函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用

函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用

一、知识回顾：

1、对于给定区间D上的函数f(x)，如果_____，则称f(x)是区间D上的增（减）函数.

2、判断函数单调性的常用方法： 观察图像法 、定义法 3、关于函数单调性还有以下一些常见结论：

①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；

②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间

上有_____的单调性；

4、函数的奇偶性：

（1）对于函数f(x)，其定义域关于原点对称： ．．．．．．．．． 如果______________________________________，那么函数f(x)为奇函数； 如果______________________________________，那么函数f(x)为偶函数. （2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称.

周期函数的定义：对于函数f?x?，存在非0常数T，使得对于其定义域

内总有f?x?T??f?x?，则称的常数T为函数的周期。 5、函数的周期性

① f?x?a???f?x??f?x?的周期为2a；②如f?x?a??③如f?x?a???1f?x??f?x?的周期为4a；

2?1f?x??f?x?的周期为2a；

④对于三角函数y?Asin??x????B.y?Acos??x????B，其周期T?⑤对于y?Atan??x????B.y?Acot??x????B，其周期T????；

⑥若y?f?x?关于直线x?a,x?b?a?b?对称，则y?f?x?一定为周期函数，2?b?a?为y?f?x?的周期 二、例题

例1、已知f(x)?ax7?bx5?cx3?dx?5，其中a,b,c,d为常数，若f(?7)??7，则

f(7)?_______（构造奇偶函数）

变式1、已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)= _______ 变式2、已知f(x)是定义在R上的偶函数，它在[0,??)上递减，那么一定有 A．C．

f(?3434)?f(a2?a?1) ?a?1)

B．D．

f(?3434)?f(a2?a?1) ?a?1)

f(?)?f(a2f(?)?f(a2- 1 -

例2、若f(x)=-x2+2ax与g(x)?A．(?1,0)?(0,1) 是 .

ax?1 B．(?1,0)?(0,1]

在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是

C．（0，1） D．(0,1]

变式1、若函数f(x)=ax?b在[0,+∞]上为增函数,则实数a、b的取值范围例3、已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数，若f(m?1)?f(2m?1)?0，求实数m的取值范围

变式1、已知f(x)是R上的增函数，A（0，－1），B（3,1）是其图象上的两点，则不等式|f(x?1)|?1 的解集为________ 例4、已知函数f(x)?x2?2ax?2

（１）若方程f(x)?0有两不相等的根，求a的取值范围； （２）若函数f(x)满足

f(2)?f(0)，求函数在x?[?5,5]的最大值和最小值；

（3）若a为任何实数，讨论f(x)在x?[?5,5]的最小值．（ 条件f(2)?f(0)改

为f(1?x)?f(1?x)有什么区别）

变式1、已知函数y?x2?2x?3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是

A、[ 1，+∞） B、[0，2] C、（-∞，2] D、[1，2] 变式2、已知二次函数f(x)?ax2?bx(a?0)满足条件：f(5?x)?f(x?3)且方程f(x)?x有等根， ⑴ 求f(x)的解析式；

⑵ 是否存在实数m,n(m?n)，使得f(x)的定义域为[m,n]，值域为[3m,3n]。 例5、已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是．（ ）

A．0 B．1 C．0或1 D．1或2

分析：这个问题是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1?F时没有交点，所以选C．

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例6、(一次函数f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，试证明之； 证明：

当k＞0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是增函数，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0； 当k＜0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是减函数，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0． 所以对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立．。

例7.设f(x)定义在上的单调增函数，满足f(xy)?（0，+?）（1）

f(1);

f(x)+f(x?8)?2,求xf(x)+f(y)，f(3)?1。 求：

(2) 若的取值范围。

例8、（2006年山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 (B)

(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性，基础题。 解析：由f?x?2???f?x??f?x?4???f?x?2??f?x? 由f?x?是定义在R上的奇函数得f?0??0，∴f?6??f?4?2??f?2???f?0??0，故选择B。

