数值分析复习资料

第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：x???~b?a k?122）迭代法收敛阶：limi???i?1?ip?c?0，若p?1则要求0?c?1

3）单点迭代收敛定理：

'定理一：若当x??a,b?时，?(x)??a,b?且?(x)?l?1，?x??a,b?，则迭代格式收敛

于唯一的根；

定理二：设?(x)满足：①x??a,b?时，?(x)??a,b?， ②?x1,x2??a,b?,有 ?(x1)??(x2)?lx1?x2,0?l?1 则对任意初值x0??a,b?迭代收敛，且：

1xi?1?xi1?l

li??xi?x1?x01?l??xi?定理三：设?(x)在?的邻域内具有连续的一阶导数，且?'(?)?1，则迭代格式具有局部收敛性；

定理四：假设?(x)在根?的邻域内充分可导，则迭代格式xi?1??(xi)是P阶收敛的?

?(j)(?)?0,j?1,,P?1,?(P)(?)?0（Taylor展开证明）

4）Newton迭代法：xi?1?xi?5）Newton迭代法收敛定理：

设f(x)在有根区间a,b上有二阶导数，且满足： ①：f(a)f(b)?0； ②：f(x)?0,x??a,b?；

'f(xi)，平方收敛 f'(xi)??③：f不变号,x??a,b?

''④：初值x0??a,b?使得f(x)f(x)?0；

''则Newton迭代法收敛于根?。

6）多点迭代法：xi?1?xi?f(xi)f(xi)f(xi?1)?xi?1?xi

f(xi)?f(xi?1)f(xi)?f(xi?1)f(xi?1)?f(xi)xi?xi?1收敛阶：P?1?5 2f(xi)（平方收敛） f'(xi)7）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改 ①：已知根的重数r，xi?1?xi?r②：未知根的重数：xi?1?xi?根。

8）迭代加速收敛方法：

u(xi)f(x)，?为f(x)的重根，则?为u(x)的单,u(x)?''u(xi)f(x)xixi?2?xi2?1xi?1?xi?2?2xi?1?xixi?1??(xi)xi?2??(xi?1)平方收敛 ?'(?)?L?1,09）确定根的重数：当Newton迭代法收敛较慢时，表明方程有重根

当不动点迭代函数?(x)在?的某个邻域内具有二阶导数，

xixi?2?xi2?1xi?11 r??xi?2?2xi?1?xixi?2?xi?1xi?2?xi?110）拟Newton法

?xi?1?xi?Ai?1F(xi)?i?1ii?1i?1?Ai?1(x?x)?F(x)?F(x)若Ai非奇异，则Hi?Ai?A?A??Aii?i?1

i?1ii?x?x?HiF(x)?i?1ii?1i?Hi?1(F(x)?F(x))?(x?x)?H?H??Hii?i?1?f1???f1?f1i???xi?xi?xn12???f2???f2?f2?iii?'i?xn其中Ai?F(x)??x1?x2?? ?????f?f?fnn??niii???xn??x1?x2?11）秩1拟Newton法：

?xi?1?xi?Ai?1F(xi)?iT,其中ri?xi?1?xi,yi?F(xi?1)?F(xi) ?(r)iiA?A?(y?Ar)ii?i?1(ri)Tri?Broyden秩1方法

?xi?1?xi?HiF(xi)??(ri)THi ii?Hi?1?Hi?(r?Hiy)(ri)THyii?第二章 线性代数方程组数值解法

1）向量范数：

①：非负性：x?0，且x?0的充要条件是x?0； ②：齐次性：

?x??x

③：三角不等式：x?y?x?y

1范数：x1??xi?1ni

122范数：x2?(?xi)

i?1?n2?范数：xp范数：x?maxxi

1?i?np?(?xi)

i?1np1p2）矩阵范数：

①：非负性：A?0，且A?0的充要条件是A?0； ②：齐次性：

?A??A

③：三角不等式：A?B?A?B ④：乘法不等式：AB?AB

F范数：AF?2?????aij? ?i?1j?1?nn1?j?n121范数：A1?max?ai?1nij，列和最大

?范数：A1?max?aij，行和最大

1?i?nj?1n2范数：A2??(AHA)，其中?(AHA)?max?i，?i为AHA的特征值，?(A)?A

1?i?n3）Gauss消元法（上三角阵）：M?

13n； 313Gauss-Jordan消元法（对角阵）：M?n；

2 列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置；（可用于求逆矩阵） 全选主元消元法：全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于对角线主元位置；

4）三角分解法：

①：Doolittle分解法：A=LU，L单位下三角阵，U上三角阵 ②：Crout分解法：A=LU，L下三角阵，U单位上三角阵

③：Cholesky分解法：A对称正定，A?LL，L为单位下三角阵

④：改进的Cholesky分解法：A对称正定，A?LDL，L为单位下三角阵，D为对角阵 ⑤：追赶法：Crout分解法解三对角方程

?15）矩阵的条件数cond(A)?AA?1，谱条件数：cond2(A)?ATT2A?1

2?xxCond(A)??AA1?Cond(A)?AA

?16）如果B?1，则I?B为非奇异阵，且(I?B)?1

1?B7）迭代法基本原理： ①：迭代法：xi?1?Bxi?K

ii??②：?(B)?1(?limB?0，迭代格式收敛) ③：至少存在一种矩阵的从属范数，使B?1 8）Jacobi迭代：A?L?D?U

xi?1?(I?D?1A)xi?D?1b

9）Gauss-Seidel迭代：x10）超松弛迭代法xi?1i?1??(L?D)?1Uxi?(L?D)?1b

?xi??ri?1

11）二次函数的一维搜索：x2?x1??1P1 12）最速下降法：

选择方向Z0??gradf(x0)?r0?b?Ax0

(r0,r0)进行一维搜索：x?x??0r，其中?0?

(Ar0,r0)10013）共轭梯度法：

第一步：最速下降法，P?r，r1?b?Ax1，(r0,r1)?0

00(r1,AP0)11P第二步：过x选择P的共轭方向P?r??P，其中???0，过以为方x0(P,AP)10110?x2?x1??1P1?11向的共轭直线为x?x?tP，进行二次函数的一维搜索?(r1,P1)

??1?(AP1,P1)?14）一般的共轭梯度法： 第三章 插值法与数值逼近 1）Lagrange插值：Ln(x)??l(x)f(x)，

jjj?0nlj(x)?(x?x1)(xj?x1)(x?xj?1)(x?xj?1)(xj?xj?1)(xj?xj?1)(x?xn)(xj?xn)?Pn?1(x)

(x?xj)Pn'?1(xj)f(n?1)(?)余项：E(x)?Pn?1(x)

(n?1)!2）Newton插值：差商表

x0 f(x0) x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3)

f[x0 x1] f[x0 x2] f[x0 x3]

f[x0 x1 x2]

f[x0 x1 x3] f[x0 x1 x2 x3]

f(x)?f(x0)?f[x0 x1](x?x0)??f[x0 x1xn](x?x0)(x?xn?1)?f[x0 x1xnx](x?x0)(x?xn)余项E(x)?f[x0 x13）反插值

xnx](x?x0)f(n?1)(?)(x?xn)?Pn?1(x)

(n?1)!

4）Hermite插值（待定系数法）H2n?1(x)??[?(x)f(x)??(x)f(x)]

'jjjjj?0'jj'jn其中?j(x)?(ax?b)l(x),a??2l(xj),b?1?2xl(xj),l(xj)?2j'j1 ?x?xk?1,k?jjkn?j(x)?(x?xj)l2j(x)

f(2n?2)(?)2余项：E(x)?Pn?1(x)

(2n?2)!5）分段线性插值：Lj(x)?x?xj?1xj?xj?1f(xj)?x?xjxj?1?xjf(xj?1)

?0,x0?x?xn?1?x?x1,x?x?x01??插值基函数：l0(x)??x0?x1 ,ln(x)??x?xn?1,x?x?xn?1n?0,x?x?x?n?1?xn?xn?1?x?xj?1,xj?1?x?xj??xj?xj?1??x?xj?1lj(x)??,xj?x?xj?1

?xj?xj?1?0,???余项：分段余项?M22h,M2?maxf(2)(x) 86）有理逼近：反差商表

有理逼近函数式：f(x)?v0(x0)?v1(x1)?x?x0x?x1v2(x2)??

