福建省宁德市霞浦一中高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

比知识你海纳百川，比能力你无人能及，比心理你处变不惊，比信心你自信满满，比体力你精力充沛，综上所述，高考这场比赛你想不赢都难，祝高考好运，考试顺利。

2017年福建省宁德市霞浦一中高考数学模拟试卷（理科）（5月

份）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填写在答题卷相应位置上）

1．已知z=，则复数在复平面对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1}，则A∩B=（）

A．（﹣∞，3）B．[2，3） C．（﹣∞，2）D．（﹣1，2）

3．若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值是（）

A．2 B．1 C．0 D．﹣4

4．若（3x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a2+a3+a4+a5=（）

A．﹣1 B．31 C．32 D．33

5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=1，c=2，，则△ABC的面积为（）

A．B．C．D．

6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．已知命题p：t=π，命题，则p是q的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

8．定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则（）

A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a

9．如图是某个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

A．B．2 C．3 D．4

10．若存在正常数a，b，使得?x∈R有f（x+a）≤f（x）+b恒成立，则称f（x）

为“限增函数”．给出下列三个函数：①f（x）=x2+x+1；②；③f（x）=sin（x2），其中是“限增函数”的是（）

A．①②③B．②③C．①③D．③

11．已知函数，若将f

（x）的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于原点对称，则φ=（）

A．B．C．D．

12．已知椭圆内有一点M（2，1），过M的两条直线l1，l2分别与椭圆E交于A，C和B，D两点，且满足（其中λ＞0，

且λ≠1），若λ变化时，AB的斜率总为，则椭圆E的离心率为（）

A．B．C．D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的相应位置）

13．若直线2x +y +m=0过圆x 2+y 2﹣2x +4y=0的圆心，则m 的值为 ．

14．在区间[﹣1，1]内随机取两个实数x ，y ，则满足y ≥x 2﹣1的概率是 ．

15．棱长均相等的四面体ABCD 的外接球半径为1，则该四面体ABCD 的棱长为 ．

16．如图，在等腰三角形ABC 中，已知|AB |=|AC |=1，∠A=120°，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且

，（其中λ，μ∈（0，1）），且λ+4μ=1，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则

的最小值为 ．

三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）

17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +1=λS n +1（n ∈N*，λ≠﹣1），且a 1、2a 2、a 3+3成等差数列．

（Ⅰ）求证：数列{a n }为等比数列；

（Ⅱ）设b n =2a n ﹣1，求数列{b n }的前n 项和T n ．

18．2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选．美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客．现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：

（1）若在100这人中，按性别分层抽取一个容量为20的样本，女性应抽11人，

请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？

（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品，记这3人中赞成“自助游”人数为X ，求X 的分布列和数学期望．

19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD ，△PAB 与△PAD 都是边长为2的等边三角形，E 是BC 的中点．

（1）求证：AE ∥平面PCD ；

（2）记平面PAB 与平面PCD 的交线为l ，求二面角C ﹣l ﹣B 的余弦值．

20．已知抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，直线x=4与x 轴的交点为P ，与抛

物线的交点为

Q

，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，D 两点，与圆x 2+（y ﹣1）2=1相交于B ，C 两点（A ，B 两点相邻），过A ，D 两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M ，求△ABM 与△CDM 的面积之积的最小值．

21．已知函数f （x ）=axln （x +1）+x +1（x ＞﹣1，a ∈R ）．

（1）若，求函数f（x）的单调区间；

（2）当x≥0时，不等式f（x）≤e x恒成立，求实数a的取值范围．

[选修4-4：参数方程与极坐标系]

22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相

同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），

曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣2m|（m＞0）．

（Ⅰ）求证：f（x）≥8恒成立；

（Ⅱ）求使得不等式f（1）＞10成立的实数m的取值范围．

2017年福建省宁德市霞浦一中高考数学模拟试卷（理科）

（5月份）

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填写在答题卷相应位置上）

1．已知z=，则复数在复平面对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

【解答】解：==+i，

∴复数=﹣i在复平面对应的点位于第三象限．

故选：C．

2．设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1}，则A∩B=（）

A．（﹣∞，3）B．[2，3） C．（﹣∞，2）D．（﹣1，2）

【考点】1E：交集及其运算．

【分析】运用指数函数的值域，化简集合B，再由交集的定义，即可得到所求．【解答】解：集合A={x|x＜2}，

由x∈R，2x＞0，可得

B={y|y=2x﹣1}={y|y＞﹣1}，

则A∩B={m|﹣1＜m＜2}=（﹣1，2）．

故选：D．

3．若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值是（）

A．2 B．1 C．0 D．﹣4

【考点】7C：简单线性规划．

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．

【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，

化目标函数z=x﹣2y为直线方程的斜截式y=x﹣．

由图可知，当直线y=x﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z最大，为z=1﹣2×0=1．

故选：B．

4．若（3x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a2+a3+a4+a5=（）

A．﹣1 B．31 C．32 D．33

【考点】DB：二项式系数的性质．

【分析】令x=1，得25=a0+a1+a2+…+a5，令x=0，得（﹣1）5=a0，由此能求出a1+a2+a3+a4+a5的值．

【解答】解：∵（3x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，

∴令x=1，得25=a0+a1+a2+…+a5=32，

令x=0，得（﹣1）5=a0=﹣1，

∴a1+a2+a3+a4+a5=32﹣（﹣1）=33．

故选：D．

5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=1，c=2，，则△ABC的面积为（）

A．B．C．D．

【考点】HR：余弦定理．

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC，由余弦定理可得2b2﹣b ﹣6=0，解得b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

