MATLAB、Simulink混沌理论仿真

毕业设计（论文）原创性声明

本人郑重声明：所提交的毕业设计（论文），是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容外，本毕业设计（论文）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本研究做出过重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明并表示了谢意。

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日期： 年 月 日

摘 要

混沌在现代科学与工程学领域的应用十分广泛，混沌现象存在于自然界各个领域，包括通讯领域、气象学领域、生物学领域、医学诊断疾病等方面。学习混沌理论在未来的发展过程对我们是很有帮助的。在非线性的世界里，通过混沌理论洞察所有的非线性运动,对其进行控制和掌握。通过非线性电路对混沌系统进行分析和理解，进而构造出符合二阶混沌系统的非线性电路和函数模型。Duffing方程就是典型的二阶非线性方程。运用MATLAB/Simulink对其混沌系统进行仿真实现，验证混沌系统的基本特性。

关键词：混沌；非线性；Duffing方程; MATLAB/Simulink

ABSTRACT

Chaos widely used in modern science and engineering and chaos phenomenon exists in various fields of nature, including the communications field, the field of meteorology, biology, medical diagnosis of diseases. Learning Chaos Theory is very helpful to us in the development of this course in the future. In a nonlinear world, insight into the chaos theory, We can control and master non-linear movement. We analyze and understand the chaotic system via nonlinear circuit, and then construct a second-order chaotic systems of nonlinear circuits and function model. Duffing equation is a typical second-order nonlinear equation. Using MATLAB/Simulink, we complete the chaotic system simulation and test the basic characteristics of chaotic systems.

Key words：Chaos；nonlinear；Duffing equation；MATLAB/Simulink

目 录

第一章 绪论 .......................................................................................................................... 1

1.1混沌理论 ........................................................................................................................1 1.2混沌的应用 ....................................................................................................................2

第二章 二阶混沌系统的仿真实现 ...........................................................................5

2.1混沌系统 ........................................................................................................................5

2.1.1混沌产生的数学模型 ..................................................................................... 5 2.1.2 奇异吸引子与分形 ......................................................................................... 6 2.1.3 混沌系统的特征 ............................................................................................. 7 2.1.4 研究混沌的主要方法 .................................................................................. 8 2.2 二阶混沌系统的实现 ..............................................................................................9

第三章 二阶非线性电路仿真实现 ..................................................................... 15

3.1 Simulink仿真 .......................................................................................................... 17 3.2 MATLAB语句命令演示模拟 ................................................................................. 19

第四章 结论 ........................................................................................................................ 22 致 谢 ........................................................................................................................................ 25 参考文献 .................................................................................................................................. 26 附录A ......................................................................................................................................... 27

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第一章 绪论

1.1混沌理论

什么是混沌？现代科学意义上是很难得出确切的定义，之所以这样是因为：到目前为止，还没有足够和统一数学定理可以将混沌理论完全表达出来，在数学理论的基础上通过混沌系统所表现出的普遍现象总结归纳出混沌的本质。对此，很多科学家给出很多观点──费根包姆：“确定系统的内在随机运动。”洛仑兹：“确定性非周期流。”哈肯：“混沌性为来源于决定性方程的无规运动。”赫柏林：“没有周期性的有序。”[1]钱学森：“混沌是宏观无序、微观有序的现象。”等等。

综上所述，我们可以对混沌的定义作出如下理解：混沌是指非线性系统在一定条件下所呈现的不可预测的随机现象；是将有序性与无序性融为一体的现象；其无序随机性不是来源于外部干扰，而是来源于内部的动力学方程中的非线性项，正是由于非线性系统在一定的临界性条件下其对初值的敏感性表现出混沌现象，才导致内在的不稳定性的综合效果。

通常我们把研究的对象称为系统，因此基于混沌的研究上我们把混沌称为非线性系统运动。正因为如此，我们所讨论的对象必然是非线性系统，或者确切地说是非线性动力系统。如直线函数就是一个最简单的线性函数，变量与自变量成一次方的函数关系就是在（x,y）平面中是一条直线。而函数y=f(x)对x的依赖关系高于一次，就像抛物线函数（其中y项是非线性项），那么这个函数所描述的系统就是“非线性系统”。可见，从函数构造的角度来说，非线性系统要比线性系统更复杂。

线性系统与非线性系统的不同之处至少有两个方面。第一：线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统不能使用相关原理；第二：非线性系统对初值极敏感，而线性系统只对自变量有依赖关系。正如在运动形式上，线性现象一般表现为时空中的平滑运动，并可用简单的函数关系表示，而非线性现象则表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变。非线性系统是复杂不确定的，对它的进一步研究需要新的方法和思维方式。随着科学的理论研究，适时出现系统论、信息论、耗散结构、协同学等理论，成为研究非线性系统的主要工具。混沌理论成为非线性科学的主要研究对象。

