高等数学答案习题1.3

习题1. 3（A）（P43）提示（仅供参考）

1．设函数f?x?在点x0附近有定义，且lim?f?x0?h??f?x0?h???0，问f?x?是

h?0否必在x0连续？

1?cos?答：不一定！f?x???x??0x?0x?0在x0?0处满足条件而连续。

2若函数f?x?在?a,b?内的任何一个闭子区间?a??,b???上连续，证明f?x?在

?a,b?内连续。

?x?ab?x0?证明：对?x0??a,b?，记??min?0,?，取???，则

2??2x0??a??,b?????a??,b???

由f?x?在?a,b?内的任何一个闭子区间?a??,b???上连续可得f?x?在x0连续， 由x0任意性可得f?x?在?a,b?内连续。

3 证明若f?x?在x0连续，则f?x?在x0也连续，问反之是否成立？ 证明 由f?x?在x0连续有

x?x0limf?x??f?x0?

故

x?x0limf?x??f?x0?

即f?x?在x0也连续。

?1反之不成立，例y????1x?Q。 x?Q4 设f?0??g?0?，当x?0时，f?x??g?x?，试证f?x?与g?x?这两个函数中至多有一个在x?0处连续。

证明：若f?x?与g?x?这两个函数在x?0处都连续，则

lim??f?x??g?x????limf?x??limg?x??f?0??g?0??0

x?0x?0x?0而lim??f?x??g?x????lim0?0

x?0x?0矛盾，故f?x?与g?x?这两个函数中至多有一个在x?0处连续。

?05证明f?x????xx?Q仅在x?0处连续。 x?Q证明：当x0?0，存在数列?an?，?bn?满足

liman?x0，limbn?x0

n??n??其中an?Q,bn?Q，故

limf?an??lim0?0

n??n??limf?bn??limbn?x0

n??n??故由数列极限与函数极限的关系可得f?x?在x0?0不连续。 当x?0时注意到

0?f?x??x

由夹逼法得limf?x??0?f?0?，故f?x?在x?0处连续。

x?0综上所述f?x?仅在x?0处连续。

6 指出下列函数的间断点，并说明其类型。 （1）f?x??x?1 x?2解 当x?2时f?x?是初等函数，故f?x?在x?2都连续；

在x?2无定义而在其去心邻域有定义，故x?2是f?x?间断点，又

limf?x??limx?2x?2x?1?? x?2故x?2是f?x?第二类（无穷）间断点。 （2）f?x??11?e1x

解 当x?0时f?x?是初等函数，故f?x?在x?0都连续；

在x?0无定义而在其去心邻域有定义，故x?0是f?x?间断点，又

limf?x??lim11?e11?e1x1xx?0?x?0??0

x?0?limf?x??limx?0??1

故x?0是f?x?第一类（跳跃）间断点。 （3）f?x??1?arctan1 x?a解 当x?a时f?x?是初等函数，故f?x?在x?a都连续；

在x?a无定义而在其去心邻域有定义，故x?a是f?x?间断点，又

1??? limf?x??lim?1?arctan?1??x?a?x?a?x?a2??1??? limf?x??lim?1?arctan?1??x?a?x?a?x?a?2?故x?a是f?x?第一类（跳跃）间断点。

?sinxx?0?x（4）f?x???

?1x?0?解 x?0时，sinx,x均连续，故x?0时f?x?连续。又

x?0?limf?x??limsinxsinx?lim?1

x?0?x?0?xxx?0?limf?x??limsinxsinx??lim??1

x?0?x?0?xx故x?0是f?x?第一类（跳跃）间断点。

?x2?4x?2?（5）f?x???x?2

?ax?2?

解 当x?2时f?x?是初等函数，故f?x?在x?2都连续；而

x2?4limf?x??lim?4 x?2x?2x?2故当a?4时有limf?x??f?2?，此时f?x?在x?2连续；

x?2当a?4时有limf?x??f?2?，此时x?2是f?x?的第一类（可去）间断点。

x?2?2sinx?ex?1xx?0????（6）f?x???ax?0?1?1?exsin1x?0?x?

