物理学基地班分析力学讲义三

物理学基地班分析力学讲义

第四章微振动微振动：很常见的一种物理现象定义：振动是指系统对平衡位形(势能有极小值的位形)的某种周期性偏离。

§1.4.1一个自由度的微振动一、自由振动

平衡位置：系统势能U(q)具有最小值的位置。(此时：系统最稳定)

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例：长为 l的单摆的拉格朗日函数为

其中

平衡位置：微振动：质点对平衡位置的偏离不大在平衡位置附近对L作泰勒展开，得到

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推广：对一个有平衡位置的一维系统，设q为广义坐标，则系统的拉格朗日函数为

设：q0——系统的平衡位置，则

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对U在q0附近作泰勒展开，只保留到二阶小量，有

——二阶小量 (势能：平滑不陡峭；

若大，则单位时间运动的距离大振动不是微振动)则 a(q)只需展开到零阶小量，即

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略去对运动方程无关的常数项“-U(q0)”(物理上相当于选新的零势能点，数学上：拉格朗日函数的非唯一性),且令

则由拉格朗日方程

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得到运动方程

注：参见《理论物理基础教程》P383-388“量子谐振子”

二、自由振动方程的解自由振动：无强迫力、无阻尼的振动方程的解为

积分常数：A—振幅；

角频率；—初相位。其中振

幅和初相位由初始条件确定，角频率由系统确定。

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由位置与时间的函数速度和加速度

,分别得到

由质点的位置、速度和加速度的表达式可见，它们均与有关，因此定义关于相位的讨论： 1.对于同一振动系统，相位不同，则振动状态不同。如：对于振动，和为相位。

时，它们的振动状态就不同。

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2.对于以下两个同频率的简谐振动系统

当

时，振动同时到达最大位置，同时到达平

衡位置，同时到达反方向最大位置 (步调一致);

当

时，振动1到达正方向最大位置时，

振动2到达反方向最大位置，反之亦然 (步调相反)。通过相位，我们可以比较两个不同振动的振动状态：振动超前、振动同步、振动落后。

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3.相平面与相速度 (注意：波动与振动密切相关)等相面：空间中相位相同的点所组成的曲面。若电磁波的等相面为平面，则称该电磁波为平面电磁波；若电磁波的等相面为球面，则称该电磁波为球面电磁波。例：平面电磁波相速度定义为则当 k与 vp共线时，有，其等相面为—平面方程

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于是即相速度为

4.非相干波的叠加、波的群速度频率单一的波叫做单色波。真正单色波的波列必须

是无穷长的，而有限长的波列是许多单色波的叠加。由这样一群单色波组成的波列叫做“波包”。为了讨论方便，设有振幅相等、波长和频率都相近的两列波组成的波包，它们的角频率和波数分别为和，且有

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、

,即

二者叠加后，可得

y

vgx

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在前式

中，右边第二个余弦项表示高频的波动，而第一个余弦项可视为低频传播的振幅。叠加所得的某瞬时波形如上图所示，称高频波受到低频波的调制 (如图中绿色的线—包络线)。式中高频波的传播速度(即相速)为，而低频波向前传播的速度(群速度)为。

当两列波的频率差无限小时，波数差也无限小，在此极限情况下有

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附：关于色散的概念

牛顿于1666年用三棱镜把太阳光分成彩色光带，即将复色光分解为单色光而形成光谱，这种现象叫做光的色散。如右图所示。色散的原因：复色光进入棱镜后，由于它对各种频率的

光具有不同折射率(即光速随波长而变),各种色光的传播方向有不同程度的偏折，在离开棱镜时就各自分散，形成光谱。

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在物理学中把“色散”的概念推而广之，凡波速与波长有关的现象都叫做色散，ω与 k的依赖关系称为色散关系。根据色散关系，可以对相速度和群速度进行比较。

因为所以，对于色散介质，有

而对于无色散介质，则群速度等于相速度。

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凡是一个物理系统对输入物理量的不同频率成分有不同的响应，往往就称为“色散”,这是借用光学术语。

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自由振动系统：保守系

能量守恒

即

方程解的复数形式(指数形式):令，则：

思考：为什么用复数形式？什么条件下用复数形式？数学上： 1.对指数因子进行运算比对三角函数因子进行运算

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更简单，因为对指数微分并不改变它们的形式；

2.进行线性运算(相加、乘以常系数、微分、积分等)时，可先用复数形式运算，运算完后再取实部； 3.反例：非线性运算。例：电磁场中坡印廷矢量，不是

另外的例子：见P58

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三、受迫振动设：振子受到一个随时间变化的外场力Ue (x,t)的作用则在平衡位置附近展开Ue (x,t),有

(确定平衡位置时，不考虑外场)上式中，Ue (x,t)只是t的函数，对方程无贡献，略去。

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