高中数学组卷(2)

2013年5月JODY的高中数学组卷

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2013年5月jody的高中数学组卷

一．解答题（共4小题）

2

1．已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x+2x的图象上，记an与an+1的等差中项为kn．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若（Ⅲ）设集合

A∩B中的最小数，且110＜c10＜115，求{cn}的通项公式． 2．已知

为奇函数（a，b是常数），且函数f（x）的图象过点

，求数列{bn}的前n项和Tn；

，等差数列{cn}的任意一项cn∈A∩B，其中c1是

（1）求f（x）的表达式； （2）定义正数数列{an}，

，求数列{an}的通项公式；

2

（3）已知

，设Sn为bn的前n项和，证明：

．

3．已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a1，b1]时，f（x）的值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时，f（x）的值域为[a3，b3]，…，

依此类推，一般地，当x∈[an﹣1，bn﹣1]时，f（x）的值域为[an，bn]，其中k、m为常数，且a1=0，b1=1． （1）若k=1，求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）若m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{bn}满足

．若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；

（3）若k＜0，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，求（T1+T2+…+T2010）﹣（S1+S2+…+S2010）．

4．（理）已知函数

，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是f（x）图象上两点．

（1）若x1+x2=1，求证：y1+y2为定值； （2）设

，其中n∈N*且n≥2，求Tn关于n的解析式；

（3）对（2）中的Tn，设数列{an}满足a1=2，当n≥2时，an=4Tn+2，问是否存在角a，使不等式

…

请说明理由．

对一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范围；若不存在，

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参考答案与试题解析

一．解答题（共4小题）

2

1．已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x+2x的图象上，记an与an+1的等差中项为kn．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若（Ⅲ）设集合

，求数列{bn}的前n项和Tn；

，等差数列{cn}的任意一项cn∈A∩B，其中c1是

A∩B中的最小数，且110＜c10＜115，求{cn}的通项公式． 考数列与函数的综合；数列的求和；等差数列的性质． 点： 专综合题． 题： 分（I）根据点P（n，S）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，可得nn析： 减，即可求得数列{an}的通项公式； （II）先确定数列的通项，再利用错位相减法求数列的和； ，再写一式，两式相（III）先确定A∩B=B，再确定{cn}是公差为4的倍数的等差数列，利用110＜c10＜115，可得c10=114，由此可得{cn}的通项公式． 2解解：（I）∵点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x+2x的图象上，∴答： ， 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1．…（2分） 当n=1时，a1=S1=3满足上式， 所以数列{an}的通项公式为an=2n+1．…（3分） （II）∵kn为an与an+1的等差中项 ∴∴∴由①×4，得①﹣②得：=． ① ② …（4分） ∴…（8分） ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com （III）∵∴A∩B=B ∵cn∈A∩B，c1是A∩B中的最小数，∴c1=6． ∵{cn}是公差为4的倍数的等差数列，∴．…（10分） 又∵110＜c10＜115，∴所以c10=114， 设等差数列的公差为d，则，解得m=27． ，…（12分） ∴cn=6+（n+1）×12=12n﹣6， ∴cn=12n﹣6．…（13分） 点本题考查数列与函数的关系，考查数列的通项与求和，正确运用求和公式是关键． 评： 2．已知

为奇函数（a，b是常数），且函数f（x）的图象过点

（1）求f（x）的表达式； （2）定义正数数列{an}，

，求数列{an}的通项公式；

2

（3）已知

，设Sn为bn的前n项和，证明：

．

考点： 数列与函数的综合；奇函数． 专题： 计算题；综合题． 分析： （1）根据所给的函数是一个奇函数，根据奇函数的定义，得到a的值，根据函数过一个定点，把点的坐标代入，利用待定系数法得到结果． （2）根据条件写出数列的递推式，下面整理数列，通过配凑整理出数列是以2为首项，为公比的等比数列，写出数列通项，变形整理出结果． （3）根据条件写出新数列的通项，观察新数列分母的结构，整理出可以应用裂项的方法来解题，用裂项做出数列的前n项和，利用分析法写出要证的不等式． 解答： 解：（1）为奇函数 ∴∴a=0 又f（x）过点， ， ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com ∴∴ ，∴b=1 （2）∵ ∴∴ ∴数列是以2为首项，为公比的等比数列 ∴∴ （3）由（2）知：∴∵∴ 点评： 本题考查数列和函数的综合，本题解题的关键是构造正确的新函数，判断出所给的数列是一个特殊的数列，本题是一个可以作为压轴题目出现的题目． 3．已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a1，b1]时，f（x）的值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时，f（x）的值域为[a3，b3]，…，依此类推，一般地，当x∈[an﹣1，bn﹣1]时，f（x）的值域为[an，bn]，其中k、m为常数，且a1=0，b1=1． （1）若k=1，求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）若m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{bn}满足

．若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；

（3）若k＜0，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，求（T1+T2+…+T2010）﹣（S1+S2+…+S2010）．

