长沙理工大学材料力学练习册答案1-5章

材料力学 分析与思考题集

第一章 绪论和基本概念

一、选择题

1.关于确定截面内力的截面法的适用范围，有下列四种说法：【D.适用于不论等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形、横截面或任意截面的普通情况。

2.关于下列结论的正确性：【C 1.同一截面上正应力?与剪应力?必须相互垂直 3.同一截面上各点的剪应力必相互平行。】 3.下列结论中那个是正确的：【B.若物体各点均无位移，则该物体必定无变形】 4.根据各向同性假设，可认为构件的下列量中的某一种量在各方向都相同：【B 材料的弹性常数】

5.根据均匀性假设，可认为构件的下列量中的某个量在各点处都相同：【C 材料的弹性常数】 6.关于下列结论：【C 1.应变分为线应变?和切应变? 2.应变为无量纲量 3.若物体的各部分均无变形，则物体内各点的应变均为零】

7.单元体受力后，变形如图虚线所示，则切应变?为【B 2?】

二、填空题

1.根据材料的主要性能作如下三个基本假设 连续性假设 ， 均匀性假设 和 各向同性假设 。

2.构件的承载能力包括强度、刚度和稳定性三个方面。

3.图示结构中，杆1发生轴向拉伸变形，杆2发生轴向压缩变形，杆3发生弯曲变形。 4.图示为构件内A点处取出的单元体，构件受力后单元体的位置为虚线表示，则称du/dx为A点沿x方向的线应变，dv/dy为【A点沿y方向的线应变】，(a1?a2)为【A在xy平面内的角应变】。

5.认为固体在其整个几何空间内无间隙地充满了物质，这样的假设称为连续性假设。根据这一假设，构件的应力、应变和位移就可以用坐标的连续性函数来表示。 6.在拉（压）杆斜截面上某点处分布内力集度称为应力(或全应力），它沿着截面法线方向的分量称为正应力，而沿截面切线方向的分量称为切应力。

第二章 杆件的内力分析

一、选择题

1.单位宽度的薄壁圆环受力如图所示，p为径向压强，其n-n截面上的内力【B pD/2】

2.梁的内力符号与坐标系的关系是：【B 剪力、弯矩符号与坐标系无关】 3.梁的受载情况对于中央截面为反对称（如图）。设

FN有四个答案：

F?qa/2,FSC和MC表示梁中央截面上

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的剪力和弯矩，则下列结论中哪个是正确的？【B

FSC?0,MC?0】

4.若梁的受力情况对于梁的中央截面为反对称（如图），则下列结论中哪个是正确的？【D

FS?图对称，M?图反对称，中央截面上弯矩为零】

5.图示带中间铰的连续梁，AB和BC部分的内力情况有四种答案：【D

FS、M为零，FN不为零】

6.悬臂梁受载如图，弯矩图有三种答案：图（A）、图（B），图（C）。【C】 7.图示受载梁，截面C左、右两侧的内力有四种答案：【B 8.简支梁承受分布载荷，取坐标系如图，则M、

FN、FS相同，M不同】

FS、q间的微分关系有四种答案：

【B

dFS/dx??q,dM/dx??FS】

9.图示梁中当力偶m的位置改变时，有下列结论：【B 10.多跨静定梁受载情况如图。设

FS图不变，只M图改变】

MA、FSA分别表示截面A处弯矩和剪力的绝对值，则下列

M结论中那个是正确的？【B l值越大，则A也越大】

11.多跨静定梁的两种受载情况（1）和(2)如图。下列结论中那个是正确的？【D 两种的

FS图相同，M图不同】 二、填空题

1.简支梁某一段受均布载荷时，最大的弯矩在分布载荷的合力作用点处。这只对受力对称，分布载荷的情况是正确的，而对受力不对称分布载荷的情况则是错误的。

2.图示梁受分布力偶作用，其值沿轴线按线性规律分布，则B端支反力恒为m0/2，弯矩图为二次曲线，

Mmax发生在l/2处。

第三章 截面图形的几何性质

一、选择题

3I?I?bhIz2zz21、由惯性矩的平行移轴公式，的答案有四种：【C 】

2、矩形截面，C为形心，阴影面积对

(Sz)A,其余部分面积对ZC轴的静矩为(Sz)B,(Sz)A与

(Sz)A之间的关系有四种答案：(S)(S)【D zA= -zB】

3、已知平面图形的形心为C，面积为A，对z轴的惯性矩为Iz，则图形对z1轴的惯性矩有

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22I?I?(b?a)A】 z1z四种答案：【D

4、对于矩形ABCD中各轴有四种判断答案：【C y1、y2不是主轴】

5、O为直角三角形ABD斜边上的中点，y、z轴为过中点O且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩有四种答案：【C

Iyz?0 】

6、y轴上、下两部分图形面积相等，y1轴通过O点，关于y1轴有四种答案:【C 不是主轴】 7、平面图形对一组相互平行轴的惯性矩中，对形心轴的惯性矩有四种答案：【B 最小】

