R语言中的多元统计之判别分析

前言

判别分析（discriminant analysis）是多元统计分析中较为成熟的一种分类方法，它的核心思想是“分类与判断”，即根据已知类别的样本所提供的信息，总结出分类的规律性，并建立好判别公式和判别准则，在此基础上，新的样本点将按照此准则判断其所属类型。例如，根据一年甚至更长时间的每天的湿度差及压差，我们可以建立一个用于判别是否会下雨的模型，当我们获取到某一天（建立模型以外的数据）的湿度差及压差后，使用已建立好的模型，就可以得出这一天是否会下雨的判断。 根据判别的组数来区分，判别分析可以分为两组判别和多组判别。接下来，我们将学习三种常见的判别分析方法，分别是：

?

距离判别 Bayes判别 Fisher判别

?

?

一、距离判别基本理论

假设存在两个总体本到两个总体的距离样本属于总体

和

，另有为一个维的样本值，计算得到该样和

,如果

；若

大于

等于

，则认为

，

，反之样本则属于总体

则该样本待判。这就是距离判别法的基本思想。

在距离判别法中，最核心的问题在于距离的计算，一般情况下我们最常用的是欧式距离，但由于该方法在计算多个总体之间的距离时并不考虑方差的影响，而马氏距离不受指标量纲及指标间相关性的影响，弥补了欧式距离在这方面的缺点，其计算公式如下：

，

为总体之间的协方差矩阵

二、距离判别的R实现（训练样本）

首先我们导入数据

# 读取SAS数据 > library(sas7bdat)

> data1 <- read.sas7bdat('disl01.sas7bdat') # 截取所需列数据，用于计算马氏距离 > testdata <- data1[2:5] > head(testdata,3) X1 X2 X3 X4 1 -0.45 -0.41 1.09 0.45 2 -0.56 -0.31 1.51 0.16 3 0.06 0.02 1.01 0.40 # 计算列均值

> colM <- colMeans(testdata) > colM

X1 X2 X3 X4 0.096304348 -0.006956522 2.033478261 0.431739130 # 计算矩阵的协方差

> cov_test <- cov(testdata) > cov_test

X1 X2 X3 X4 X1 0.068183816 0.027767053 0.14996870 -0.002566763 X2 0.027767053 0.015363865 0.05878251 0.001252367 X3 0.149968696 0.058782512 1.01309874 0.028607150 X4 -0.002566763 0.001252367 0.02860715 0.033912464 # 样本的马氏距离计算

> distance <- mahalanobis(testdata,colM,cov_test) > head(distance,5)

[1] 12.726465 11.224681 1.692702 1.347885 2.369820

这样，我们得到了距离判别中最关键的马氏距离值，在此基础上就可以进行进一步的判别分析了。不过我们介绍一个R的第三方包WMDB，该包的wmd()函数可以简化我们的距离判别过程，函数将输出样本的分类判别结果、错判的样本信息以及判别分析的准确度。

> library(WMDB) > head(data1,3)

A X1 X2 X3 X4 1 1 -0.45 -0.41 1.09 0.45 2 1 -0.56 -0.31 1.51 0.16 3 1 0.06 0.02 1.01 0.40

# 提取原始数据集的A列生成样品的已知类别 > testdata_group <- data1$A # 转换为因子变量，用于wmd()函数中

> testdata_group <- as.factor(testdata_group) > wmd(testdata,testdata_group)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

blong 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2

28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 blong 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 [1] \

[1] 15 16 20 22 23 24 34 38 39 40 41 42 44 [1] \ [1] 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [1] \ [1] 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Levels: 1 2

[1] \[1] 0.7173913

由分析结果可知，根据已知分类的训练样品建立的判别规则，重新应用于训练样品后，出现了13个错判样品，拥有71.7%的准确度。

三、距离判别的R实现（测试样本）

接着，当我们获取到未分类的新样本数据时，使用wmd()函数，在训练样本的基础上进行这些数据的距离判别

# 导入数据，一共10个样本

> data2 <- read.sas7bdat('disldp01.sas7bdat') # 截取所需列数据

> newtestdata <- data2[1:4] # 进行判别分析

> wmd(testdata,testdata_group,TstX = newtestdata) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 blong 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1

根据马氏距离判别分析得到的结果，10个待判样品中，第一类7个，第二类3个。

距离判别方法简单实用，它只要求知道总体的数字特征，而不涉及总体的分布，当总体均值和协方差未知时，就用样本的均值和协方差矩阵来估计，因此距离判别没有考虑到每个总体出现的机会大小，即先验概率，没有考虑到错判的损失。因此，我们进一步学习贝叶斯判别法。

一、贝叶斯判别基本理论

贝叶斯判别法的前提是假定我们已经对所要分析的数据有所了解（比如数据服从什么分别，各个类别的先验概率等），根据各个类别的先验概率求得新样本属于某类的后验概率。该算法应用到经典的贝叶斯公式，该公式为：

