2019届高考数学专题十一数列求通项公式精准培优专练理

培优点十一 数列求通项公式

1.累加、累乘法

例1：数列?an?满足：a1?1，且an?1?an?2n?1，求an． 【答案】an?2n?n?2．

【解析】ann?1?an?2?1，a?11n?an?1?2n?1，L，a2?a1?2?1， 1累加可得：an?a1?2?22?L?2n?1??n?1??2?2n??1?2?1?n?1?2n?n?3，

?an?2n?n?2．

2．Sn与an的关系的应用

例2：在数列?a2S2nn?中，a1?1，an?2S，则?an?的通项公式为_________．n?1?1【答案】a?1?1?2n?3,n?2n??2n．

??1,n?1【解析】∵当n?2,n?N?时，an?Sn?Sn?1，

?S2S2nn?Sn?1?2S?2S2n?Sn?2SnSn?1?Sn?1?2S2n，

n?1整理可得：Sn?1?Sn?2SnSn?1，?1S?1?2， nSn?1???1??为公差为2的等差数列，?1?1??n?1??2?2n?1，?Sn?SS

n1?1?S1??1,n?2n?2n?1，an??2n?12n?3．

??1,n?1

3．构造法

例3：数列?an?中，a1?1，an?3an?1?2，求数列?an?的通项公式． 【答案】a1n?2?3n??1．

1

【解析】设an???3?an?1???即an?3an?1?2?，对比an?3an?1?2，可得??1， ?an?1?3?an?1?1?，??an?1?是公比为3的等比数列，

?an?1n?1??a1?1??3，?an?2?3n?1?1．

对点增分集训

一、单选题 1．由aan1?1，an?1?3a给出的数列?an?的第34项是（ ） n?1A．

1100 B．100 C．

34 1103D．

4 【答案】A

【解析】由aan1?1，an?1?3a?1， n11则a1112?3?1?14，a3?43?1?7，a4?71?10， 4?13?7?111a5?10?1，a6?13?13?110?1133?1，L，

13?116由此可知各项分子为1，分母构成等差数列?bn?，首项b1?1，公差为d?3， ∴b34?b1??34?1?d?1?33?3?100，∴a15?100，故选A． 2．数列?a1n?满足a1?2，a?1?1n?1a，则a2018等于（ ）

nA．

12 B．?1

C．2

D．3

【答案】B

【解析】n?1时，a2?1?2??1，a3?1???1??2，a14?1?2?12，a5?1?2??1，∴数列的周期是3，∴a2018?a?3?372?2??a2??1．故选B．

2

3．在数列?an?中，若a1?2，且对任意正整数m、k，总有am?k?am?ak，则?an?的前n项和为Sn?（ ） A．n?3n?1? B．

n?n?3??3n?1?2

C．n?n?1?

D．

n2

【答案】C

【解析】递推关系am?k?am?ak中，令k?1可得：am?1?am?a1?am?2， 即am?1?am?2恒成立，

据此可知，该数列是一个首项a1?2，公差d?2的等差数列， 其前n项和为：Sn?na1?n?n?1?2d?2n?n?n?1?2?2?n?n?1?．故选C．

4．数列?an项和为S?n?的前n，若Sn?2n?1?n?N?，则a2017的值为（ ）

A．2 B．3 C．2017 D．3033

【答案】A

【解析】a2017?S2017?S2016?2，故选A．

5．已知数列?an?是递增数列，且对n?N?，都有an?n2??n，则实数?的取值范围是（ A．????72,?????

B．??1,??? C．??2,??? D．??3,???

【答案】D

【解析】∵?an?是递增数列，∴an?1?an，

∵a2n?n2??n恒成立，即?n?1????n?1??n2??n，

∴???2n?1对于n?N?恒成立，而?2n?1在n?1时取得最大值?3， ∴???3，故选D．

6．在数列?an?中，已知a1?2，an?2an?1a，?n?2?，则an等于（ ）

n?1?2A．

23n?1 B．

2n C．

n D．

3n?1 【答案】B 【解析】将等式an?2an?111a两边取倒数得到??1，1?1?1， n?1?2anan?12anan?12??1?111?a?是公差为的等差数列，n?2a?12，

3

） 111n??n?1??，故an?2．故选B． ??根据等差数列的通项公式的求法得到

an222n17．已知数列?an?的前n项和Sn，若a1?1，Sn?an?1，则a7?（ ）

3A．47 【答案】B

B．3?45 C．3?46 D．46?1

1111【解析】由Sn?an?1，可得Sn?1?an，n?2．两式相减可得：an?an?1?an，n?2．

3333即an?1?4an，n?2．数列?an?是从第二项起的等比数列，公比为4，

1又Sn?an?1，a1?1．∴a2?3，S1?3．∴a7?a247?2?3?45．故选B．

31???1??n?1?8．已知F?x??f?x???2是R上的奇函数，an?f?0??f???L?f???f?1?，2nn??????n?N?则数列?an?的通项公式为（ ）

A．an?n 【答案】B

B．an?2?n?1?

C．an?n?1 D．an?n2?2n?3

1??【解析】由题已知F?x??f?x???2是R上的奇函数，

2???1??1?故F??x???F?x?，代入得：f??x??f??x??4，?x?R?，

?2??2??1?

∴函数f?x?关于点?,2?对称，

?2?

11?x，则?x?1?t，得到f?t??f?1?t??4， 22?1??n?1?∵an?f?0??f???L?f???f?1?，an?f?1??f?n??n?令t??n?1??1??L?f?????f?0?，

?n??n?倒序相加可得2an?4?n?1?，即an?2?n?1?，故选B． 9．在数列?an?中，若a1?0，an?1?an?2n，则A．

111??L?的值（ ） a2a3ann?1 nB．

n?1 nC．

n?1 n?1D．

n n?1【答案】A

【解析】由题意，数列?an?中，若a1?0，an?1?an?2n，

则an??an?an?1???an?1?an?2??L??a2?a1??a1?2??1?2?L??n?1????n?n?1?，

4

1111???∴， ann?n?1?n?1n∴

111?1??11?1?1n?1?1??L???1???????L?????1??，故选A． a2a3an?2??23?nn?n?1n?n?1?10．已知数列?an?的首项a1?1，且满足an?1?an?????n?N??，如果存在正整数n，

?2?使得?an????an?1????0成立，则实数?的取值范围是（ ） ?1?2? A．?,?2??2?1? B．?,?3??1?1? C．?,?2??25?D．?,?

?36?【答案】C

【解析】由题意n?2时，

?1??1??1?an?a1??a2?a1???a3?a2??L??an?an?1??1?????????L?????2??2??2?2n?12??1???1????3???2?n????，

由?an????an?1????0，即???an????an?1??0， 2??1??a?a???aa???a∴2k?1????2k?1且2k2k?1，k?N，2k3???2?2k?2?1????1?2k?， ??3?2?2k?12?3?12??1??2?1?其中最小项为a2??1???，a2k?1??1???????1?2k?1?，

3?4?23???2???3?2?其中最大项为a1?1，因此

1???1．故选C． 2n*11．已知数列?an?满足a1?1，an?1?an?2n?N，Sn是数列?an?的前n项和，则（ ）

??A．a2018?22018

B．S2018?3?21009?3 D．数列?an?是等比数列

C．数列?a2n?1?是等差数列 【答案】B

n*【解析】数列数列?an?满足a1?1，an?1?an?2n?N，

??当n?2时，an?an?1?2n?1an?1?2， 两式作商可得：an?1∴数列?an?的奇数项a1，a3，a5，L，成等比，偶数项a2，a4，a6，L，成等比，

5

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