二、填空题 1.已知

ZC为形心轴，ZSZZS则截面对C轴的静矩ZC=0，C轴上下两侧图形对C轴的静矩ZCSZC（下）的关系是SZC（上）=?SZC（下）

。2

3（上）与

-bh3x轴//x1轴，已知三角形Ix?bh/12,则Ix1?4. 2.图示

3.任意平面图形至少有一对形心主惯性轴，等边三角形有无穷多对形心主惯性轴。

第四章 杆件的应力与强度计算

一、选择题

1.低碳钢试件拉伸时，其横截面上的应力公式

??FN/A【D 在试件拉断前都试用】

o2.等截面直杆受力F作用发生拉伸变形。已知横截面面积为A，则横截面上的正应力和45斜截面上的正应力分别为：【A F/A,F/(2A) 3.拉（压）杆应力公式

??FN/A的应用条件是：【B 外力合力作用线必须沿着杆的轴线】

4.低碳钢拉伸经过冷作硬化后，以下四种指标中哪种得到提高：【B 比例极限】

5.脆性材料具有以下哪种力学性质：【B 压缩强度极限比拉伸强度极限大得多】 6.当低碳钢试件实验应力

???s时，试件将【D 产生很大的塑性变形】

7.伸长率（延伸率）公式??(l1?l)/l?100%中l1指的是什么，有以下四种答案：【D 断裂后实验段的长度】

8.图示结构中二杆的材料相同，横截面面积分别为A和2A,该结构的许可载荷有四种答案：【B

[FN]?2A[?] 】

9.在A、B两点连接绳索ACB，绳索上悬挂重物P，如图。点A、B的距离保持不变，绳索

o[?]45a的许用应力。试问：当角取何值时，绳索的用料最省？有四种答案【C 】

10.结构如图，载荷F可在横梁（刚性杆）DE上自由移动。杆1和杆2的横截面积均为A，

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许用应力均为[?]（拉、压相同）。求载荷F的最大许可值。有四种答案：【B 2A[?]/3】 11.切应力互等定理适用情况有下列四种答案：【D 空间任意应力状态】 12.图示铆钉连接，铆钉的挤压应力

?bs是：

【B F/(2dt)】

24(a?b)P/(a?d)】 13.图示A和B的直径都为d，则两者中最大切应力为【B

14.图示两木杆（I和?）连接接头，承受轴向拉力作用。【D 4-4为挤压面】

15.对于受扭的圆轴，关于如下结论【C 2.在横截面上和包含杆件轴线的纵横截断面上均无正

应力 3.圆轴内最大拉应力的值和最大切应力的值相等】 16.轴扭转切应力公式17.公式

?p?Tp/IP适用于如下截面轴，有四种答案;【C 圆形截面轴】

?p?Tp/IP对图示四种横截面杆受扭时，适用的截面有四种答案：（注：除（D外）

其余为空心截面）【A】

18.内径与外径的比值为a?d/D的空心圆轴，两端承受力偶发生扭转。设四根轴a分别为0、0.5、0.6和0.8，但横截面面积相等，其承载能力最大的轴有四种答案：【D a?0.8】 19.在图示受扭圆轴横截面上的切应力分布图中：【D】

20.图示圆杆，材料为铸铁，两端受力如图，杆的破坏截面有四种答案：【B 沿螺旋面1-1破坏】

21.建立圆轴的扭转应力公式

?p?Tp/IP时，“平面假设”起到的作用有下列四种答案：【B

“平面假设”给出了圆轴扭转时的变形规律；】 22.建立圆轴扭转切应力公式

?p?Tp/IP时，没有直接用到的关系式，现有四种答案：【C 切

应力互等定理】

23.任意截面形状的等直梁在弹性纯弯曲条件下，中性轴的位置问题有四种答案：【B 通过横截面的形心】

24.受力情况相同的三种等截面梁，它们分别由整块材料或两块材料并列或两块材料叠合（未粘接）组成，如图（1）、（2）、（3）所示。采用

?max1、?max2、?max3分别表示这三种梁中

?max1=?max2

为：【A 1/4】

横截面上的最大正应力，则下列结论中那个正确的？【B 25.一梁拟用图示方式搁置，则两种情况下的最大应力之比

(?max)a/(?max)b26.图示矩形截面采用两种放置方式，从弯曲正应力强度观点，承载能力（b）是（a）的多少倍？【A 2】

27.在推导弯曲正应力公式??My/Iz，由于作了“纵向纤维互不挤压”假设，从而有以下四种答案：【B 使正应力的计算可用单向挤压胡克定律】

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28.在推导梁平面弯曲的正应力公式??My/Iz，下面哪条假定不必要：【D 材料的

[?t]?[?c]

29.由梁弯曲时的平面假设，经变形几何关系分析得到的结果有四种答案：【C ??y/p】 30.理想弹塑性材料梁，在极限弯矩作用下，截面上的中性轴位置有四种答案：【D 将截面分成面积相等的两部分】

31.图示梁，采用加副梁的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度有四种答案：【B l/4】

32.对于相同的横截面积，同一梁采用下列何种截面，其强度最高。【B 】 33.一铸铁工字形截面梁，欲在跨中截面腹板上钻一圆孔布置有四种如图：【D】 34.如图所示的悬臂梁，自由端受力偶M作用，梁中性层上正应力?及切应力?有四种答案：【C ??0,??0】

35.所谓等强度梁有以下四种定义：【D 各横截面最大正应力相等】

36.已知悬臂梁AB的横截面边为等边三角形，C为形心，梁上作用有均布载荷q，其方向及位置如图所示，该梁变形有四种答案：【A 平面弯曲】

37.偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到形心之距离e和中性轴到形心之距离d之间的关系有四种答案：【C e越小，d越大】

38.在图示杆件中，最大压应力发生在截面上哪一点，现有四种答案：【C C点】 39.一空心立柱，横截面边界为正方形，内边界为等边三角形（二图形形心重合）。当立柱受沿图示a-a线的压力时，此立柱变形形态有四种答案：【B 平面弯曲与中心压缩组合】 40.图示矩形截面偏心受压杆发生的变形有下列四种答案：【C 轴向压缩和斜弯曲组合】 41.正方形截面的悬臂梁，长为l，自由端受集中力F作用，力F的作业线方向如图所示。关于下列论述（式中【3.