x?xn?1vn(xn)7）正交多项式的计算：

定理：在[a,b]上带权函数?(x)的正交多项式序列??n(x)?0，若最高项系数唯一，它便是唯一的，且由以下的递推公式确定

??n?1?(x??n)?n??n?n?1

其中(?i,?j)?定理3.8

?n?(x?n,?n)(?n,?n),?n?,??1?0,?0?1

(?n,?n)(?n?1,?n?1)?ba?(x)?i?jdx

8）连续函数的最佳平方逼近：在??Span{1,x,x2,,xn}上，法方程为Hna?d，

12?1?1213其中Hn?????1(n?1)1(n?2)均方误差：?最大误差：?2*1(n?1)?11(n?2)??，dk?(f,?k)?f(x)?kdx ?0??1(2n?1)?2*?adi ?i2i?1n?(f,f)?(P,f)?f?maxf?P*

0?x?1?9）离散函数的最佳平方逼近（曲线的最小二乘拟合）： 法方程

?(?,?)ajkj?0mi?0nj?(f,?k)

(?j,?k)???i?j(xi)?k(xi)其中

(f,?k)???if(xi)?k(xi)i?0m

第四章 数值积分

1）代数精度的概念及应用：对r次多项式的精确成立，以及代入法求解系数。 2）Lagrange插值代入 Lagrange插值基函数lj?n(x?x0)(xj?x0)(x?xj?1)(x?xj?1)(xj?xj?1)(xj?xj?1)b(x?xn)(xj?xn)

?baf(x)dx??Hjf(xj)，其中Hj??lj(x)dx

j?0a误差：E(f)??baf(n?1)(?)Pn?1(x)dx

(n?1)!定理：数值积分公式具至少有n次代数精度?其是差值型的 3）等距节点的Newton-Cotes公式

将拉格朗日差值积分公式中的差值节点xi?a?ih即可，其中h?b?a； nHj(?1)n?jhnnHj??(t?i)dt，令Cj?b?a（Cotes系数）则：

j!(n?j)!?0i?0,i?jQ(f)?(b?a)?Cjf(xj)

j?0nN-C公式的数值稳定性：当Cj同号时是稳定的，否则不稳定，??(b?a)??Cj?0nj（其中

??max?j）

0?j?nN-C公式至少具有n次代数精度，若n为偶数，则其代数精度可提高到n+1次； 余项：

f(n?2)(?)b当n为偶数时，E(f)?xPn?1(x)dx

(n?2)!?af(n?1)(?)b当n为奇数时，E(f)?Pn?1(x)dx ?a(n?1)!4）复化的N-C公式

复化的梯形公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用梯形公式

I??f(x)dx???aj?0bn?1xj?1xj?f(xj)?f(xj?1)?f(x)dx????h?En(f)?Tn?En(f)

2j?0??n?1En(f)??1h2()(b?a)f''(?) 122复化的Simpson公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用Simpson公式

n?1?f(xj)4f(xj?1)f(xj?1)?n?1h22?????Sn?????f(x)?f(x)?f(x1)h ?jj?1??j?666?j?06j?0?j?032??1h4En(f)??()(b?a)f(4)(?)

18024T?TSn?2nn

3n?15）Romberg积分法

?T0(h)?T(h)?h1h?Tm()?()2mTm(h)4mTm()?Tm(h) ?222?m?Tm?1?12m4?11?()??2Tm(h)逼近I(f)的阶为h2(m?1)

hhhT0(h) T0() T0() T0()

248hh T1(h) T1() T1()

246）求积节点为n+1的机械求积公式的代数精度<=2n+1；

7）Gauss求积公式

'f(x)????(x)f(x)??(x)f(xj)?jjj???E(x)

j?0nf(2n?2)(?)2E(x)?Pn?1(x)

(2n?2)!I(f)??f(x)dx??anbab'??(x)f(x)??(x)f(xj)??jjj??dx??aE(x)dxaj?0nb'bbnb ????j(x)dxf(xj)????j(x)dxf(xj)??E(x)dxj?0nj?0aa

??Hjf(xj)??Hjf'(xj)j?0j?0nHj??(x?xj)l2j(x)dx??abbaPn?1(x)lj(x)dx 'Pn?1(x)Pn?1(x)在[a，b]上与所有次数<=n的多项式带权??1正交?上式为Gauss求积公式、

8）Gauss-Legendre求积公式 给

出

Pn?1(x)公式：

P0(x?)、1P1(x)?x、

(3x2?1)1dn(x2?1)n? P2?222222Pn(x)?nn?2n!dx2给出区间[1,-1]上的求积公式，取Pn(x)的零点为求积节点 ① 取P1(x)零点为0

?baf(x)dx?H0f(x0)?E(f)

3 3

H0?2

② 取P2零点为??baf(x)dx?H0f(x0)?H1f(x1)?E(f)

Gauss

H0?H0?1

a?bb?a?t,t?[a,b]，22对于区间[a,b]上的

求积公式，令x?f(x)?f(?baa?bb?a?t)?g(t)，则： 221b?ab?a1f(x)dx??g(t)dt?g(t)dt

?122??1b?ag2(n?1)(?)12Pn?1(t)dt,Pn?1(t)?(t?t0)余项：E(f)?2(2n?2)!??1(t?tn)

第五章 乘幂法 1）基本定理： 定理一：若?1,?2,,?n为A的特征值，P(x)为某一多项式，则矩阵P(A)的特征值是

P(?1),P(?2),,P(?n)。特别地，Ak的特征值是?1k,?2k,?nk。

定理二：如果A为实对称矩阵，则A的所有特征值均为实数，且存在n个线性无关的特征向量；不同特征值所对应的特征向量正交。

定理三：设A与B为相似矩阵，即存在非奇异阵P，使PAP征值。

定理四：如果A有n个不同的特征值，则存在一个相似变换矩阵P，使得PAP?D，其中D是一个对角矩阵，它的对角线元素就是A的特征值。

定理五：对于任意方阵A，存在一个酉变矩阵Q，使得QHAQ?T，其中T是一个上三角矩阵，QH是Q是共轭转置矩阵。

推论：如果A是实对称矩阵，则存在一个正交矩阵Q，使QTAQ?D，其中D是对角矩阵，它的对角线元素是A的特征值，而Q的各列即为A的特征向量，并且QTQ?QQT?I。 定理六：设A?(aii)n?n,Ci(i?1,?1?1?B，则A与B有相同的特

,n)是以aii为中心的一些圆，其半径为

Ci，则A的所有特征值都位于区域?内。

ri?k?1,k?i?nnaik,i?1,,n，设??i?1n1?min(aii??aik)。 推论：A的谱半径满足?1?(A)1?i?nk?1,k?i?11xHAxxHAx定理七：设A为对称正定阵，则有?(A)?maxH，?minH，其中，x?1x?0xx?(A)x?0xx是任意复向量，xH表示x的共轭转置。 定理八：对任意非奇异矩阵A，有

12T????(AA)，其中?i为A的任一特征iT?1???(AA)??值。

2）求按模最大的特征值和对应的特征向量

Amv0，max(vm)??1 vm?Aum?1?m?1max(Av0)3）

第六章 常微分方程的数值解法（差分法）

1）离散化方法：Taylor展开、差商代替求导、数值积分 2）Euler公式：??y(xn?1)?y(xn?1)?hf(xn,y(xn))

?y0???y(xn?1)?y(xn?1)?hf(xn?1,y(xn?1))Euler隐式?（1阶）

y???0h?y(x)?y(x)?(f(xn,y(xn))?f(xn?1,y(xn?1)))?n?1n?1改进的Euler公式?（2阶精确解） 2??y0??3）截断误差和P阶精确解：截断误差Tn?1?O(hP?1) 4）S级Runge-Kuta法

s??yn?1?yn?h?biki?i?1 c1?0,?1j?0k,1?f(x,ny )?ni?1?k?f(x?ch,y?h??kininijj?j?1?2级Runge-Kuta法

1?b?1??12c2??yn?1?yn?hb1k1?hb2k21??（2阶精度） k?f(x,y)其中b??1?2nn2c2?k?f(x?ch,y?h?k?n2n211?2??21?c2??、2/3（Heun公式）、1（改进的Euler方法） c2的取值1/2（中点公式）

5）单步法yn?1?yn?hf(xn,yn,h)（*）

相容性：?(xn,yn,0)?f(xn,yn)则（*）式与初值问题相容

收敛性：对于固定的xn?x0?nh当h?0时有yn?y(xn)则称（*）式收敛

数值稳定性：若一数值方法在yn上有扰动Sn而于以后的各节点值ym(m?n)上产生的偏差均不超过Sn，则称该方法绝对收敛

?y'??y???R,??0试验方程：?用以求解绝对稳定区间 x??a,b? ????C,Re(?)?0?y(0)?y0绝对收敛：用单步法求解试验方程，若绝对收敛则称该方法绝对稳定

