东北育才学校2016届高三上学期第三次模拟考试数学（理）试题

东北育才学校高中部2016届高三第三次模拟数学试题（理科） 时间：120分钟 试卷满分：150分命题：高三数学备课组

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1.已知集合A?{x|x?16?0}，B?{?5,0,1}，则

A.A?B?? B．B?A C．A?B?{0,1} D．A?B

222.命题“若a?b?0，则a?0且b?0”的逆否命题

2222 A．若a?b?0，则a?0且b?0 B．若a?b?0，则a?0或b?0 2222 C．若a?0且b?0，则a?b?0 D．若a?0或b?0，则a?b?0

23.复数z?|3?i，则复数z的共轭复数为 |?i（i为虚数单位）

i C．4?i D．4?i

A．2?i B．2+i 4.?(3x2?sinx)dx等于

?11 A．0 B．2sin1 C．2cos1 D．2

5.数列an的前n项和为Sn?2n2?3n(n?N?)，若p?q?5，则ap?aq? A．20 B．15 C．10 D.-5

6.函数f(x)?a?ax(a?0,a?0)的定义域和值域都是?0，1?，则loga A．1 B．2 C．3 D．4

548?loga? 657．函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,?? 部分图象如图所示，若x1,x2?(? f(x1)?f(x2)，则f(x1?x2)? A． 1 B．

?2)的

??,)，且

63123 C． D． 2228.在平面直角坐标系xOy中，过定点Q(1,1)的直线l与曲线y? ON?OQ?MO?OQ?

A.2 B.4 C.6 D.8

x交于M、N点，则 x?1?x?1?????1?9.设x,y满足约束条件?y?x，向量a?(y?2x,m),b?(1,?1)，且a//b，则m

2???2x?y?10 的最小值为

A．-2 B.2 C.6 D.-6

10.在?ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若?ABC的面积为S,且

22 2S?(a?b)?c, 则tanC等于

A.

3 4 B.

4 3

C. ?43 D.? 34[来源:学科网]

11.已知关于x的不等式

12x?bx?c?0(ab?1)的解集为空集，则a1a(b?2c)的最小值为 T??2(ab?1)ab?12 A．3 B．2 C．23 D．4

12.已知f(x)?|x?ex|，方程f(x)?tf(x)?1?0?t?R?有四个实数根，则t的取值范 围为

e2?1,??) A．(e??e2?1??e2?1?e2?1?B．???,?,?2? D．?2,? C．???

e?ee????? 第Ⅱ卷（非选择题

共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.已知圆O:x?y?4，直线l与圆O相交于点P、Q，且OP?OQ??2，则弦PQ 的长度为 ．

14.定义在R上的奇函数f(x)满足f(?x)?f(x?),f(2014)?2,则 f(?1)= ．

15.设f?x?是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x,y?R，都有 f

2232?x??f??y?,n?fn?n?N若a1?ax?，y?f???12?则数列?a?的前n项和S?，

nn

的取值范围是 ．

(sinx?cosx)16.已知函数f(x)?e ________．

1?sin2x,x?R,则函数f(x)的最大值与最小值的差是 2三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）

已知函数f(x)?loga(x?2)?loga(4?x),(0?a?1)． （Ⅰ）求函数f(x)的定义域；

（Ⅱ）若函数f(x)在区间[0,3]的最小值为?2，求实数a的值．

18.（本小题满分12分）

?????π?已知a?(1,a),b?(sinx,cosx).函数f(x)?a?b的图象经过点??，0?．

?3? （Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）求函数f?x?的最小正周期与单调递增区间．

19．（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn? （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn?log3(1?Sn?1)(n?N*)，求适合方程正整数n的值.

1an?1(n?N*).2

[来源:学科网ZXXK]11125的?????b1b2b2b3bnbn?151

20.（本小题满分12分）

定长为3的线段AB的两个端点A,B分别在x轴，y轴上滑动，动点P满足

????????BP?2PA.

（Ⅰ）求点P的轨迹曲线C的方程；

????????? （Ⅱ）若过点?1,0?的直线与曲线C交于M,N两点，求OM?ON的最大值.