D

Wx、Wy、Wx,、Wy,

2.】

，，x、、y、、y分别为梁截面对轴的抗弯截面系数）：

?max?[Fcos(45o??)]l/Wx?[Fsin(45o??)]l/Wy,,

?max?(Fcos?)l/Wx42.一空间折杆受力如图所示，则AB杆的变形有四种答案：【A 偏心拉伸】 43.三种受压杆如图，设杆1、杆2和杆3中的最大压应力（绝对值）分别用

?max1、?max2和

?max3表示，它们之间的关系有四种答案：???【C max1

二、填空题

1.对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常用

?0.2表示其屈服极限。?0.2是塑性应变等于

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4、矩形截面简支梁受力如图（a）所示，横截面上各点的应力状态如图（b）所示。关于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（ D ）。

a F 1 F a 2 3 4 (a) 1 2 5 (b) 3 5 4

（A）点1、2的应力状态是正确的；（B）点2、3的应力状态是正确的； （C）点3、4的应力状态是正确的；（D）点1、5的应力状态是正确的。

5、对于图示三种应力状态（a）、（b）、（c）之间的关系，有下列四种答案，正确答案是（ D ）。

??? 450 ??? 450 ???? (c) ? (a) ??? (b)

（A）三种应力状态均相同；（B）三种应力状态均不同； （C）（b）和（c）相同； （D）（a）和（c）相同；

6、关于图示主应力单元体的最大切应力作用面有下列四种答案，正确答案是（ B ）。 ?2 ?2 ?2 ?2 ?1 (A) (B) ?1 (C) ?1 (D) ?1

解答：?max发生在?1成45的斜截面上

7、广义胡克定律适用范围，有下列四种答案，正确答案是（ C ）。 （A）脆性材料；

（B）塑性材料；

（C）材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D）任何材料；

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EG?2(1?v)8、三个弹性常数之间的关系：G?E/[2(1?v)] 适用于（ C ）。

（A）任何材料在任何变形阶级； （B）各向同性材料在任何变形阶级； （C）各向同性材料应力在比例极限范围内；（D）任何材料在弹性变形范围内。 解析：在推导公式过程中用到了虎克定律，且G、E、v为材料在比例极限内的材料常EG?数，故 2(1 ?适应于各向同性材料，应力在比例极限范围内 v)

9、点在三向应力状态中，若?3??(?1??2)，则关于?3的表达式有以下四种答案，正确答案是（ C ）。

?2 ?1 ?3

（A）?3/E；（B）?(?1??2)；（C）0；（D）??(?1??2)/E。

1解析： ?3???3?v??1??2???,?3?v??1??2?E? 1??3???v??1??2??v??1??2????0E

10、图示单元体处于纯剪切应力状态，关于??450方向上和线应变，现有四种答案，正确答案是（ C ）。

?xy 450

（A）等于零；（B）大于零；（C）小于零；（D）不能确定。 ? 3?解析：

111?v?3?v??1??2??????xy?v?xy???xy?0?????EEE

11、图示应力状态，现有四种答案，正确答案是（ B ）。

?xy

（A）?z?0；（B）?z?0；（C）?z?0；（D）不能确定 。 解析：? z ??2?

11?3?v??1??2????0?v(?xy??xy)??????0EE?长沙理工大学 土木与建筑学院

12、某点的应力状态如图所示，当?x、?y、?z，?xy增大时，关于?z值有以下四种答案，正确答案是（ A ）。

?y ?xy ?x ?z

（A）不变；（B）增大；（C）减小；（D）无法判断。 ? z ?解析： E ? z ? v ? ? x ? ? y ? ???? 与?xy无关

1

13、在图示梁的A点测得梁在弹性范围内的纵横方向的线应变?x、?y后，所能算出的材料常数有（ D ）。

F y F h b A a l x a

（A）只有E ；（B）只有 v；（C）只有G；（D）E、v和G均可算出。 解析：中间段为纯弯曲，A点为单向拉伸， 则 ? y ? ?v?x

?XFa?y?E,?x??xIzG?E2(1?v)14、纯剪应力状态下，各向同性材料单元体的体积改变有四种答案，正确答案是（ C ）。 （A）变大；（B）变小；（C）不变；（D）不一定 。

解析：因纯剪应力状态： ?1??,?2?0,?3??? 体积改变比能 ?V?1?2v????????1?2v(??0??)?0r1236EE?V?Vr??0V??V?0

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二、填空题

1、图示单元体属于 单向（拉伸 ） 应力状态。

? ? ??? 题1图

2、图示梁的A、B、C、D四点中，单向应力状态的点是 A、B ，纯剪应力状态的点是 D ，在任何截面上应力均为零的点是 C 。

a F A C D B 题2图 F a

三、计算题

1、求图示单元体的主应力，并在单元体上标出其作用面的位置。

80MPa 60MPa

解答：

?x?60Mpa,?y?0,?xy?80Mpa1?max???3??min}??x??y2?(?x??y2)2??xy2?6060Mpa?()2?(80)2?{115.44?55.44Mpa22 ??1?115.44Mpa,?2?0,?3??55.44Mpa tan2???2?xy??2?80;???34.7200?x??y60

?x??y??0??34.72 确定?1

?0?90

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确定?3

2、已知应力状态如图。试求主应力及其方向角，并确定最大切应力值。

50MPa 100MPa 20MPa

解答：

??100Mpa,???50,??20Mpaxyxy

?1?max ??3??min}??x??y2?(?x??y2)2??xy2?100?50100?502Mpa?()?202?{102.62?52.62Mpa22 ??1?102.62Mpa,?2?0,?3??52.62Mpa

tan2?0??2?xy?x??y??2?20??0.2667;?0??7.46100?50 ? x ? ? y ? ? 7.46 确定?1 ? 0 ?所以?0?90确定?3

???3102.62?52.62

?max?1??77.6Mpa22

3、图示单元体，求：（1）指定斜截面上的应力：（2）主应力大小，并将主平面标在单元体图上。

200MPa 200MPa 300 300MPa

解答：

?x?200Mpa,?y??200,?xy??300Mpa,??60

???y?x??y40013 ??x?cos2???sin2??0?cos120?300sin120??200??300??159.8Mpaxy6022222

???y400?60?xsin2???xycos2??sin120?300cos120?32.32Mpa22

???1?3?max?min}??x长沙理工大学??y?x??y2 2?(2)??xy?0?200?300??360.56Mpa 2 土木与建筑学院 22??1?360.56Mpa,?2?0,?3??360.56Mpa2?xy2?300

确定?1 所以?0?90确定?3

4、用解析法求图示单元体ab面上的应力（??300），并求?max及主应力。

a ?20MPa b 40MPa

解答：

???40Mpa,??0,???20Mpaxyxy ?x??y?x??y4040?60??cos2???xysin2????cos120?20sin120?7.32Mpa 2222???y40

?60?xsin2???xycos2???sin120?20cos120??7.32Mpa22

2 ??1??}??x??y?(?x??y)2??2??40??40??202?8.3Mpa??xy?48.3Mpa??222?2?