非线性系统在一定条件下，会表现出一些无规性，严格讲是貌似无规性；因为在这些貌似无规性中又会出现一定的规律性来，一般就称为系统出现了混沌状态，简而言之就说出现了混沌，因此给混沌下一个定义的话，简而言之混沌就是系统的无规行为中的规律性。空间现象中简单与复杂、确定与随机的内在联系引出的混沌学使人们在观念和哲学方面发生了革命性的转变，因此，混沌理论、相

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引子有两个最重要的特征：（1）对初始条件有敏感的依赖性。在初始时刻从这个奇异吸引子上任何两个非常接近的点出发的两条运动轨道，最终必会以指数的形式互相分离。由于混沌对初值极为敏感，它表现为局部不稳定。但对耗散系统而言，则又具有相体积收缩的特性，因而造成轨道无穷多次折迭往返。混沌轨道在相空间中“添满”有限的区域，形成奇异吸引子。实际上，它有内外两种趋向，一切吸引子之外的运动都向它靠拢，这是稳定的方向；而一切到达吸引子内的轨道都又相互排斥（指数式分离），对应为不稳定方向。正是这种整体趋向稳定而局部又极为不稳定的矛盾，导致了奇异吸引子的另一个更奇异的性质；（2）它具有非常奇特的拓扑结构和几何形式。 奇异吸引子是具有无穷多层次自相似结构的、几何维数为非整数的一个集合体。为了描述奇异吸引子的这种奇特结构，曼德尔布罗特(Mandelbrot)最早（1975年）引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。

2.1.3 混沌系统的特征

混沌系统的主要特征表现为下列几个方面 （1）对初始条件的敏感性

经典学说认为：确定性的系统只要初始条件给定，方程的解也就随之确定了。一个随时间确定性变化或具有微弱随机性的变化系统，称为动力系统，它的状态可由一个或几个变量数值确定。在动力系统中，两个几乎完全一致的状态经过充分长时间后会变得毫无一致，恰如从长序列中随机选取的两个状态那样，这种系统被称为敏感地依赖于初始条件，这就是系统对初值的敏感，还有混沌的敏感表现在一些控制参数的变化。

（2）整体稳定局部不稳定

稳定性是有关扰动现象的。如果一个动力系统中发生轻微的变化，这个系统还会保持它的运动状态，保持它的能力和属性。混沌的整体稳定性指一个微小的扰动也不会改变系统原有的性能。在混沌系统中，局部不稳定性表现在混沌对初值的敏感依赖性，一个微小的初值变化就会引起系统局部的不稳定。

（3）奇异吸引子及其分形

奇异吸引子将混沌运动的特征初始条件的敏感性和确定性的随机直观地反映出来。在耗散系统当中，当连续流在收缩体积时，一边沿这些地方压缩，另一边又沿其他地方延伸。不过连续流是固定在一个有界的区域内，这种伸缩和折叠过程会使运动轨道在奇异吸引子上产生混沌运动。可见，奇异吸引子是轨道不稳定和耗散系统相体积收缩两种因素的内在性质同时发生的现象。

它的几何特性由分形来刻画，具有大尺度与小尺度之间的相似性，具有无穷无尽自相似的精细图案，具有分数维数。分形的形状是一些难以用传统的几何学来描述的极度不规则的图形；分形存在着很小的比例精密的细节结构；分形的维

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数大于等于它的拓扑维；分形产生于迭代过程具有自相似性，这种自相似性可以是严格的，也可以是近似的或统计意义上的。分形和混沌是同一种规律的不同表现，这种统一的规律反映在空间分布上表现为分形，出现在时间分布上表现为混沌。

（4）分岔

当系统的一些控制参数发生变化时，新的定常状态解、周期解、拟周期解或者是混沌解就会分叉出来，其中相轨迹图发生拓扑结构的突变，分岔理论是非线性解定性行为数学理论，失稳是发生分岔的物理前提，分岔后，系统的不同状态便会有了突变，经过不断的分岔，最终达到的状态就是混沌理论的研究对象。

（5）遍历性及有界性

混沌运动的轨迹经历混沌吸引子内每一个状态点的地方，不重复，不紊乱。混沌的有界性最好的证明是奇异吸引子，混沌的运动轨迹虽说有点乱，但它始终在一个确定的区域里，有一定的规律性。

