3.3三角函数的图象与性质(2013高中复习方略学用人教A版数学理)山东用

高中全程复习方略四数学(R J A 版四理科)

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一黄金分割:把一条线段分割为两部分,使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比三其比值是一个无理数,取其前三位数字的近似值是0.618三由于按此比例设计的造型十分美丽,因此称为黄金分割,也称为中外比三0.618这个数是古希腊欧多克斯发现的三

第三节一三角函数的图象与性质

考纲点击 三年10考一高考指数:

1.能画出y =s i n x ,y =c o s x ,y =t a n x 的图象,了解三角函数的周期性.

2.理解正弦函数二余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性二最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(-π2,π2

)内的单调性.

考点梳理

1.

周期函数和最小正周期对于函数f (x )

,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有一一一一一一,则称f (x )为周期函数,T 为它的一个周期.若在所有周期中,有一个一一一一一的正数,

则这个最小的正数叫做f (x )的一一一一一一.

一

(1)思考:常函数f (x )=a (a ?R )是否为周期函数,有无最小正周期?

(2)思考:若函数f (x )满足f (x +2)=-f (x ),函数f (x )是周期函数,对吗?

(3)函数y =2s i n x 2

的最小正周期是

.

2.

正弦函数二余弦函数二

正切函数的图象和性质

函一数

y =s

i n x y =c

o s x y =

t a n x 图一象

定义域值域

单调性

递增区间是一一一一

一一一(k ?Z ),递减区间是一一一一一

一一一一(k ?Z )

递增区间是一一一一一一

(k ?Z ),递减区间是一一一一一一(k ?Z )

递增区间是一一一一一一一一一一

(k ?Z )

最一值

x =一一一一一时,y m a x =1;x =一一一一一时,y m i n =-1x =一一一一时,

y m a x =

1;x =一一一一时,

y m i n =一一

无最大值和最小值

奇偶性奇函数

偶函数

奇函数

对称性

对称中心对称轴

无对称轴

最小正周期

2π

2π

π

一

(1)判断下列命题的正误(请在括号中填 ? 或 ? )①y =s i n x 在第一二

第四象限是增函数.(一一)②y =s i n x 在x ?[-π2,π2

]上是增函数.(一一)③y =t a n x 在定义域上是增函数.(一一)

④y =s i n |x |是偶函数.(一一)⑤y =s i n 2x 的周期为2π.(一一)

⑥y =c o s 2x 的对称中心为(k π+

π2

,0),k ?Z .(一一)

(2)若直线y =a 与函数y =s i n x ,x ?[-2π,2π

)的图象有4个交点,则a 的取值范围是.(3)函数y =t a n (π4

-x )

的定义域是.

第三章一第三节

修一身

?原文?无稽之言勿听,弗询之谋勿庸三 ‘尚书四大禹谟“

?微言大义?没有经过考证的话不要听,没有斟酌问询过的计谋不要采用三55一

三角函数的定义域和值域一

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈

1.三角函数的定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),

常借助三角函数线或三角函数图象来求解.

2.三角函数值域的不同求法

(1)利用s i n x和c o s x的值域直接求.

(2)把所给的三角函数式变换成y=A s i n(ωx+φ)的形式求

值域.

(3)把s i n x或c o s x看作一个整体,转换成二次函数求值域.

(4)利用s i n x?c o s x和s i n x c o s x的关系转换成二次函数求

值域.

?例1?(1)函数y=1

t a n x-1的定义域为.

(2)已知f(x)的定义域为[0,1],则f(c o s x)的定义域为

.

(3)当x?[π6,7π6]时,函数y=3-s i n x-2c o s2x的最小值是

,最大值是.

把本例(2)中的c o s x

改为s i n x,如何求解?

三角函数的单调性一

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈

三角函数的单调区间的求法

(1)代换法

所谓代换法,就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作

一个角u(或t),利用基本三角函数的单调性来求所要求的三

角函数的单调区间.

(2)图象法

函数的单调性表现在图象上是:从左到右,图象上升趋势的区

间为单调递增区间,图象下降趋势的区间为单调递减区间,如

果能画出三角函数的图象,那它的单调区间就直观明了了.

?例2?求下列函数的单调区间:

(1)y=12s i n(π4-2x3);(2)y=-|s i n(x+π4)|.

?变式训练?求下列函数的单调递增区间:

(1)y=c o s(2x+π6);(2)y=3s i n(π3-x2).

三角函数的奇偶性、周期性及对称性一

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈

1.三角函数的奇偶性的判断技巧

首先要知道基本三角函数的奇偶性,再根据题目去判断所

求三角函数的奇偶性;也可以根据图象做判断.

2.求三角函数周期的方法

(1)利用周期函数的定义.

(2)利用公式:y=A s i n(ωx+φ)和y=A c o s(ωx+φ)的最小正周

期为2π|ω|,y=t a n(ωx+φ)的最小正周期为π|ω|.

(3)利用图象.

3.三角函数的对称性

正二余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.

正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴

和对称中心,并注意数形结合思想的应用

.

判断函数的奇偶性时,必须先分析函数定义域是否

是关于原点对称的区间.

?例3?(2012四潍坊模拟)设函数f(x)=s i n(ωx+φ)(ω>0,|φ|<

π

2),给出以下四个论断:

①它的最小正周期为π;

②它的图象关于直线x=π12成轴对称图形;

③它的图象关于点(π3,0)成中心对称图形;

④在区间[-π6,0)上是增函数.

