三角函数基本性质
更新时间:2023-08-07 12:09:01 阅读量: 实用文档 文档下载
三角函数基本性质
1.三角函数恒等变形的基本策略。
(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ;配凑角:α=(α+β)-β,β=
2βα+-2βα-等。
(3)降次与升次。
(4)化弦(切)法。
(4)引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(?+θ),这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定,?角的值由tan ?=
a
b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。
(2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。
(2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。
(3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。
图象变换:函数()()sin 0,0y A x A ω?ω=
+>>的图象可由sin y x =的图象做如下变换
得到
1、先相位变换 周期变换 振幅变换 sin y x = ()sin y x ?=+:把sin y x =图象上所有的点向左(0?>) 或向
右(0?<)平移?个单位。
()sin y x ω?=+:把()sin y x ?=+图象上各点的横坐标伸长
(01ω<<)或缩短(1ω>)到原来的 1
ω倍,
纵坐标不变。
()sin y A x ω?=+:把()sin y x ?=+图象上各点的纵坐标伸长
(1A >)或缩短(01A <<)到原来的A 倍,
横坐标不变。
2、先周期变换 相位变换 振幅变换
sin y x = sin y x ω=:把s i n y x =图象上各点的横坐标伸长
(01ω<<)或缩短(1ω>)到原来的1
ω 倍,纵坐标不变。
()sin y x ω?=+:把sin y x ω=图象上所有的点向左(0?>)或向右
(0?<)平移?ω
个单位. ()sin y A x ω?=:把()s i n y x ?=+图象上各点的纵坐标伸长
(1A >)或缩短(01A <<)到原来的A 倍,横坐标不变。
3、 注意:(1)要会画()sin y A x ω?=+在一个周期的图象:(即五点作图法:设
30,,,,2,22t x π
πω?ππ=+=求相应的
x 值和对应的y 值,描点作图)如2sin 26y x π??=+ ???,在[]0,π上的图象的画法。
(2)注意图象变换时①先平移后伸缩和先伸缩后平移时平移单位的区别。
②要先使函数名称相同再变换。
如:为得到函数cos 23y x π??=+ ???
的图象,只需将函数sin 2y x =的图象向 平移 个单位。
(3)2T πω=,1f T
=(频率)。注意()sin y A x ω?=+、()cos y A x ω?=+相邻两对称轴间的距离为2T πω
=。
(4)已知图象求解析式时注意:看振幅求A ,看周期求ω,看特殊点求?(通常是最大值或最小值时的位置)
(5)已知变换求解析式时,注意只能对自变量x 进行变换。
三角函数的图象及性质表(1)
三角恒等变化
【基础知识】
一、同角的三大关系:
① 倒数关系 tan α?cot α=1 ② 商数关系
sin cos αα= tan α ; cos sin αα= cot α ③ 平方关系 22sin cos 1αα+=
温馨提示:
(1)求同角三角函数有知一求三规律,可以利用公式求解,最好的方法是利用画直角三角形速解。
(2)利用上述公式求三角函数值时,注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号。
用诱导公式化简,一般先把角化成,2
k z α+∈的形式,然后利用诱导公式的口诀化简(如果前面的角是90度的奇数倍,就是 “奇”,是90度的偶数倍,就是“偶”;符号看象限是,把α看作是锐角,判断角
2
k πα+在第几象限,在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”,就加在前面)。
用诱导公式计算时,一般是先将负角变成正角,再将正角变成区间00(0,360)的角,再变到区间00(0,180)的角,再变到区间00(0,90)的角计算。
三、和角与差角公式 : sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;
cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=
tan α±tan β=tan (α±β)(1 tan αtan β)
四、二倍角公式:
sin 2α= 2sin cos αα.
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.
22tan tan 21tan ααα
=- 五、注意这些公式的来弄去脉
这些公式都可以由公式cos()cos cos sin sin αβαβ
αβ±=推导出来。 六、注意公式的顺用、逆用、变用。
如:逆用sin cos cos sin sin()αβαβαβ±=±
七、合一变形(辅助角公式)
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的
B x A y ++=)sin(??形式。
()sin cos ααα?A +B =+,其中tan ?B =A
. 八、万能公式
九、用αsin ,αcos 表示2tan α
十、积化和差与和差化积
积化和差 )]sin()[sin(cos sin βαβαβα-++=;
)]sin()[sin(sin cos βαβαβα--+=;
)]cos()[cos(cos cos βαβαβα-++=;
)]cos()[cos(sin sin βαβαβα--+=.
和差化积 2
c o s 2s i n 2s i n s i n ?θ?
θ?θ-+=+ 2
s i n 2c o s 2s i n s i n ?θ?θ?θ-+=- 2
c o s 2c o s 2c o s c o s ?θ?θ?θ-+=+ 2
s i n 2s i n 2c o s c o s ?θ?θ?θ-+=-
十一、方法总结
1、三角恒等变换方法
观察(角、名、式)→三变(变角、变名、变式)
(1) “变角”
,
22
. (2)“变名”指的是切化弦(正切余切化成正弦余弦sin cos tan ,cot cos sin αααααα
==),
(3)“变式’形公式展开和合并等。
2、恒等式的证明方法灵活多样
①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.
②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.
③比较法, 即设法证明: "左边-右边=0" 或" 左右
=1"; ④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.
例题:
如图,某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动
赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM ,该曲线段为函数
y=Asin ωx(A>0, ω>0) x ∈[0,4]的图象,且图象的最高点为
S(3,);赛道的后一部分为折线段MNP ,为保证参赛
运动员的安全,限定∠MNP=120o
(I )求A , ω的值和M ,P 两点间的距离;
(II )应如何设计,才能使折线段赛道MNP 最长?
本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识,考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,
解法一
(Ⅰ)依题意,有A =34T =,又2T πω=,6πω∴=。6y x π∴=
当 4x =是,233y π∴== (4,3)M ∴ 又(8,3)p
5MP ∴=
(Ⅱ)在△MNP 中∠MNP=120°,MP=5,
设∠PMN=θ,则0°<θ<60° 由正弦定理得
00sin sin120sin(60)MP NP MN θθ==-
NP θ∴=,0)MN θ∴=-
故01)(sin )2NP MN θθθθ+=
-=
060)θ=+ 0°<θ<60°,∴当θ=30°时,折线段赛道MNP 最长
亦即,将∠PMN 设计为30°时,折线段道MNP 最长
解法二:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)在△MNP 中,∠MNP=120°,MP=5,
由余弦定理得222cos MN NP MN NP +-∠MNP=2MP
即2225MN NP MN NP ++= 故22()25()2MN NP MN NP MN NP ++-=≤
从而23()254MN NP +≤,即MN NP +≤ 当且仅当MN NP =时,折线段道MNP 最长
注:本题第(Ⅱ)问答案及其呈现方式均不唯一,除了解法一、解法二给出的两种设计方式,
还可以设计为:①N ;②N ;③点N 在线段MP 的垂直平分线上等
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