（6）普适性

若将第n倍周期分岔（或混沌带合并）时对应的参数?记为?n，则相继两次分岔（或合并）的间隔之比趋于同一个常数：δ=4.66920160910299067，它是一个普适常数：一类具有相同的单峰映射性质的函数中的任何一个，在沿倍周期分岔的道路进入混沌时，都会出现同一个δ；在沿倍周期分岔的道路进入混沌的过程中，不仅在周期区内分岔序列按δ速率收敛，在混沌区中的倒分岔序列也以同样的δ速率收敛。并证明了此种结构所具有的定量特征有着普适性，既出现于不同的非线性系统之中，又反映于同一系统的不同层次。普适性有结构普适性和测度普适性两种[3]。

结构普适性指出无论是指数函数或是三角函数，只要是单峰映射，那么函数表现出来的结构与有着某种共同的数学性质的非线性动力系统的逻辑斯蒂方程所表现出来的结构相同，都为复杂的分岔结构。同样都是经倍周期分岔进入混沌状态。测度普适性指在沿倍周期分岔进入混沌的过程中隐含着一种深刻的规律，它以常数的形式表现出来。倍周期分岔序列具有一个确定的收敛速率。费根鲍姆普适常数? 的数值只与系统的某种非线性性质有关，而与各个系统的其他具体细节无关，反映出混沌演化过程中所存在的一种普适性，说明混沌内部存在着一定的统一规律，是混沌内在规律性的另一个侧面反映，为认识和研究混沌提供了坚实的基础。

2.1.4 研究混沌的主要方法

我们在研究混沌的主要方法：混沌现象的客观反映就需要更严谨的数学描述以及更直观的物理现象。在实验分析方面，对混沌系统施行功率谱分析是研究混沌的最有效、最直观的工具。对采集的信号进行傅里叶变换，得到相关的频谱。

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周期运动在功率谱中对应尖锋，混沌的特征是谱中出现“噪声背景”和宽锋。同时我们确定混沌区后，需要进一步对吸引子进行刻画。功率谱分析仍然有用，但更重要的是计算李雅普诺夫指数。对初始条件的敏感依赖性是确定性系统混沌的关键特性。这意味着在相空间中相互靠近的两条轨线，随着时间的推移，它们将指数性的运动开。就拿差分方程或离散映射所描述的系统Xn+1=f(Xn)来讲，若初始值X01和X02相差d0=X01-X02，那么n次迭代后其中λ称为李雅普诺夫指数，即代表相邻点之间距离的平均辐射率。李雅普诺夫指数的大小刻划了吸引子的动力学，反映了系统产生或消除不确定因素的速率。初始不确定性经多少时间将覆盖整个吸引子由最大的指数决定，而对吸引子摄动的渐近消失则由最小的指数控制。

在研究混沌系统中确定奇异吸引子的各种维数、确定混沌系统的所谓柯尔莫哥洛夫熵、对周期驱动系统较易实现的分频采样法以及前面介绍的取庞加莱截面的方法等等。理论分析中则大量使用泛函分析，借用相变理论中的重正化群方法。比如费根鲍姆推出的普适常数及标度因子就是解一个反映自相似结构的泛函方程形式的重正化群方程。另外，分析系统的梅尔尼科夫(Melnikov)函数也是确定混沌的一个重要方法。通向混沌的道路有三条：倍周期分岔，阵发混沌和准周期进入混沌。与之对应的是非线性方程中三种不同类型的分岔——倍周期分岔、切分岔和霍普夫分岔。

2.2 二阶混沌系统的实现

本次毕业设计混沌系统的实现是基于二阶非线性电路，即非线性连续系统的混沌控制方法，自控制反馈连续控制方法[4]。非线性混沌系统的输出信号与输入信号的自反馈耦合，或者从系统外部强迫注入某一周期信号，或者直接将系统自身的输出信号取出一部分经过一定的时间延迟后再反馈到原混沌系统中去。作为控制信号，通过调节控制因子及控制信号的大小实现稳定控制。一个非线性电路产生周期、拟周期或混沌振荡，必须满足一定的电路参数条件。同一个非线性电路不同的参数，其解也不会一样。当非线性电路的参数发生变化，引起电路解的性质发生质的变化，例如由平衡点解变为周期振荡解,这种解的质的变化就称为分岔

[5]

。而这是由于非线性电路中的分岔现象与非线性电路中产生拟周期解与混沌有密通过Duffing方程[5]可以实现共振现象、调和振动、次调和振动、拟周期振

切的关系。

动、概周期振动、奇异吸引子和混沌现象(或随机过程)的简单数学模型。因此，在研究非线性振动理论中Duffing方程具有重要的意义。它的标准形式为:

???x??x?g?x??f?x,t?

