四川省各市2012年中考数学分类解析专题6：函数的图像与性质

四川各市2012年中考数学试题分类解析汇编

专题6：函数的图像与性质

一、选择题

1. （2012四川乐山3分）若实数a、b、c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=ax+c的图象可能是【 】

A．【答案】A。

B． C． D．

【考点】一次函数图象与系数的关系。

【分析】∵a+b+c=0，且a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定也无需确定）。

a＜0，则函数y=ax+c图象经过第二四象限，c＞0，则函数y=ax+c的图象与y轴正

半轴相交，

观察各选项，只有A选项符合。故选A。

2. （2012四川乐山3分）二次函数y=ax+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是【 】

A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．﹣1＜t＜1 【答案】B。

【考点】二次函数图象与系数的关系。

【分析】∵二次函数y=ax+bx+1的顶点在第一象限，且经过点（﹣1，0），

∴a﹣b+1=0，a＜0，b＞0，

∵由a=b﹣1＜0得b＜1，∴0＜b＜1①， ∵由b=a+1＞0得a＞﹣1，∴﹣1＜a＜0②。

∴由①②得：﹣1＜a+b＜1。∴0＜a+b+1＜2，即0＜t＜2。故选B。

3. （2012四川宜宾3分）给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：

①直线y=0是抛物线y=

2

2

12

x的切线 4- 1 -

12

x 相切于点（﹣2，1） 412

③直线y=x+b与抛物线y=x相切，则相切于点（2，1）

412

④若直线y=kx﹣2与抛物线y=x 相切，则实数k=2

4②直线x=﹣2与抛物线y=其中正确的命题是【 】 A． ①②④

B． ①③

C． ②③

D． ①③④

4. （2012四川内江3分）已知反比例函数y?k的图像经过点（1，－2），则k的值为【 】 xA.2 B.?【答案】D。

1 C.1 D.－2 2【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，得?2?k?k??2，故选D。 1

- 2 -

5. （2012四川达州3分）一次函数y1?kx?b(k?0)与反比例函数y2?直角坐标系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是【 】

m(m?0)，在同一x

A、－2＜x＜0或x＞1 B、x＜－2或0＜x＜1 C、x＞1 D、－2＜x＜1 【答案】A。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。

【分析】由函数图象可知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2?2，－2），

由函数图象可知，当－2＜x＜0或x＞1时，y1在y2的上方， ∴当y1＞y2时，x的取值范围是－2＜x＜0或x＞1。故选A。

6. （2012四川广元3分） 若二次函数y?ax2?bx?a2?2（a，b为常数）的图象如图，

则a的值为 【 】

m的交点坐标为（1，4），（－x

A. 1 B. 【答案】C。

【考点】二次函数图象上点的坐标特征

【分析】由图可知，函数图象开口向下，∴a＜0，

又∵函数图象经过坐标原点（0，0），∴a2－2=0，解得a1=

2 C. ?2 D. -2

2（舍去），a2=－2。- 3 -

故选C。

7. （2012四川广元3分） 已知关于x的方程(x?1)2?(x?b)2?2有唯一实数解，且反比

例函数

y?1?b的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】 x3122A. y?? B. y? C. y? D. y??

xxxx【答案】D。

【考点】一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质。

【分析】关于x的方程(x?1)2?(x?b)2?2化成一般形式是：2x2＋（2－2b）x＋（b2－1）

=0，

∵它有唯一实数解，

∴△=（2－2b）2－8（b2－1）=－4（b＋3）（b－1）=0，解得：b=－3或1。 ∵反比例函数y?1?b 的图象在每个象限内y随x的增大而增大， x1?32，即y??。故选D。 xx∴1+b＜0。∴b＜－1。∴b=－3。 ∴反比例函数的解析式是y?8. （2012四川德阳3分）在同一平面直角坐标系内，将函数y?2x2?4x?1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是【 】

A.（?1，1） B.（1，?2） C.（2，?2） D.（1，?1） 【答案】B。

【考点】二次函数图象与平移变换。

【分析】由原抛物线的顶点坐标，根据横坐标与纵坐标“左加右减”可得到平移后的顶点坐标：

∵y=2x+4x+1=2（x+2x）+1=2[（x+1）﹣1]+1=2（x+1）﹣1， ∴原抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）。

∵将函数y?2x2?4x?1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下

平移1个单位长度，其顶点坐标也作同样的平移，

∴平移后图象的顶点坐标是（﹣1＋2，﹣1－1），即（1，﹣2）。故选B。

9. （2012四川德阳3分）设二次函数y?x2?bx?c，当x?1时，总有y?0，当1?x?3- 4 -

2

2

2

2

时，总有y?0，

那么c的取值范围是【 】

A.c?3 B.c?3 C.1?c?3 D.c?3 【答案】B。

【考点】二次函数的性质。

【分析】∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，

∴当x=1时，y=0，即1+b+c=0①。 ∵当1≤x≤3时，总有y≤0， ∴当x=3时，y=9+3b+c≤0②。 ①②联立解得：c≥3。故选B。

10. （2012四川绵阳3分）在同一直角坐标系中，正比例函数y=2x的图象与反比例函数

y=4-2k的图象没有交点，则实数k的取值范围在数轴上表示为【 】。 x

【答案】C。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】∵正比例函数y=2x的图象经过一、三象限，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=4-2k的图象没有交点， x∴反比例函数图象位于二、四象限。∴4-2k＜0，解得k＞2。 k＞2在数轴上表示为，

