统计学第六章 相关与回归分析

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第七章 回归分析教学基本要求： 1、了解相关关系的含义和种类，掌握相 关系数的计算方法 ； 2、了解回归分析的概念； 3、掌握一元线性回归模型建立的方法。 具体包括相关系数r的计算、模型中参数a、 b的计算和模型的建立等内容。

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第一节 相关关系 一、相关关系 1、函数关系：变量之间具有完全确定的关系， 如圆的周长(L)与半径(R)之间的关系(L=2пR)。 变量之间关系通常可以用数学公式确切地表 示。 2、相关关系：变量之间存在着非确定性的依 赖关系，如家庭可支配收入X与消费支出Y。 变量之间关系一般不能用数学公式确切地表 示。

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二、相关关系的种类 按相关的方向不同：分正相关和负相关； 按相关的形式不同：分线性相关和非线 性相关； 按影响因素的数量不同：分单相关、复 相关和偏相关

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三、相关分析与回归分析 相关分析：是判断变量之间是否具有相 关关系的数学分析方法，通常计算变量 间的相关系数来实现，此时两个变量均 为随机变量 回归分析：将计算回归方程为基础的统 计分析方法称为回归分析。此时两变量 中因变量是一个随机变量，而自变量是 一个确定性变量。

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第二节 相关分析 一、相关表与相关图 1、相关表：把相关的两个变量的数值， 相应地排列而成的一张表格。 2、相关表种类：

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3、相关图 相关图也称散点图，是在平面直角坐标 系中，以横轴表示变量 x,纵轴表示变 量y,将两者对应的数值形成的坐标点 在图中标出，即可看出变量之间关系密 切程度。如下图,年收入与受教育程度相 关图

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平均受教育程度与平均年收入散点图平均年收入(y) 60 50 40 30 20 10 0 0 5 10 15 20 25 平均年收入(y)

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二、相关系数 含义：用于测定两个变量之间线性相关 程度和相关方向的统计分析指标，常用 字母r表示。 计算公式： 相关系数ρ=变量x与y的协方差/变量 x的标准差 变量y的标准差= xy2/ x y (详见教材P146)

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接前页 相关系数特点： 取值在-1到+1之间； 当r大于零时，为正相关；小于零时，为负相关； 当r绝对值接近于零，表示变量间的相关程度越小； 当r绝对值越接近于1,表示变量间的相关程度 越大。 当 r=0时，表明x与y无关系(称零相关) 当r绝对值等于1时，变量之间完全相关(或为函 数关系)。

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第三节 一元线性回归分析 一元线性回归模型：在回归分析中所形成的 变量间的关系式称为回归模型，其中，以一 条直线方程表明变量之间相关关系的模型叫 一元线性回归模型。 一元线性回归模型建立： 直线方程的模型为：y^=a+bx 式中： y^表示因变量y的估计值，x为自变

量 的实际值，a、b为待定参数，其几何意义： a为直线截距，b为直线斜率。b表示当x每增 加1个单位时，y平均增加的数量。b也称回归 系数。

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模型参数的估计方法：最小平方法 此部分可参见教材P151 要求：根据所给资料绘制出变量间相关图； 计算相关系数，并判断变量间相关 方向和相关程度； 根据最小平方法公式计算参数估计 值a、b; 建立一元线性回归模型y=a+bx; 解释回归系数b的经济意义。

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举例 某企业某种产品产量和单位成本资料如下： ——————————————————— 月份 1 2 3 4 5 6 合计 ———————————————————产量x 千件) 4 6 8 7 8 9 42 产量 (千件) 单位成本y( 件 70 69 427 单位成本 (元/件)73 72 71 72 x2 16 36 64 49 64 81 310 y2 5329 5184 5041 5184 4900 4761 30399 xy 292 432 568 504 560 621 2977 ————————————————————————— —

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接前页 要求： (1)根据所给资料，绘制相关散点图， 并判别相关关系表现形式和方向； (2)计算相关系数； (3)建立单位成本与产量的一元线性回 归模型，并指出回归系数的经济意义。

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练习题 某地高校教育经费 万元)和在校生人数 万人 资料 某地高校教育经费(x:万元 和在校生人数 万人)资料 万元 和在校生人数(y:万人 如下: 如下 __________________________________________ 在校生数y 11 16 18 20 22 25 在校生数 __________________________________________ 教育经费x 316 343 373 393 418 455 教育经费 ________________________________________

要求:(1)计算相关系数 分析变量间相关程度 计算相关系数,分析变量间相关程度 计算相关系数 分析变量间相关程度;(2)建立一元线性回归方程 并解释方程中回归系数 建立一元线性回归方程,并解释方程中回归系数 建立一元线性回归方程 的经济意义; 的经济意义 (3)若教育经费达到 万元时 在校生数可以达到 若教育经费达到500万元时 万元时,在校生数可以达到 若教育经费达到 多少? 多少

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接前页__________________________________________ 在校生数y 11 16 18 20 22 25 在校生数 __________________________________________ 教育经费x 316 343 373 393 418 455 教育经费 112 2298

———————————————— x2 99856 117649 139129 154449 174724 207025 892832 ———————————————— 121 256 324 400 484 625 2210 y2 ———————————————— xy 3476 5488 6714 7860 9196 11375 44109 ————————————————

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三、线性回归方程拟合优度的测定 判定系数r2: 指因变量y的总变动中由x的变动解释或说明 的部分所占的比例。 估计标准误差：该指标表明y的估计值的代 表性大小。数值越大

,估计值代表性越小， 即相关点的离散程度大；反之，则代表性越 小，相关点的离散程度就越小。s=

∑ y 2 a ∑ y-b ∑ xyn-2

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总结 本章主要介绍了回归系数计算方法及判 定标准 此外，还介绍了一元线性回归模型的参 数估计、模型建立以及利用模型对因变 量y的预测方法 重点是应能够利用所给资料建立线性回 归方程(模型)

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本章要点相关与回归 相关分析 回归分析

相关系数

相关图、表

建立回归方程

计算相关系数

确定待定参数a、b

解释回归系数b经济意义

拟合优度测定

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nudm.html