其中，??0为阻尼系数。g(x)是含有三次方项的非线性函数，f(x,t)为一个周期函数。

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Duffing方程通常作如下分类： （1）假设g(x)满足超线性条件:

limg?x????x??x,

则称Duffing方程是超线性的;

（2）假设g(x)满足次线性条件:

limg?x??0, x??x则称Duffing方程是次线性的;

（3）假设g(x)满足半线性条件:

0?liminfx??g?x?g?x??limsup???,

x??xx则称Duffing方程式半线性的。

Duffing方程的形式虽然简单但解法很复杂，对其有个近似解法是小参数法，即二阶常微分方程：

d2x?dx?2??x??fx，，t??dt2dt??

式中，μ是一个无量纲的正数，其值很小；?是μ=0时无阻尼线性电路系统的谐振频率，f?x，dxdt，t?是其变量的非线性函数，可以显示时间t，这说明方程式非自治的，此后假定与t有关的项是cos?t，正弦波形电源引入，电路会有周期稳态解，其周期和电源周期相同，这就说明当电路系统的非线性程度不严重即?小，周期解会接近正弦变化。当?接近于电源频率时，电路接近谐振。即便?和电源频率两者相差很大，也可能出现某高次谐波谐振的情况。这样一来就忽略电感器的非线性特性，成为线性电路。而Duffing方程系统作为一个典型的非线性振动系统，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型。在实际的工程中，在数学理论基础上通过转化为该方程来解决许多非线性振动问题，如船的横摇运动、化学键的破坏等，一些张力扰动模型和动力学方程也与Duffing系统基本相似，因此Duffing系统被广泛地应用到尖锐碰摩转子的故障检测、微弱周期信号检测、电力系统周期振荡分析、周期电路系统的模拟与控制等实际工程中。关于Duffing系统还有许多问题尚未彻底研究清楚，如Duffing方程的分数谐波振动、超谐波振动、组合振动等等，而且研究结果中规律性的成果可以推广到其他类似系统。因此从某种角度来说，对非线性Duffing系统的研究是研究许多复杂动力学系统的基础。

典型的Duffing方程的具体形式为：

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x?t??Mx?t??x?t??x3?t??rcos?t?

???其中x?t?和x?t?为状态变量，rcos(t)为周期驱动，M为阻尼系数，-x(t)+x3 (t)为非线性激励。

一般为了便于对系统的分析，同时达到降阶的目的，将系统描述如下：

x1?x2

3x2??p2x1?p1x2?p3x1?qcos??t? ?????在时域中，用x1?t?-t或x2?t?-t关系曲线描述状态变量x(t)或x(t)随时间t的变化规律称为时序图。以x1?t?为横轴和x2?t?为纵轴所构成的平面称为相平面。在相平面上做x1?t?-x2?t?关系曲线，表征系统状态的相点?x1?t?，x2?t??随时间变化的轨迹称为相迹图。

为了实现二阶混沌系统的仿真，采用铁磁谐振电路，铁芯线圈是典型的非线性电感器、含有铁芯线圈、电容器和交流电源的电路。电源电动势是时间t的函数，因此这是非自治电路。本文主要讨论Duffing方程形式：

d2xdx3?x?x??ek?efcos?t 2dtdt用一种并联LC铁磁混沌振荡电路实现：

il R uc + ? us?

图2.1 并联LC铁磁混沌振荡电路

设图中电阻R和电容C是正常数，非线性电感器的磁链和电流是非线性关系，电源的电动势是正弦电动势是正弦电动势，则电路方程为

d??uc dt

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Cduc?1? ??(?C??3)???uc?u（st）dtLR（?Umcos?t。对方程进行归一化处理，令???t，st）其中?是磁链，u则d???dt。 电路图的状态方程可化为

d?uc? dt?ducb3?1?a??uc?us?t?? ????????dt?C??CR???上式的等号右方us仍是频率为?的正弦量。假定非线性电感器的?-i的关系是简单的函数关系来简化计算，设

i????a??b?3,a?0,b?0

?-i曲线关于原点对称，做变量代换，

x??,y?ucab1um1?1,?1,?ek,?ef,e???2C?2C?CR?2CR?R，将状态方程改写,令成

?dx?y??d? ??dy??x?x3?eky?efcos???d??? 该式被称为Duffing方程。

混沌振动是一种由确定性系统产生对于初始条件极为敏感而具有随机性和长期预测不可能性的往复非周期运动。考虑一个由非线性磁链和线性电感组成的电流和磁链系统在简谐激励作用下的受迫振动。

电感电流与磁通链数的关系满足：

i????a??b?3,a?0,b?0

则系统的状态方程为

d2xdxm2?nx?kx3??ek?efcos?t dtdt设上述系统的参数为：m?1.0,ek?0.5,k?1.0,ef?7.5,??1.0n?0 取两组差别很小的初值：

x1?0??3.0,x1?0??4.0 x2?0??3.01,x2?0??4.02

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图2.2 两个初值下的时间历程

从图中可以看到，随着时间的变化，开始很接近的两个信号越来越分开，这就是系统对初值的敏感性，这也是混沌振动的一个基本特征，这也使得混沌振动具有长期不可预测性仅有初值敏感性还不能称为混沌振动，混沌振动还必须是往复的非周期性运动，这是非线性系统的又一个特征。