21.（本小题满分12分） 已知函数f(x)?[来源:学,科,网]

1x． ?ln21?x （Ⅰ）求证：f(x)图象关于点(,)中心对称； （Ⅱ）定义Sn?1122i12n?1f()?f()?f()???f()，其中n?N*且n≥2，求?nnnni?1n?1Sn；

* （III）对于(Ⅱ)中的Sn，求证：对于任意n?N都有lnSn?2?lnSn?1?11?． n2n3

22.（本小题满分12分）

xx 已知函数f?x??esinx?cosx,g?x??xcosx?2e，其中e是自然对数的底数．

π（Ⅰ）判断函数y?f?x?在(0,)内的零点的个数，并说明理由；

2?π??π?（Ⅱ）?x1??0,?,?x2??0,?，使得不等式f(x1)?g(x2)≥m成立，试求实数m的

?2??2?取值范围；

（Ⅲ）若x??1，求证：f(x)?g(x)?0

东北育才高中部第三次模拟数学（理科）答案

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1.C 2.D 3.B 4.D 5.A 6.C 7.D 8.D 9.D 10.C 11.D 12.B二.填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.23 14.-2 15.[,1) 16.e

来源学科网ZXXK]122?e?2

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （Ⅰ）由??x?2?0 得?2?x?4

?4?x?0 ?f(x)的定义域为(?2,4) ?????4分 （Ⅱ）f(x)?loga(x?2)(4?x) (x??0,3?)

令t?(x?2)(4?x)??(x?1)?9

当0?x?3?5?t?9 ????7分 当0?a?1 则loga9?logat?loga5

2?f(x)min?loga9??2

11 又0?a?1 ?a? 931综上得a? ??????10分

3a2????π?18.解：（1）因为函数f(x)?a?b?sinx?acosx的图象经过点??，0?，

3??所以f??????π??π?．即?0sin??acos???????0．

?3??3??3?即?3a??0． 22

解得a?3． ???????????4分 （2）由（1）得，

?1?3 sinx?cosxf(x)?sinx?3cosx?2???2?2???????2?sinxcos?cosxsin? 33??π???2sin?x??． ?????????6分

3??所以函数f?x?的最小正周期为2?． ????????8分 因为函数y?sinx的单调递增区间为?2k??所以当2kπ??????,2k????k?Z?， 22?πππ?x??2kπ??k?Z?时，函数f?x?单调递增， 2325ππ?x?2kπ??k?Z?时，函数f?x?单调递增． 即2kπ?66所以函数f?x?的单调递增区间为?2kπ?19.（Ⅰ）n?1时，a1???5ππ?,2kπ???k?Z?． ???12分 66?12a1?1，a1? 231?S?1?an?11?n2n?2时，?，Sn?Sn?1?(an?1?an)，?an?an?1(n?2)

32?S?1?1an?1n?1??2?an?是以3为首项，3为公比的等比数列，an?3?(3)n?1?2(3)n

????6分

1()n?111（Ⅱ）1?Sn?an?n，bn?log3(1?Sn?1)?log33??(n?1) ???8分

2321211

111 ??bnbn?1n?1n?211111111111 ?????(?)?(?)???(?)??b1b2b2b3bnbn?12334n?1n?22n?2 ????10分

1125??，n?100 ????12分 2n?251????????20.解：（Ⅰ）设A（x0，0），B（0，y0），P（x,y），由BP?2PA得，

3??x?2(x0?x)?x0?x(x,y?y0)?2(x0?x,?y)，即???2，———————————

y?y??2y0???y0?3y—————————2分

x23222又因为x0?y0?9，所以(x)?(3y)?9，化简得：?y?1，这就是点P的轨

2422迹方程。 ——————————————————4分

?????????（Ⅱ）当过点（1,0）的直线为y?0时，OM?ON?(2,0)?(-2,0)??4

当过点（1,0）的直线不为y?0时可设为x?ty?1，A（x1， y1），B（x2，y2）

?x2??y2?122联立?4并化简得：(t?4)y?2ty?3?0，由韦达定理得：

?x?t?y1?y1?y2??2t3yy??，，———————6分 1222t?4t?4?????????OM?ON?x1x2?y1y2?(ty1?1)(ty2?1)?y1y2?(t2?1)y1y2?t(y1?y2)?1所以