??1?8.3Mpa,?2?0,?3??48.3Mpa

1 ?max???1??3??28.3Mpa2

max3min5、试求图示单元体主应力及最大切应力，并将主平面在单元体上标出。

40MPa 40MPa 20MPa

解答：

?x?40Mpa,?y??40,?xy?20Mpamax???min}?

?x??y长沙理工大学?x??y2 Mpa ?()??xy2 ? ? 44.722土木与建筑学院

??1?44.7Mpa,?2?0,?3??44.7Mpatan2?0??2?xy??2?20??0.5;?0??13.3

??0确定?1，?0?90确定?3

1 ?max???1??3??44.7Mpa2

6、 物体内某一点，载荷系统Ⅰ和载荷系统Ⅱ单独作用时产生的应力状态分别如图（a）和（b）所示。试求两载荷系统同时作用时（仍处于弹性小变形）的主单元体和主应力。

y 100MPa x 60MPa (a) y 80MPa 600 x (b)

解答：

7、构件上某点处的应力状态如图所示。试求该点处的主应力及最大切应力之值，并画出三向应力状态的应力圆。

?y=20MPa ?x=50MPa ?z=30MPa 解答：

?max?min?xy=40MPa

}??x??y2?(?x??y2Mpa)2??xy2?{77.7?7.7Mpa??1?77.7Mpa,?2??7.7,?3??30Mpa?max?1??1??3??53.9Mpa2长沙理工大学 土木与建筑学院

8、图示单元体，已知?x?100MPa、?y?40MPa及该点的最大主应力?1?120MPa。求该点的另外两个主应力?2、?3及最大切应力?max。

?y ?xy 10MPa ?x

解答：

?max?min}??x??y2?(?x??y2Mpa)2??xy2?{4020Mpa??1?120Mpa,?2?20,?3?10Mpa?max?1??1??3??55Mpa29、试确定图示单元体的最大切应力，以及图示斜截面上的正应力和切应力。

40MPa 300 80MPa 20MPa

解答：

?1?80Mpa,?2?40Mpa,?3??20Mpaa ??

max?1??1??3??50Mpa2?x??1,?y??2,?xy?0?x??y2? ??30??x??y2cos2???xysin2??70Mpa

???y?30?xsin2???xycos2??17.32Mpa 2?y?50MPa，10、已知受力构件某处的?x?400?10?6，材料的E＝200GPa，?z??40MPa，

v＝0.3。试求该点处的?y、?z。

解答：

??x?1??x?v??y??z???E?6?x??xE?v??y??z??400?10?6?200?109?0.3???50???40????10?83Mpa??y?

1长沙理工大学 ? 10 ?6 ??y?v??z??x???185.5??E 土木与建筑学院

?z?1??z?v??y??x????399.5?10?6?E?

11、图示拉杆，F、b、h以及材料的弹性常数E、v均为已知。试求线段AB的正应变和转角。

B A F 45 b 0h

解答:

12、求图示梁1—1截面B点与水平方向成450角方向的线应变?45。已知F＝10kN，l

0??45??cos2????cos45??2??45??cos2????cos??45???45??21?1?v?1?vF???v???????x??45E?452222bh???AB??45?AB???ABAB??45?ABAB??45?1?vF?22bh＝4m，h＝2b＝200mm，E＝1×104MPa，v＝0.25。

1 450 B 1 l/4 l/4 F B b h/2 h/2 l/2

解答：

从Fs、M图知，由于B点在中性轴上，故为纯剪应力状态，对于纯剪应力状态，有： ?1????B,?2?0,?3??45???B?45 3FS3F3?10?103?B????0.375Mpa2A2?h?2b4?0.2??0.1

??1???v???1????v????1?v????4.96?10?5BBB45?45??45

EEE?AB??45?AB?ABAB?长沙理工大学 土木与建筑学院

??45?1?vF?22bh???45?ABAB

13、空心圆轴外径D＝8cm，内径d＝6cm，两端受外力偶矩m作用。测得表面上一点沿450方向的线应变???34?10?5。材料弹性模量E＝2×105MPa，泊松比v＝0.3，求外力偶矩m。

m 450 m

解答： 16m?xy??max??D3?1??4?

纯剪应力状态，则：

14、一个处于二向应力状态下的单元体，材料E＝200GPa，v＝0.3，?1?70MPa，

m?111?v1?v16m??????v?????v????????xyxyxy??45?E?45E?EE?D3?1??4???6?4?2?10???0.08?1?????34?10?5??8??????3.595KN?m?1?0.3??1653?45?E?D3?1??4???45?1?v??16?3??70MPa。试求最大切应变?max。

解答：

???1??3?70Mpamax

???Gr

?max2?1?v??4 ?rmax?G?E??max?9.2?10

15、圆轴直径为d，材料的弹性模量为E，泊松比为v，为了测得轴端的力偶m之值，但只有一枚电阻片。试设计电阻片粘贴的位置和方向；若按照你所定的位置和方向，已测得线应变为?0，则m＝？

m d m 2

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解答：

(1)电阻片沿图示45方向粘贴于轴的表面，设?max?? (2)取单元体如图， 1??,?2?0,?3????

16、如图所示，薄壁圆筒受扭矩和轴向力作用。已知圆筒外径D＝52mm，壁厚t＝2mm，外力偶矩m＝600N?m，拉力F＝20kN。试用单元体表示出D点的应力状态；求出与母线AB成300角的斜截面上的应力；求出该点的主应力与主平面位置（并在单元体上画出）。

m m D 30 0??0??1????E?01?v111?v??v??????v?????????????123??E?E?EE?0?d3?m?T??wP??1?v16Ｆ A Ｆ B

解答：

17、一体积为10×10×10mm3的立方铝块，将其放入宽为10mm的刚性槽中，已知v（铝）=0.33，求铝块的三个主应力。

F=6kN

解答：

18、外径为D、内径为d的空心圆轴受扭转时，若利用一电阻应变片作为测力片，用补偿块作为温度补偿，采用半桥接线。问：（1）此测力电阻片如何粘贴可测出扭矩；（2）圆

?x??x?0,?z?0,?y?F??60MpaA1??x?v??y??z???0?E???x?v?y??19.8Mpa??1?0,?2??19.8Mpa,?3??60Mpa长沙理工大学 土木与建筑学院

轴材料的E、v均为已知，?为测得的应变值，写出扭矩计算式。

m 450 m

解答：

(1)电阻片贴在与轴线成沿45方向，设?max?? (2)取单元体如图， ?1??,?2?0,?3???