6）线性多步法德一般格式：y(xn?1)?'?ay(xii?0p')?hby?n?ii(xn?i)

i??1p局部阶段误差Tn?C0y(xn)?C1hy(xn)? ?Cqhqy(q)(xn)?（系数通过Taylor展开构造）

p??C0?1??ai?i?0pp??其中?C1?1?[?(?i)ai??bi]

i?0i??1?p???1??pq?Cq??1???(?i)ai?q?(?i)q?1bi??q!??i?0?i??1???线性多步法的阶数通过误差系数来判断，最高阶数r?2p?2 7）线性多步法的收敛性判断：C0?0C1?0称线性多步法相容 满足根条件：第一特征多项式?(r)?rp?1??airp?i，

i?0p?ip

第二特征多项式?(r)?i??1?brip

当第一特征多项式所有根的模均不大于1，且模为1的根均是单根，称满足根条件

收敛?相容且满足根条件 8）数值稳定性判断：

稳定多项式（特征多项式）?(r,h?)??(r)?h??(r) 令h??h，ri(h)是稳定多项式的根，r0(h)?1?h??o(h)

①：若对任意h?[a,b]?R有ri(h)?r0(h)，且当ri(h)?r0(h)时，ri(h)为单根，则称

2[a,b]为相对稳定区间；

③ 若对任意h?[a,b]?R有ri(h)?1，则称[a,b]为绝对稳定区间

（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）

第一章 绪 论

1. 设x>0,x的相对误差为δ,求lnx的误差.

2. 设x的相对误差为2％,求x的相对误差.

3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出

它们是几位有效数字: 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:

*****x1?1.1021,x2?0.031,x3?385.6,x4?56.430,x5?7?1.0.

n************,x2,x3,x4(i)x1?x2?x4,(ii)x1x2x3,(iii)x2/x4,其中x1均为第3题所给的数.

5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6. 设

Y0?28,按递推公式

Yn?Yn?1?1783100 ( n=1,2,…)

计算到

Y100Y.若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100将有多大误差?

??27. 求方程x?56x?1?0的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982).

8. 当N充分大时,怎样求

?N1dx1?x2?

29. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝?

S?10. 设

对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列

12gt2假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝

{yn}满足递推关系yn?10yn?1?1(n=1,2,…),若y0?2?1.41(三位有效数

y10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?

字),计算到

6f?(2?1)12. 计算,取2?1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?

113,(3?22),,99?702.63(2?1)(3?22)

13. f(x)?ln(x?x?1),求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若

改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大?

2ln(x?x2?1)??ln(x?x2?1)

14. 试用消元法解方程组

?x1?1010x2?1010;x1?x2?2.假定只用三位数计算,问结果是否可靠?

1?absinc,0?c?22,且测量a ,b ,c 的误差分别为15. 已知三角形面积其中c为弧度,

?a,?b,?c.证明面积的误差?s满足

s??s?a?b?c???.sabc

第二章 插值法

1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令

1Vn(x)?Vn(x0,x1,,xn?1,x)?11 证明

x0xn?1x2x0nx02xn?1nxn?1x2xnVn(x)是n次多项式,它的根是x0,Vn(x)?Vn?1(x0,x1,,xn?1,且 ,xn?1)(x?x0)(x?xn?1).

2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.

3. 给出f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值. x 0.4 0.5 0.6 0.7 lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 0.8 -0.223144

4. 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,

研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.

maxl2(x)x?x?khx0?x?x3k05. 设,k=0,1,2,3,求.

xj6. 设

为互异节点(j=0,1,…,n),求证:

i) ii)

?xl(x)?x(k?0,1,kjjkj?0nn,n);

?(xj?0j?x)klj(x)???k?1,2,2,n).

maxf(a)?f(b)?07. 设且,求证a?x?bxxf(x)?e?4?x?48. 在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求e的近似值,要使截

f(x)?C?a,b??61f(x)?(b?a)2maxf?(x).8a?x?b

断误差不超过10,问使用函数表的步长h应取多少?

44n?y?yn. y?2nn9. 若,求及

10. 如果f(x)是m次多项式,记?f(x)?f(x?h)?f(x),证明f(x)的k阶差分

?kf(x)(0?k?m)是m?k次多项式,并且?m?lf(x)?0(l为正整数).

11. 证明12. 证明

?(fkgk)?fk?gk?gk?1?fk.

?f?gkk?0n?1k?fngn?f0g0??gk?1?fk.k?0n?1

13. 证明

??j?0n?12yj??yn??y0.

f(x)?a0?a1x?14. 若

?an?1xn?1?anxn有n个不同实根x1,x2,,xn,证明

?f?(x)j?1nxkj?15. 证明n阶均差有下列性质: i)

若F(x)?cf(x),则

j?0,0?k?n?2;?1an,k?n?1.

F?x0,x1,,xn??cf?x0,x1,,27??,xn?;

F?x0,x1,ii) 若F(x)?f(x)?g(x),则

0174f?2,2,f(x)?x?x?3x?116. ,求?,xn??f?x0,x1,01f?2,2,及?,xn??g?x0,x1,,28??.

,xn?.

17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

R3(x)?f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2/4!,??(xk,xk?1)

18. 求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)?P(?k?1)并由此求出分段三次

埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P(x),以便使它能够满足以下边界条件

P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?1,P(2)?1.

20. 设

?a,b?分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数?n(x)?(x)在?a,b?上一致收敛到f(x).

并证明当n??时,n,把

f(x)?C?a,b?2f(x)?1/(1?x),在?5?x?5上取n?10,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),21. 设

I(x)与f(x)的值,并估计误差.

计算各节点间中点处的h?a,b?上的分段线性插值函数Ih(x),并估计误差.

22. 求f(x)?x在

24?a,b?上的分段埃尔米特插值,并估计误差. f(x)?x23. 求在

24. 给定数据表如下: 0.25 xj 0.30 0.5477 0.39 0.6245 0.45 0.6708 0.53 0.7280 yj0.5000 试求三次样条插值S(x)并满足条件 i) ii)

f(x)?C2?a,b?S(x)25. 若,是三次样条函数,证明

i)

S?(0.25)?1.0000,S?(0.53)?0.6868;

S?(0.25)?S?(0.53)?0.

2b2b??ba?f?(x)?dx???S?(x)?dx??aa?f?(x)?S?(x)?dx?2?S?(x)?f?(x)?S?(x)?dxa2b;

ii) 若

baf(xi)?S(xi)(i?0,1,,n),式中

xi为插值节点,且

a?x0?x1??xn?b.

,则

S?(x)?f?(x)?S?(x)?dx?S?(b)?f?(b)?S?(b)??S?(a)?f?(a)?S?(a)?26. 编出计算三次样条函数S(x)系数及其在插值节点中点的值的程序框图(S(x)可用(8.7)

式的表达式).

第三章 函数逼近与计算

1. (a)利用区间变换推出区间为

(b)对

马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:

?a,b?的伯恩斯坦多项式.

f(x)?sinx在?0,?/2?上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的

m?Bn(f,x)?M. (b)当f(x)?x时,Bn(f,x)?x.

(a)当m?f(x)?M时,

?0,2??的最佳一致逼近多项式.

3. 在次数不超过6的多项式中,求f(x)?sin4x在

?a,b?上连续,求f(x)的零次最佳一致逼近多项式.

4. 假设f(x)在

5. 选取常数a,使

maxx3?ax0?x?1达到极小,又问这个解是否唯一?

?0,?/2?上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.

6. 求f(x)?sinx在

x?0,1?上的最佳一次逼近多项式. f(x)?e7. 求在

p(x)?x2?r??1,1?r8. 如何选取,使

4在

上与零偏差最小?r是否唯一?

?0,1?上求三次最佳逼近多项式.

9. 设f(x)?x?3x?1,在

310. 令

Tn(x)?Tn(2x?1),x??0,1?***T(x),T(x),T(x),T3(x). 012,求

11. 试证

?T*n(x)?是在

?0,1?上带权

??1x?x2的正交多项式.

?1?1,1??f(x)?tgx的三次近似最佳逼近多项式. 12. 在上利用插值极小化求1

x??1,1?上的插值极小化近似最佳逼近多项式为Ln(x),若f?Ln13. 设f(x)?e在

?有界,

证明对任何n?1,存在常数

?n、

?n,使

?nTn?1(x)?f(x)?Ln(x)??nTn?1(x)(?1?x?1).14. 设在上

多项式并估计误差. 15. 在16.