混沌振动的往复非周期性可以用相平面图的几何方法表示出来。

图2.3 相平面图

当周期运动的周期很长时，仅根据相平面图难以区分周期振动和混沌振动，而Poincare映射的几何方法能更好地刻划混沌振动的往复非周期性。Poincare映射就是按系统激励的周期采样，将相轨线离散化为相点，用较少的数据获得较多信息。不同的Poincare映射图形对应着不同的运动形态。

当m=1.0,ek=0.5,k=1.0,ef=7.5,w=1.0,n=0具有分形结构的Poincare映射图

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图2.4 Poincare映射图

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第三章 二阶非线性电路仿真实现

MATLAB 产品家族是美国 MathWorks公司开发的用于概念设计，算法开发，建模仿真，实时实现的理想的集成环境。由于其完整的专业体系和先进的设计开发思路，使得 MATLAB 在多种领域都有广阔的应用空间，特别是在 MATLAB 的主要应用方向——科学计算、建模仿真以及信息工程系统的设计开发上已经成为行业内的首选设计工具，MATLAB用户广泛的分布在航空航天，金融财务，机械化工，电信，教育等各个行业。在MATLAB产品家族中，MATLAB工具箱是整个体系的基座，它是一个语言编程型（M语言）开发平台，提供了体系中其他工具所需要的集成环境（比如M语言的解释器）。同时由于MATLAB对矩阵和线性代数的支持使得工具箱本身也具有强大的数学计算能力。 MATLAB产品体系的演化历程中最重要的一个体系变更是引入了Simulink，用来对动态系统建模仿真。其框图化的设计方式和良好的交互性，对工程人员本身计算机操作与编程的熟练程度的要求降到了最低，工程人员可以把更多的精力放到理论和技术的创新上去。在MATLAB/Simulink基本环境之上，MathWorks公司为用户提供了丰富的扩展资源，这就是大量的Toolbox和Blockset。从1985年推出第一个版本以后的近二十年发展过程中，MATLAB已经从单纯的Fortran数学函数库演变为多学科，多领域的函数包，模块库的提供者。用户在这样的平台上进行系统设计开发就相当于已经站在了巨人的肩膀上，众多行业中的专家、精英 们的智慧结晶可以信手拈来。同时，MATLAB开放的体系结构允许用户在平台上进行自由扩展，目前在全世界范围内已经有大量的商业的或者免费的MATLAB二次开发产品发布。用户购买一套MATLAB，获得的是世界范围的专家支持。而对于用户自己开发的算法包，MATLAB也提供了包括Compiler应用发布和Web网络发布在内的众多方式的发布途径，使得用户一方面能够充分地利用MATLAB的算法资源形成技术成果，同时又可以有效的保护自己的知识产权。

在这样一个产品体系中，我们可以看到，由于MATLAB及其丰富的Toolbox资源的支持，使得用户可以方便的进行具有开创性的建模与算法开发工作，并通过MATLAB强大的图形和可视化能力反映算法的性能和指标。所得到的算法则可以在Simulink环境中以模块化的方式实现，通过全系统建模，进行全系统的动态仿真以得到算法在系统中的动态验证。

但是这样一个开发流程总是欠缺和工程实现的有效连接，系统级的设计产物无法和硬件产品直接挂钩。工程师无法直接应用 MATLAB/Simulink 的宝贵资源。为了改善设计流程中的这一缺陷， MATLAB 产品体系中加入了连接工程实现的桥梁 — 实时代码生成工具 Real-Time Workshop （ RTW ）。 RTW 使用户可以直接将 Simulink 框图模型转化为实时标准 C 代码，进而为快速原型系统、半物理仿真系统或者产品提供设计输入。

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MATLAB是国际上最流行的科学与工程计算的软件，MATLAB是以复数矩阵作为基本编程单元的一种高级程序设计语言，它可以用来各种矩阵的运算与操作，并且有较强的绘图能力。MATLAB是一个高度集成的软件系统，它集科学与工程计算、计算机仿真、图形可视化、图像处理和多媒体处理于一身，提供了实用的Windows图形界面设计方法，使用户能设计出友好的图形界面。说到MATLAB，Simulink是该语言的重要组成部分，基于框图的可视化建模与仿真模拟方法，为复杂的工程系统建模与仿真提供了有利的工具和思路。Simulink和外界硬件环境的直接接口搭建实现了纯数字仿真与半实物仿真及实时控制，MATLAB/Simulink为工程在信息科技上的应用提供了一个新的平台[6]。