解 当x?0时f?x?是初等函数，故f?x?在x?0都连续；而

x?0?limf?x??lim2sinx2sinx?limlim?1

x?0?ex?1xx?0?ex?1x?0?x????1?1?limf?x??lim?1?exsin??1 x?0?x?0?x??111（lime?0，且sin有界，故limexsin?0） x?0?x?0?xx1x故有

limf?x??1

x?0当a?1时有limf?x??f?0?，此时f?x?在x?0连续；

x?0当a?1时有limf?x??f?0?，此时x?0是f?x?的第一类（可去）间断点。

x?0?17设f?x????0类型。

解 由题条件知

x?0?x?1x?1，g?x???，指出f?g?x??的间断点，并说明其x?0?1?xx?1

?1f?g?x?????0x?1 x?1类似6题书写可得x?1是函数第一类（可去）间断点。 8 试确定a的值，使下列函数处处连续。

?ex（1）f?x????a?xx?0x?0

解：当x?0时f?x?是初等函数，故f?x?在x?0都连续，要函数处处连续只需要f?x?在x?0也连续。又

f?0???limf(x)?limex?1

x?0?x?0?f?0???limf(x)?lim?a?x??a

x?0?x?0?当f?0???f?0??f?0??即a?1时f?x?在x?0连续， 故当a?1函数处处连续。

?2x?1?（2）f?x???x

??acos?xx?1解：当x?1时f?x?是初等函数，故f?x?在x?1都连续，要函数处处连续只需要f?x?在x?1也连续。又

f?1?0??limf(x)?limx?1?x?1?x?1?2?2 x?1?xf?0???limf(x)?limacos?x??a

当f?1???f?1??f?1??即a??2时f?x?在x?1连续， 故当a??2函数处处连续。

1?x存在，将极限值记为f?x?，讨论f?x?的连续性。

n??1?x2n1?x1?x?0lim?1?x； 解 当x?1时，lim；当时，x?1n??1?x2nn??1?x2n1?x1?xx??1?1lim?0。故 当x?1时，lim； 当时，

n??1?x2nn??1?x2n9证明对每个实数x，lim

i?1??2??1??i?

若F?0?,F??,F??,?,F?1??中有一个为0，例F??，则取??即可。

n?n??n??n??n?

?1??2??1?若F?0?,F??,F??,?,F?1??都不为0，由

?n??n??n??1??2??1?F?0??F???F?????F?1???0

?n??n??n??1??2??1?得F?0?,F??,F??,?,F?1??中至少两项异号，设为

?n??n??n??k??l?F??F???0?n??n??kl?有一点???,?使得F????0，即

?nn?1??f????f????

n???k?l?

19 试证若函数f?x??C?a,b?，x1,x2,?,xn为此区间上任意n个点，则在上一定存在一点?使得

f????1?f?x1??f?x2????f?xn??? n?更一般的，若q1?0,q2?0,?,qn?0，且q1?q2???qn?1，则在在?a,b?上一定存在一点?使得

f????q1f?x1??q2f?x2????qnf?xn?

证明：只需对一般情形证明即可。不妨设x1?x2???xn，显然f?x??C?x1,x2?，故f?x?在?x1,x2?必有最大最小值分别设为M,m，显然

m?q1f?x1??q2f?x2????qnf?xn??M

故由介值定理一定存在一点???x1,x2???a,b?使得

f????q1f?x1??q2f?x2????qnf?xn?。

20 设函数f?x??C??a,???有界，且在?a,???，且limf?x?存在，证明f?x?在?x?????a,???上或有最大值或有最小值。

证明：设limf?x??l，故对??1，存在b ?b?a?，当x?b时

x???f?x??l?1

亦即当x?b时有

f?x??1?l

显然f?x??C?a,b?，故f?x?在?a,b?必有最大最小值分别设为K,k，即当

a?x?b时

k?f?x??K

令

M?max?K,k,1?l?

则对?x???a,???都

f?x??M

即f?x?在??a,???有界。 注意到x?b时

l?1?f?x??l?1

当K?l?1时f?x?在??a,???有最小值k；

当l?1?K?l?1时，f?x?在??a,???有最小值min?k,l?1?； 当l?1?K时，f?x?在??a,???最大值K.

1?x221 证明 函数 f?x??在???,???有界。

1?x2?x4注：事实上若

il引理 若f?x??C???,???，且mx???f?x?milx???f?x?均存在，则f?x?在???,???有界。

证明：设，limf?x??l1，limf?x??l2

x???x???故对??1，存在a,b?b?a?满足当 当x?a时

f?x??l1?1

亦即当x?a时有

f?x??1?l1

当x?b时

f?x??l2?1

亦即当x?b时有

f?x??1?l2

显然f?x??C?a,b?，故f?x?在?a,b?必有最大最小值分别设为K,k，即当

a?x?b时

k?f?x??K

令

M?max?K,k,1?l1,1?l2?