19、一平均半径为R，壁厚为t（t≤R/10）的薄壁圆球受内压力p作用。已知球体材料的E、v，求圆球半径的改变量。

解答：

取图示分离体，由经向平衡条件：

d?? 4??Rd??tsin????pRd??Rd?

????2?pR??1??2,?3?02t?????0??1?E?01?v??d?4???1???????D???111?v??v??????v?????????????123?E??E?EE?0?d3?m?T??wP??1?v161vpR2?R?R?R?R????3?v??1??2?????EtE

20、图示单元体，已知材料的弹性模量E＝200GPa，泊松比v＝0.25。求：（1）体积应变；（2）体积改变比能（应变能密度）。

?x＝30MPa ?xy＝15MPa

解答：

?x?30Mpa,?y??x?0,?xy?15Mpa,?yz??xz?0（1） 体积应变

1?2v1?2?0.25???x??y??z???30?106?75?10?6?4E200?10

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（2） 体积改变比能

?}??x??y?(?x??y)2??2?15?152?152?{36.21Mpa?xy?6.21Mpa22

??1?36.21Mpa,?2?0,?3??6.21Mpa

1?2v1?2?0.252?Vv?(30?106)2?375J/m3??1??2??3?? 96E6?20?10

maxmin21、已知某点的?x?500?10?6、?y??400?10?6、?xy?200?10?6。求：（1）与?x成600面上的?60；（2）该点的主应变。

0

解答: 孙书：

?60??x??y2??x??y2cos2???xy2sin2??50?10?6?450?10?6cos120?100?10?6?sin120??88.4?10?6李书、刘书：

? ?x??y?xyx??y?60??cos2??sin2?222

?6?6?6?6 ?50?10?450?10cos120?100?10?sin120??261.6?10主应变：

2?????????xyxyxy?6?62?62510.98?10 ??()2????50?10?(450?10)?(100?10)?{?410.98?10?}?22?2?

12?6?6第7章 强度理论及其应用

一、选择题

1、图示应力状态，按第三强度理论校核，强度条件有以下四种答案，正确答案是（ D ）。

?xy

（A）?xy?[?]；（B）2?xy?[?]；（C）?2?xy?[?]；（D）2?xy?[?]。 解答：

?r3??1????xy?(??xy)?2?xy?[?]

2、根据第三强度理论，判断图示单元体中用阴影线标出的危险面（(a) (b) 斜面）是否正长沙理工大学 土木与建筑学院

确，现有四种答案，正确答案是（ B ）。

?y ? ?x (a) (b) ?

（A）（a）、（b）都正确； （B）（a）、（b）都不正确； （C）（a）正确，（b）不正确；（D）（a）不正确，（b）正确 。

3、塑性材料的下列应力状态中，哪一种最易发生剪切破坏，正确答案是（B）。

?/2 ? (A) ?/2 ? (B) (C) ???/2 ? (D)

解答：

A ?1??,?2??/2,?3?0,r3??1??3??

B ?1??,?2?0,?3???/2,r3??1??3????/2?3?/2 C ?1??,?2??3?0,r3??1??3??

D ?1????/2,?2?0,?3??????/2,?r3??1??3??/2??/2??

4、两危险点的应力状态如图，且???，由第四强度理论比较其危险程度，有如下答案，正确答案是（ C ）。

? ? ?(a) ? (b)

（A）（a）应力状态较危险；（B）（b）应力状态较危险； （C）两者的危险程度相同； （D）不能判断 。

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5、已知折杆ABC如图示，AB与BC相互垂直，杆的截面为圆形，在B点作用一垂直于ABC平面的力F。该杆的AB段和BC段变形有以下四种答案，正确答案是（ C ）。

A a F B b C

（A） 平面弯曲；（B） 斜弯曲；（C） 弯扭组合；（D） 拉弯组合。

6、一正方形截面钢杆，受弯扭组合作用，若已知危险截面上弯矩为M，扭矩为T，截面上A点具有最大弯曲正应力?及最大扭转切应力?，其弯曲截面系数为W。关于A点的强度条件现有下列四种答案，正确答案是（ C ）。

z A y

（A）??[?],??[?]；（B）M2?T2/W?[?]； （C）?2?3?2?[?]；（D）M2?0.75T2/W?[?]。

二、填空题

1、图示应力状态，按第三强度理论的强度条件为?z??xy?[?]。 （注：?z??xy）

?xy ?z

解答：

?1??z,?2??xy,?3???xy??r3??1??3??z??xy????

2、第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为?r3及?r4，对于纯剪切应力状态，恒有?r3/?r4＝2/3。

解答：纯剪应力状态

?1??,?2?0,?3???,?r3??1??3?????2?

?r3?

12[(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2]?1长沙理工大学 2 土木与建筑学院

(?2??2?4?2)?3?