。故选C。

11. （2012四川巴中3分） 对于二次函数y?2(x?1)(x?3)，下列说法正确的是【 】

A. 图象的开口向下 B. 当x>1时，y随x的增大而减小 C. 当x<1时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x=－1 【答案】C。

【考点】二次函数的性质。

【分析】把二次函数化为顶点式的形式，根据二次函数的性质进行解答：

二次函数y?2(x?1)(x?3)?2x2?4x?6?2(x?1)2?8，

- 5 -

A、∵此二次函数中a=2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误；

B、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＞1时，y随x的增 大而增大，故本选项错误；

C、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＜1时，y随x的增 大而减小，故本选项正确；

D、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x=1，故本选项错误。

故选C。

12. （2012四川资阳3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式

ax2+bx+c<0的解集是【 】

A．?15 C．x5 D．?15 【答案】D。

【考点】二次函数与不等式（组），二次函数的性质。

【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出

ax2+bx+c<0的解集：

由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）。 由图象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集， ∴x＜－1或x＞5。故选D。

13. （2012四川自贡3分）若反比例函数y?么【 】

1的图像上有两点P1(1, y1)和P2(2, y2)，那x- 6 -

A．y2?y1?0 D．y1?y2?0 【答案】D。

B．y1?y2?0 C．y2?y1?0【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】把点P1（1，y1）代入反比例函数y?数y?1得，y1=1；把点P2（2，y2）代入反比例函x11得，y2=。 x21∵1＞＞0，∴y1＞y2＞0。故选D。

2k (kx14. （2012四川泸州2分）如图，矩形ABCD中，C是AB的中点，反比例函数y?＞0)在第一象限的图象经过A、C两点，若△OAB面积为6，则k的值为【 】

A、2 【答案】B。

【考点】反比例函数系数k的几何意义，三角形中位线定理。

【分析】如图，分别过点A、点C作OB的垂线，垂足分别为点M、点N，

∵点C为AB的中点，∴CE为△AMB的中位线。 ∴MN=NB=a，CN=b，AM=2b。 又∵OM?AM=ON?CN，∴OM=a。 ∴△OAB面积=3a?2b÷2=3ab=6。 ∴ab=2。∴k=a?2b=2ab=4。故选B。

15. （2012四川南充3分）下列函数中是正比例函数的是【 】

（ A ）y=-8x （B）y=【答案】A。

【考点】正比例函数的特征。

【分析】根据正比例函数的特征，形如y=kx（k为不为0的常数）的函数是正比例函数，

- 7 -

B、4 C、8 D、16

?8 （ C ）y=5x2+6 （D）y= -0.5x-1 x

因此y=-8x是正比例函数。故选A。 二、填空题

1. （2012四川成都4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交

k (k为常数，且k>0)在第一象限的图象交于点E，F．过点xBE1E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若= (m为

BFm于点A，B，与反比例函数y=大于l的常数)．记△CEF的面积为SS1，△OEF的面积为S2，则1S = ▲ ．2的代数式表示)

- 8 - (用含m

2. （2012四川宜宾3分）如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数y2=A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是 ▲ ．

k的图象交于x

【答案】x＜0或1＜x＜4。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。

【分析】根据图形，由一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数y2=k的图象交于A（1，4）、xB（4，1）两点，得当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2。 3. （2012四川内江6分）已知反比例函数y?1的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应x在反比例图象上的点分别为M1，M2，M3…，Mn，则S?PM?S?P2M2M3???S?Pn?1Mn?1Mn= 11 M2- 9 -

▲

【答案】

n?1。 2n【考点】反比例函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系。 【分析】如图，延长MnPn-1交M1P1于N，

∵当x=1时，y=1，∴M1的坐标为（1，1）； ∵当x=n时，y=∴

11，∴Mn的坐标为（n，）。 nn111S?PM?S???S?PM?PM?MP?PM???Mn?1Pn?1?Pn?1Mn ?P2M2M3?Pn?1Mn?1Mn1112222311 M22221111n?1?（M1P1?M2P2???Mn?1Pn?1）?M1N?（1?）?222n2n。

4. （2012四川凉山4分）如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM的面积为1，则反比例函数的解析式为 ▲ 。

【答案】y??2。 x【考点】反比例函数系数k的几何意义.