现代科学与工程的进程都离不开数学。科学家往往关心的是数学问题的解析解和解的存在性证明，而在此不同的是工程技术人员关心的是如何求得解。在数学函数问题上有的没有解析解，有的求取解析解很麻烦，有的只有数值解。MATLAB为数学问题的解法提供了极大的方便，因而被各个领域应用，MATLAB为解决数学问题提供了一组配套齐全、结构严谨的命令，在力学领域，常用有限元法求解偏微分方程，在航空、航天与自动控制领域，常用数值线性代数与常微分方程的数值解法解决问题，在工程与非工程系统的计算机仿真中，常用到各种差分方程、常微分方程的数值解法等等，MATLAB语言可以求解几乎所有的数值问题。在 MATLAB 上面执行一些数列或矩阵的运算非常方便，而它的方程式结构有点类似 BASIC或 C 程式，写起来十分平易近人，而函数调用很简单，再加以目前各种视窗上的版本都已推出，编辑程式，执行、观看结果和列印，都可轻松的透过视窗的切换及下拉式功能来完成，更值得特别一提是MATLAB 的工具箱 (TOOLBOX) 有 SIGNAL 及 IMAGE 两项法宝，对于我们学习、数位信号处理的过理中，能够提供完备的的辅助。唯一较遗憾的是目前 MATLAB 上面建立的程式仍然较难直接与一些界面(如影像处理卡)相互沟通，因此如果我们想利用它来从事实际上的影像处理，必须先在其他工作环境下，将影像抓取进来，存成图档后再进入MATLAB 中，将图档调用出来作深入的分析。另一点美中不足的地方是，虽然 MATLAB 在从事一些本身的内部建函式运算时速度很快，但是如果是执行我们所建立的一些外部建函式运算时速度却相当慢，因此，如果从事语音及影像分析时，大量的计算工作将使得电脑花费不少处理的时间，这一点也使得它变得较为不切实际，而无法直接运用于数位信号处理。

对于N阶微分方程初值问题，由于函数及其直至(N-1)阶导数在某自变量点的值已知，所以由泰勒级数展开可以算出新的函数及导数值。在MATLAB具体利用其命令来解初值问题，步骤如下：

1.根据在方程的规律，定理和公式列出微分方程和相应的初始始条件； 2.运用变量替换，把一个高阶方程写成一阶微分方程组，初始条件也要做相应的替换；

3.根据变换后的一阶微分方程组，编写计算导数的M-file；

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4.使编好的ode函数文件和变换后的初值微分方程解算命令调用，运行后即可得到在指定时间区间上的数值解。

3.1 Simulink仿真

MATILAB中的Simulink是一个动态系统建模仿真和分析的软件包，它是一种基于MATLAB的框图设计环境，支持线性系统和非线性系统，可以用连续采样时间、离散采样时间或两种混合的采样时间进行建模，它也支持多速率系统，也就是系统中的不同部分具有不同的采样速率[6]。Simulink中包括许多实现不同功能的模块库，选择不同的模块建模就能模拟出不同的系统。Simulink可以建立飞仙新模型，演示非线性参数和输入幅值变化的反正结果。

???x1?x2 ??3??x2??p1x1?ekx2?p2x1?efcos??t?Duffing方程的仿真模型图如图所示。

图3.1 Simulink仿真模型图

取初值(0，0),且p1?1,p2?1当ek=0.1,ef=92.825时，x,y的仿真波形如图所示。

图3.2 Simulink仿真50S的x,y的波形图

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图3.3 信号x,y的平面图

因为混沌系统对信号参数敏感，下面探究信号对参数的敏感性，取初值(0，0)： 当ek=0.1,ef=88时

图3.4 信号x,y的平面图

当ek=0.1,ef=80时

图3.5 信号x,y的平面图

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当ek=0.1,ef=40时

图3.6 信号x,y的平面图

从这些图中我们可以看到当参数变化时，系统特性发生变化，但各信号并没有强的规律性，这反映了确定系统中的不确定性的行为特征。

3.2 MATLAB语句命令演示模拟

Duffing方程

dx?yd? dy??x?x3?eky?efcos?d?