5、细长压杆，若其长度系数?增加一倍，则压杆临界力Fcr的变化有四种答案，正确答案是（C）。

（A）增加一倍； （B）为原来的四倍； （C）为原来的四分之一；（D）为原来的二分之一。 解答：

Fcr??2EI?ul?26、两端球铰的正方形截面压杆，当失稳时，截面将绕哪个轴转动，有四种答案，正确答案是（D）。

a y z1 z C a

（A）绕y轴弯曲；（B）绕z1轴弯曲；

（C）绕z轴弯曲；（D）可绕过形心C的任何轴弯曲。

7、正方形截面杆，横截面边长a和杆长l成比例增加，它的长细比有四种答案，正确答案是（B）。

（A）成比例增加；（B）保持不变；（C）按(l/a)2变化；（D）按(a/l)2变化。

8、若压杆在两个方向上的约束情况不同，且?y??Z。那么该压杆的合理截面应满足的条件有四种答案，正确答案是（D）。

（A）Iy?IZ；（B）Iy?IZ；（C）Iy?IZ；（D）?y??Z。

9、两根细长杆，直径、约束均相同，但材料不同，且E1＝2E2，则两杆临界应力的关系有四种答案，正确答案是（B）。

（A）(?cr)1＝(?cr)2； （B）(?cr)1＝2 (?cr)2； （C）(?cr)1＝(?cr)2/ 2；（D）(?cr)1＝3 (?cr)2。

10、两根中心受压杆的材料和支承情况相同，若两杆的所有尺寸均成比例，即彼此几何相似，则两杆临界应力比较有四种答案，正确答案是（A）。

（A）相等； （B）不等；

（C）只有两杆均为细长杆时，才相等；（D）只有两杆均非细长杆时，才相等；

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11、如果细长压杆有局部削弱，削弱部分对压杆的影响有四种答案，正确答案是（D）。 （A）对稳定性和强度都有影响； （B）对稳定性和强度都没有影响； （C）对稳定性有影响，对强度没影响；（D）对稳定性没影响，对强度有影响。

12、细长压杆两端在x－y、x－z平面内的约束条件相同，为稳定承载能力，对横截面积相等的同一种材料，合理的截面形式有四种答案，正确答案是（C）。

y z y z y z y z y z y z (a) (b) (c)

（A）选（a）组；（B）选（b）组；

（C）选（c）组；（D）（a）、（b）、（c）各组都一样；

二、填空题

理想压杆的条件是① 压力作用线与杆轴重合；② 材质均匀；③无初曲率。

2、非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界力，其结果比实际大（危险）；横截面上的正应力有可能超过比例极限 。

3、将圆截面压杆改成面积相等的圆环截面压杆，其它条件不变，其柔度将 降低 ，临界应力将 增大 。

4、两根材料和约束均相同的圆截面细长压杆，l2＝2l1，若两杆的临界压力相等，则d1 / 1d2＝ 2 。

5、三种不同截面形状的细长压杆如图所示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主轴转动。（a） 绕过形心的任意轴；（b） y轴 ；（c） y轴 。

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F y z 正方形 (a) y z y z 等边角钢 (b) 槽钢 (c)

6、当压杆有局部削弱时，因局部削弱对杆件整体变形的影响 很小 ；所以在计算临界应力时都采用 削弱前 的横截面面积A和惯性矩I。

7、提高压杆稳定性的措施有① 减小压杆长度；② 强化约束或增加约束数；③ 选择合理载荷；④ 选用合理材料 。

三、计算题

1、桁架ABC由两根具有相同截面形状和尺寸以及同样材料的细长杆组成。确定使载荷F为最大时的?角（设0???π）。

F ? B 900 A ? C

解答：1）由节点B的平衡有:

FNAB?Fcos?,FNBC?Fsin?

?FNBC?FNAB.tan?

2)设AC?l，则AB?lcos?，BC?lsin?

经分析，只有当AB杆和BC杆的内力都达到临界力时，F才有最大值，即: FNAB, ?F NABcr又

?2EI?2?lcos??FNBC?FNBCcr?2EI?2?lsin??FNBC?FNAB.tan?

?FNBCcr?FNABcr.tan?

3）综合两式可得，

即：tan??ctag?

2?2EI?2EI?tan?22?lsin???lcos??长沙理工大学 土木与建筑学院

可解得??45

2、角钢长3m，两端固定，受轴向压力。已知Ix?3.93?104mm4，Iy?1.18?104mm4，

Ixy?1.23?104mm4，E＝200GPa，求该细长压杆的临界载荷Fcr（图中C为截面形心）。

y C x

解答:

22 3.93?1.183.93?1.182??()?1.23222

?0.71?104mm

Imin?Ix?Iy?(Ix?Iy2)2??xy?Fcr??2EImin?ul?2??2?200?109?0.71?10?8?ul?2?6.23kN3、图示结构，各杆均为细长圆杆，且E、d均相同，求F的临界值。

A B F C a D F a

??FNBD??FF解答：各杆内力： ?F（压），（拉）FNCDNAB?FNBCNDA? 分析AB、BC、CD、DA杆受压存在稳定性问题，BD杆受拉，不存在稳定； 当AB、BC、CD、DA四杆失稳时，F达到峰值，故有： ?F

NABF2?FNBC?FNCD?FNDA??2EI4故F的峰值：

a2?Fcr2Fcr?2?EIa22?2E?2a?d64?22?3Ed464a24、图中的1、2杆材料相同，均为圆截面压杆，若使两杆的临界应力相等。试求两杆的直径之比d1 / d2，以及临界力之比(Fcr)1 / (Fcr)2。并指出哪根杆的稳定性好。

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(Fcr)1 (Fcr)2 2l 1 l d1 2 d2

解答：由临界应力总图可知，?cr相同，则?值相同，?1??2 对1杆，??

?1?1i1 ??1?1I1A1??1?1d14?4?1?1d1对2杆， i2故：

???2?2??2?2I2A1??2?2d24?4?2?2d2d1?1l10.7?2l ???0.7d2?2l22?l2 F?AAdcr1?cr11?1?12?0.49 Fcr ?cr2A2A2d22?Fcr1?Fcr2，即2杆稳定性好些。

5、图中AB为刚体，圆截面细长杆1、2两端约束、材料、长度均相同，若在载荷Fcr

作用下，两杆都正好处于临界状态，求两杆直径之比d2 / d1。

A 1 d1 2 d2 l a a a Fcr B

解答：1）画变形图，受力图如图：

FlF2l 2??2?d4?d4 E，得 E44

2）两杆都正好处于临界状态，有变形协调条件：l2?2l1

2F2d2?22F1d1两杆都处于临界状态时，

?El2?d222Fcr2?Fcr1两杆都正好处于临界状态条件：

d24?42?dd1?2E1642l64长沙理工大学 土木与建筑学院

Fcr2F2 ?即， Fcr1F1

42d2d2d2?2??2?1.414d14d12d16、图示压杆，AC、CB两杆均为细长压杆，问x为多大时，承载能力最大？并求此时承载能力与C处不加支撑时承载能力的比值。

A x C B EI EI l F

解答：1）承载能力最大的条件是AC杆和BC杆同时达到临界力，且相同 即： ??EI?FFcrACcrBC?2

2?2EI??0.7?l?x???2x即：x?0.7?l?x?

x?0.412l

2）对所承载的力与C处不加支撑是承载的力的比值

?2EIFcrAC?0.412l?0.72 ??2?2.892?EIFcrAB0.412 2?0.7l?