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=

11|k|，又反比例函数的图象在二、四象限，∴k＜0。则由1=|k|222。 x得k=－2。所以这个反比例函数的解析式是y??三、解答题

- 10 -

1. （2012四川成都8分）如图，一次函数y=－2x+b（b为常数）的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为(?1，4)． （1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式； （2）求点B的坐标．

kx

【答案】解：（1）∵两函数图象相交于点A（﹣1，4），

k，解得b=2，k=﹣4， ?14∴反比例函数的表达式为y=?，一次函数的表达式为y=﹣2x+2。

x∴﹣2×（﹣1）+b=4，y=4??x1=2?x=?1?y=?（2）联立?，解得?（舍去）。 ， ?2xy??2y?4?1?2??y??2x?2∴点B的坐标为（2，﹣2）。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）分别把点A的坐标代入一次函数与反比例函数解析式求解即可。

（2）联立两函数解析式，解方程组即可得到点B的坐标。

2. （2012四川成都8分） “城市发展 交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力．研究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度V(单位：千米／时)是车流密度x (单位：辆／千米)的函数，且当0< x≤28时，V=80；当28< x≤188时，V是x的一次函数. 函数关系如图所示. （1）求当28< x≤188时，V关于x的函数表达式；

（2）若车流速度V不低于50千米／时，求当车流密度x为多少时，车流量P(单位：辆／时)达到最大，并求出这一最大值．

- 11 -

(注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度)

3. （2012四川成都10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE；

（2）若KG=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若sinE=

23，AK=25，求FG的长． 5- 12 -

【答案】解：（1）证明：如答图1，连接OG。

∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°。 ∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°。 又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG。 ∴∠KGE=∠AKH=∠GKE。∴KE=GE。 （2）AC∥EF，理由如下：

连接GD，如答图2所示。 ∵KG=KD?GE，∴

2

KGKD。 ?GEKG又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK。 ∴∠E=∠AGD。

又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C。∴AC∥EF。 （3）连接OG，OC，如答图3所示。 由（2）∠E=∠ACH，∴sinE=sin∠ACH=

∴可设AH=3t，则AC=5t，CH=4t。

∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t。∴HK=CK﹣CH=t。 在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH+HK=AK，即（3t）

2

2

2

2

3。 5+t=（25），解得t=2。

设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t， 由勾股定理得：OH+CH=OC，即（r﹣3t）+（4t）=r，解得r=∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形。 在Rt△OGF中，OG=r=2

2

2

2

2

2

22

2525t= 2。66CH4252，tan∠OFG=tan∠CAH=?，

AH36- 13 -

252OG25?6?2。 ∴FG=

4tan?OFG83【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，锐角三角函数定义。

【分析】（1）如答图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出连接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE。

（2）AC与EF平行，理由为：如答图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及

KG2=KD?GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF。

（3）如答图3所示，连接OG，OC．首先求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定

理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度。

4. （2012四川乐山10分）如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y=0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2． （1）求k的值；

（2）点N（a，1）是反比例函数y=k（x＞xk（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得xPM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2。

∵tan∠AHO=2，∴OH=1。

∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为1。 ∵点M在直线y=2x+2上，

∴点M的纵坐标为4．即M（1，4）。

- 14 -

∵点M在y=（2）存在。

k上，∴k=1×4=4。 x4（x＞0）上， x∵点N（a，1）在反比例函数y=∴a=4．即点N的坐标为（4，1）。

过点N作N关于x轴的对称点N1，连接MN1，交x轴于P（如图所示）。 此时PM+PN最小。

∵N与N1关于x轴的对称，N点坐标为（4，1），∴N1的坐标为（4，﹣

1）。

设直线MN1的解析式为y=kx+b。

5?k=???k+b=4?3由?解得?。

4k+b=?17??b=??3∴直线MN1的解析式为y=?x+5317。 317． 517∴P点坐标为（，0）。

5令y=0，得x=

【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系。

【分析】（1）根据直线解析式求A点坐标，得OA的长度；根据三角函数定义可求OH的长度，得点M的横坐标；根据点M在直线上可求点M的坐标．从而可求K的值；

（2）根据反比例函数解析式可求N点坐标；作点N关于x轴的对称点N1，连接

MN1与x轴的交点就是满足条件的P点位置：

根据轴对称的性质，线段中垂线的性质和三角形三边关系，对x轴上任一点

P1，总有

P1M＋P1N＞MN1=PM＋PN。

5. （2012四川攀枝花8分）煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划．某煤矿现有1000吨煤炭要全部运往A．B两厂，通过了解获得A．B两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/t?km”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用）：

- 15 -

厂别 运费（元/t?km） 路程（km） 需求量（t） A B 0.45 200 不超过600 不超过800 a（a为常数） 150 （1）写出总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含a的代数式表示）

【答案】解：（1）总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式为y=（90﹣150a）x+150000a，

