不等式的应用(1)

选修4-5不等式选讲

第8课时:不等式的应用（1） 陕西省西乡县第二中学数学教研组 余国庆

教学目标：1．初步会用均值不等式求函数的最值问题；

2．能综合运用函数关系，不等式知识解决简单的实际问题。

教学重点、难点：化实际问题为数学问题。 教学过程：

一 复习 1．均值不等式；

2．运用数学知识解决实际问题的一般步骤。

二 新课讲解

例1 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：首先建立水池总造价关于一边长度的函数关系式，然后均值不等式求函数的最小值。

例2 甲,乙是两位粮食经销商,他们每次都会在同一粮食生产基地以相同的价格购进粮食,某月,他们共购进粮食3次,各次的价格不同,甲每次购10000kg的粮食,乙每次购10000kg的粮食,谁的购粮方式更经济? 分析：本题是购买粮食的问题,要搞清: 甲,乙两人的购粮次数, 购粮数量, 购粮单价以及每次购粮的钱款数等数量.再表示出甲,乙3次购粮的

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实际问题 的解 检验

数学模 型的解 实际问题 审题、分 析、建模 数学模型 求解 平均每千克的粮价, 再利用均值不等式比较大小。

例3 将半径为R的圆形铁片剪去一个扇形,用剩下的部分卷成一个圆锥.当剪去的扇形中心角?的弧度数为多大时,圆锥的体积最大,并求出这个最大体积.

分析：首先建立卷成的圆锥体积关于半径的函数关系,即V?f(r),再用均值不等式求其最值。 三 课堂练习

1.一段长为L米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长,宽各为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少？

2.在直径为d的圆的内接矩形中，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大，最大面积是多少？ 四 课后作业

1．某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的长方题小房，房屋正面的造价为1200元/m2，房屋侧面的造价为800元/m2，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元?

2．某种农产品的产量,第二年比第一年增长的百分率为P1,第三年比第二年增长的百分率为P2,第四年比第三年增长的百分率为P3,设P为年平

P 的最大值。 均增长率,且P1?P2?P3为定植,求

3．一个由17辆汽车组成的车队，每辆车车长为5米。当车队以速度v（千

v2米/小时）行驶时，相邻两辆车的车距至少为米，现车队要通过一座

100

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长为140米的大桥，问车速v为多少时，车队通过大桥所用的时间最少？最少需要多少分钟？ 五 小结

1．用均值不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 2．用均值不等式解决实际应用问题的步骤：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案。

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