则对?x????,???都

f?x??M

即f?x?在???,???有界。

1?x2?0，当然limf?x?limf?x?均存在。 证明（21）因为limf?x??limx???x???x??x??1?x2?x41?x2故函数 f?x??在???,???有界。

1?x2?x4（当然你可以像证明引理那样直接证明）

22 证明 设f?x??C?a,b?，且f(a?),f(b?)存在，则f?x?在?a,b?有界。

?f(a?)x?a证明：法一 令F?x????f?x?x??a,b?，由f?x??C?a,b? ??f(b?)x?b得F?x?在?a,b?连续。又

F(a?)?xlim?a?F(x)?xlim?a?f?x??f(a?)?F(a)

F(b?)?xlim?b?F(x)?xlim?b?f?x??f(b?)?F(b)

即F?x?在区间?a,b?端点单侧连续，故F?x??C?a,b?，故?M?0

F?x??M

故在?a,b?上f?x??M。即f?x?在?a,b?有界。 法二 设f(a?)?l1,f(b?)?l2，即

xlim?a?f?x??l1

xlim?b?f?x??l2

故对??1，存在a1,b1?a?a1?b1?b?， 当a?x?a1时

f?x??l1?1

亦即当a?x?a1时有

f?x??1?l1 f?x??1?l1

当b1?x?b时

f?x??l2?1

亦即当b1?x?b时有

f?x??1?l2

显然f?x??C?a1,b1?，故f?x?在?a1,b1?必有最大最小值分别设为K,k，即当

a1?x?b1时

k?f?x??K

令

M?max?K,k,1?l1,1?l2?

则对?x??a,b?都

f?x??M

即f?x?在?a,b?有界。

23 证明 f?x?在?a,c?和?c,b?上一致连续，证明f?x?在?a,b?上一致连续。 证明：由f?x?在?a,c?和?c,b?上一致连续，可得f?x?在??连续，且?a,c?，?c,b?在x?c处左连续右连续，故也在x?c连续，从而f?x?在?a,b?上连续，故由定理3.19f?x?在?a,b?上一致连续。（当然可以用定义直接证明）

24 设f?x??C??a,???上一致连续。 ?a,???，且limf?x?存在，证明f?x?在?x???证明 由limf?x?存在，对???0则存在b ?b?a?，当x1,x2?b时

x???f?x1??f?x2???

又limf?x??f?b?，故??1?0当b??1?x1,x2?b??1时

x?bf?x1??f?x2???

又由定理3.19知f?x?在?a,b?上一致连续，故??2?0当x1?x2??2时

f?x1??f?x2???

取??min??1,?2?，则当x1?x2??

f?x1??f?x2???

故f?x?在??a,???上一致连续。

习题1.3(B)

1设函数f

x?C?x?、?g???，I证

明函数M(x)?m?axx?f?、g???及x

m(x)?min?f?x?、g?x??在区间I上均连续。 证明 注意到

M(x)?max?f?x?、g?x???m(x)?min?f?x?、g?x???f?x?+g?x??f?x?-g?x?2f?x?+g?x??f?x?-g?x?2

x?g-x?CI又函数f?x?、g?x??C?I?，故f???从而M(x)及m(x)在区间I上??，

均连续。

2 设f?x?是???,???上连续的周期函数，如果f?x?没有最小正周期，证明。 f?x??c（常数）

证明：对?x0,x1设x0?x1，由于f?x?没有最小正周期，则f?x?存在严格单调递减正周期序列Tn，满足limTn?0；对T1必存在非负整数k1，满足

n??0??x1?x0??k1T1?T2

对T2必存在非负整数k2，满足

0??x1?x0??k1T1?k2T2?T3

?

对Tn必存在非负整数kn，

0??x1?x0??k1T1?k2T2???knTn?Tn?1

即

lim?x0?k1T1?k2T2???knTn??x1

n??又

f?x0??f?x0?k1T1??f?x0?k1T1?k2T2??

??f?x0?k1T1?k2T2???knTn?

故

f?x0??limf?x0?k1T1?k2T2???knTn??f?x1?

n??

即f?x??c（常数）。

3 设f?x?在???,???上有定义，且对任意的x和y，f?x?y??f?x??f?y?，

证明：若f?x?在x?0连续，则f?x??kx，其中k?f?1? 参见微积分学习辅导P51 例14.

4设f?x?在???,???上有定义，在x?0,1两点连续，并且对任意x?R都有

f?x??f?x2?，证明在???,???上f?x?为常值函数。

证明：对?x???1,1?，注意到f?x??f?x2??f?x4????fx2，故

n??f?x??limfx2

n????n又f?x?在x?0连续，且limx2?0，得

n??n对?x???1,1?，有f?x??f?0?，又f?x?在x?1连续，故

f?1??limf?x??limf?0??f?0?

x?1?x?1?从而

2f??1??f???1???f?0?