其中200≤x≤600。

（2）当0＜a＜0.6时，90﹣150a＞0，一次函数单调递增。

∴当x=200时，y最小=（90﹣150a）×200+150000a=120000a+18000。 此时，1000﹣x=1000﹣200=800。

当a=0.6时，y=90000，此时，不论如何，总运费是一样的。 当a＞0.6时，90﹣150a＜0，一次函数单调递减。 又∵运往A厂总吨数不超过600吨，

∴当x=600时，y最小=（90﹣150a）×600+150000a=60000a+54000。 此时，1000﹣x=1000﹣600=400。

答：当0＜a＜0.6时，运往A厂200吨，B厂800吨时，总运费最低，最低

运费120000a+18000元；当a＞0.6时，运往A厂600吨，B厂400吨时，总运费最低，最低运费60000a+54000。

【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。

【分析】（1）根据总费用=运往A厂的费用+运往B厂的费用．经化简后可得出y与x的函数关系式，根据图表中给出的判定吨数的条件，算出自变量的取值范围：

若运往A厂x吨，则运往B厂为（1000﹣x）吨。

依题意得：y=200×0.45x+150×a×（1000﹣x）=90x﹣150ax+150000a，=（90﹣

150a）x+150000a。

?x?600依题意得：?，解得：200≤x≤600。

1000?x?800?- 16 -

∴函数关系式为y=（90﹣150a）x+150000a（200≤x≤600）。。

（2）分0＜a＜0.6 ，a=0.6，a＞0.6三种情况，根据函数的性质来求出所求的方案。

6. （2012四川宜宾8分）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3）、B（﹣4，0）．

（1）求经过点C的反比例函数的解析式；

（2）设P是（1）中所求函数图象上一点，以P、O、A顶点的三角形的面积与△COD的面积相等．求点P的坐标．

【答案】解：（1）由题意知，OA=3，OB=4，∴在Rt△AOB中， AB=OA2+OB2?32+42?5。

∵四边形ABCD为菱形，∴AD=BC=AB=5。∴C（﹣4，﹣5）。 设经过点C的反比例函数的解析式为y=∴所求的反比例函数的解析式为y=（2）设P（x，y）

kk，∴?5=，解得k=20。

?4x20。 x1?2?4=4。 21188∴S?OAP??OA?x=4，即?3?x=4，解得x=，x=?。

2233151588当x=时，y=，当x=﹣时，y=﹣。

2233815815∴P（，。 ）或（?， ?）

3232∵AD=AB=5，∴OA=3。∴OD=2，S?COD?【考点】反比例函数综合题，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积。

【分析】（1）根据菱形的性质可得菱形的边长，从而可得点C的坐标，用待定系数法代入反比例函数解析式可得所求的解析式。

（2）求出△COD的面积，设出点P的坐标，利用点P的横坐标表示出△PAO的面

积，那么可求得点P的横坐标，就求得了点P的坐标。

- 17 -

7. （2012四川宜宾10分）如图，抛物线y=x﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上． （1）求抛物线顶点A的坐标；

（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C．D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；

（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A．B．D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

【答案】解：（1）∵抛物线y=x﹣2x+c的顶点A的横坐标为x=1，且顶点A在y=x﹣5上，

∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4。∴A（1，﹣4）。 （2）△ABD是直角三角形，理由如下：

将A（1，﹣4）代入y=x﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3。 ∴抛物线的解析式为y=x﹣2x﹣3。∴B（0，﹣3）。

当y=0时，x﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3，∴C（﹣1，0），D（3，0）。 ∵BD=OB+OD=18，AB=（4﹣3）+1=2，AD=（3﹣1）+4=20， ∴BD+AB=AD。∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形。 （3）存在。

由题意知：直线y=x﹣5交x轴于点E（5，0），交y轴于点F（0，﹣5），

∴OE=OF=5。

又∵OB=OD=3。∴△OEF与△ODB都是等腰直角三角形。 ∴BD∥l，即PA∥BD。

则构成平行四边形只能是PADB（AP是边）或PABD（AP

是对角线），如图。

过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点M。 设P（x1，x1﹣5），则M（1，x1﹣5）。

- 18 -

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

则PM=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|，PA=BD=32。 由勾股定理得：（1﹣x1）+（1﹣x1）=18， 即x1﹣2x1﹣8=0，解得x1=﹣2，4。 ∴P（﹣2，﹣7），P（4，﹣1）。

∴存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A．B．D．P为顶点的四

边形是平行四边形。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，勾股定理和逆定理，平行四边形的判定和性质。 【分析】（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴方程，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标。

（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，从而可得到点B的坐标．则AB、AD、

BD三边的长可得，然后由边长根据勾股定理的逆定理确定三角形的形状。

（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、

②AD为对角线两种情况讨论，即①AD∥PB、②AB∥PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标。

8. （2012四川广安6分）如图，已知双曲线y=标是（2，﹣3），AC垂直y轴于点C，AC=（1）求双曲线和和直线的解析式． （2）求△AOB的面积．

2

2

2

k和直线y=mx+n交于点A和B，B点的坐x3． 2

【答案】解：（1）∵点B（2，﹣3）在双曲线上，∴?3=∴双曲线解析式为y=?∵AC=

k，解得k=﹣6。 26。 x633=4。 ，∴点A的横坐标是﹣，∴点A的横坐标y=?322?2- 19 -

∴点A的坐标是（﹣

3，4）。 2∵点A、B在直线y=mx+n上，

?3?m=?2??m+n=4∴?2，解得?。

n=1???2m+n=?3∴直线的解析式为y=﹣2x+1。 （2）如图，设直线与x轴的交点为D，

当x=0时，﹣2x+1=0，解得x=

（

1，∴点D的坐标为211，0）。∴OD=。 22∴S?AOB?S?AOD?S?BOD???4???3?1?1122112237?。 44【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。

