3

?

，??3等；②根号型：2，等开方开不尽得数；③无2

限不循环小数：如1.121121112…；④三角函数：如tan30°等. 关键词：无理数

12. （2015湖南长沙，1，3分）+3相反数是（ ） A．

1 3

B．-3C． -

1 3

D．3

【答案】D

考点剖析：本题考察了相反数的概念，需要学生掌握相反数的概念才能够获得正确答案． 解题思路：根据相反数的概念求解.

解答过程：由互为相反数的概念：数字相同，符号相反可求解.∴－3的相反数是3.所以本题选项为D． 规律总结：（1）a的相反数是－a，当a≠0时，a≠－a；当a=0时，a=－a；

(2)若a与b互为相反数，则a＋b=0；

(3) a和它的相反数在数轴上对应的点，与原点的距离相等.

关键词：相反数

13. （2015湖南常德，9，3分）若a与5互为倒数，则a＝ （）A．

11 B．5 C．－5D． - 55

考点解剖：本题考查了倒数的求法，做题时注意与求绝对值、相反数区分． 解题思路：若a与b互为倒数，则ab＝1． 解答过程：解：a与5互为倒数，而5的倒数是故选A．

规律总结：求一个整数的倒数，直接写成这个数分之一即可．求一个分数的倒数，就是把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；求一个小数的倒数，可以先把这个小数化成分数，再求其倒数；求一个带分数的倒数，先化为假分数再求其倒数．特别注意0没有倒数，但0有相反数． 关键词： 有理数 倒数

14. (2015湖南衡阳，1，3分)－3的绝对值是( ) A．

11，所以a＝． 55

11

B．－3 C．3 D．? 33

考点解剖：本题考查绝对值的概念，关键在于理解绝对值的意义．

解题思路：根据绝对值的意义，求一个负数的绝对值就是求这个负数的相反数。所以-3的绝对值是3． 解答过程：因为-3的相反数是3，所以-3的绝对值是3，故选C．

规律总结：正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数． 关键词：绝对值

15. （2015湖南娄底，1，3分）2012的倒数是() A．

11

B. ?C. 2012 D. ?2012 20122012

考点解剖：本题考查了倒数的概念，关键是弄清有关数的概念，不要混淆. 解题思路：互为倒数的积为1. 借助2012与解答过程：解：2012的倒数是

1

的积为1求解倒数 2012

1

． 故选择A. 2012

规律总结：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数. 关键词：倒数

湖南益阳，1，4分)-2的绝对值等于( )

11

D．? 22

考点解剖：本题考查有理数的绝对值，掌握绝对值的意义是关键. 解题思路：根据负数的绝对值是它的相反数可得解. 解答过程：解：|-2|=2．故选A．

规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 关键词：绝对值

17. （2015湖南株洲，1，3分）?9的相反数是（ ）

A．2

B．-2

C．

A．9

B．?9

C．

1 9

D．?

1 9

考点解剖：本题主要考查相反数的概念，注意只有符号不同的两个数是互为相反数，不要错误地理解为符号不同的两个数是互为相反数．

解题思路：根据相反数的概念，只有符号不同的两个数称互为相反数．所以–9的相反是9．

解答过程：–9的相反数是9，故选A

规律总结：掌握概念是解此类题的关键．相反数、绝对值、数轴等概念是中考的重点 关键词：相反数

18. （2015江苏淮安，1，3分）

1

的相反数是 （ ） 2

11

A．－ B． C．－2D．2

22

1

前面加上“-”就是它的相反数. 2

考点解剖：本题考查了有理数的相反数概念.掌握相反数的意义是解题的关键. 解题思路：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，因此只要在解答过程：解：

11

的相反数是-．故选A．22

1

=2

规律总结：求一个数的相反数，只要改变它的符号，其他部分都不变．要注意，切勿用连等号连接相反数，如－

1

，这是错误的． 2

关键词：相反数．

2015江苏连云港，1，3分）－3的绝对值是（ ）

A.3 B.－3 C.

11 D.? 33

考点解剖：本题考查有理数的绝对值，掌握绝对值的相关知识是正确解题的关键. 解题思路：根据a＜0时，?a＝－a的原理可求出－3绝对值的大小. 解答过程：∵－3＜0，∴?3＝－(－3)＝3，答案选A.

?a(a?0)

?

规律总结：化简一个数（式）的绝对值，先要判断数（式）的正负，再根据a??0(a?0)的原理得出.

??a(a?0)?

关键词：绝对值.