??1,1??(x)?1?11331541655x?x2?x?x?x28243843840,试将?(x)降低到3次

??1,1?上利用幂级数项数求f(x)?sinx的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.

f(x)是??a,a?上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,f(x)的最佳逼近多项

?202*F(x)?Hn也是奇(偶)函数. n式

?ax?b?sinx?dx?ba17. 求、使为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.

g(x)?C1?a,b?f(x)18. 、,定义

(a)(f,g)??f?(x)g?(x)dx;(b)(f,g)??f?(x)g?(x)dx?f(a)g(a);aabb 问它们是否构成内积?

1

x6dx?01?x19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,

并比较其结果.

20. 选择a,使下列积分取得最小值:21. 设空间

为

?1?1(x?ax2)2dx,?x?ax2dx?11???span?1,x?,?2?span?x100,x101?.

,分别在

?1、?2上求出一个元素,使得其

x2?C?0,1?的最佳平方逼近,并比较其结果.

1??1,1?上,求在?22. 在

sin?(n?1)arccosx?u(x)?f(x)?xn?span?1,x2,x4?上的最佳平方逼近.

23.

1?x2是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系

un?1?x??2xun?x??un?1?x?f(x)?sin24. 将

逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.

.

1x2在??1,1?上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方

??1,1?上展成切比雪夫级数.

25. 把f(x)?arccosx在

2y?a?bx26. 用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.

xi yi 19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8 27. 观测物体的直线运动,得出以下数据: 0.9 1.9 时间t(秒) 0 3.0 3.9 5.0 110 10 30 50 80 距离s(米) 0 求运动方程. 28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下: 10 15 20 25 30 35 40 45 时间 0 5 浓度 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 50 4.62 55 4.64 用最小二乘拟合求y?f(t).

29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT算法的程序框图. 31. 现给出一张记录

?xk???4,3,2,1,0,1,2,3?,试用改进FFT算法求出序列?xk?的离散频谱

,7).

?Ck?(k?0,1,第四章 数值积分与数值微分

1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具

有的代数精度:

(1)?h?h2hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h); ;

(2)?(3)??2h1f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)?1f(x)dx??f(?1)?2f(x1)?3f(x2)?/3;

(4)02. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:

?hf(x)dx?h?f(0)?f(h)?/1?ah2?f?(0)?f?(h)?1?x2.

xdx,n?8?04?x2(1); (2)

1(1?e)?0xdx,n?10;

1(3)13. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度. 4. 用辛普森公式求积分0并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:

?9?xdx,n?4; (4)?60?sin2?dx,n?6.

?1e?xdxf?(?)(b?a)2?a2(1); bf?(?)2f(x)dx?(b?a)f(b)?(b?a)?a2(2);

ba?bf?(?)f(x)dx?(b?a)f()?(b?a)3?a224(3).

bf(x)dx?(b?a)f(a)?6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n??时收敛到积分7. 用复化梯形公式求积分a不超过?(设不计舍入误差)?

?baf(x)dx.

?bf(x)dx1,问要将积分区间

?a,b?分成多少等分,才能保证误差

?528. 用龙贝格方法计算积分

??e0?xdx,要求误差不超过10.

?cS?a?21?()2sin2?d?0a9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是,这里a是椭

圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h为近地点距离,H为远地点距离,R?6371公里为地球半径,则a?(2R?H?h)/2,c?(H?h)/2.我国第一颗

人造卫星近地点距离h?439公里,远地点距离H?2384公里,试求卫星轨道的周长.

n10. 证明等式

法求?的近似值.

nsin?????33!n2??55!n4?试依据nsin(?/n)(n?3,6,12)的值,用外推算

11. 用下列方法计算积分

(1) 龙贝格方法;

(2) 三点及五点高斯公式;

(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.

?31dyy并比较结果.

f(x)?12. 用三点公式和五点公式分别求

差.f(x)的值由下表给出: x 1.0 1.1 1(1?x)2在x?1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误

1.2 1.3 1.4 f(x) 0.2500 0.2268 0.2066 0.1890 0.1736 第五章 常微分方程数值解法

?1. 就初值问题y?ax?b,y(0)?0分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达

y?式，并与准确解

2. 用改进的尤拉方法解初值问题

12ax?bx2相比较。

?y??x?y,0?x?1;??y(0)?1,

x取步长h=0.1计算，并与准确解y??x?1?2e相比较。

3. 用改进的尤拉方法解

?y??x2?x?y;??y(0)?0,

?x2y(0.5)y??e?x?x?1相比较。 取步长h=0.1计算，并与准确解

4. 用梯形方法解初值问题

证明其近似解为

?y??y?0;??y(0)?1,

n?2?h?yn???,?2?h?

?xy?eh?0并证明当时，它原初值问题的准确解。

5. 利用尤拉方法计算积分

??y??x?y,0?x?1;?y(0)?1, 1）? ?y??3y/(1?x),0?x?1;?y(0)?1. 2）?

x0etdt2在点x?0.5,1,1.5,2的近似值。

6. 取h=0.2，用四阶经典的龙格－库塔方法求解下列初值问题：

7. 证明对任意参数t，下列龙格－库塔公式是二阶的：

h?y?y?(K2?K3);n?n?12??K?f(x,y);nn?1?K2?f(xn?th,yn?thK1);???K3?f(xn?(1?t)h,yn?(1?t)hK1).8. 证明下列两种龙格－库塔方法是三阶的：

h?y?y?(K1?3K3);n?n?14??K1?f(xn,yn);??hhK?f(x?,y?K1);nn?233??K?f(x?2h,y?2hK);3nn2?33?1）

h?y?y?(2K1?3K2?4K3);n?n?19?K?f(xn,yn);??1?hhK?f(x?,y?K1);nn?222??K?f(x?3h,y?3hK).3nn2?44?2）

9. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题：

?xh?0.2,y?0,y?0.181,y(1.0)y?1?e01取计算并与准确解相比较。

?10. 证明解y?f(x,y)的下列差分公式

y??1?y,y(0)?0,

yn?1?是二阶的，并求出截断误差的首项。

11. 导出具有下列形式的三阶方法： 12. 将下列方程化为一阶方程组：

1h??1?yn??3yn??1)(yn?yn?1)?(4yn24

??b1yn??1?b2yn??2).yn?1?a0yn?a1yn?1?a2yn?2?h(b0yn

y???3y??2y?0,?1）y(0)?1,y(0)?1;

y???0.1(1?y2)y??y?0,?2）y(0)?1,y(0)?0;

xy??,y(t)??,r?x2?y2,33rr3） ?? x(0)?0.4,x(0)?0,y(0)?0,y(0)?2.

x??(t)??13. 取h=0.25，用差分方法解边值问题

??14. 对方程y?f(x,y)可建立差分公式

试用这一公式求解初值问题

?y???y?0;??y(0)?0,y(1)?1.68.

yn?1?2yn?yn?1?h2f(xn,yn),

验证计算解恒等于准确解

?y???1;??y(0)?y(1)?0,

15. 取h=0.2用差分方法解边值问题

x2?xy(x)?.2

?(1?x2)y???xy??3y?6x?3;??y(0)?y?(0)?1,y(1)?2.