?3?2t?4t2?1?4(t2?4)?1717?(t?1)2?t2?1?2???4?t?4t?4t?4t2?4t2?42—10

分

又由??4t2?12(t2?4)?16t2?48?0恒成立，所以t?R，对于上式，当t?0时，

1

max4?????????1ON的最大值为 …………………………………………12分 综上所述OM?4??????????OM?ON??[来源:Zxxk.Com]21. （Ⅰ）解：f(x)?f(1?x)?1x11?x?ln??ln?1 21?x2x 所以f(x)图象关于点(,)中心对称 ??2分 12n?2n?1（Ⅱ） ∵Sn?f()?f()???f()?f() ??①

nnnn1221∴Sn?f(1?)?f(1?)???f()?f() ??②

nnnnn?1(n≥2,n?N*) ??6分 2S1（III）当n?N*时，由（2）知lnSn?2?lnSn?1?lnn?2?ln(1?)，

Sn?1n1122①+②，得2Sn?n?1，∴Sn?于是lnSn?2?lnSn?1?3211111?3等价于ln(1?)?2?3. ?7分 2nnnnn3x3?(x?1)2令g(x)?x?x?ln(1?x)，则g?(x)?，

x?1∴当x?[0,??)时，g?(x)?0，即函数g(x)在[0,??)上单调递增，又g(0)=0.

于是，当x?(0,??)时，恒有g(x)?g(0)?0，即x3?x2?ln(1?x)?0恒成立. 1故当x?(0,??)时，有ln(1?x)?x2?x3成立，取x??(0,??)，

n111则有ln(?1)?2?3成立. ??12分

nnnπ22.解：（Ⅰ）函数y?f?x?在(0,)上的零点的个数为1

2理由如下：

因为f?x??exsinx?cosx，所以f??x??exsinx?excosx?sinx．

π，所以f?(x)?0， 2π所以函数f(x)在(0,)上是单调递增函数

2ππ因为f(0)??1?0，f()?e2?0，

2根据函数零点存在性定理得 因为0?x?π函数y?f?x?在(0,)上的零点的个数为1． ···································································· 3分

2（Ⅱ）因为不等式f(x1)?g(x2)≥m等价于f(x1)≥m?g(x2)，

ππ所以 ?x1?[0,],?x2?[0,]，使得不等式f(x1)?g(x2)≥m成立，等价于

22f(x1)min≥?m?g(x2)?min，即f(x1)min≥m?g(x2)max．

ππ当x?[0,]时，f??x??exsinx?excosx?sinx?0，故f(x)在区间[0,]上单调递增，

22所以x?0时，f?x?取得最小值?1．

又g??x??cosx?xsinx?2ex，由于0≤cosx≤1,xsinx≥0,2ex≥2，

π所以g??x??0，故g?x?在区间[0,]上单调递减，

2因此，x?0时，g?x?取得最大值?2． ?2?1． 所以?1≥m??2，所以m≤-??所以实数m的取值范围是??,?1?2?········································································ 7分 ?．·（Ⅲ）当x??1时，要证f?x??g?x??0，只要证f?x??g?x?， 只要证exsinx?cosx?xcosx?2ex， 只要证exsinx?2??x?1?cosx，

excosx?由于sinx?2?0,x?1?0，只要证 x?1sinx?2excosx?下面证明x??1时，不等式成立． x?1sinx?2???ex?x?1??exxexex令h?x??， ??x??1?，则h??x??22x?1?x?1??x?1?当x???1,0?时，h??x??0，h?x?单调递减； 当x??0,???时，h??x??0，h?x?单调递增．

所以当且仅当x?0时，h?x?取得极小值也就是最小值为1． 令k?cosxsinx?2，其可看作点A?sinx,cosx?与点B?2,0连线的斜率，

??所以直线AB的方程为：y?kx?2，

由于点A在圆x2?y2?1上，所以直线AB与圆x2?y2?1相交或相切， 当直线AB与圆x2?y2?1相切且切点在第二象限时，

直线AB取得斜率k的最大值为1

2?1?h?0?；x?0时，h?x??1≥k 故x?0时，k?2综上所述，当x??1时，f?x??g?x??0成立． ··························································· 12分

??

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