考点： 数列与函数的综合；数列的极限． 专题： 综合题． 分析： （1）因为f（x）=x+m，当x∈[an﹣1，bn﹣1]时，f（x）为单调增函数，所以其值域为[an﹣1+m，bn﹣1+m]=[an，bn]，从而发现数列 {an}，{bn}均为等差数列，易得其通项公式 （2）因为f（x）=kx+2（k＞0），当x∈[an﹣1，bn﹣1]时，f（x）为单调增函数，所以f（x）的值域为[kan﹣1+2，kbn﹣1+2] =[an，bn]，所以bn=kbn﹣1+2（n≥2），再由极限的四则运算列方程可求出k （3）因为k＜0，当x∈[an﹣1，bn﹣1]时，f（x）为单调减函数，所以f（x）的值域为[kbn﹣1+m，kan﹣1+m] *于是an=kbn﹣1+m，bn=kan﹣1+m（n∈N，n≥2）则bn﹣an=﹣k（bn﹣1﹣an﹣1），从而数列{bn﹣an}为一个以1为首项，﹣k为公比的等比数列，进而得到此数列的前n项和Tn﹣Sn 公式，再求数列{Tn﹣Sn }的前n项和即可得所求解 解答： 解：（1）因为f（x）=x+m，当x∈[an﹣1，bn﹣1]时，f（x）为单调增函数， ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com 所以其值域为[an﹣1+m，bn﹣1+m] *于是an=an﹣1+m，bn=bn﹣1+m（n∈N，n≥2） 又a1=0，b1=1，所以an=（n﹣1）m，bn=1+（n﹣1）m． （2）因为f（x）=kx+m（k＞0），当x∈[an﹣1，bn﹣1]时，f（x）为单调增函数 所以f（x）的值域为[kan﹣1+m，kbn﹣1+m]，因m=2，则bn=kbn﹣1+2（n≥2） 假设存在常数k＞0，使得数列得故存在k=，使符合． ， （3）因为k＜0，当x∈[an﹣1，bn﹣1]时，f（x）为单调减函数， 所以f（x）的值域为[kbn﹣1+m，kan﹣1+m] *于是an=kbn﹣1+m，bn=kan﹣1+m（n∈N，n≥2） 则bn﹣an=﹣k（bn﹣1﹣an﹣1） n﹣1又b1﹣a1=1，∴bn﹣an=（﹣k） ∴Tn﹣Sn= 进而有 点评： 本题综合考查了数列的通项公式，数列极限，数列求和等知识点，运算量较大，解题时要耐心细致，认真体会其中的思想方法 4．（理）已知函数

，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是f（x）图象上两点．

（1）若x1+x2=1，求证：y1+y2为定值； （2）设

，其中n∈N*且n≥2，求Tn关于n的解析式；

（3）对（2）中的Tn，设数列{an}满足a1=2，当n≥2时，an=4Tn+2，问是否存在角a，使不等式

…

对一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范围；若不存在，

请说明理由． 考数列与函数的综合． 点： 专计算题． 题： 分（1）根据题：y1=f（x1），y2=f（x2），将f（x1）和f（x2）用函数表达式代入，利用对数的运算法则将它们相析：加，再化简可得 y1+y2=log22=1（定值），问题得证； （2）根据（1）的结论可得：， ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com 因此可以将Tn按倒序的方法相加的排列，再将此式与原表达式相加，最后配成n﹣1对数的和，每一对数的和都等于1，因而可得（3）将不等式的两边都乘以； ，可得左边等于…作商相除的方法探求其单调性．证到，在（2）的基础上可得f（n）各项为正数，因此用，可得f（n+1）＜f（n），所以f（n）随着n的增大而减＜sinα，因此可得角α的取值范围． 小．不等式变形为f（1）＜sinα对一切n∈N*恒成立，得到解解：（1）当x1+x2=1时，答： =，所以y1+y2为定值1．…（4分） （2）由（1）得，所以，又 于是2Tn=（n﹣1）×1，所以（k=1，2，…，n﹣1），…（6分） ， ， （n∈N*，n≥2）．…（10分） （3）由已知，an=2n，n∈N*．…（11分） 由……令…，得， ，则由题意可得f（n）＞0， 于是 ==＜1 所以f（n+1）＜f（n），即f（n）随着n的增大而减小．…（15分） 所以当n∈N*时，f（n）的最大值为若存在角α满足要求，则必须所以角α的取值范围为， ．…（16分） ，（k∈Z）…（18分） ?2010-2013 菁优网

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www.jyeoo.com 点本题是一道综合题，解题的过程中用到了倒序相加法求和、用作商的方法证明数列的单调性和证明不等式恒成评：立等等知识点，属于难题．本题对函数与数列的一些高级处理有比较高的要求，考查的知识点与方法较多，综 合性较强． ?2010-2013 菁优网

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