第六章 方程求根

21. 用二分法求方程x?x?1?0的正根，要求误差<0.05。

x2. 用比例求根法求f(x)?1?xsinx?0在区间[0,1]内的一个根，直到近似根k满足精度

|f(xk)|?0.005时终止计算。

3. 为求方程x?x?1?0在

建立相应的迭代公式。

32x0?1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并

22x?1?1/xx?1?1/xk?1k1），迭代公式；

2）x?1?x，迭代公式

322xk?1?31?xk；

x2?3）

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。 4. 比较求e?10x?2?0的根到三位小数所需的计算量； 1）在区间[0,1]内用二分法；

xkx?(2?e)/10，取初值x0?0。 k?12) 用迭代法

??5. 给定函数f(x)，设对一切x,f(x)存在且0?m?f(x)?M，证明对于范围内

0???2/M的任意定数λ，迭代过程xk?1?xk??f(xk)均收敛于f(x)的根x?。 6. 已知x??(x)在区间[a,b]内只有一根，而当a

x1x?1，迭代公式xk?1?1/xk?1。

|??(x)|?k?1，

试问如何将x??(x)化为适于迭代的形式？ 将

x?tgx化为适于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。

3?x?2f(x)?x?3x?1?0x07. 用下列方法求在附近的根。根的准确值＝

1.87938524…，要求计算结果准确到四位有效数字。

1) 用牛顿法； 2）用弦截法，取

x0?1,x1?1.9；

x0?1,x1?3,x2?2。

8. 用二分法和牛顿法求x?tgx?0的最小正根。

3）用抛物线法，取9. 研究求a的牛顿公式

xk?1?证明对一切

1a(xk?),x0?0,2xk

k?1,2,?,xk?a且序列x1,x2,?是递减的。

x?xk?f(xk)/f?(xk)，证明

10. 对于f(x)?0的牛顿公式k?1??????f(x)/(2f(x))，这里x?为f(x)?0的根。 收敛到

Rk?(xk?xk?1)/(xk?1?xk?2)2

11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度：

??x,x?0;f(x)??????x,x?0; 1)

23??x,x?0;f(x)????3x2,x?0.?2)

3212. 应用牛顿法于方程x?a?0，导出求立方根a的迭代公式，并讨论其收敛性。

f(x)?1?13. 应用牛顿法于方程值。

a?02x，导出求a的迭代公式，并用此公式求115的

f(x)?1?a?0nnx，分别导出求a的迭代公

nf(x)?x?a?0和14. 应用牛顿法于方程

式，并求

lim(na?xk?1)/(na?xk)2.k??15. 证明迭代公式

xk?1?x0ax是计算的三阶方法。假定初值充分靠近根，求

lim(a?xk?1)/(a?xk)3.x(x?3a)?kk23xk?a

2k??

第七章 解线性方程组的直接方法

1. 考虑方程组：

?0.4096x1?0.1234x2?0.2246x?0.3872x?12??0.3645x1?0.1920x2??0.1784x1?0.4002x2?0.3678x3?0.2943x4?0.4043;?0.4015x3?0.1129x4?0.1550;?0.3781x3?0.0643x4?0.4240;?0.2786x3?0.3927x4??0.2557;

(a) 用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算），

(b) 用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。

2. (a) 设A是对称阵且a11?0，经过高斯消去法一步后，A约化为

?a11??0证明A2是对称矩阵。

(b)用高斯消去法解对称方程组：

T?a1?A2?

4. 设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有顺序主子式均不为零。 5. 由高斯消去法说明当上三角阵。

;?0.6428x1?0.3475x2?0.8468x3?0.4127?;?0.3475x1?1.8423x2?0.4759x3?1.7321??0.8468x?0.4759x?1.2147x??0.8621.123?

?i?0(i?1,2,?,n?1)时，

则A=LU，其中L为单位下三角阵，U 为

|aii|??|aij|(i?1,2,?,n),n6. 设A 为n阶矩阵，如果

对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A具有形式

j?1j?i称A为对角优势阵。证明：若A是

?a11??0?a11??0其中

T?a1?A2?。 T?a1?A2?，

7. 设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为

A?(aij)n,A2?(aij)n?1;(2)

证明 （1）A的对角元素ii（2）A2是对称正定矩阵；

a?0(i?1,2,?,n);

(n)a?aii,(i?1,2,?,n); n（3）

（4）A的绝对值最大的元素必在对角线上； （5）

2?i,j?n(2)max|aij|?max|aij|;2?i,j?n

（6）从（2），（3），（5）推出，如果

|aij|?1，则对所有k

(k)|aij|?1.8. 设

Lk为指标为k的初等下三角阵，即

?1????????1Lk???m1k?1,k????????m1??nk??（除第k列对角元下元素外，和单位阵I相同） ~IL?IijLkIij求证当i,j?k时，k也是一个指标为k的初等下三角阵，其中ij为初等排

列阵。

9. 试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。 10. 设Ux?d，其中U为三角矩阵。

(a) 就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。 (b) 计算解三角形方程组Ux?d的乘除法次数。 (c) 设U为非奇异阵，试推导求U?1的计算公式。

?111. 证明（a）如果A是对称正定阵，则A也是正定阵；

（b）如果A是对称正定阵，则A可唯一写成A?LL,其中L是具有正对角元的下三角阵。 12. 用高斯－约当方法求A的逆阵：

T?21?3?1??310?7?A????124?2???10?15??

13. 用追赶法解三对角方程组Ax?b，其中

00??2?10?1???12?10??0?0????A??0?12?10?,b??0?????00?12?1???0???00?12??0??0??14. 用改进的平方根法解方程组

15. 下述矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分

解是否唯一？

?2?11??x1??4???1?23??x???5?.???2????31??1???x3????6??

16. 试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组

?123??111??126??,B??221?,C??2515?.A??241??????????467???331???61546??

?034??x1??1??1?11??x???2????2?????212????x3????3??.

17. 如果方阵A 有

aij?0(|i?j|?t)r?1，则称A为带宽2t+1的带状矩阵，设A满足三角分解

条件，试推导A?LU的计算公式，对r?1,2,?,n.

uri?ari?1）

rkkik?max(1,i?t)?lr?1u (i?r,r?1,?,min(n,r?t))；

(i?r?1,?,min(n,r?t)).

lir?(air?2）18. 设

ikkrk?max(1,i?t)?lu)/urr?0.60.5?A???0.10.3??，

计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。

19. 求证

(a) ||x||??||x||1?n||x||?，

1(b)

n||A||F?||A||2?c2||A||F。

n?nn且非奇异，又设||x||为R上一向量范数，定义

20. 设 P?R||x||p?||Px||试证明

。

||x||pn?nn是R上的一种向量范数。

21. 设A?R为对称正定阵，定义

||x||A?(Ax,x)1/2，

n试证明||x||A为R上向量的一种范数。

nTx?R,x?(xx,?,x)12n22. 设，求证

lim(?||xi||p)1/p?maxxi?||x||?y??i?11?i?nn。

Tx23. 证明：当且尽当x和y线性相关且y?0时，才有

||x?y||2?||x||2?||y||2。

224. 分别描述R中（画图）

Sv?{x|||x||v?1,x?R2},(v?1,2,?)。

25. 令

?n是R（或C）上的任意一种范数，而P是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范

n?1??||x||?||Px||||A||?||PAP||。 数，证明

26. 设

||A||s,||A||t为Rn?n上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数c1,c2?0，使对一切

c1||A||s?||A||t?c2||A||s

A?Rn?n满足

TTn?nTT?(AA)??(AA)。 A?RAAAA27. 设，求证与特征值相等，即求证

28. 设A为非奇异矩阵，求证

||A||?y?0||y||||A?1||??。

?1?1(A??A)||A||||?A||?129. 设A为非奇异矩阵，且，求证存在且有估计

1?min||?A||||A?1?(A??A)?1||||A||?.||?A||||A?1||1?cond(A)||A||

cond(A)30. 矩阵第一行乘以一数，成为

?2???A???11??。

???证明当

23时，cond(A)?有最小值。

TT1/2T31. 设A为对称正定矩阵，且其分解为A?LDL?WW，其中W?DL，求证

2cond(A)?[cond(?)]; 22(a)

Tcond(A)?cond(?)2cond(?)2. 2(b)

32. 设

?10099?A????9998?

cond(A)v(v?2,?)

计算A的条件数。

33. 证明：如果A是正交阵，则cond(A)2?1。

n?n?A,B?R34. 设且为上矩阵的算子范数，证明

cond(AB)?cond(A)cond(B)。

第八章 解方程组的迭代法

1. 设方程组

(a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性;

(k?1)(k)?4||x?x||?10?(b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当时迭代

?5x1?2x2?x3??12???x1?4x2?2x3?20?2x?3x?10x?323?1

终止．

?00?A???20??, 证明:即使||A||1?||A||??1级数I?A?A2???Ak??也收敛． 2. 设

3. 证明对于任意选择的A, 序列

I,A,收敛于零． ４. 设方程组

121314A,A,A,?23!4!

?a11x1?a12x2?b1;??a21x1?a22x2?b2;迭代公式为

(a11,a12?0);

1?(k)(k?1)x?(b?ax);11122?a11???x(k)?1(b?ax(k?1));22211?a22? (k?1,2,?).