【解答】解：∵a=1，c=2，，sinC==，

∴由余弦定理可得：=，整理可得：2b2﹣b﹣6=0，

∴解得：b=2或﹣（舍去），

∴S

△ABC

=absinC==．

故选：C．

6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】EF：程序框图．

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，

当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，

当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，

当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，

故输出的n值为4，

故选C．

7．已知命题p：t=π，命题，则p是q的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】命题，利用微积分基本定理可得：=1，化为：cost=0．解出即可判断出结论．

【解答】解：命题，∴=1，化为：cost=0．∴t=

（k∈Z）．

∴p是q的既不充分也不必要条件．

故选：D．

8．定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则（）

A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a

【考点】3L：函数奇偶性的性质．

【分析】由f（x）为偶函数便可得出f（x）=2|x|﹣1，从而可求出a，b，c的值，进而得出a，b，c的大小关系．

【解答】解：f（x）为偶函数；

∴m=0；

∴f（x）=2|x|﹣1；

∴a=f（log0.53）=，

，c=f（0）=20﹣1=0；

∴c＜a＜b．

故选C．

9．如图是某个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

A．B．2 C．3 D．4

【考点】L!：由三视图求面积、体积．

【分析】作出棱锥的直观图，根据三视图数据代入计算即可．

【解答】解：几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：

其中侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，PA=PB，

由三视图可知，AB∥CD，AB=BC=2，CD=1，侧面PAB中P到AB的距离为h=，

∴几何体的体积V===．

故选A．

10．若存在正常数a，b，使得?x∈R有f（x+a）≤f（x）+b恒成立，则称f（x）

为“限增函数”．给出下列三个函数：①f（x）=x2+x+1；②；③f（x）=sin（x2），其中是“限增函数”的是（）

A．①②③B．②③C．①③D．③

【考点】2H：全称命题．

【分析】假设各函数为“限增函数”，根据定义推导f（x+a）≤f（x）+b恒成立的条件，判断a，b的存在性即可得出答案．

【解答】解：对于①，f（x+a）≤f（x）+b可化为：（x+a）2+（x+a）+1≤x2+x+1+b，即2ax≤﹣a2﹣a+b，即x≤对一切x∈R均成立，

由函数的定义域为R，故不存在满足条件的正常数a、b，故f（x）=x2+x+1不是“限增函数”；

对于②，若f（x）=是“限增函数”，则f（x+a）≤f（x）+b可化为：

≤+b，

∴|x+a|≤|x|+b2+2b恒成立，又|x+a|≤|x|+a，∴|x|+a≤|x|+b2+2b，

∴≥，

显然当a＜b2时式子恒成立，∴f（x）=是“限增函数”；

对于③，∵﹣1≤f（x）=sin（x2）≤1，∴f（x+a）﹣f（x）≤2，

∴当b≥2时，a为任意正数，使f（x+a）≤f（x）+b恒成立，故f（x）=sin（x2）是“限增函数”．

故选B．

11．已知函数，若将f

（x）的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于原点对称，则φ=（）

A．B．C．D．

【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】由题意求得ω=4k+2，k∈Z，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，

可得+φ=lπ，l∈Z，结合φ的范围，可得φ的值．

【解答】解：∵函数，

∴sinφ=﹣sin（ω?+φ），∴ω=4k+2，k∈Z．

将f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位后所得函数的解析式为y=sin

（ωx++φ）的图象关于原点对称，

∴+φ=lπ，l∈Z，∵φ∈（0，）∴k=2，ω=10，此时，φ=，

故选：B．

12．已知椭圆内有一点M（2，1），过M的两条直线l1，l2分别与椭圆E交于A，C和B，D两点，且满足（其中λ＞0，

且λ≠1），若λ变化时，AB的斜率总为，则椭圆E的离心率为（）

A．B．C．D．

【考点】K4：椭圆的简单性质．

【分析】由向量数量积的坐标运算及点差法作差求得=﹣×，代

入即可求得a和b的关系，即可求得椭圆的离心率．

【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），

由=λ，即（2﹣x1，1﹣y1）=λ（x3﹣2，y3﹣1），

则，同理可得：，

∴，则2[（y1+y2）+λ（y3+y4）]=1[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，

将点A，B的坐标代入椭圆方程作差可得：=﹣×，

即﹣=﹣×，则a2（y1+y2）=2b2（x1+x2），

同理可得：a2（y3+y4）=2b2（x3+x4），

两式相加得：a2[（y1+y2）+（y3+y4）]=2b2[（x1+x2）+（x3+x4）]，

∴2[（y1+y2）+λ（y3+y4）]=1[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，

∴=

则=，

则椭圆的离心率e===，

故选D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的相应位置）

13．若直线2x+y+m=0过圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心，则m的值为0．

【考点】J9：直线与圆的位置关系．

【分析】求出圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心为C（1，﹣2），再把圆心C（1，﹣2）代入直线2x+y+m=0，能求出结果．

【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心为C（1，﹣2），

∵直线2x+y+m=0过圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心，

∴圆心C（1，﹣2）在直线2x+y+m=0上，

∴2×1﹣2+m=0，

解得m=0．

故答案为：0．

14．在区间[﹣1，1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x2﹣1的概率是．【考点】CF：几何概型．

【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可

【解答】解：由题意可得，在区间[﹣1，1]内随机取两个实数x，y，对应的区域是边长为2的正方形，如图，面积为4，

满足y≥x2﹣1的区域为图中阴影部分，面积为2+=2+（x﹣）

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