因式分解的常用方法（目前最牛最全的教案）

因式分解的常用方法

提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

22333322

(4) (a-b)(a+ab+b) = a-b ------a-b=(a-b)(a+ab+b)． 下面再补充两个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

例.已知a，b，c是?ABC的三边，且a2?b2?c2?ab?bc?ca， 则?ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解：a2?b2?c2?ab?bc?ca?2a2?2b2?2c2?2ab?2bc?2ca

?(a?b)?(b?c)?(c?a)?0?a?b?c

2223

3

3

2

2

2

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：am?an?bm?bn

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=(am?an)?(bm?bn)

=a(m?n)?b(m?n) 每组之间还有公因式！

=(m?n)(a?b)

1

例2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=(2ax?10ay)?(5by?bx) 原式=(2ax?bx)?(?10ay?5by) =2a(x?5y)?b(x?5y) =x(2a?b)?5y(2a?b) =(x?5y)(2a?b) =(2a?b)(x?5y)

练习：分解因式1、a2?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：x2?y2?ax?ay

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式=(x2?y2)?(ax?ay) =(x?y)(x?y)?a(x?y) =(x?y)(x?y?a)

例4、分解因式：a2?2ab?b2?c2 解：原式=(a2?2ab?b2)?c2

=(a?b)2?c2

=(a?b?c)(a?b?c)

22222练习：分解因式3、x?x?9y?3y 4、x?y?z?2yz

223223综合练习：（1）x?xy?xy?y （2）ax?bx?bx?ax?a?b （3）x?6xy?9y?16a?8a?1 （4）a?6ab?12b?9b?4a （5）a?2a?a?9 （6）4ax?4ay?bx?by （7）x?2xy?xz?yz?y （8）a?2a?b?2b?2ab?1 （9）y(y?2)?(m?1)(m?1) （10）(a?c)(a?c)?b(b?2a)

a(b?c)?b(a?c)?c(a?b)?2abc（12）a?b?c?3abc （11）

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

2222222222432222222333直接利用公式——x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

2

2（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜a≤5，且a为整数，若2x2?3x?a能用十字相乘法分解因

式，求符合条件的a.

解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求??b2?4ac >0而且是一个完全平方数。 于是??9?8a为完全平方数，a?1

例5、分解因式：x2?5x?6

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2

解：x2?5x?6=x2?(2?3)x?2?3 1 3 =(x?2)(x?3) 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

2例6、分解因式：x?7x?6

2解：原式=x?[(?1)?(?6)]x?(?1)(?6) 1 -1

=(x?1)(x?6) 1 -6 （-1）+（-6）= -7

222练习5、分解因式(1)x?14x?24 (2)a?15a?36 (3)x?4x?5

222练习6、分解因式(1)x?x?2 (2)y?2y?15 (3)x?10x?24

2（二）二次项系数不为1的二次三项式——ax?bx?c 条件：（1）a?a1a2 a1 c1

（2）c?c1c2 a2 c2 （3）b?a1c2?a2c1 b?a1c2?a2c1 分解结果：ax?bx?c=(a1x?c1)(a2x?c2)

3

2

例7、分解因式：3x2?11x?10

分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11

解：3x2?11x?10=(x?2)(3x?5)

练习7、分解因式：（1）5x2?7x?6 （2）3x2?7x?2

（3）10x2?17x?3 （4）?6y2?11y?10

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：a2?8ab?128b2

分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

1 8b

1 -16b 8b+(-16b)= -8b

解：a2?8ab?128b2=a2?[8b?(?16b)]a?8b?(?16b) =(a?8b)(a?16b)

练习8、分解因式(1)x2?3xy?2y2(2)m2?6mn?8n2(3)a2?ab?6b2

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

2222例9、2x?7xy?6y 例10、xy?3xy?2

1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=(x?2y)(2x?3y) 解：原式=(xy?1)(xy?2) 练习9、分解因式：（1）15x?7xy?4y （2）ax?6ax?8

2263综合练习10、（1）8x?7x?1 （2）12x?11xy?15y （3）(x?y)?3(x?y)?10 （4）(a?b)?4a?4b?3

m?4mn?4n?3m?6n?2 （5）xy?5xy?6x （6）

222222222222（7）x?4xy?4y?2x?4y?3（8）5(a?b)?23(a?b)?10(a?b)

4

2222222222（9）4x2?4xy?6x?3y?y2?10（10）12(x?y)?11(x?y)?2(x?y)

思考：分解因式：abcx2?(a2b2?c2)x?abc

五、换元法。

例13、分解因式（1）2005x2?(20052?1)x?2005

（2）(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x2 解：（1）设2005=a，则原式=ax2?(a2?1)x?a =(ax?1)(x?a)

=(2005x?1)(x?2005)

（2）型如abcd?e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式=(x2?7x?6)(x2?5x?6)?x2

设x2?5x?6?A，则x2?7x?6?A?2x

∴原式=(A?2x)A?x2=A2?2Ax?x2 =(A?x)2=(x2?6x?6)2

练习13、分解因式（1）(x2?xy?y2)2?4xy(x2?y2)

（2）(x2?3x?2)(4x2?8x?3)?90 （3）(a2?1)2?(a2?5)2?4(a2?3)2

432例14、分解因式（1）2x?x?6x?x?2

观察：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式=x(2x?x?6?设x?2221x2?1x122)=x22?2(x2?1x2)?(x?1x)?6?