(k){x}收敛的充要条件是 求证: 由上述迭代公式产生的向量序列

r?5. 设方程组

a12a21?1.a11a22

?x1?0.4x2?0.4x3?1??0.4x1?x2?0.8x3?2?0.4x?0.8x?x?3123(a) ? (b)

?x1?2x2?2x3?1??x1?x2?x3?1?2x?2x?x?123?1

试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。 6. 求证

limAk?Ak??的充要条件是对任何向量x，都有

7. 设Ax?b，其中A对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题5(a)方程组。 8. 设方程组

limAkx?Ax.k??(a) 求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵的谱半径； (b) 求解此方程组的高斯－塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径；

(c) 考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－塞德尔迭代法的收敛性。 9. 用SOR方法解方程组（分别取松弛因子??1.03,??1,??1.1）

111?x?x?x??143442;??x?1x?1x?1;?243442???1x?1x?x?1;3?41422?111??x1?x2?x4?.42 ?4B0?4x1?x2?1;???x1?4x2?x3?4;??x?4x??3.3?211x??(,1,?)T,?(k)?6||x?x||?5?1022?精确解要求当时迭代终止，并且对每一个?值确定迭代次数。

10. 用SOR方法解方程组（取?＝0.9）

(k?1)(k)?4||x?x||?10?要求当时迭代终止。

?5x1?2x2?x3??12;???x1?4x2?2x3?20;?2x?3x?10x?3.23?1

11. 设有方程组Ax?b，其中A为对称正定阵，迭代公式

?时上述迭代法收敛（其中0????(A)??）。

(k?1)(k?1)xAx?bxi12. 用高斯－塞德尔方法解，用记的第i个分量，且

试证明当

0???2x(k?1)?x(k)??(b?Ax(k)), (k?0,1,2,?)

ri(k?1)i(k)i(k?1)?bi??aijxj?1i?1(k?1)j??aijxi(k)j?in。

ri(k?1)x?x?ai；

(a) 证明

?(k)(k)?x??x?x(b) 如果，其中是方程组的精确解，求证：

?ri其中 (c) 设A是对称的，二次型

(k?1)(k?1)i??(k)i??aij?j?1i?1ri(k?1)?aii

(k?1)j??aij?i(k)j?in。

Q(?(k))?(A?(k),?(k))

Q(?(k?1))?Q(?(k))???n(rj(k?1))2aj?1jj证明 。

(d) 由此推出，如果A是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯－塞德尔方法对任意初始向

量x是收敛的，则A是正定阵。

13. 设A与B为n阶矩阵，A为非奇异，考虑解方程组 其中z1,z2,d1,d2?R。

(a) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 (b) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 比较两个方法的收敛速度。 14. 证明矩阵

(m?1)(m)(m?1)(m)Az1?b1?Bz2,Az2?b2?Bz1(m?0);

n(0)Az1?Bz2?b1,Bz1?Az2?b2,

(m?1)(m)(m?1)(m?1)Az1?b1?Bz2,Az2?b2?Bz1(m?0);

?1aa??A??a1a????aa1??

111??a?1??a?2是收敛的。 对于2是正定的，而雅可比迭代只对2?5123??0204??A???3?12?1???0307??，试说明A为可约矩阵。 15. 设

(k?1)(k)n?nx?Cx?gC?R(k?0,1,2,?)，试证明：如果C的16. 给定迭代过程，，其中

?(C)?0(i?1,2,?)，则迭代过程最多迭代n次收敛于方程组的解。

特征值i17. 画出SOR迭代法的框图。

18. 设A为不可约弱对角优势阵且0???1，求证：解Ax?b的SOR方法收敛。 19. 设Ax?b，其中A为非奇异阵。 (a) 求证AA为对称正定阵；

T2cond(AA)?(cond(A))22(b) 求证。

T

第九章 矩阵的特征值与特征向量计算

1. 用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量：

3?2??7?3?43????463?A1??34?1A?2??????31??3?, ??2?13?? , (b) (a)

当特征值有3位小数稳定时迭代终止。

2. 方阵T分块形式为

?T11T12?T1n???T?T222n?T???????Tnn??,

Tii(i?1,2,?,n)为方阵，T称为块上三角阵，如果对角块的阶数至多不超过2，则

称T 为准三角形形式，用?(T)记矩阵T的特征值集合，证明

其中

?(T)???(Tii).i?1n3. 利用反幂法求矩阵

的最接近于6的特征值及对应的特征向量。 4. 求矩阵

?621??231?????111??

与特征值4对应的特征向量。

5. 用雅可比方法计算

?400??031?????013?? ?1.01.00.5??A??1.01.00.25????0.50.252.0??

的全部特征值及特征向量，用此计算结果给出例3的关于p的最优值。

6. (a)设A是对称矩阵，λ和x(||x||2?1)是A的一个特征值及相应的特征向量，又设P为

一个正交阵，使

证明B?PAP的第一行和第一列除了λ外其余元素均为零。 (b)对于矩阵

TPx?e1?(1,0,?,0)T

?2102??A??105?8????2?811??,

?212?x??,,?λ=9是其特征值，?333?是相应于9的特征向量，试求一初等反射阵P，使Px?e1，

T并计算B?PAP。

7. 利用初等反射阵将

T正交相似约化为对称三对角阵。 8. 设A?Rn?n?134??A??312????421??

，且

ai1,aj1不全为零，

TAPijPij为使

2)a(j1?0的平面旋转阵，试推导计算

PijA第

i行，第j行元素公式及第i列，第j列元素的计算公式。

AA9. 设n?1是由豪斯荷尔德方法得到的矩阵，又设y是n?1的一个特征向量。

(a)证明矩阵A对应的特征向量是(b)对于给出的y应如何计算x？ 10. 用带位移的QR方法计算

x?P1P2?Pn?2y；

?120??310???121?A??2?11B????????013??, (b) ?011?? (a)

全部特征值。

11. 试用初等反射阵A分解为QR，其中Q为正交阵，R为上三角阵，

1??11?A??2?1?1????2?45??。

数值分析习题简答

（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）

第一章 绪论习题参考答案

?(x*)1． ε（lnx）≈

x*n??r(x*)??。

?r(x)?2．

n?(x)x*n?nx*n?1?(x*)nx*n?(x*)??0.02n*x。

****xxxx3． 1有5位有效数字，2有2位有效数字，3有4位有效数字，4有5位有效*x5数字，有2位有效数字。

******?4?3?3?3?(x?x?x)??(x)??(x)??(x)?0.5?10?0.5?10?0.5?10?1.05?101241244．

************?(x1x2x3)?x2x3?(x1)?x1x3?(x2)?x1x2?(x3)?0.214790825**x2x21**?(*)?*?(x2)?*2?(x4)?8.855668?10?6x4x4x4。

?r(R)??r(35． 6． 7．

3V)?4?31?(V)/36?V233V1?(V)1???r(V)?0.0033334?3V3。

?(Y100)?100?111??10?3??10?310022。

x1?28?783?55.982，

??x2?28?783?128?783?1?0.0178655.982。

1?dx??arctgN?N1?x228．

11??(x)??(S)?S2?(S)?0.00529． 。

?r(S)??(S)?gt?(t)?0.1gt10． ，

绝对误差增加，相对误差减小。

1?(y10)?1010?(y0)??108211． ，计算过程不稳定。

gt?(t)2?(t)0.2??12ttgt2，故t增加时S的

66f?(2?1)?0.004096，f?(2?1)?0.0050512?1.4112． ，如果令，则

11f2??0.005233f??0.005125433f?(3?22)?0.008(2?1)6(3?22)，3，，

f5?99?702?1，f4的结果最好。

13．

f(30)??4.094622，开平方时用六位函数表计算所得的误差为

???10?4，

12分别代入

中

等

计

价算

公可

式得

f1(x)?ln(x?x2?1),f2(x)??ln(x?x2?1)1?(x?x2?1)??60??10?4?3?10?32x?x2?1x?x2?1，

??11?(f2)?ln(1?)????10?4?8.33?10?7x?x2?1x?x2?1602。

1000000000999999998x1??1.000000,x2??1.00000099999999999999999914． 方程组的真解为，

?(f1)?ln(1??)??而无论用方程一还是方程二代入消元均解得x1?1.00,x2?1.00，结果十分可靠。

?sbsinc?a?asinc?b?abcosc?c?a?b?ctanc?c?????sabsincabc 15．

第二章 插值法习题参考答案

1.

；

Vn?1(x0,x1,?,xn?1)??(xi?xj)0?j?i?n?1.

(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)L2(x)?0??(?3)??4?(1?1)(1?2)(?1?1)(?1?2)(2?1)(2?1) 2.

