中考压轴题双动点问题专题

中考压轴题双动点问题专题

1、（2011年河南）

22. （10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.

22.（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t.

又∵AE=t，∴AE=DF.…………………………………………………………………………2分 （2）能.理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.

又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形.…………………………………………………3分 ∵AB=BC·tan30°=53?3?5,?AC?2AB?10. 310. 3?AD?AC?DC?10?2t.

若使?AEFD为菱形，则需AE?AD.即t?10?2t,t?即当t?10时，四边形AEFD为菱形.……………………………………………………5分 35.………………7分 2（3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形.

在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE.即10-2t=2t，t?②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°. ∵∠A=90°-∠C=60°，∴AD=AE·cos60°. 即10?2t?1t,t?4.…………………………………………………………………………9分 25或4时，△DEF为直角三角形.……………………………………10分 2③∠EFD=90°时，此种情况不存在. 综上所述，当t?

2、（2012年福州）15. （2012福建福州13分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝

6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．

(1) 直接用含t的代数式分别表示：QB＝______，PD＝______．

(2) 是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明

理由．并探究如

何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

(3) 如图②，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．

4【答案】解：(1) QB＝8－2t，PD＝t。

3

(2) 不存在。理由如下：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴ AB＝10。 ∵ PD∥BC，∴ △APD∽△ACB。∴ 5∴ BD＝AB－AD＝10－t。

3

∵ BQ∥DP，∴ 当BQ＝DP时，四边形PDBQ是平行四边形。 412

∴8－2t＝t，解得：t＝。

35

1241216512

当t＝时，PD＝×＝，BD＝10－×＝6，∴ DP≠BD。

535535∴PDBQ不能为菱形。

45设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ＝8－vt，PD＝t，BD＝10－

33t。

要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝BQ，

ADAPADt5

＝，即：＝，∴ AD＝t。 ABAC1063

4510

当PD＝BD时，即t＝10－t，解得：t＝。

333

104101016

当PD＝BQ时，t＝时，即×＝8－v，解得：v＝。

333315

16

∴要使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，点Q的速度为单位长度/秒。

15

(3) 如图，以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系。

依题意，可知0≤t≤4。

当t＝0时，点M1的坐标为(3，0)； 当t＝4时，点M2的坐标为(1，4)。 设直线M1M2的解析式为y＝kx＋b，

?3k＋b＝0?k＝－2∴ ?，解得：?。 ?k＋b＝4?b＝6

∴直线M1M2的解析式为y＝－2x＋6。 ∵点Q(0，2t)，P(6－t，0)，

6－t∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标为(，t)。

26－t6－t把x＝，代入y＝－2x＋6，得y＝－2×＋6＝t。

22

∴点M3在直线M1M2上。∴线段PQ中点M所经过的路径长即为线段M1M2。

过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N＝4，M1N＝2。 ∴ M1M2＝25。

∴线段PQ中点M所经过的路径长为25单位长度。

【考点】锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，一次函数综合题，勾股定理，菱形的判定和性质．

【分析】(1) 根据题意得：CQ＝2t，PA＝t，由Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

PD∥BC，即可 得tanA＝

PDBC4

＝＝，则可求得QB与PD的值。 PAAC3

(2) 易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ＝DP时，四边形

PDBQ是平行四边形，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定?PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝

BQ，列方程即可求得答案。

(3) 建立直角坐标系，求出线段PQ中点M始末坐标M1和M2，求出直线M1M2的

解析式，并证明线段PQ任一中点在直线M1M2上，从而得出线段M1M2即为线段PQ中点M所经过的路径长，根据勾股定理即可求出。

3、（2012年六盘水）25．（2012六盘水）如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC．

（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值． （3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．

考点：相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；二次函数的最值；勾股定理；勾股定理的逆定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）。 专题：代数几何综合题；压轴题。

分析：（1）由PQ∥BC时的比例线段关系，列一元一次方程求解；

（2）如解答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D，构造比例线段，求得PD，从而可以得到S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值；

（3）要点是利用（2）中求得的△AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把△ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；

（4）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在Rt△PQD中，求得时间t的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于△AQP面积的2倍，从而可以利用（2）中△AQP面积的表达式，这样可以化简计算． 解答：解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，

∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角． （1）BP=2t，则AP=10﹣2t． ∵PQ∥BC，∴∴当t=

，即

，解得t=

，

s时，PQ∥BC．

（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D． ∴PD∥BC，∴

，即

，解得PD=6﹣t．

，

S=×AQ×PD=×2t×（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣）2+∴当t=s时，S取得最大值，最大值为

cm2．

（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分， 则有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC?BC=24，∴此时S△AQP=12． 由（2）可知，S△AQP=﹣t2+6t， ∴﹣t2+6t=12，化简得：t2﹣5t+10=0， ∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解， ∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．

（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t． 如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC， ∴

，即

，

解得：PD=6﹣t，AD=8﹣t， ∴QD=AD﹣AQ=8﹣t﹣2t=8﹣

t．

在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2， 即（8﹣

t）2+（6﹣t）2=（2t）2，

化简得：13t2﹣90t+125=0，

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