【分析】（1）把点B的坐标代入双曲线解析式，利用待定系数法求函数解析式解答；根据AC=

3可得点A的横坐标，然后求出点A的坐标，再利用待定系数法求函数解析式求解直2线的解析式。

（2）设直线与x轴的交点为D，利用直线的解析式求出点D的坐标，从而得到OD

的长度，再根据S?AOB?S?AOD?S?BOD，列式计算即可得解。

9. （2012四川内江12分）如果方程x2?px?q?0的两个根是x1,x2，那么

x1?x2??p,x1.x2?q,请根据以上结论，解决下列问题：

（1）已知关于x的方程x?mx?n?0,(n?0),求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；

（2）已知a、b满足a?15a?5?0,b?15b?5?0,求

222ab?的值； ba（3）已知a、b、c满足a?b?c?0,abc?16求正数c的最小值。

【答案】解：（1）设关于x的方程x?mx?n?0,(n?0)的两根为x1,x2，则有：

2x1?x2??m,x1.x2?n，且由已知所求方程的两根为

11, x1x2

- 20 -

∴

11x1?x2?m1111，??????。

x1x2x1x2nx1x2x1x2n2∴所求方程为x??m1x??0，即nx2?mx?1?0(n?0)。 nn（2）∵a、b满足a2?15a?5?0,b2?15b?5?0，

∴a、b是方程x?15x?5?0的两根。∴a?b?15,ab??5 。

2aba2?b2?a?b??2ab?a?b?152∴?????2??2??47。 baababab?5（3）∵a?b?c?0,abc?16且c?0 ∴a?b??c,ab?∴a、b是一元二次方程x???c?x?22216。 c16?0?c?0?的两个根， c代简，得 cx?cx?16?0?c?0? 。

222又∵此方程必有实数根，∴此方程的??0，即c??2?4?c?16?0，

c?c3?43??0。

又∵c?0 ∴c?4?0。 ∴c?4。 ∴正数c的最小值为4。．

【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。 【分析】（1）设方程x?mx?n?0,(n?0)的两根为x1,x2，得出

23311?m，??x1x2n111??，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答x1x2n案。

（2）根据a、b满足a?15a?5?0,b?15b?5?0，得出a、b是一元二次方程

22abx2?15x?5?0的两个根，由a?b?15,ab??5，即可求出?的值。

ba16（3）根据a?b?c?0,abc?16，得出a?b??c,ab?，a、b是一元二次方程

ccx2?c2x?16?0的两个根，再根据??0，即可求出c的最小值。

10. （2012四川达州6分）大学生王强积极响应“自主创业”的号召，准备投资销售一种进价

- 21 -

为每件40元

的小家电.通过试营销发现，当销售单价在40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（件）

与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示. （1）求y与x的函数关系式.

（2）设王强每月获得的利润为p（元）,求p与x之间的函数关系式；如果王强想要每月

获得2400元的

利润，那么销售单价应定为多少元？

【答案】解：（1）设y与x的函数关系式为 ：y?kx?b(k?0)由题意得

?50k?b?160?k??4，解得。 ??65k?b?100b?360??（40?x?90）∴y与x的函数关系式为y??4x?360。

 （2）由题意得，p与x的函数关系式为：

 p?(x?40)(?4x?360)=?4x2?520x?14400。

 当P=2400时，?4x2?520x?14400?2400解得x1?60，x2?70。

∴销售单价应定为60元或70元。

【考点】一次函数和二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）利用图象上的点的坐标，由待定系数法求一次函数解析式即可得出答案。

（2）根据由题意得，p与x的函数关系式为：p=（x－40）（－4x+360），再由p=2400，

求出x的值即可。

11. （2012四川达州8分）问题背景

若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为x，面积

- 22 -

为s，则s与x的函数关系式为： s??x2?x?x>0?，利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值. 提出新问题

若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？ 分析问题

若设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为：y?2(x?)?x>0?，问题就转化为研究该函数的最大（小）值了. 解决问题

借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数y?2(x?)?x>0?的最大（小）值. （1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数y?2(x?)?x>0?的图象：

x ··· 121x1x1x1 4 1 3 1 2 1 2 3 4 ··· y

（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当x= 时，函数y?2(x?)?x>0?有最 值（填

“大”或“小”），是 . （3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数s??x2?x?x>0?的最大值，请你尝试通过配方求函数y?2(x?)?x>0?的最大（小）值，以证明你的猜想. 〔提示：

1x121x- 23 -

当x>0时，x?(x)2〕 【答案】解：（1）填表如下：

x ··· 1 418 21 326 31 25 1 2 3 4 ··· y ··· 4 5 26 318 2···

（2）1，小，4。



（

3

）

证

明

：

???1?11222∵y?2?(x)??2(x)?2??22(x?)?4， ???22(x)(x)x???? ∴当x?是4。

【考点】二次函数的最值，配方法的应用。

【分析】（1）分别把表中x的值代入所得函数关系式求出y的对应值填入表中，并画出函数图象即可。

（2）根据（1）中函数图象的顶点坐标直接得出结论即可。

（3）利用配方法把原式化为平方的形式，再求出其最值即可。

12. （2012四川德阳10分）已知一次函数y1?x?m的图象与反比例函数y2?于A、B两点，.已知当x?1时，y1?y2；当0?x?1时，y1?y2.

⑴求一次函数的解析式；

⑵已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积.