537?x2?x?23. 6i?00?j?i?n?1Vn(x)??(x?xi)n?1?(xi?xj),y1??0.510826，则 3. 线性插值：取x0?0.5,x1?0.6,y0??0.693147y?y0ln0.54?L1(0.54)?y0?1?(0.54?x0)??0.620219x1?x0； 二次插值：取

x0?0.4,x1?0.5,x2?0.6,y0??0.916291,y1??0.693147,y2??0.510826，则

ln0.54?L2(0.54)

(0.54?x0)(0.54?x2)(0.54?x0)(0.54?x1)(0.54?x1)(0.54?x2)?y0??y1??y2?(x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x1?x2)(x2?x0)(x2?x1)

＝－0.616707 .

1R1(x)?f(x)?L1(x)?f??(?)(x?x0)(x?x1)??[x0,x1]. 24. ，其中

1|R1(x)|?max|cos??(x)|?max|(x?x0)(x?x1)|x0?x?x12x0?x?x1所以总误差界

(x1?x0)21?11???8??1???????1.06?10248?60180? .

2l2(x)?5.

(x?x0)(x?x1)(x?x3)(x2?x0)(x2?x1)(x2?x3)

当

x?x0?4?7?h3 时，取得最大值

x0?x?x3max|l2(x)|?10?7727 .

kf(x)?x,(k?0,1,?,n)在x0,x1,?,xn处进行n次拉格朗日插值，则有 6. i) 对

xk?Pn(x)?Rn(x)

??lj(x)xkj?i?0nn1f(n?1)(?)(x?x0)?(x?xn)(n?1)!

kk(x)x?xjj(n?1)f(?)?0，故有i?0由于.

kg(x)?(x?t),在x0,x1,?,xn处进行n次拉格朗日插值，有 ii) 构造函数

?lLn(x)??(xj?t)klj(x)i?0n.

插值余项为

(n?1)g(?)?0,(k?1,2,?,n).故有 由于

kg(n?1)(?)n(x?t)?Ln(x)??(x?xj)(n?1)!j?0kn，

(x?t)?Ln(x)??(xj?t)klj(x).i?0令t?x,即得

?(xi?0n

j?t)klj(x)?0.

7. 以a, b两点为插值节点作f(x)的一次插值多项式

f(b)?f(a)L1(x)?f(a)?(x?a)b?a，

1f(x)?L1(x)?f??(?)(x?a)(x?b),??[a,b]2据余项定理，，

由于f(a)?f(b)?0,故

|f(x)?L1(x)|?|f(x)|?8. 截断误差

R2(x)?1?e(x?x0)(x?x1)(x?x2),??[?4,4].6

11max|f??(x)|max|(x?a)(x?b)|?(b?a)2max|f??(x)|.a?x?ba?x?b2a?x?b8

3hx?x?h,x?x?h,01213时取得最大值 其中 则

2max|(x?x0)(x?x1)(x?x2)|?3?h3?4?x?49 .

12|R2(x)|?e4?(3?h3)?10?6,69由题意，

所以，h?0.006.

x?x1?n?1n2n?2n?1n?1nn?y?2?2,?y?(2?2)?(2?2)?2, 则可得 nn9.

?4yn??2(?2yn)?2n.

?yn?2n?1/2?2n?1/2， ?2yn?(2n?1?2n)?(2n?2n?1)?2n?1，则可得

10. 数学归纳法证

当k?1时，?f(x)?f(x?h)?f(x)为m－1次多项式；

k?f(x)(0?k?m)是m-k 次多项式，设为g(x)，则 假设

?k?1f(x)?g(x?h)?g(x)为m-(k+1)次多项式，得证。

?4yn??2(?2yn)?2n?2.

11. 右?fk(gk?1?gk)?gk?1(fk?1?fk)?fk?1gk?1?fkgk?左 12.

?fk?0n?1k?gk?f0g1?f0g0?f1g2?f1g1???fn?1gn?fn?1gn?1,?fk?f1g1?f0g1?f2g2?f1g2???fngn?fn?1gn.2j

?gk?0n?1k?113.

?(y2?y1)?(y1?y0)?(y3?y2)?(y2?y1)???(yn?1?yn)?(yn?yn?1) ?(yn?1?yn)?(y1?y0)??yn??y0 .

j?0??yn?1

14. 由于x1,x2,?,xn是f(x)的n个互异的零点，所以

f(x)?a0(x?x1)(x?x2)?(x?xn)nni?1i?1i?j

?a0?(x?xi)?a0(x?xj)?(x?xi),对f(x)求导得

?n?nf?(x)?a0??(x?xi)?(x?xj)(?(x?xi))???i?0?i?1??i?j?i?j?，

f?(xj)?a0?(xj?xi)n则

i?1i?j?j?1n1?f?(xj)a0xkj?j?1n，

xkj?(xi?1i?jn.

j?xi)?0,0?k?n?2,(n?1)g(x)??kg(x)?x,?(n?1)!,k?n?1. 记k则 由以上两式得

nxkgk(xj)1n1j??gk[x1,x2,?,xn]??n?f(x)aaj?1j0j?1?(xj?xi)0i?1i?j(?)?0,0?k?n?2,1gk????1a0(n?1)!?a0,k?n?1. nF(xj)F[x0,x1,?,xn]??j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)15. i)

nc?f(xj)???c?f[x0,x1,?,xn]j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)(n?1)

.

ii) 证明同上。

f(7)(?)7!f[2,2,?,2]???1;7!7!16. f(8)(?)018f[2,2,?,2]??0.7!

?R3(xj)?f(xj)?p(xj)?0,R3(xj)?f?(xj)?p?(xj)?0,j?k,k?1.17. 即xk,xk?1均为R3(x)的二重零点。因而有形式：

01722?(t)?f(t)?p(t)?K(x)(t?x)(t?x). kk?1作辅助函数

R3(x)?K(x)(x?xk)2(x?xk?1)2.

??则 ?(xk)?0,?(x)?0,?(xk?1)?0,?(xk)?0,?(xk?1)?0. 由罗尔定理，存在?1?(xk,x),?2?(x,xk?1),使得

??(?1)?0,??(?2)?0.

类似再用三次罗尔定理，存在??(?1,?2)?(xk,xk?1),使得 ?(4)(?)?0, 又 ?(4)(t)?f(4)(t)?4!K(x),

(4)可得 K(x)?f(?)4!,

(4)22R(x)?f(?)(x?x)(x?x)4!.,??(xk,xk?1). 3kk?1即

18. 采用牛顿插值，作均差表：

xi f(xi) 一阶均差 二阶均差 0 0 1 1 1 2 1 0 -1/2 p(x)?p(x0)?(x?x0)f[x0,x1]?(x?x0)(x?x1)f[x0,x1,x2]

?(A?Bx)(x?x0)(x?x1)(x?x2)

?0?x?x(x?1)(?1/2)?(A?Bx)x(x?1)(x?2)

31A??,B?,44 又由 p?(0)?0,p?(1)?1, 得

x2p(x)?(x?3)2.4所以 b?ah?,xk?a?kh.n19. 记 则

x?xi?1x?xi?f(xi??1),x?[xi,xi?1].xi?xi?1xi?1?xi

因为f(x)?C[a,b]，所以f(x)在[a,b]上一致连续。

b?ah???n?Nn当时，，此时有

?n(x)?f(xi)

?x?xx?xi??maxmaxf(x)??f(xi)i?1?f(xi?1)?0?i?n?1xi?x?xi?1x?xx?xi?1ii?1i??a?x?b0?i?n?1xi?x?xi?1max|f(x)??n(x)|?maxmax|f(x)??n(x)|

x?xx?xi?maxmax[f(x)?f(xi)]i?1?[f(x)?f(xi?1)]0?i?n?1xi?x?xi?1xi?1?xixi?1?xi

xi?1?xx?xi????.0?i?n?1xi?x?xi?1xi?1?xixi?1?xi

由定义知当n??时，?n(x)在[a,b]上一致收敛于f(x)。 ?maxmax?20. Ih(x)在每个小区间[xk,xk?1]上表示为

x?xk?1x?xkIh(x)?fk?fk?1,(xk?x?xk?1).xk?xk?1xk?1?xk

计算各值的C程序如下： #include\#include\float f(float x)

{ return(1/(1+x*x)); }

float I(float x,float a,float b) {

return((x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b));

}

void main() { int i;

float x[11],xc,xx; x[0]=-5;

printf(\ for(i=1;i<=10;i++) { x[i]=x[i-1]+1;

printf(\ }

for(i=0;i<10;i++) { xc=(x[i]+x[i+1])/2; I(xc,x[i],x[i+1]);

printf(\ }

for(i=0;i<10;i++) { xx=(x[i]+x[i+1])/2; f(xx);

printf(\ } }

21. Ih(x)在每个小区间[xk,xk?1]上为

Ih(x)?(xk?1?xk)2h2|R(x)|?|Ih(x)?f(x)|?|x?(xk?1?xk)x?xkxk?1|??.44

3?f(x)?4x, 则Ih(x)在每个小区间[xk,xk?1]上表示为 22.

