大学高数第六章第5节 定积分

大学高数同济版,定积分

第五节 定积分的分部积分法一、分部积分公式 二、小结 思考题上页 下页 返回

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一、分部积分公式设函数u( x )、v ( x ) 在区间 a, b 上具有连续 导数，则有 a udv uv a vdu .b b a b

推导

定积分的分部积分公式 b b uv u v uv , a (uv ) dx uv ,a

uv

b ab

a u vdx a uv dx,b bb a b上页 下页 返回

udv uv vdu.a a

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例1

计算 0 arcsin xdx. 令 u arcsin x ,

1 2

解

dv dx ,

dx 则 du , 2 1 x1 2

v x,1 2

0 arcsinxdx x arcsin x 0 01 1 1 1 2 2 d (1 x ) 2 0 2 6 2 1 x 1 3 2 2 1. 1 x 0 12 12 2

1 2

xdx 1 x2

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例2

xdx . 计算 0 1 cos 2 x

4

解

1 cos 2 x 2 cos x ,2 xdx xdx 4 4 x d tan x 2 0 1 cos 2 x 0 2 cos x 0 2 1 1 4 4 x tan x 0 tan xdx 2 0 2 1 ln 2 4 ln sec x 0 . 8 2 8 4 4

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例3

计算

1

0

ln(1 x ) dx. 2 (2 x )

解

0

1

1 ln(1 x ) 1 dx 0 ln(1 x )d 2 (2 x ) 2 x1

1 1 ln(1 x ) 0 2 x d ln(1 x ) 2 x 01 ln 2 1 1 1 1 dx 0 2 x 1 x 3 1 x 2 x ln 2 5 1 ln(1 x ) ln(2 x ) 0 ln 2 ln 3. 3 3

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例4 解

设 f ( x ) 1

x2

1 sin t dt , 求 xf ( x )dx. 0 t

sin t 因为 没有初等形式的原函数， t 无法直接求出 f ( x ) ,所以采用分部积分法

1 1 xf ( x )dx f ( x )d ( x 2 ) 0 2 0 1 1 2 1 1 2 x f ( x ) 0 0 x df ( x ) 2 2 1 1 1 2 f (1) x f ( x )dx 2 2 01

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f ( x ) 1

x2

sin t dt , t2

sin t f (1) 1 dt 0, t12

sin x 2 sin x f ( x ) 2x , 2 x x

1 1 2 1 0 xf ( x )dx f (1) 0 x f ( x )dx 2 2 1 1 1 1 2 0 2 x sin x dx 0 sin x 2dx 2 2 2 1 1 2 1 cos x 0 (cos 1 1). 2 21

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例5

证明定积分公式 2

I n 0 sin xdx 0 cos xdxn n

2

3 1 n 1 n 3 , n为正偶数 n n 2 4 2 2 n 1 n 3 4 2 , n为大于1的正奇数 n n 2 5 3证 设 u sinn 1 x ,

dv sinxdx,上页 下页 返回

du (n 1) sinn 2 x cos xdx, v cos x ,

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I n sin n 1 x cos x 0 ( n 1) 0 sin n 2 x cos 2 xdx 2 2

0

1 sin 2 x

I n ( n 1) 02 sinn 2 xdx ( n 1) 02 sinn xdx (n 1) I n 2 (n 1) I nn 1 In I n 2 积分I n关于下标的递推公式 n n 3 I n 2 I n 4 , 直到下标减到0或1

为止 n 2

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I 2m

2m 1 2m 3 5 3 1 I 0 , 2m 2m 2 6 4 2 2m 2m 2 6 4 2 I 1 , 2m 1 2m 1 7 5 3 2

( m 1,2, )

I 2 m 1

I 0 dx , 0 2

I1 sin xdx 1,0

2

2m 1 2m 3 5 3 1 于是 I 2 m , 2m 2m 2 6 4 2 2 2m 2m 2 6 4 2 I 2 m 1 . 2m 1 2m 1 7 5 3

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例6 02 sin xdx.6

解

5 3 1 . 02 sin xdx 6 4 2 2 6

例7 计算 I m , n 解

0 x 1 x dx, m,n N .1 m nm 1 n

I m ,n

x 0 1 x d m 11

1 x

n

x m 1 1 n 1 m 1 n 1 0 x 1 x dx 0 m 1 m 1 上页下页 返回

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I m ,n

n I m 1, n 1 m 1n n 1 2 1 I m n,0 m 1 m 2 m n

1 n! x m n dx m n ! 0

n! . m n 1 !

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1 例8 证明 02 sin x cos xdx n 02 cosn xdx. 2 1 n n n 2 sin x cos xdx 2 sin 2 x dx 证明 0 u 2x n 0 2n n

1 分区间 n 1 0 sinn udu 2 1 n 1 2 02 sinn udu u x 2 2 1 2 1 n n 2 cos xdx. n 0 cos udu n 0 2 2

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二、小结定积分的分部积分公式b a

udv uv vdu.b b a a

(注意与不定积分分部积分法的区别)

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思考题设 f ( x ) 在 0,1 上 连 续 ， 且 f (0) 1 , 1 f ( 2) 3 , f ( 2) 5 ,求 xf ( 2 x )dx .0

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思考题解答1 1 0 xf (2 x )dx 2 0 xdf (2 x )1

1 1 1 1 xf ( 2 x ) 0 f ( 2 x )dx 2 2 0

1 1 1 f ( 2) f ( 2 x ) 0 2 4 5 1 f ( 2) f (0) 2. 2 4

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练习题

一、填空题： 1、设 n 为正奇数，则 2、设 n 为正偶数，则1

2 0 2 0

sinn xdx ___________;cos n xdx =___________;

x 3、 0 xe dx ______________;

4、 1 x ln xdx _____________;e

5、 0 x arctan xdx ____________ . 二、计算下列定积分：1

1、 1 sin(ln x ) dx ;e

2、 1 ln x dx ;e e

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3、 J ( m ) 4、

0

x sin m xdx , m 为自然数) (

0

sin n 1 x cos( n 1) xdx .

2 三、已知 f ( x ) tan x ,求

4 0

f ( x ) f ( x )dx .

四、若 f ( x )在 0 , 连续， f ( 0 ) 2 , f ( ) 1 ,

证明： 0 [ f ( x ) f ( x )] sin xdx 3

.

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练习题答案( n 1)!! ( n 1)!! 2 1 ; 3、 ; 一、1、 ; 2、 n!! e n!! 2 1 3 1 3 1 2 ) ln . 4、 (e 1) ; 5、( 4 4 9 2 2 e sin 1 e cos1 1

1 2(1 ) ; 二、1、 ; 2、 2 e 3 、 1 3 5 ( m 1) 2 2 4 6 m 2 , m为偶数 J (m) ; 2 4 6 ( m 1) , m 1为奇数 1 3 5 m

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0, 当 n 为正奇数时 4、 2( n 1)!! ; n!! , 当 n 为正偶数时 5、0. 三、8.

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