为了用matlab求解，将这里的x，y表示为y(1)，y(2)

??（1）建立自定义函数duffing function dy=fangcheng(t,y)

global d; %定义全局变量，实现传递大数据的参数，实现函数调用 global w; global f; f=1;w=1;

dy=zeros(2,1); %设定参数矩阵 dy(1)=y(2);

dy(2)=-y(1)-y(1)^3-d*y(2)+f*cos(w*t);

（2）编辑出各变量之间的关系,运用MATLAB中的ode常微分求解函数指令。ode是Matlab专门用于解微分方程的功能函数。该求解器有变步长

（variable-step）和定步长（fixed-step）两种类型。不同类型有着不同的求解器，其中ode45求解器属于变步长的一种，采用Runge-Kutta算法；和他采用相

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同算法的变步长求解器还有ode23。

ode45表示采用四阶，五阶Runge-Kutta单步算法,截断误差为(Δx)^3。解决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程。

function duffing

global d; %定义全局变量，实现传递大数据的参数，实现函数调用 global f; global w; x0=0.1;v0=0.1; k=[1.5,1.35,1.15]; for j=1:3 d=k(j);

[t,u]=ode45(@fangcheng,[0:2*pi/300:200*pi],[x0,v0]); u(20000:300:30000,1) figure

subplot(2,2,1) plot(t,u(:,1)) axis([0 100 -1.6 1.6])

title('Trajectory'); %绘制函数轨迹图 xlabel('t'); ylabel('x'); subplot(2,2,2)

plot(u(:,1),u(:,2),'MarkerSize',10)

title('Phase-space Diagram'); %绘制相位空间图 xlabel('x'); ylabel('da/dt'); subplot(2,2,3)

plot(u(20000:300:30000,1),u(20000:300:30000,2),'r.') title('Poincare Section'); %绘制庞加莱截面图 xlabel('x'); ylabel('dx/dt'); subplot(2,2,4)

s=plot([0,sin(x0)],[0,cos(x0)],'LineWidth',4,'erasemode','xor'); axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5]) title('频率周期图'); for i=25000:30000

set(s,'xData',[0,sin(u(i,1))],'yData',[0,cos(u(i,1))]); drawnow

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end end

运行得出的各种图形

图3.7 1周期下的庞加莱截面

图3.8 2周期下的庞加莱截面

图3.10 3周期下的庞加莱截面

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第四章 结 论

对于二阶混沌系统的仿真实现，采用Duffing方程，通过二阶非自治铁磁谐振电路的理论分析，再用MATLAB/Simulink对其进行仿真，产生混沌现象。这与描述函数法相比较，更加直观，详细。这里说到描述函数法对于非线性系统，叠加原理不再适用，因而一般的解法不适用于非线性问题。所以通常采用一些特殊方法来确定非线性系统的重要运动的特性，其中的解决方法有分定性和定量两类，两者相辅相成。

定性法用的是相平面法。将二阶自治系统的运动微分方程写作：式中P(x,y）、Q(x,y）是实解析函数。从方程中消去变量t，得：把x、y看作平面内一点的直角坐标，这个平面称为相平面，点（x,y）称为相点。相点描述系统在某一瞬时的运动状态。对应于系统的任一特定的运动x=x(t),y=y(t），相平面上皆有一条确定的曲线，称为相轨。相轨描述系统的整个运动状态。在相平面上，凡是P(x,y）、Q(x,y）同时为零的点都称为奇点。在动力学问题中，奇点对应于系统的平衡状态。一个奇点，若从它的邻域内出发的积分曲线都向它趋近，或者始终逗留在它的邻域内，称为稳定奇点；否则称为不稳定奇点。

二阶自治系统的相轨中有一类孤立的闭轨极限环具有特殊重要意义。从它一侧邻域内任一点出发的相轨，或者都趋近它，或者都远离它。一个极限环，若内外两侧邻域内的相轨都向它趋近，就是稳定的；否则就是不稳定的。稳定的极限环对应于物理系统中的自振。极限环和保守系统自由振动的闭轨的根本区别为：极限环是孤立的，即在它的邻域内不存在其他闭轨；极限环所对应的周期振动不依赖于系统的初始条件。

而定量法用的是平均法。用小参数来解决单自由度非线性自治系统，运用一维迭代方式得出其运动规律。

混沌系统对微弱信号具有极强的敏感性，以及对噪声具有极大的抑制能力，它的这种性质证明了混沌系统具有可应用于小信号检测的潜力，从检测过程中分析混沌运动发生的间歇性。这里最好的典型代表是Duffing方程。Duffing方程是一个被广泛使用在混沌系统小信号检测中的一个典型的非线性方程，即存在于噪声中的信号可以被Duffing振子通过从混沌运动状态到周期振荡状态的改变测试出来。本文用MATLAB/Simulink对Duffing方程进行模拟分析，找出系统在各种参数下的运动状态，为基于Duffing振子的小信号检测提供研究基础。