假设有两个总体和，分别具有概率密度函数和，并且根

据以往的统计分析，两个总体各自出现的先验概率为和，当一个样本发生时，求该样本属于某一类的概率，计算公式为：

这样，我们得到了该样本属于两类总体的概率，分别为和

，属于哪一类总体的概率值大，我们则将样本划分到该类中。

二、贝叶斯判别的R实现

在R中，我们使用klaR包中的NaiveBayes()函数实现贝叶斯判别分析，函数调用公式如下：

> NaiveBayes(formula, data, ..., subset, na.action = na.pass) # formula指定参与模型计算的变量，以公式形式给出，类似于y=x1+x2+x3 # na.action指定缺失值的处理方法，默认情况下不将缺失值纳入模型计算，也不会发生报错信息，当设为“na.omit”时则会删除含有缺失值的样本 # 数据准备，使用R内置数据集iris

# 通过抽样建立训练样本(70%)和测试样本(30%)

> index <- sample(2,size = nrow(iris),replace = TRUE,prob = c(0.7,0.3)) > train_data <- iris[index == 1,] > test_data <- iris[index == 2,]

# 载入所用包 > library(klaR) # 构建贝叶斯模型

> Bayes_model <- NaiveBayes(Species ~ ., data = train_data) # 进行预测

> Bayes_model_pre <- predict(Bayes_model, newdata = test_data[,1:4]) # 生成实际与预判交叉表

> table(test_data$Species,Bayes_model_pre$class)

setosa versicolor virginica setosa 20 0 0 versicolor 0 17 0 virginica 0 3 7

从上表生成的交叉表中，我们可以看到在该模型中错判了3个。

# 生成预判精度

> sum(diag(table(test_data$Species,Bayes_model_pre$class))) + / sum(table(test_data$Species,Bayes_model_pre$class)) [1] 0.9361702

三、Fisher判别基本理论

Fisher判别法的基本思想是“投影”，将组维的数据向低维空间投影，使其投影的组与组之间的方差尽可能的大，组内的方差尽可能的小。因

此，Fisher判别法的重点就是选择适当的“投影轴”。判别函数为接下来我们以两类总体举例。

，

首先我们将样本点投影到一维空间，旋转坐标轴至总体单位尽可能分开的方向，此时分类变量被简化为一个，判别函数果不理想，可以考虑投影到二维空间（

；如果划分的效）,以此类推。

上图为二

维空间的Fisher判别，从图中可以看到，无论我们把总体到还是轴，都不能很好的把两类总体区分出来。

为此，我们需要寻找一条合适的投影线，使得两类总体向该线投影后的区分程度达到最大，线性判别函数

即为该投影线的表达形

和

投影

式（这里我们仅介绍Fisher判别的基本原理，不涉及参数的具体推导

和求解，这些都可用R程序求得）。

四、Fisher判别的R实现

在R中，我们使用MASS包中的lda()函数实现Fisher判别分析，函数调用公式如下：

> lda(formula, data, ..., subset, na.action)

# formula:指定参与模型计算的变量，以公式形式给出，类似于y=x1+x2+x3 # na.action:指定缺失值的处理方法，默认情况下，缺失值的存在使算法无法运行，当设置为“na.omit”时则会删除含有缺失值的样本 # 数据准备，使用R内置数据集iris

# 通过抽样建立训练样本(70%)和测试样本(30%)

> index <- sample(2,size = nrow(iris),replace = TRUE, prob = c(0.7,0.3)) > train_data <- iris[index == 1,] > test_data <- iris[index == 2,] # 载入所用包 > library(MASS) # 构建Fisher判别模型

> fisher_model <- lda(Species~., data = train_data) # 进行预测

> fisher_model_pre <- predict(fisher_model, newdata = test_data[,1:4]) # 生成实际与预判交叉表

> table(test_data$Species,fisher_model_pre$class)

setosa versicolor virginica setosa 20 0 0 versicolor 0 14 1 virginica 0 0 18 # 生成预判精度

> sum(diag(table(test_data$Species,fisher_model_pre$class))) + / sum(table(test_data$Species,fisher_model_pre$class)) [1] 0.9811321

五、Fisher判别进阶——非线性判别

在判别分析的实际应用中，对复杂的数据使用线性判别可能无法得到理想的效果。为此，我们需要使用类似于二次判别函数的非线性分类方法，将样本点投影到若干种二次曲面中，实现理想的判别效果。

在R中，非线性判别使用MASS包的qda()函数来实现，调用公式为：

> qda(formula, data, ..., subset, na.action) # 使用lda()函数同样的数据集

> fisher_model_2 <- qda(Species~., data = train_data) > fisher_model_pre_2 <- predict(fisher_model_2, newdata = test_data[,1:4])

> table(test_data$Species,fisher_model_pre_2$class)

setosa versicolor virginica setosa 20 0 0 versicolor 0 14 1 virginica 0 0 18

> sum(diag(table(test_data$Species,fisher_model_pre_2$class))) + / sum(table(test_data$Species,fisher_model_pre_2$class)) [1] 0.9811321

结果我们发现，线性判别法和非线性的二次判别法得到的结果一致，这说明线性判别法已经能够很好的将数据的类别划分出来了，且准确率达到98%。不过我们需要认识到，这一结果主要是由于我们所用的数据集较为简单直观，对于更为复杂的高维数据，非线性判别要比线性判别在准确度上有着较大的提升。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nuit.html