以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为

正确的一个命题一一一一(用序号表示即可).

?变式训练?已知函数f(x)=s i n(πx-π2)-1,则下列说法正

确的是(一一)

(A)f(x)是周期为1的奇函数

(B)f(x)是周期为2的偶函数

(C)f(x)是周期为1的非奇非偶函数

(D)f(x)是周期为2的非奇非偶函数

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一生活中的黄金分割:0.618这个数与人类有许多不解之缘:希腊女神体态轻柔优美,引人入胜三经专家研究,她的身体从脚到肚脐之间的距离与整个身高的比值,恰好是0.618三

画家二艺术家将其引入到绘画二雕塑等艺术领域,让作品变得更加和谐二美丽;主持人站在舞台0.618处时,

音响效果最好

三考题研析

有关三角函数图象与性质的易错点

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈?典例?(2011

四安徽高考)设f (x )

=a s i n 2x +b c o s 2x ,其中a ,b ?R ,a b ?0,若f (x )?|f (π6

)|对一切x ?R 恒成立,则①f (11π12)=0一②|f (7π10)|<|f (π5)

|③f (x )

既不是奇函数也不是偶函数④f (x )的单调递增区间是[k π+π6,k π+2π3

](k ?Z )

⑤存在经过点(a ,b )的直线与函数f (x )

的图象不相交.以上结论正确的是(写出正确结论的编号).

?解题指南?先将f (x )=a s i n 2x +b c o s 2x ,a ,b ?R ,a b ?0

,变形为f (x )=a 2+b 2

s i n (2x +φ

),然后根据性质顺次判断命题的正误.?规范解答?由f (x )?|f (π6

)|对一切x ?R 恒成立知,直线x =π6

是f (x )

的对称轴,又f (x )=a 2+b 2

s i n (2x +φ)(其中t a n φ=b a )

的周期为π,?f (1112π)=f (π6+3π4)可看作x =π6的值加了34个周期,

?f (1112π)=0,故①正确.

?7π10-2π3=π30,π5-π6=π30,?7π10和π5

与对称轴的距离相等.?|f (7π10)|=|f (π5)

|,故②不正确.?x =π6是对称轴,?s i n (2?π6+φ)=?1,?π3+φ=?π2

+2k π,k ?Z ,?φ=π6+2k π或φ=-5π6+2k π,k ?Z .?t a n φ=b a =1

3

,

?a =3b ,?f (x )=2|b |s i n (2x +π6)或f (x )=2|b |s i n (2x -5π6

),?f (x )

既不是奇函数也不是偶函数,故③正确.由以上知,f (

x )=2|b |s i n (2x +π6

)的单调递增区间为[-π3+k π,π6

+k π],k ?Z ,f (

x )=2|b |s i n (2x -56π)的单调递增区间为[π6+k π,2π

3

+k π],k ?Z ,由于f (x )

的解析式不确定.?单调递增区间也不确定,

故④不正确.?f (x )=a s i n 2x +b c o s 2x =a 2+b 2

s i n (2x +φ)

(其中t a n φ=b a ),?-a 2+b 2?f (x )?a 2+b

2

.又?a b ?0,?a ?0,b ?0,?-a 2+b 22

,?过点(a ,b )的直线必与函数f (x )

图象相交,故⑤不正确.答案:①③

?阅卷人点拨?通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以得到以下误区警示和备考建议:误区警示在解答本题时易犯以下两点错误:(1)在求④中f (x )的单调递增区间时,运算化简不准确,而使判断错误;(2

)对于⑤的判断不是根据推导,而是凭借印象想当然做出判断,而使解答错误.备考建议

解决三角函数性质的问题时,还有以下几点在备考时要高度关注:(1)化简时公式应用要准确;(2)有的题目涉及到角的范围时要考虑全面;(3

)和其他内容结合时要注意三角函数的值域.考题体验

1.(2011四陕西高考)设函数f (x )(x ?R )满足f (-x )=f (x )

,f (

x +2)=f (x ),则y =f (x )的图象可能是(一一)2.(2011四新课标全国卷)设函数f (x )=s i n (2x +π4

)+c o s (2x +π4

),则

(一一)

(A )y =f (

x )在(0,π2)内单调递增,其图象关于直线x =π4对称(B )y =f (

x )在(0,π2)内单调递增,其图象关于直线x =π2对称(C )y =f (

x )在(0,π2)内单调递减,其图象关于直线x =π4对称(D )y =f (

x )在(0,π2)内单调递减,其图象关于直线x =π2

对称3.(2012四唐山模拟)直线x =π3,x =π2

都是函数f (x )=s i n (ωx

+φ)(ω>0,-π<φ?π)的对称轴,且函数f (x )在区间[π3,π2]上单调递减,则(一一)

(A )ω=6,φ=π2一一一一一一一(B )ω=6,φ=-π2(C )ω=3,φ=π2(D )ω=3,φ=-π2

4.(2012四济南模拟)给出下列四个命题,其中不正确命题的序号是.

①若c o s α=c o s β,则α-β=2

k π,k ?Z ;②函数y =2c o s (2x +π3)的图象关于x =π12

对称;③函数y =c o s (s i n x )(x ?R )

为偶函数;④函数y =s i n |x |是周期函数,且周期为2π.

一课时提能演练(十九)一一课一练,日积月累,厉兵秣马稳固提能