Duffing方程是描述共振现象、调和振动、次调和振动、拟周期振动、概周期振动、奇异吸引子和混沌现象(或随机过程)的简单数学模型。

非线性自激振荡函数描述计算复杂，借助计算机应可以更好的得到我们想要的结果。基于MATLAB/Simulink对非线性系统非自治电路仿真研究也是基于上述

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理论具有以下主要优点：

（1）能够方便地观察到，在系统中的各个环节的信号变化情况；

（2）数学模型的建立更加直观和控制，当系统的非线性特性难以简化时，这是用描述函数法难以描述也不容易建立相关的数学模型；

（3）当系统存在正弦形式的激励时，难以用描述函数来分析当下系统； （4）描述函数法不能用来分析非连续非线性系统的非自治铁磁谐振电路； （5）能够方便的观察到系统的谐振过程；

（6）通过仿真软件对我们的非线性系统即混沌系统的分析方法是直观、准确、可信而方便的。

在对二阶混沌系统进行仿真时，由于我对软件本身和语句不是很熟练，加上自己的粗心，造成错误百出。以后要坚决避免类似的，情况出现。在编程控制语句步长，一味的交予系统本身处理，但是实质的问题不能从自身解决，一定要对软件、程序和函数原理熟知，在去按部就班的完成论文要求。

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结束语

本次毕业论文即将结束了，在毕业论文过程中我在同学和老师的帮助下顺利完成了题为二阶混沌系统仿真实现与分析的毕业论文。

从确定毕业论文课题以来，我首先查找一些相关的书籍和资料，然后分析论文要求，并根据个人情况拟定论文方案，从而制定论文方案。在研究非线性电路时，我通过仿真软件对电路涉及的相关原理进行模拟仿真，在编写仿真程序过程中出现了很多问题，例如语句函数用法错误、调试精度不准确等等方面的问题，但在老师和同学的帮助下，完成的效果达到了预期的要求。同时，通过这次毕业论文，我们在各个方面都有了很大的提高，特别是在理论和实践结合方面使我们受益匪浅，使大学里学习的理论知识在根本上得到一次最完整的实践和提高。也为我即将面临的工作奠定了很好的基础。

同时，在本次毕业设计中深深认识到自己的各个方面的不足之处，本着提高动手能力以及检测四年所学知识的目的，我严格要求自己，每一环节都认真对待，定期向知道老师报告进展情况和请教不懂的地方，得以完成任务。在以后的工作中，我们必须进一步深化在实践中去丰富理论，完善知识结构。由于环境条件的影响，理论与实践还是有一定的差距，这也要求我们在实践中注意检验的积累。

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致 谢

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参考文献

[1] 郝柏林.从抛物线谈起: 混沌动力学引[M]，上海:上海科技教育出版社, 1993：25-33. [2] 格莱克.混沌：开创新学科[M]，张淑誉译,上海译文出版社,1990:150-178.

[3] 朱华，姬翠翠.分形理论及其应用=Fractal Theory and Its Application[M]，北京：科

学出版社，2011:56-71.

[4] 刘孝贤，王英龙，刘蓓，郭举修.低阶混沌电路非线性动力学特征的数学模型与仿真[J]，山东科学，2001:23-63.

[5] 肖达川.线性和非线性电路[M]，新华出版社，1992:189-202.

[6] 薛定宇，陈阳泉.基于MATLAB/Simulink的系统仿真技术与应用[M]，清华大学出版社，

2011:34-51.

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附录A

Simulink的仿真模型图，如下图所示：

MATLAB的仿真程序: function duffing global d; global f; global w; x0=0.1;v0=0.1; k=[1.5,1.35,1.15]; for j=1:3 d=k(j);

[t,u]=ode45(@fangcheng,[0:2*pi/300:200*pi],[x0,v0]); u(20000:300:30000,1) figure

subplot(2,2,1) plot(t,u(:,1)) axis([0 100 -1.6 1.6]) title('Trajectory'); xlabel('t'); ylabel('x');

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subplot(2,2,2)

plot(u(:,1),u(:,2),'MarkerSize',10) title('Phase-space Diagram'); xlabel('x'); ylabel('da/dt'); subplot(2,2,3)

plot(u(20000:300:30000,1),u(20000:300:30000,2),'r.') title('Poincare Section'); xlabel('x'); ylabel('dx/dt'); subplot(2,2,4)

s=plot([0,sin(x0)],[0,cos(x0)],'LineWidth',4,'erasemode','xor'); axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5]) title('频率周期图'); for i=25000:30000

set(s,'xData',[0,sin(u(i,1))],'yData',[0,cos(u(i,1))]); drawnow end end

function dy=fangcheng(t,y) global d; global w; global f; f=1;w=1;

dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2);

dy(2)=-y(1)-y(1)^3-d*y(2)+f*cos(w*t);

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nvl7.html