1x?t，则x?22t?2)?t?6?=x?2t?t?10? ∴原式=x?（22x?t?2

=x2?2t?5??t?2?=x2??2x??221????5??x??2? xx??? =x·?2x??2?1???22?5?·x·?x??2?=?2x?5x?2??x?2x?1? xx??? =(x?1)(2x?1)(x?2)

5

（2）x4?4x3?x2?4x?1

解：原式=x2(x2?4x?1? 设x?1x?y，则x?24x1x2??1?1??2??2=xx??4x??1)?????? 22xx?x?????12?y?2

∴原式=x2(y2?4y?3)=x2(y?1)(y?3) =x2(x?1x?1)(x?1x?3)=x?x?1x?3x?1

?2??2?练习14、（1）6x4?7x3?36x2?7x?6

（2）x4?2x3?x2?1?2(x?x2)

六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1）x3?3x2?4

解法1——拆项。 解法2——添项。

原式=x3?1?3x2?3 原式=x3?3x2?4x?4x?4

=(x?1)(x2?x?1)?3(x?1)(x?1) =x(x2?3x?4)?(4x?4) =(x?1)(x2?x?1?3x?3) =x(x?1)(x?4)?4(x?1) =(x?1)(x2?4x?4) =(x?1)(x2?4x?4) =(x?1)(x?2)2 =(x?1)(x?2)2

（2）x9?x6?x3?3

963解：原式=(x?1)?(x?1)?(x?1)

=(x?1)(x?x?1)?(x?1)(x?1)?(x?1) =(x?1)(x?x?1?x?1?1) =(x?1)(x?x?1)(x?2x?3)

练习15、分解因式

（1）x?9x?8 （2）(x?1)?(x?1)?(x?1) （3）x?7x?1 （4）x?x?2ax?1?a

444222222444（5）x?y?(x?y) （6）2ab?2ac?2bc?a?b?c

七、待定系数法。

例16、分解因式x?xy?6y?x?13y?6

分析：原式的前3项x?xy?6y可以分为(x?3y)(x?2y)，则原多项式

6

222226336333633333422442422必定可分为(x?3y?m)(x?2y?n)

解：设x2?xy?6y2?x?13y?6=(x?3y?m)(x?2y?n)

∵(x?3y?m)(x?2y?n)=x2?xy?6y2?(m?n)x?(3n?2m)y?mn ∴2222x?xy?6y?x?13y?6=x?xy?6y?(m?n)x?(3n?2m)y?mn ?m?n?1?m??2?对比左右两边相同项的系数可得?3n?2m?13，解得?

n?3??mn??6?∴原式=(x?3y?2)(x?2y?3)

例17、（1）当m为何值时，多项式x2?y2?mx?5y?6能分解因式，并分

解此多项式。

（2）如果x3?ax2?bx?8有两个因式为x?1和x?2，求a?b的值。

（1）分析：前两项可以分解为(x?y)(x?y)，故此多项式分解的形式必

为(x?y?a)(x?y?b) 解：设x2?y2?mx?5y?6=(x?y?a)(x?y?b)

则x2?y2?mx?5y?6=x2?y2?(a?b)x?(b?a)y?ab ?a?b?m?a??2?a?2???比较对应的系数可得：?b?a?5，解得：?b?3或?b??3

?ab??6?m?1?m??1???∴当m??1时，原多项式可以分解；

当m?1时，原式=(x?y?2)(x?y?3)；

当m??1时，原式=(x?y?2)(x?y?3)

32（2）分析：x?ax?bx?8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，

因此第三个因式必为形如x?c的一次二项式。

32解：设x?ax?bx?8=(x?1)(x?2)(x?c)

则x?ax?bx?8=x?(3?c)x?(2?3c)x?2c

?a?3?c?a?7??∴?b?2?3c 解得?b?14， ?2c?8?c?4??∴a?b=21

3232

22练习17、（1）分解因式x?3xy?10y?x?9y?2

7

（2）分解因式x2?3xy?2y2?5x?7y?6

（3） 已知：x2?2xy?3y2?6x?14y?p能分解成两个一次因式

之积，求常数p并且分解因式。 （4） k为何值时，x2?2xy?ky2?3x?5y?2能分解成两个一次

因式的乘积，并分解此多项式。

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