1?0时，y的最小值是4，即x =1时，y的最小值x6的图象交x- 24 -

【答案】解：（1）∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，∴点A的横坐标为1。

将x=1代入反比例函数解析式，y==6，∴点A的坐标为（1，6）。 又∵点A在一次函数图象上，∴1+m=6，解得m=5。 ∴一次函数的解析式为y1=x+5。

（2）∵第一象限内点C到y轴的距离为3，∴点C的横坐标为3。

∴y==2。 ∴点C的坐标为（3，2）。

过点C作CD∥x轴交直线AB于D，则点D的纵坐标为2 ∴x+5=2，解得x=﹣3。∴点D的坐标为（﹣3，2）。 ∴CD=3﹣（﹣3）=3+3=6。 点A到CD的距离为6﹣2=4。

6163?y=x+5?x1=1?x2=?1?联立?6，解得?（舍去），?。∴点B的坐标为（﹣6，

y=?y1=6?y2=?6??x﹣1）。

∴点B到CD的距离为2﹣（﹣1）=2+1=3。 ∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=

11×6×4+×6×3=12+9=21。 22【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）首先根据x＞1时，y1＞y2，0＜x＜1时，y1＜y2确定点A的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点A的纵坐标，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答。

（2）根据点C到y轴的距离判断出点C的横坐标，代入反比例函数解析式求出纵

坐标，从而得到点C的坐标，过点C作CD∥x轴交直线AB于D，求出点D的坐标，然后

- 25 -

得到CD的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点B的坐标，根据△ABC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解。

13. （2012四川绵阳12分）某种子商店销售“黄金一号”玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择。

方案一：每克种子价格为4元，无论购买多少均不打折；

方案二：购买3千克以内（含3千克）的价格为每千克5元，若一次性购买超过3千克的，则超过3千克的部分的，则超过3千克的部分的种子价格打7折。

（1）请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量x（千克）和付款金额．y（元）之间的函数关系式；

（2）若你去购买一定量的种子，你会怎样选择方案？说明理由。 【答案】解：（1）方案一的函数是：y=4x，

??5x ?0?x?3? . 方案二的函数是：y??15?3.5x?3 x>3??????（2）当0≤x≤3时，∵4x≤5x，∴选择方案一。

当x＞3时，由4x＞15+3.5（x-3），解得：x＞9； 由4x=15+3.5（x-3），解得：x=9； 由4x＜15+3.5（x-3），解得：x＜9。

∴当x＜9时，选择方案一；当x=9时，选择两种方案都可以；当x＞9

时，选择方案二。 【考点】一次函数的应用。

【分析】（1）根据付款金额=数量×单价，即可表示出方案一。在方案二中，当0≤x≤3时的函数关系式由付款金额=数量×单价可得；当x＞3时，由金额=3千克内的金额+超过3千克部分的金额，即可写出函数解析式。

（2）当0≤x≤3时，选择方案一；

当x＞3时，比较4x与15+3.5（x-3）的大小关系，即可确定x的范围，从而

进行判断。

14. （2012四川绵阳14分）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+

1x +c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（-3，0），6M（0，-1）。已知AM=BC。

- 26 -

（1）求二次函数的解析式；

（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；

（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N。

①若直线l⊥BD，如图1所示，试求

11?的值； BPBQ②若l为满足条件的任意直线。如图2所示，①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。

【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+

1x +c的图象经过点B（-3，0），M（0，-1）， 611???9a????3??c?0 ?a?∴ ? ，解得?66。

???c??1?c??1121x?x?1。 661111（2）证明：在y?x2?x?1中，令y=0，得x2?x?1?0，解得x1=

6666∴二次函数的解析式为：y?－3，x2=2。

∴C（2，0），∴BC=5。

令x=0，得y=-1，∴M（0，－1），OM=1。 又AM=BC，∴OA=AM－OM=4。∴A（0，4）。 设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，

- 27 -

则yD?x2?x?1=OA=4，解得x1=5，x2=－6（位于第二象限，

舍去）。

∴D点坐标为（5，4）。∴AD=BC=5。

又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，即在抛物线F上

存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。

设直线BD解析式为：y=kx+b，∵B（－3，0），D（5，4），

16161?k????3k?b?0 ?2。

∴ ?，解得：??5k?b?4?b?3?2?13∴直线BD解析式为：y? x?。

22（3）在Rt△AOB中，AB?OA2?OB2?5，

又AD=BC=5，∴?ABCD是菱形。 ①若直线l⊥BD，如图1所示，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD。∴AC∥直线l。∴

BABCBN1???。 BPBQBD2∵BA=BC=5，∴BP=BQ=10。 ∴

11111????。 BPBQ10105②若l为满足条件的任意直线，如图2所示，此时①中的结论依

然成立，理由如下：

∵AD∥BC，CD∥AB，∴△PAD∽△DCQ。∴∴AP?CQ=AD?CD=5×5=25。 ∴

APAD?。 CDCQ1111115?CQ?5?AP?????? BPBQ AB?APBC?CQ 5?AP5?CQ?5?AP??5?CQ??。

10?AP?CQ10?AP?CQ10?AP?CQ1???25+5?AP?CQ?+AP?CQ25+5?AP?CQ?+2550+5?AP?CQ?5- 28 -

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形、菱形的判定和性质，平行线间的比例线段关系，相似三角形的判定和性质，分式化简。 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式。

