概率与统计（教师版）

学科网2011高考全国百所名校月考试题重组数学卷专题三概率与统计

【备考要点】考查等可能事件概率计算

在一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A包含的结果有m 个，那么P（A）=

m 。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。高考常借助不同背景的材n料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。 考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算

不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B，用概率的加法公式

P(A?B)?P(A)?P(B)计算。

事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则A、B叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为A?B。用概率的法公式P?A?B??P?A??P?B?计算。高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。 考查对立事件概率计算

必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。即B?A或A?B。用概率的减法公式

???_?P?A??1?P?A?计算其概率。

??考查独立重复试验概率计算及其概率分布与期望计算

若在n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做n次独立重复试验。若在1 次试验中事件A发生的概率为P，则在n次独立惩处试验中，事件A恰好发生k次的概率

kk为Pn?k??CnP?1?P?n?k。

高考结合实际应用问题考查n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。 解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率的计算方法去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解。以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力。 考查随机变量概率分布与期望计算

解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相互独立事件同时发生概率的公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解。以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力。

在数学复习中，要合理安排本学科所需要的内容，即不能一味地做难题，又不能只背一些公式、掌握一些技巧，在后段复习中要特别注意做好知识点的疏通与清理。

（1）清理考点。对《考试说明》提出的数学概念、公式和方法等考点要逐一疏通，特别是自己平时掌握有一些困难的，要有计划地查漏补缺，形成合理的知识结构。 （2）清理“错题”。考前要有计划地推敲“错题集”，即整理近期自己做错的题目，看看现在再做时能否顺利解决，纠正错误，尤其是分清错误类型（如知识缺陷型、解题策略型、不良习惯、心理型等），增强防范意识。 （3）清理题型。考前一段时间要对各种基本题型进行归纳回顾，领悟其基本思路，有针对性地分类突破。 （4）清理方法。首先要通过各类题型熟练掌握具体的数学方法，如配方法、换元法、待定系数法、比较

法、归纳法、分离参数法及分析法、综合法、反证法；其次要花大力气领悟几种重要的数学思想，如数形结合、分类讨论、化归与转化、函数与方程等，因为高考已由知识测量型转化为能力检测型，并把重点放在数学思想方法的应用上，如分类讨论用于协调、缓和“矛盾”，达到运用知识合理解题的思想，要回顾和领悟的有：为什么要讨论？何时讨论？如何讨论？常见的讨论类型有哪些？通过典型试题的整理和反思，相信会有所收获。

【原题】（12分）.从含有两件正品a,b和一件次品c的3件产品中每次任取1件。（1）每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。（2）每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件产品中至少有一件次品的概率。

【试题出处】吉安市四所重点中学高三联考数学试卷（文） 【原题】（本题满分13分）在一次口试中，考生从10道题中随机抽题进行回答，某考生会回答10道题中的6道题．（Ⅰ）若抽出1道进行回答，答对就通过考核，求考生通过考核的概率；（Ⅱ）若抽出3道进行回答，答对了其中2道就获得及格，求考生获得及格的概率． 【解析】（Ⅰ）事件A?“抽1道回答，通过考核”即是“从10道题中抽出一道，恰是考生会答的题”，根据等可能事件概率知，该事件的概率P?A??6?3．?6分

105

（Ⅱ）由题意知，事件B?“抽3道，获得及格”即是“10道题中随机抽出3道题，至少答对2道”，

213C6C4?C63C10所求概率P?B???2 3??13分

【试题出处】重庆八中2011届高三上学期第三次月考数学试题（文） 【原题】（本题满分14分）用3种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色. 求： （1）3个矩形颜色都相同的概率； （2）3个矩形颜色都不同的概率. 【解析】基本事件共有27个.

因为对3个矩形涂色时，选用颜色是随机的，所以这27个基本事件是等可能的.???4分 （1）记“3个矩形颜色都相同”为事件A，显然事件A包含的基本事件有3个，于是P(A)?3?1.

279（2）记“3个矩形颜色都不相同”为事件B，假设三种颜色分别是a，b，c，则事件B只有可能是abc；acb；bac；bca；cab；cba，共6个基本事件，于是P(B)?6?2.?12分

279【答】3个矩形颜色都相同的概率为1，3个矩形颜色都不同的概率为2.??? 14分

99

【试题出处】江苏省海安、如皋2011届高三期中考试数学（选修历史）试题及参考答案 【原题】（本题满分12分）甲、乙两位乒乓球选手，在过去的40局比赛中，甲胜24局．现在两人再次相遇．（1）打满3局比赛，甲最有可能胜乙几局，说明理由；（2）采用“三局两胜”或“五局三胜”两种赛制，哪种对甲更有利，说明理由．（注：计算时，以频率作为概率的近似值．“三局两胜”就是有一方胜局达到两局时，就结束比赛；“五局三胜”就是有一方胜局达到三局时，就结束比赛）

【试题出处】河北省唐山一中2011届高三期中考试【文】 【原题】（本小题满分12分） 某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130~140分数段的人数为2人．（Ⅰ）估计这所学校成绩在90~140分之间学生的参赛人数；（Ⅱ）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、?、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率． 【解析】（Ⅰ）设90-140分之间的人数是n，???2分