【窥管之见】本题用到两重要性质：①f?x?a???f?x??f?x?的周期为2a；②如f?x?是定义在R上的奇函数，则f?0??0。

例9、设f(x)是定义在R上的奇函数，且y?f?x?的图象关于直线xf (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________. 【考点分析】本题考查函数的周期性

解析：f??0???f?0?得f?0??0，假设f?n??0 因为点（?n，0）和点（n?1,0）关于x?12?12对称，则f (1)+

对称，所以f?n?1??f??n???f?n??0

因此，对一切正整数n都有：f?n??0

从而：f?1??f?2??f?3??f?4??f?5??0。本题答案填写：0 例10、（2006福建卷）已知f(x)是周期为2的奇函数，当0?x?1时，f(x)?lgx. 设a?f(),b?f(),c?f(),则

5（A）a?b?c6522635 （B）b?a?c （C）c?b?a （D）c?a?b

解：已知f(x)是周期为2的奇函数，当0?x?1时，f(x)?lgx.

设a?f()?f(?)??f()，b?f()?f(?)??f()，c?f()?f()<0，∴

55222224431151c?a?b，选D.

1f?x?例11、（2006年安徽卷理）函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2??若f?1???5,则f?f?5???__________。

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，

【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。 解析：由f?x?2??f1f?x?得f?x?4??1f(?1?2)1f?x?2??f(x)，所以f(5)?f(1)??5，则

?f?5???f(?5)?f(?1)???15。

【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。本题应直观理解f?x?2??1f?x? “只要加2，则变倒数，加两次

则回原位” 则一通尽通也。 例12、设f?x?是???,???上的奇函数，f?x?2???f?x?，当0≤x≤1时，f?x??x，则f（7.5）等于（ ）

A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5

解析：由f?x?2???f?x??f?7.5???f?5.5??f?3.5???f?1.5??f??0.5?，又f?x?是奇函数，故f??0.5???f?0.5???0.5，故选择B。 例13、（2005福建卷）f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)?0，

则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ B ） A．5 B．4 C．3 D．2 解析：由f(x)的周期性知，f(2)?f?5??f??1???f?1???f?4??0

即至少有根1，2，4，5。故选择B。 例14、（05广东卷）设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x，)f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)?f(3)?0． （Ⅰ）试判断函数y?f(x)的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论． .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数y?f(x)的对称轴为x?2和x?7, 从而知函数y?f(x)不是奇函数,

?f(2?x)?f(2?x)?f(x)?f(4?x)???f(4?x)?f(14?x) 由?f(7?x)?f(7?x)f(x)?f(14?x)???f(x)?f(x?10),从而知函数y?f(x)的周期为T?10

又f(3)?f(0)?0,而f(7)?0,故函数y?f(x)是非奇非偶函数;

?f(2?x)?f(2?x)?f(x)?f(4?x)???f(4?x)?f(14?x) (II)由?f(7?x)?f(7?x)f(x)?f(14?x)???f(x)?f(x?10)

(II) 又f(3)?f(0)?0,f(11)?f(13)?f(?7)?f(?9)?0

故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数y?f(x)在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数y?f(x)在[-2005,2005]上有802个解. 作业：

1、f(x)为(??,??)上的减函数，a?R，则 （ ）

（A）f(a)?f(2a)（B）f(a2)?f(a)（C）f(a2?1)?f(a)（D）f(a2?a)?f(a) 2、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，

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那么在区间[－7，－3]上是（ ） A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5 C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5

3、定义在[?1，1]上的函数y?f(x)是减函数，且是奇函数，若

f(a?a?1)?f(4a?5)?02，求实数a的范围。

4、已知二次函数f(x)?ax2?bx满足f(1?x)?f(1?x)，且方程f(x)?x有两个相等实根，若函数f(x)在定义域为[m,n]上对应的值域为[2m,2n]，求m,n的值。

5、已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)??2x的解集为(1,3)。 （Ⅰ）若方程f(x)?6a?0有两个相等的根，求f(x)的解析式； （Ⅱ）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围。 设

f(x)?x2?2ax,(0?x?1)的最大值M(a)，最小值m(a)。

试求M(a),m(a)的表达式， 并求出函数

M(a)的最值。

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