（2）首先求出D点的坐标，可得AD=BC且AD∥BC，所以四边形ABCD是平行

四边形；再根据B、D点的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式。

（3）本问的关键是判定平行四边形ABCD是菱形。

①推出AC∥直线l，从而根据平行线间的比例线段关系，求出BP、CQ的长

度，计算出

111??。 BPBQ5②判定△PAD∽△DCQ，得到AP?CQ=25，利用这个关系式对

11?进行BPBQ分式的化简求值，结论为

111?? 不变。 BPBQ515. （2012四川巴中9分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出

200件。如果每

件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。设每件商品的售

价上涨x元（x

为整数），每个月的销售利润为y元，

（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？

- 29 -

16. （2012四川巴中10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1?k1x?1的图象与y轴交于点A，

与x轴交于点B，与反比例函数y2?点M的纵坐 标为2，

（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出y1?y2时x的取值范围。

k2的图象分别交于点M，N，已知△AOB的面积为1，x

【答案】解：（1）∵一次函数y1?k1x?1的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，

- 30 -

∴A（0，1），B（?1。 ，0）

k1∵△AOB的面积为1，∴

1111×OB×OA=1，即???1=1。∴k1??。

2k122∴一次函数的解析式为y1= ?x+1。

∵点M在直线y1上，∴当y=2时，?x+1=2，解得x=－2。∴M的坐标

为（－2，2）

又∵点M在反比例函数的图象上，∴k2=－2×2=－4， ∴反比例函数的解析式为y2?? 。 （2）当y1＞y2时，x＜－2或0＜x＜4。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）先由一次函数的解析式求出点A与点B的坐标，再根据△AOB的面积为1，

可得到k1的值，

从而求出一次函数的解析式；得到点M的坐标，然后运用待定系数法即可求出反比例函数

的解析式。

（2）y1＞y2即一次函数值大于反比例函数值，只需观察一次函数的图象落在反比例函数的图象的

上方时自变量的取值范围即可，为此，先求出它们的交点坐标，再根据函数图象，可知在在点M的左边以及原点和点N之间的区间，y1＞y2：

12124x1? y?? x?1 ?x?4 x??2 ? ? ?2解方程组?得?或? ，

y??14 y?2???y?? ?x?∴当y1＞y2时，x＜－2或0＜x＜4。

17. （2012四川资阳9分）抛物线y=x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（－2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．

（1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；

（2）(3分)设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝

- 31 -

14

NB；

（3）(3分)若射线NM交x轴于点P，且PA×PB＝

100，求点M的坐标． 9【答案】解：（1）∵y=x2+x+m=141?x+2?2+?m?1?，∴顶点坐标为(－2 , m?1)。 4

∵顶点在直线y=x+3上，∴－2+3=m?1，解得m=2。 （2）∵点N在抛物线上，且点N的横坐标为a，

∴点N的纵坐标为a2+a+2，即点N(a,a2+a+2)。 过点F作FC⊥NB于点C，

在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB－CB=a2+a,

22∴NF2?NC2?FC2? （ a2?a）?（a?2）1414141412?（a2?a）?（a2?4a）?4。 4而

1122NB2?（a2?a?2）?（a2?a）?（a2?4a）?4，

44∴NF2=NB2，NF=NB。 （3）连接AF、BF，

由NF=NB，得∠NFB=∠NBF， 由（2）的结论知，MF=MA， ∴∠MAF=∠MFA。 ∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，

∴MA∥NB。∴∠AMF+∠BNF=180°。

∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，

∠MAF+∠NBF=90°。

∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°。 又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA 。

- 32 -

又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF。 ∴

PFPB100，∴PF2= PA×PB＝。 ?PAPF9过点F作FG⊥x轴于点G。 在Rt△PFG中，PG?PF2?FG2?∴P(－

100814?22?，∴PO=PG+GO=。 93314 , 0) 。 314 , 0)代入y=kx+b得 3设直线PF：y=kx+b，把点F（－2 , 2）、点P(－

?3k=?2=?2k+b???4，解得?。 14?0=?k+b7??b=3???2∴直线PF：y=x+。

解方程x2+x+2=x+，得x=－3或x=2（不合题意，舍去）。 当x=－3时，y=，∴M（－3 ,

3472143472545）。 4【考点】二次函数综合题，二次函的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可。

（2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出

NF2=NC2+FC2，从而得出NF2=NB2，即可得出答案。

（3）求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，

然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA?PB的值转化为PF的值，从而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解。

18. （2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合． （1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

- 33 -

【答案】解：（1）证明：如图，连接AC

∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， ∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠FAC。

∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。 ∴△ABC和△ACD为等边三角形。

∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。

∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC， ∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。

（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：

由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。

∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。 作AH⊥BC于H点，则BH=2，

11S四边形AECF?S?ABC??BC?AH?BC?AB2?BH2?43。

22由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直

时，边AE最短．

故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF

的面积会最小，

又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．

1∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF?43??23?2∴△CEF的面积的最大值是3。

?23????322?3。

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。

【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ACF =60°，AC=AB，从而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。