由130-140分数段的人数为2人，可知0.005×10×n=2，得n?40.???6分

（Ⅱ）依题意，第一组共有40×0.01×10=4人，记作A1、A2、A3、A4；第五组共有2人，记作B1、B2从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A1，A2}、{A1，A3}、{A1，A4}、{A2，A3}、{A2，A4}、{A3，A4}；{A1，B1}、{A2，B1}、{A3，B1}、{A4，B1}；{A1，B2}、{A2，B2}、{A3，B2}、{A4，B2}；{B1，B2}；????10分设事件A：选出的两人为“黄金搭档组”.若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法 故P(A)?8???12分 15【试题出处】中山一中、宝安中学高三联考文科数学试题

【原题】为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）

(Ⅰ)求x,y ; （Ⅱ）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。 【解析】(Ⅰ)由题意可得

x2y??所以x?1,y?3， 183654（Ⅱ）记从高校B中抽取的2人为b1,b2，从高校C中抽取的3人为C1,C2,C3则从高校B、C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有（b1,b2），（b1,c1），（b1,c2），（b2,c3），（b2,c1），（b2,c2），（b2,c3），

(C1,C2)，(C1,C3)，(C2,C3)共10种，设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件

有(C1,C2)，(C1,C3)，(C2,C3)共3种，因此p(X)?33故选中的2人都来自高校C的概率为 1010【试题出处】2010湖南高考试题

【原题】某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。（Ⅰ）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。 【解析】（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且 P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18， P（X=2）=0.8×0.1=0.08 ，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。 由此得X的分布列为：

X P 10 0.72 5 0.18 2 0.08 -3 0.02 （2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4?n件。 由题设知4n?(4?n)?10，解得n?14， 又n?N，得n?3，或n?4。 53所求概率为P?C4?0.83?0.2?0.84?0.8192

答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。 【试题出处】2010江苏高考试题 【原题】设平面向量a m =（m，1），b n =（2，n），其中m，n∈{1,2,3,4}.（I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；（II）记“使得a m ⊥（a m－b n）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率. 【解析】(Ⅰ)有序数组（m,n）的吧所有可能结果为：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2）， （2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）共16个. (Ⅱ)由am?(am?bn)得m2?2m?1?n?o，即n?(m?1)2. 由于m,n?｛1,2,3,4｝，故事件A包含的基本条件为（2,1）和（3,4），共2个.又基本事件的总数为16，故所求的概率P(A)?21?. 168【试题出处】2010福建高考试题

【原题】某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即

等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷．．．宫为止．（1）求走出迷宫时恰好用了l小时的概率；（2）求走出迷宫的时间超过3小时的概率．

1 31111（Ⅱ）走出迷宫的时间超过3小时这一事件则p(B)????

6662【解析】（Ⅰ）走出迷宫时恰好用了l小时的概率p(A)?【试题出处】2010江西高考试题

【原题】(12分)某车间在两天内，每天生产10件产品，其中第一天生产了1件次品，第二天生产了2件次品。而质检部每天要在生产的10件产品众随意抽4件进行检查，发现次品则当天产品不能通过。（I）求第一天通过的概率；（II）（文）求这两天至多1天通过的概率（II）（理 ）若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天都不能通过记-1分，通过1天记1分，两天都通过得3分，求该车间在这两天内得分的?分布列和数学期望

【试题出处】四川成都树德协进中学2011届高三期中考试【文、理】 【原题】（本小题满分14分）一袋子中有大小、质量均相同的10个小球，其中标记“开”字的小球有5个，标记“心”字的小球有3个，标记“乐”字的小球有2个．从中任意摸出1个球确定标记后放回袋中，再从中任取1个球．不断重复以上操作，最多取3次，并规定若取出“乐”字球，则停止摸球．求：（Ⅰ）恰好摸到2个“心”字球的概率；（Ⅱ）摸球次数X的概率分布列和数学期望． 【解析】（Ⅰ）恰好摸到两个“心”字球的取法共有4种情形：开心心，心开心，心心开，心心乐． 则恰好摸到2个“心”字球的概率是P?533332153．???(6分) ???3????1010101010101000111C8C2C214（Ⅱ）X?1,2,3，则 P(X?1)?1?，P(X?2)?1?1?，

C105C10C1025P(X?3)?1?P(X?1)?P(X?2)?16．???(10分)故取球次数X的分布列为 252 3 X P 1 1416 52525141661EX??1??2??3?．????(14分)

5252525【试题出处】浙江省温州十校联合体2011届高三期中考试【理】 【原题】（本小题满分13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规

定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得?1分．现从盒内一次性取3个球．（1）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（2）设?为取出的3个球中白色球的个数，求?的分布列和数学期望． 【解析】

【试题出处】福建省福州三中2011届高三期中考试【理】 【原题】（本小题满分12分）某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800﹑600、0的四个球（球的大小相同）．参与者随机从抽奖箱里摸取一球（取后即放回），公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金（元），并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次﹐但是所得奖金减半（若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会），求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．