20. （2015江苏宿迁，1，3分）－8的绝对值是（ ） A．8B．

11

C．－D．－8 88

考点解剖：本题主要考查有理数的概念，考查的知识点较为单一，系容易题． 解题思路：根据绝对值的定义，负数的绝对值等于它的相反数，即可求解．

规律总结：正数的绝对值是它的本身；0的绝对值是0；负数的绝对值等于它的相反数． 关键词：有理数的概念 绝对值

21. （2015江西南昌，1，3分）－1的绝对值是（ ）A．1 B．0 C．－1 D．±1

考点解剖：有理数的绝对值的求法，任何一个有理数的绝对值都是非负数． 解题思路：负数的绝对值等于它的相反数． 解答过程：∵－1＜0，∴－1的绝对值是它的相反数1．即|－1|=1．故选A．

规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 关键词：有理数的有关概念，绝对值

篇三：6、实数的概念及性质-培优

6、实数的概念及性质

数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．

从有理数(rational number)到无理数(irrational number)，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数(real number)与数轴上的点就建立了一一对应的关系．

由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础． ．

有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：

1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数姜的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数姜的形式，这里，P、q是互质的整数，且p≠0．

、

2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．

【例l】若 a 、b满足3a?5|b|?7,则S?2a?3|b|的取值范围是

(全国初中数学联赛试题)

思路点拨运用a、|b|的非负性，建立关于S的不等式组．

【例2】[z]表示不大于z的最大整数，如[3．15] = 3，[-2．7]=--3，[4]=4；

[?2]?[2?3]???[?003?2004]则?().

1002

A．1001 B．2003 C．2004D．1002

(第15届“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨从估算?n(n?1)人手．

【例3】已知a、b是有理数，且(?

133119)a?(?)b?2?1?0,求a、b的值．4420

思路点拨把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关

a、b的方程组．

【例4】(1)已知a、b为有理数，x，y分别表示5?7的整数部分和小数部分，且满足axy?by?1, 求a+b的值．

(南昌市竞赛题) (2)设x为一实数，[X]表示不大于x的最大整数，求满足[一77．66x]=[一77．66]x+1的整数x的值．

(江苏省竞赛题)

1

2

思路点拨(1)运用估算的方法，先确定x．y的值，再代入axy+ by=1中求出a、b的值；(2)运用[x]的性质，简化方程．

【例5】 已知在等式

ax?b

?s中，a、b、C、d都是有理数，x是无理数，解答：

cx?d

(1)当a、b、C、d满足什么条件时，S是有理数； (2)当a、b、C、d满足什么条件时，s是无理数．

(第13届“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 (1)把s用只含a、b、C、d的代数式表示；(2)从以下基本性质思考：设a是有理数，r是无理数，那么①a+r是无理数；②若a≠0，则ar也是无理数；③r的倒数土也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a、b

、c

、d取值进行详细讨论．

1．已知x 、y是实数，x?4??y2?6y?9?0,若axy一3x=y，则2．一个数的平方根是a 2+b2和4a一6b+13，那么这个数是．

3．一个自然数的算术平方根为a(a>1)，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为 ．

.??111?由4．请你观察思考下列计算过程：?112?121,??11;同样：?111?12321

此猜想：7654321?

(济南市中考题)

5．如图，数轴上表示12的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是( )．

2

A.2?1 B.1?2C.2?2 D2?2

6．已知x是实数，则x????x?

x?1

?

的值是( )．

A.1?

1

?

B.1?

1

?

C.

1

?

?1 D．无法确定的

(第14届“希望杯”邀请赛试题)

7．已知|a|?5,2?3,且ab>0，则a+b的值为( )．

A．8 B．--2 C．8或一8 D．2或一2 ．

(2005年镇江市中考题) 8．若实数a、b满足(a?b?2)2??2a?3?0,求2b+a一l的值．

(山西省中考题)

9．细心观察图形。认真分析各式，然后解答问题．

()2?1?2,S1?

; 2

2; 3

(3)2?1?4,S3?;

(2)2?1?3,s2?

?

(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA10的长；

2 222

(3)求出S1+S2+S3

+?+S10的值．

(烟台市中考题)

10．已知函数y?

?3x?1?22,则x的取值范围是 ；若x是整数，则此函数的最小值

是 ．

(2005年厦门市中考题) 11．设x、y都是有理数，且满足方程(?

12

?

1?

)x?(?)y?4???0,那么x—y的值是 332

(第13届“希望杯”邀请赛试题)

12．设a是一个无理数，且a、b满足ab +-a--b=1，则b=．

(四川省竞赛题)

13．已知正数a、b有下列命题：

①若a=1，b=1，则ab?1; ②若a?③若a=2，b=3，则ab?

153,b?,则ab?; 222

5

; ④若a=1，b=5，则ab?3. 2

根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a=6，b=7，则ab≤ ．

(黄冈市竞赛题) 14．已知：

11

?|a|?1,那么代数式?|a|的值为( )． aa55A. B.? C.?D

(重庆市竞赛题)

15．关于x的方程|1?|x||?x|?2?x的根的个数为( )．

A．0B．1 C．3D.4

(2005年“CASl0杯”武汉市选拔赛试题)

16．设a<b<0，a+6=4ab，则

2

2

a?b

的值为( )． a?b

3

A. B.

6 C．2 D．3

(全国初中数学竞赛题)

17．若a、b、c为两两不等的有理数，求证：

111

为有理数． ??222

(a?b)(b?c)(c?a)

??11?22?2. 18．计算:?????

2n个1

n

个1

(2004年广西竞赛题)

19．设y?

ax?b

,a、b、c、d都是有理数，x是无理数．求证：

cx?d

(1)当bc=ad时，y是有理数； (2)当bc-≠：ad

时，y

是无理数．

答案：

4

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nw1b.html