例谈应用均值不等式求最值的解法

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例谈应用均值不等式求最值的解法

作者：黄玉凤

来源：《中学教学参考·理科版》2013年第10期

最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各个知识板块.学生在学到“均值不等式的应用”时，常感觉到“均值不等式a+b2≥ab（a>0，b>0，当且仅当a=b时等号成立）”这一知识极易理解，但在解题过程中却往往不知道如何运用.在教学中，我整理了均值不等式求最值的解法，以解除学生的学习困惑. 一、负化正

在运用均值不等式的时候首先要注意a>0，b>0的条件（即一正）.如下题型，当正数条件不满足时，可以将负数化为正数，产生满足要求的条件. 【例1】求f（x）=4x+9x（x

解：∵x0∴f（x）=-4（-x）+（-9-x）=-[（-4x）+（-9x）] ∵（-4x）+（-9x）≥12，∴f（x）≤-12

当且仅当4（-x）=-9x，即x=-32时，f（x）等号成立，取最大值为-12. 二、构造法 1.配系数 【例2】当0

解：y=x（8-2x）=12×2x（8-2x）≤12×[2x+（8-2x）2]2=8.当且仅当2x=8-2x且0 2.添加项

【例3】求f（a）=4a-3+a（a>3）的最小值.

解：∵a>3，∴a-3>0，∴f（a）=4a-3+（a-3）+3≥24a-3×（a-3）+3=7.当且仅当4a-3=a-3且a>3，即a=5时，等号成立.f（a）有最小值为7. 3.拆分项

【例4】求f（x）=x2+2x2+1的最小值.

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