【解析】设?表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000，800，600，0，当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，但奖金数减半，即分别为500，400，300，0． 则?的所有可能取值为1000，800，600，500，400，300，0． 依题意得P???1000??P???800??P???600??1， 41P???500??P???400??P???300??P???0??，

16则?的分布列为

奖金? 1000 800 600 500 400 300 0 11111 41616161611所以所求期望值为E???1000?800?600???500?400?300?0??675元．

416概率P 答：一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是675元．

1 41 4

【试题出处】2010年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）

【原题】投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3。各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率 (II)记?表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求?的分布列及期望．

【试题出处】2010大纲全国I高考试题

【原题】某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A,B,C,D四个问题，规则如下：每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A,B,C,D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；每位参加者按问题A,B,C,D顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题A,B,C,D回答正确的概率依次为

3111,,,，且各题回答正确与否相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；4234（Ⅱ）用?表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求?的分布列和数学的E?.

【解析】设A,B,C,D分别为第一、二、三、四个问题.用M1(i?1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答正确，用N1(i?1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答错误，则M1与N1是对立事件(i?1,2,3,4).由题意得

3111P(M1)?,P(M2)?,P(M3)?,P(M4)?,所以

42341123P(N1)?,P(N2)?,P(N3)?,P(N4)?

4234

（Ⅰ）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，则Q?M1M2M3?N1M2M3M4?M1N2M3M4

?M1M2M3M4?N1M2N3M4由于每题答题结果相互独立，因此

p(Q)?p(M1M2M3?N1M2M3M4?M1N2M3M4?M1M2M3M4?N1M2N3M4) ?p(M1M2M3)?p(N1M2M3M4)?p(M1N2M3M4?M1M2M3M4)?p(N1M2N3M4)

?p(M1)p(M2)p(M3)?p(N1)p(M2)p(M3)p(M4)?p(M1)p(N2)p(M3)p(M4)?p(M1)p(M2)p(M3)p(M4)?p(N1)P(M2)p(N3)p(M4)31111113111312111211???????????????????? 42342344234423442344（Ⅱ）由题意，随机变量?的可能取值为：2,3,4.由于每题答题结果相互独立， 所以P(??2)?P(N1N2)?P(N1)P(N2)?

1，P(??3)?P(M1M2M3)?P(M1N2M3) 83113123?P(M1)P(M2)P(M3)?P(M1)P(N2)P(M3)???????

4234238131P(??4)?1?P(??2)?P(??3)?1???

882因此 随机变量?的分布列为

? 2 3 4 13 P 8813127所以 E??2??3??4??.

8828

【试题出处】2010山东高考试题

1 2【原题】某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为

4，第二、第三门5课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ 0 1 2 3 p 6 125a d 24125[来源:学,科,网Z,X,X,K] (Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求数学期望E?。 【解析】事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1,2,3，由题意知P(A1)?4，P(A2)?p，5

P(A3)?q

（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“??0”是对立的，所以该生至少有1门

6119?， 12512516（II）由题意知P(??0)?P(A1A2A3)?(1?p)(1?q)?

5125424632 P(??3)?P(A1A2A3)?pq?整理得 pq?，p?q?1由p?q，可得p?，q?.

512512555课程取得优秀成绩的概率是 1?P(??0)?1?（III）由题意知a?P(??1)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3) =

41137

(1?p)(1?q)?p(1?q)?(1?p)q? 555125

58 125b?P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?P(??3) =

9E??0?P(??0)?1?P(??1)?2P(??2)?3P(??3)=

5

【试题出处】2010北京高考试题

【原题】设S是不等式x?x?6?0的解集，整数m,n?S。（Ⅰ）记使得“m?n?0成立的有序数组

2(m,n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；（Ⅱ）设??m2，求?的分布列及其数学期望E?。

2【解析】（Ⅰ）由x?x?6?0得?2?x?3，即S=?x|-2?x?3?，

,(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0)。 由于整数m,n?S且m?n?0，所以A包含的基本事件为(?2,2）（Ⅱ）由于m的所有不同取值为?2,-1,0,1,2,3,所以??m的所有不同取值为0,1,4,9， 且有P(?=0)=2121211，P(?=1)==，P(?=4)==，P(?=9)=， 663636故?的分布列为

? P 0 1 4 9 11 63111119所以E?=0??1??4??9??。

633661 31 6【试题出处】2010福建高考试题

【原题】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重

量（单位：克）重量的分组区间为（490,495?，（495,500，??（510,515?，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．

（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量． （Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件， 设?为重量超过505克的产品数量，求?的分布列

（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率． 【解析】（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是40?(0.05?5?0.01?5)?12件 （Ⅱ）?的分布列

?? p 0[来源:学.科.网] 1 11C28C12 2C402 2C12 2C402C28 2C40（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率是 28?27?2612?11?CC3?2?12?1?231 ?540?39?38?37?36703C405?4?3?2?1328212【试题出处】2010广东高考试题 【原题】图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月平均用水量（单位：吨）的频率分布直方图。（Ⅰ）求直方图中?的值；（Ⅱ）如将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数?的分布列与数学期望。

【试题出处】2010湖南高考试题 【原题】（本小题满分12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到

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