??11??1???n对?x?1，f?x??f?x2??f?x4???f?x2??????1??? ?limx2?1，又f?x?在x?1连续，故

nn???21nf?x??limf??xn???????f?1??f?0? ?故当x?1时，f?x??f?0?

2故对?x??1由f?x??fx得f?x??f?0?。

??综上所述在???,???上f?x?为常值函数。

5设y?f?x?在区间I上连续，且为一一对应，则f?x?为严格单调。 证明 若f?x?不是严格单调的，则在I上必存在x1?x2?x3，使得

f?x1??f?x2?，f?x3??f?x2?

不妨设f?x1??f?x3?，则由连续的介值定理可得在区间?x1,x2?也能取到

??f?x3?,f?x2???，而在?x2,x3?上也能取到??f?x3?,f?x2???，这与f?x?是一一对应

矛盾。故f?x?为严格单调。

6 设f?x??C?a,b?，如果f?a?0???，则f?a?0????或??。

证明 由f?a?0???，对M?0，存在??0满足 a???b且a?x?a??时有

f?x??M

若又f?a?0????或??不成立，故必有a?x1,x2?a??使得

f?x1??M，f?x2??M

不妨设x1?x2，由零点定理有a?x1?x3?x2?a??，使得

f?x3??0，这与f?x3??M矛盾。故f?a?0????或??。

7设函数f?x?定义在区间?a,b?上，满足a?f?x??b（对任意x??a,b?），且对

?a,b?中任意的x,y有f?x??f?y??kx?y，这里k是常数，0?k?1，证明：

（1） 存在唯一的x0??a,b?，使得f?x0??x0

（2） 任取x1??a,b?，并定义数列?xn?：xn?1?f?xn?，n?1,2,?,则

limxn?x0

n??证明 （1） 由f?x??f?y??kx?y得，对任意的x??a,b?有

0?f?x??x??f?x??k?x

故

?x?0limf?x??x??f?x?

f?x?在区间?a,b?上连续。由习题1.3 第14（P45）必存在x0??a,b?，使得

f?x0??x0

若另存在x1??a,b?也满足

f?x1??x1

则

f?x1??f?x0??x1?x0?kx1?x0

这与

f?x1??f?x0??kx1?x0

矛盾。故（1）成立。

（2）xn?xn?1?f?xn?1??xn?2?f?xn?1??f?xn?2?

?kxn?1?xn?2???kn?2x2?x1

对xn?p?xn?xn?p?xn?p?1?xn?p?1?xn?p?2???xn?xn?1

??kn?p?2?kn?p?3???kn?2?x2?x1?kn?21?kp?1kn?2x2?x1?x2?x1 1?k1?kkn?2x2?x1??。 故对???0，容易存在n1?N当n?n1时，1?k对???0，取n0?n1，当n?n0时，对?p?N都有

xn?p?xn??

故?xn?是基本列，故limxn存在，设limxn?l，又f?x?在区间?a,b?上连续，故

n??n??由limxn?1?limf?xn?得

n??n??l?limf?l?

n??由（1）得

l?x0

8 证明（1）对任意的自然数n，方程xn?xn?1???x?1恰好有一个正根xn （2）数列?xn?收敛，并求出其极限。

证明(1)设函数f(x)?xn?xn?1???x?1显然f?C[ 0 , 1 ]。

且f(0)??1 ,f(1)?0。

由零点定理可得方程有正根

若方程有两个不同的根设为x??x??，则有

?x??n??x??n?1???x??1?1? ?x???n??x???n?1???x???1?2?

显然?x???k??x??k?k?1,?n?，故 ?x???n??x???n?1???x????x??n??x??n?1???x?

这与（1）（2）矛盾。故方程xn?xn?1???x?1恰好有一个正根xn。 （2）显然0?xn?1，即数列?xn?有界，对任意的xn，xn?1若xn?xn?1，则

?xkn???xn?1?k

故

?xnnn?1n???xn?1n????xn??xn?1???xn?1????xn?1

这与

?xnn???xn?1n????xn?1

?xn?1?n?1??xnn?1n?1???xn?1????xn?1?1

矛盾。故对任意的xn，xn?1有xn?xn?1，故?xn?单调减。故故nlim??xn存在，设

limn??xn?l，

注意到?xnn?1，故有

xn?1??xn?n???xn????xn?1?n??1?x?1 n另外0??xnnnnn???x1?，而limn???x1??0，故limn???xn??0，

故由limx??1??xnnn????lim1得ln??1?xnn??1?l?1，故 limx1n??n?2

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