7、图示1、2两杆为一串联受压结构，1杆为圆截面，直径为d；2杆为矩形截面，b＝3d/2，h＝d/2。1、2两杆材料相同，弹性模量为E，设两杆均为细长杆。试求此结构在xy平面内失稳能承受最大压力时杆长的比值。

y d 1 l1 y z b 2 l2 F x h 2

解答：分析两杆在x-y平面内失稳，而能承受最大压力的条件是： 两杆同时达到临界力且相等，即Fcr1?Fcr2 其中，Fcr1 ?

?2EI?0.7l1?2??2E?d464?0.7l1?2长沙理工大学 土木与建筑学院

F cr2 ? ?2EIl22??2Ebh3l22?代入，可得：

12??2Ed4l2264?2E2?d464?2Ed4l2264?0.7l1? 可解得， 1 ?

ll2?0.78、图示矩形截面细长压杆，下端固定，上端有一销孔，通过销轴转动。绘出xy和xz平面内压杆的两个计算简图，并求h和b的合理比值。

F h y (a) z (b) x F b x l

??xy?0.5 解答：由图可取： ?xz??a??b0.7?a ??在xy平面内： xz?0.7

? a ? ?xy??z??alixy??alIzA?0.712lh在xz平面内，?b??xy?0.5 ? b ? ?xz??y?

?blixz??blIy?0.512lbA则，h和b的合理比值是使：?a??b 0.712l0.512l 即 ?hb h0.7??1.4 b 0.5

9、图示圆截面压杆d＝40mm，?s?235MPa。求可以用经验公式?cr?304?1.12?（MPa）计算临界应力时的最小杆长。

F l

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6a??s?304?235??10 ? s ? ?0 ???61.6b1.12?106又 ?l0.7l?????sdi 0.04?61.6??4s??0.88m4? ?lmin?0.70.7解答：由于使用经验公式?cr?304?1.12?的最小柔度是

10、截面为矩形b×h的压杆两端用柱形铰连接（在xy平面内弯曲时，可视为两端铰支；在xz平面内弯曲时，可视为两端固定）。E＝200GPa，?P?200MPa求：

（1）当b＝30mm，h＝50mm时，压杆的临界载荷；

（2）若使压杆在两个平面（xy和xz平面）内失稳的可能性相同时，b和h的比值。

y 1 1 2.3m x h b 1－1 y z

解答：

11、试确定图示结构中压杆BD失稳时的临界载荷F值。 已知：E＝2×105MPa，?p?200MPa。

C 2m B 2m A 60mm 2m 1m D F E

解答：取研究对象，画受力图如图，其中BD杆受拉

?M F??crc?0

FcrBDsin45?2?Fcr?3

2FcrBD3对于BD杆， 1?22E2?105?BD ???188.6??p?????99.30.06i?p2002??0.06 24??2?1011?2?EI4 ??crBDA??FcrBDA??157kN22?BD188.6?l长沙理工大学 土木与建筑学院

代入得： ?Fcr

2?157?74kN312、图示结构，E＝200GPa，?P?200MPa，求AB杆的临界应力，并根据AB杆的临界载荷的1/5确定起吊重量P的许可值。

D 1.5m 0.5m C A P B 40mm 30 0

解答：1）求AB杆的临界应力

1.5 ?l?l?AB???cos30?173.2??pd0.04i

44

E200?109?p?????99.3

?p200?1061? ??crAB 2）由

?2E?2?200?109?2??65.8MPa?66MPa2?AB173.2?MD?0

可知：2P?0.2FcrABsin30?1.5?0

0.150.150.15??0.0426?P?FcrAB??crABA??65.8?10?2224

0.15??82.7?103?6.2kN

2

13、图示结构，CD为刚性杆，杆AB的E＝200GPa，?P?200MPa，?s?240MPa，经验公式?cr?304?1.12?（MPa），求使结构失稳的最小载荷F。

a C 0.8m B A a F D 40mm

解答： ??p ?E?p?99.3a??s304?106?240?106?s???57.1b1.12?106长沙理工大学 土木与建筑学院

对于AB杆，

??1?0.8?800.04i4??s????p?6?l故AB杆为中柔度杆。

??crABA?(304?1.12?80)?10??FcrAB故使结构失稳的最小载荷是

??0.0424?269.4F? Fcr?

FcrAB?134.7kN214、校核两端固定矩形截面压杆的稳定性。已知l＝3m，F＝100kN，b＝40mm，h＝60mm。材料的弹性模量E＝200GPa，?P?196MPa，稳定安全因数nst＝3。

ul?130??pb?iI p12A

0.06?0.04329 ?2EI??200?10?12?Fcr???281kN22 ?0.5l??0.5?3?Fcr281?2.81?nst?3 ?F100解答：

?p?E?100,???l??l?故压杆不符合稳定条件。

15、图示结构中，二杆直径相同d＝40mm，?p?100，?s?61.6，临界应力的经验公式为?cr?304?1.12?（MPa），稳定安全因数nst＝2.4，试校核压杆的稳定性。

F＝100kN 600 600 700mm 700mm

解答：由三角形法则可知，两杆压力FN?F?100kN 又压杆

???li1??0.7cos30?80.80.0404? s?则 ???p

?Fcr?(304?1.12?)A??304?1.12?80.8???268??0.0424 土木与建筑学院 长沙理工大学

F268n? cr??2.68?nst?2.4FN100故压杆稳定。

16、图示结构，由Q235钢制成，[σ]＝160MPa，斜撑杆外径D＝45mm，内径d＝36mm，nst＝3，斜撑杆的?p?100，?s?61.6，中长柱的?cr?304?1.12?（MPa），试由压杆的稳定计算，确定结构的许用载荷[F ]。

1000 A B 100 1000 C F

450 D (mm)

解答：1）对结构进行受力分析： ?FNBD??MA?0,FNBDsin45?1?FNBDcos45?0.1?2F2F?2.57F2?lul1?0.1?????? 2）对BD 222BD杆，iD?d

1?20.045?0.036422?98.164 ?0??BD??pBD ?cr??304?1.12??304?1.12?98.16?194.1MPaBD FNBDcr??cr?A?194.1?106

0.045??2?0.0362?? FNBD??