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（2）由△ABE≌△ACF可得

S△ABE=S△ACF，故根据

S

四边形

当正三角形AEFAECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可得四边形AECF的面积是定值。

的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S△CEF=S最大。

19. （2012四川泸州7分）如图，一次函数y=ax+b的图象与y轴、x轴分别交于点A(0，3)、

B(3，0)， 与反比例函数y=四边形AECF

－S△AEF，则△CEF的面积就会

k的图象在第一象限交于C、D两点。 x(1)求该一次函数的解析式。 (2)若AC×AD=3，求k的值。

【答案】解：（1）∵一此函数y=ax+b的图象经过点A（0，3），（3，0），

?3?b=3?b=??∴?，解得?3。 ??a=3?3a+b=0?∴一次函数的解析式为：y=?3x+3。 3（2）分别过点C、D作CE⊥y轴于E，DF⊥y轴于F，

在Rt△AOB中，∵AO=3，，BO=3， ∴∠ABO=30°。 ∵直线AB与双曲线y=k相交于点C、D， x∴可设C（x1，y1），D（x2，y2）。

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?3y=?x+3??3由?得x2?3x?3k?0，∴x1?x2=?y=k??x3k。

在Rt△ACE中，∵∠ACE=∠ABO=30°，CE=x1，∴AC=x132=23x1。 3同理，在Rt△ADF中，AD=x232=23x2。 3232333x1?x2=3，即x1?x2=。 334333=3k。∴k=。 ∴44∵AC?AD=3，∴【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）把点A（0， 此函数的解析式。

（2）分别过点C、D作CE⊥y轴于E，DF⊥y轴于F，再由AB两点的坐标判断出

∠ABO的度数，设C（x1，y1），D（x2，y2），联立一次函数与反比例函数的解析式可得出

、B（3，0）代入一次函数y=ax+b求出a，b的值即可得出3）x1?x2=3k ，在Rt△ACE与Rt△ADF中可分别用x1，x2表示出AC及AD的长，再由

AC?AD=3 即可求出k的值。

20. （2012四川泸州11分）如图，二次函数y??x2?mx?m?121的图象与x轴相交于点2A、B(点在点的左侧)，与y轴相交于点C，顶点D在第一象限.过点D作x轴的垂线，垂足为H。 (1)当m?3时，求tan∠ADH的值； 2(2)当60°≤∠ADB≤90°时，求m的变化范围；

(3)设△BCD和△ABC的面积分别为S1、S2，且满足S1=S2，求点D到直线BC的距离。

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131?3?253325?【答案】解：（1）)当m?时，y??x2?x?2=??x??+。∴D??, ?。222?2?82?28?∴DH=

225。 812321232 在y??x2?x?2中令y?0，即?x2?x?2=0，解得

x1=?1，x2=4。

535AH24 ∴A（－1，0）。∴AH=+1=。∴tan∠ADH=??。

DH2552282?m+1??12112m+1???（2）∵y??x?mx?m????x?m??，∴D?m, ?。

?22222?2??2m+1?? ∴DH=

2。

在y??x2?mx?m?12111中令y?0，即?x2?mx?m?=0，解得222x=m?m+1。

∵顶点D在第一象限，∴m>0。∴x1=2m+1，x2=?1 ∴A（－1，0）。∴AH=m+1。

当∠ADB=600时，∠ADH=300，tan∠ADH= ∴

AH3=。 DH3m+1?m+1?22=3，解得m1=23?1，m2=?1（增根，舍去）。 3- 37 -

2m+1?? 当∠ADB=900时，∠ADH=450，AH=DH，即m+1=，

2解得m1=1，m2=?1（不符合m>0，舍去）。 ∴当60°≤∠ADB≤90°时，1?m?23?1。 （3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m，

设过点B（2m+1，0），C（0，m+）的直线为y=kx+b，则

121???2m+1?k+b=0k=????2。

?，解得?1?b=m+?b=m+12??2?11 ∴直线BC为y=?x+m+。

2211m+1 当x=m时，y=?m+m+=。

222m+1 ∴M（m，）。∴DM=

2AB=2m+1???1??2m+2。 ∵S△BCD=

?m+1?2?m+1?m?m+1?222，

11DM·OB，S△ABC=AB·OC，S△BCD=S△ABC， 221????2m+1???2m+2???m+?。

2?? ∴

m?m+1?2 又∵顶点D在第一象限，∴m>0，解得m=2。 当m=2时 ，A（－1，0），B（5，0），C（0，

225）。 25155?5?5，S△ABC=?6??。 ∴BC=5+???2222?2? 设点D到BC的距离为d，∵S△DBC=?BC?d，

1215565?d=，解得d=5。 22256 答：点D到直线BC的距离为5。

5 ∴?【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，锐角三角函数定义，点到直线的距离，解二元一次方程组和一元二次方程。

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【分析】（1）求出顶点D和A的坐标，根据锐角三角函数定义即可求出tan∠ADH的值。 （2）求出∠ADB=600和∠ADB=900时的m的值即可得出m的变化范围。

（3）设点D到BC的距离为d，根据S△DBC=?BC?d和S△BCD=S△ABC，求出BC

和S△ABC即可求得点D到直线BC的距离d。

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