2x?xk?12x?xk2xk?xk?1?(xk?1?xk)x?xkxk?1.xk?xk?1xk?1?xk

?x?xk?1?Ih(x)???x?x??k?1??k22?x?xk?1?2??xk?1?xk??4?x?xk??xk???x?xk??k?12????2?x?xk?1?4??1?2???xk?1x?xkk?1??xk?1?xkh42xk?1?xk2?4!?(?xk)(?xk?1)4!?.2216

23. h1?x2?x1?0.05, h2?x3?x2?0.09,

?x?xk?1??x?xk?33????4??(x?x)x?4?(x?x)xkkk?1k?1.?x?x??x?x?k?1?k??k?k?1|R(x)|?|f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2/4!|

h3?x4?x3?0.06, h4?x5?x4?0.08.

hi?1?i?hi?hi?1

6?yi?1?yiyi?yi?1??????hi?hi?1?hi?1hi?

则三次样条插值函数表达式为

?i?mi?1mymym(xi?x)3?i(x?xi?1)3?(i?1?i?1hi)(xi?x)?(i?ihi)(x?xi?1)6hi6hihi6hi6,S?(0.53)?0.6868，得 i) 由S?(0.25)?1.0000Si(x)??1?0.6429,?2?0.4,?3?0.5714

?0?6(f[x0,x1]?1)??0.276，?1??4.3157,?2??3.264,?3??2.43

关于m0,m1,m2,m3,m4的方程组为

2f(x)?C[a,b],所以 24. i) 因为右＝?abababba?4?6(0.6868?f[x3,x4])??0.1692

[f??(x)?S??(x)]2dx?2?S??(x)[f??(x)?S??(x)]dx

??{[f??(x)?S??(x)]2?2S??(x)[f??(x)?S??(x)]}dx??(f??(x)2?S??(x)2)dx＝左。

ii) 由于S(x)为三次函数，故S???(x)为常数，又f(xi)?S(xi)，则

?xi?1xi[f?(x)?S?(x)]dx?0b，所以

nxi?1i?0xi?aaS??(x)[f??(x)?S??(x)]dx???S??(x)[f??(x)?S??(x)]?S???(x)[f?(x)?S?(x)]dx??[S??(x)(f??(x)?S??(x))?S???(x)(f?(x)?S?(x))]dx?S???(b)[f?(b)?S?(b)]?S???(a)[f?(a)?S?(a)]。

b

第三章 函数逼近与计算习题参考答案

1. (a) 区间变换公式为

x'?(b?a)x?a,x?nx'?ab?a，代入原公式可得新区间里的伯

kx?akkBn(f,x)??f((b?a)?a)Pk(),Pk(x)?Cnx(1?x)n?knb?ak?0恩斯坦多项式为;

23x2x263x22x8x3B1(f,x)?x,B3(f,x)?(1?)?(1?)?32??????，相应的麦克劳(b)

1313P(x)?x,P(x)?x?xR(x)???0.6459641316，部分和误差则为48林级数分别为，

1R3(x)??5?0.07969263840，大于伯恩斯坦多项式的误差。

nkm?m?Pk(x)??f()Pk(x)?Bn(f,x)?M?Pk(x)?Mm?f(x)?Mnk?0k?0k?02. ，故，

nnkkkn?kk?1k?1Bn(f,x)??Cnx(1?x)?x?Cn(1?x)(n?1)?(k?1)?x?1xk?0nk?1当f(x)?x时，。

nn3.

sin4x?0?1若有

，对任意不超过6次的多项式g(x)，在

x?(2k?1)?,k?1,8,8时，

g(x)?sin4x?10,2??，则g(x)在?上至少有7个零点，这与g(x)不超过

，g(x)?0就是所求最佳一致逼近多项式。

6次矛盾，所以

g(x)?sin4x?1?(f,g)?max(M?c,m?c),M?maxf(x),m?minf(x)g(x)?ca?x?ba?x?b4. 设所求为，，

a,b由47页定理4可知g(x)在??上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别

1M?c??(m?c),c?(M?m)2为f(x)的最大值和最小值处，故由可以解得

1g(x)?(M?m)2即为所求。

5. 原函数与零的偏差极大值点分别为

x?3a3a33a,x?1()?a()?a?1333，故，

解方程可得出唯一解

222a1??0.636620cosx?x2?arccos?0.880689,f(x2)?0.771178??，?6. ，故得，f(x2)xa0??a12?0.10525722，故所求最佳一次逼近多项式为

a?34。

P1(x)?0.636620x?0.105257，又因为两个偏差点必在区间端点，故误差限为

0?x?maxsinx?P1(x)?P1(0)?0.105257?2。

x2a?e?1?1.71828e?e?1可以解得x2?0.541325，f(x2)?1.71828，17. ，故由

1?f(x2)xa0??a12?0.89406722则有，故所求最佳一次逼近多项式为

P1(x)?1.71828x?0.894067。

8. 切比雪夫多项式在

??1,1?上对零偏差最小，所求函数必为切比雪夫多项式的

111p(x)?T2(x)?x2?r??2。 22，解得唯一解 常数倍，

9. 作变换

x?11153119?tg(t)?t4?t3?t2?t?22代入f(x)得1682816，则g(t)在

三次最佳逼近多项式为15251173S(t)?g(t)?T3(t)?t3?t2?t?1288168128，作逆变换t?2x?1代入S(t)，

5211293P(x)?5x?x?x?0,144128。 则f(x)在??上的三次最佳逼近多项式为

***2T(x)?T(2x?1)?1T(x)?T(2x?1)?2x?1T(x)?T(2x?1)?8x?8x?1，00112210. ，，

??1,1?上的

T3*(x)?T3(2x?1)?32x3?48x2?18x?1，其中x??0,1?。

x?x22k?1xk?cos?(k?1,2,3,4)T(x)812. 用4的4个零点做插值节点可求得三次近似最佳逼近多项式为L3(x)??0.0524069?0.855066x?0.0848212x2?0.0306032x3。

11.

00xnxx???1,1?f(x)?ef(x)?e13. ，则有，其中。由拉格朗日插值的余项表达公

?1*Tn*(x)Tm(x)x?x2dx??1Tn(2x?1)Tm(2x?1)dx??12Tn(x)Tm(x)dx*2?12T(x)??n1?x，故正交。

1可得出，令

e?1e?n?,??n(n?1)!2n(n?1)!2n，则待证不等式成立，得证。

1511651?(x)?M(x)?T(x)?T5(x)5,34?1,1??384838401614. 由泰勒级数项数节约，在上有，

即

1511651183321219931101T4(x)?T5(x)??x?x?x?3848384016102412840961096151165131max?(x)?M5,3(x)????0.00756836?1?x?138483840164096其中误差限为。 115115f(x)?sinx?x?x3?x?P5(x)?x?x3?x61206120为f(x)的近似，15. ，取

1maxf(x)?P5(x)??0.0001984137!误差限为?1?x?1，再对幂级数的项数进行节约

M5,3(x)??(x)?式

f(x)?Ln(x)fn?1(?)e???nTn?1(x)(n?1)!2(n?1)!2n就

到原函数的3次逼近多项

115383M5,3(x)?P5(x)?T5(x)??x3?1201632384，其误差限

111maxf(x)?M5,3(x)???0.000719246?1?x?17!12016，即为所求

*可以得式为

??a,a?上的奇函数时，设Fn(x)为原函数的最佳逼近多项式，则16. 当f(x)为

***Fn*(x)?f(x)?En?F(?x)?f(x)?F(?x)?f(?x)?En?F(?x)nnn，对有，所

*?F(?x)也是最佳逼近多项式，由最佳逼近多项式的唯一性，n以

?Fn*(?x)?Fn*(x)，即?Fn*(?x)是奇函数。同理可证，当f(x)为??a,a?上的偶

*F(x)也是偶函数。 n函数时，最佳逼近多项式

17.

4，为使均方误差最小，

?3?2?296?24?8??24a?,b?a?b?2?0,a??b?2?0?3?2。 44则有12，解得

??ax?b?sinx?20?2dx??324a?2?2b?2?24ab?2a?2b??

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