FNBDcrnst4111.1??37.036kN3?111.1kN?FNBDcr 3）由1）可知， ??2.57?F?

17、钢杆的尺寸、受力和支座情况如图所示。已知材料的E＝200GPa，?P?200MPa，

??F???FNBD??37.036?14.41kN2.572.57?s?240MPa，直线公式的系数a＝304MPa，b＝1.12MPa，试求其工作安全因数。

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A φ24 900 B φ28 800 C F=30kN （mm）

18、图示结构，尺寸如图所示，立柱为圆截面，材料的E＝200GPa，?P?200MPa。若稳定安全因数nst＝2，试校核立柱的稳定性。

A 0. 6m C 0. 6m 20mm D 0. 6m B F=10kN

解答：1）取研究对象如图，算工作压力

?0? l?l1?0.6E?CD?1.12?F??120??p???99d0.02 i?FNCD??2?10?20kNp0.64 2）求FcrCD4 ?2E?2?200?109 ? F crCD ?A??43kN22?CD120A?M

FcrCD43?n???2.15?nst?2 FNCD20故立柱满足稳定条件。

19、图示结构，1、2杆均为圆截面，直径相同，d＝40mm，弹性模量E＝200GPa，材料的许用应力[?]＝120MPa，适用欧拉公式的临界柔度为90，并规定安全因数nst＝2，试求许可载荷[F ]。

1 300 2 1m F

解答：1）由节点B的平衡得：

FN1?FF?2F,FN2????3Fsin30tan30长沙理工大学 土木与建筑学院

2）杆1受拉为强度问题。

N1由杆1的强度条件 ?

2F????2??0.044??0.042?F??120?106?75.4kN8?1?1?100??p?900.044FA1 3）对于2杆，

???l2i2故2杆为细长杆且受压，故为稳定问题。 3?FN2cr?

?2EI?2?200?109???0.0464?1?1?FN2cr248故2杆工作压力 N2??F??124nst2FN2??3F

故取绝对值， ?1243F

比较可得：

?ul2?2?2?248kN?F?124?71.6kN3?F??71.6kN。

20、图示由五根圆形钢杆组成的正方形结构，连接处为铰结，各杆直径均为d＝40mm，材料为A3钢，[?]＝160MPa ，求许可载荷[Ｆ]。

F A B C F λ 90 100 110 120 130 ? 0.669 0.604 0.536 0.466 0.401 1m D 1m

解答：由节点法求得各杆内力如图

?l1?1?且? ??100i对于AB、BC、CD、DA杆：?FN? ? F20.04 4查表可得??0.604

由稳定条件AB、BC、CD、DA四杆为稳定问题。

F ?F????N??????2????? AA ??0.0426?F?2?A?????2??0.604?160?10?171kN4

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对于BD杆，因受拉，故为强度问题。

FNBD?F

比较可得：

由具强度条件： ?BD?FNBDF?????AA??0.042F?A?????160?106?201kN4

?F??171kN

第9章 能量方法

一、选择题

1、图示四种结构，各杆EA相同，在集中力F作用下结构的应变能分别用Vε1、Vε2、Vε3、Vε4表示。下列结论中哪个是正确的？正确答案是（C）。

① ② l ③ ④ l ? ? l ? ? l F F F F

（A）Vε1 > Vε2 > Vε3 > Vε4；（B）Vε1< Vε2 < Vε3 < Vε4； （C）Vε1 > Vε2 < Vε3 > Vε4；（D）Vε1 < Vε2 > Vε3< Vε4。

2、图示同一根梁的三种载荷情况，但均在线弹性范围内工作，试指出下列关系式中哪个是正确的？正确答案是（D）。

F m m F ?1 ?2 w2 弯矩M2(x) 变形能Vε2 ? w 弯矩M(x) 变形能Vε w1 弯矩M1(x) 变形能Vε1

（A）w?w1?w2；（B）???1??2；（C）M(x)?M1(x)?M2(x)；（D）Vε?Vε1?Vε2。

3、悬臂梁如图所示。加载次序有下述三种方式：第一种为F、m同时按比例施加；第

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二种为先加F，后加m；第三种为先加m，后加F，在线弹性范围内它们的变形能应为（D）。

F m

（A）第一种大 ；（B）第二种大 ；（C）第三种大 ；（D）一样大 。

4、一受扭矩T作用，直径为D的圆轴，若改为外直径仍为D而内直径为d的空心圆轴，所受扭矩及其它条件均保持不变，则与实心圆轴相比，空心轴的应变能将是下列情况中的哪一种？正确答案是（A）。

（A）增加 ；（B）减少 ；（C）不变 ；（D）与d / D相关 。

5、图示梁B端为弹簧支座，设在m作用下，梁的应变能为Vε1，弹簧的应变能为Vε2，则A截面的转角?A应是下列式中的哪一个？正确答案是（C）。

m A l B

（A）?Vε1/?m；（B）?Vε2/?m；（C）?(Vε1?Vε2)/?m；（D）?(Vε1?Vε2)/?m。

6、图示刚架在A点受铅垂力F的作用，发生小变形，其应变能Vε?F??/2，式中的? 应是图中的哪个位移？正确答案是（C）。

F A ? ?y ?x A?

（A）AA?；（B）?x；（C）?y；（D）?。

7、图示简支梁，利用卡氏第二定理表示C、D截面挠度的下列诸式中哪个是正确的？正确答案是（B）。

F C l l F D l

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