2018年高考数学二轮复习 三道题经典专练8 圆锥曲线之一 直线过定点 理

圆锥曲线之一 直线过定点

一、（2018湖北省黄冈、黄石等八市高三3月联考试题）

如图，已知抛物线x2?2py?p?0?，其焦点到准线的距离为2，圆S:x2?y2?py?0，直线l:y?kx?和抛物线自左至右顺次交于四点A、B、C、D，

（1）若线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，求正数k的值；

p与圆2（2）若直线l?过抛物线焦点且垂直于直线l，直线l?与抛物线交于点M、N，设AD、MN的中点分别为P、Q，求证：直线PQ过定点．

yMDPCABONQx

【答案】（1）k?23?． ；（2）?0，21?，圆的半径为1，设A?x1，y1?，D?x2，y2?， 【解析】（1）由题意可得p?2，所以S?0，2??x?4y由?得x2?4kx?4?0，?x1?x2?4k，?y1?y2?k?x1?x2??2?4k2?2， ??y?kx?1?AB?CD?AS?DS?BC?y1?1?y2?1?2?y1?y2?4k2?2?2BC?4，

?k?（2）

2． 2x1?x2?4k，y1?y2?k?x1?x2??2?4k2?2，?Q2k，2k2?1，

??当k?0时，直线l与抛物线没有交点，所以k?0，

12k4?2k2?1?22?用?替换k可得P??，2?1?，?kPQ?3， ?kk2k?2k?kk?k2?1所以PQ的直线方程为y?2k?1??x?2k?，

k?2?k2?13?． 化简得y?x?3，所以直线PQ过定点?0，k二、(2018湖北省武汉市高三毕业生2月份调研考试)

2x2y2已知A、B为椭圆T：2?2?1?a?b?0?的左、右顶点，AB?4，且离心率为．

2ab2017年高考“最后三十天”专题透析

（1）求椭圆T的方程；

（2）若点P?x0，y0??y0?0?为直线x?4上任意一点，PA，PB交椭圆T于C，D两点，试问直线CD是否恒过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．

x2y2【答案】（1）?（2）答案见解析． ?1；

42【解析】

2x2y2（1）依题意AB?2a?4，则a?2，又e?，c?2．?椭圆方程为：??1．

242,2（2）设P?4，t?，（不妨设t?0），A??0?，B?2,0?，

则直线PA方程：y?tt?x?2?，直线PB方程：y??x?2?． 62t?y??x?2??6?设C?x1，y1?，D?x2，y2?，由?2得18?t2x2?4t2x?4t2?72?0， 2?x?y?1??42??t12t4t2?7236?2t2则?2?x1?，则，于是． x?y?x?2???1112618?t218?t218?tt?y??x?2??4t2?82t2?42?2222 ，得2?tx?4tx?4t?8?0，则2?x2?由?2，则x2?， 2222?t2?txy???1??42???36?2t212t??2t2?4?4t?t?4t，，2于是y2??x2?2??2，C?，D?2?， 22?218?t18?tt?2t?2t?2?????kCD12t4t?22?2?4t． ?18?t2t236?2t2t?46?t2?218?t2t?24t4t?2t2?4???直线CD方程为：y?2?x?2?． t?26?t2?t?2?4t6?t22t2?4令y?0得x?2??2?1，

4tt?2t?20?． 故直线CD过点?1，

三、(2018山西省晋中高三1月适应性调研考试) 2

x2y2已知抛物线C:y?2px（p?0）的焦点是椭圆M：2?2?1（a?b?0）的右焦点，且两曲线有公共点

ab好教育云平台——教育因你我而变

2

?226?，??33??． ??（1）求椭圆M的方程；

0?且斜率不为零的直线l与椭圆M交于P，Q两点，（2）椭圆M的左、右顶点分别为A1，A2，若过点B?4，已知直线A1P与A2Q相较于点G，试判断点G是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由．

（1）x2y2【答案】4?3?1；（2）点G在定直线x?1上． 【解析】 （1）将??22??3，6??代入抛物线C:y2?2px得p?2， ?3?∴抛物线的焦点为?1,0?，则椭圆M中c?1， 又点??2?3,26?3??在椭圆M上， ???a2?b2∴??1??424，解得a2?4，b2?3， ?9a2?9b2?1x2椭圆M的方程为4?y23?1．

（2）由条件可得直线PQ的斜率存在，设直线PQ:y?k?x?4??k?0?

联立方程???y?k?x?4?24y?12?0 ， ??3x?2消y得：?3?4k2?x2?32k2x?64k2?12?0有两个不等的实根，

??322k4?4?4?3?4k2??16k2?3??16?9?1?4k2??0，?0?k2?14， 32k264k2设P?x,y?1211?，Q?x2,y2?，G?x3,y3?，则x1?x2?3?4k2，x1?x2?3?4k2，

?x1?x2??x1?x24x121?4k22??1x2?3?4k2，

由A1，P，G三点共线，有：y1x?y3， 1?2x3?2由Ay2，Q，G三点共线，有：3x?y2， 3?2x2?2上两式相比得x3?2y2?x1?2?k?x2?4??x1?2?x1x2??x1?x2??3?x???4??x?x2?x1??8??3， 3?2y1?x2?2?k?x12?2?x1x2?3?x1?x2???x1?x2??8 3

好教育云平台——教育因你我而变4

2017年高考“最后三十天”专题透析

解得x3?1，

∴点G在定直线x?1上．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nu55.html