自考概率论与数理统计（经管类）2007年至2013年历年真题及答案详解（按4-6章归纳）

第四章 随机变量的数字特征 200704

7．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（ D ） A．E(X)?0.5，D(X)?0.5 C．E(X)?2，D(X)?4

B．E(X)?0.5，D(X)?0.25 D．E(X)?2，D(X)?2

??2，E(X)?D(X)???2．

8．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1,4)，Y～N(0,1)，令Z?X?Y，则D(Z)?（ C ） A．1

B．3

C．5

D．6

D(Z)?D(X?Y)?D(X)?D(Y)?4?1?5．

9．已知D(X)?4，D(Y)?25，cov(X,Y)?4，则?XY?（ C ） A．0.004

B．0.04

C．0.4

D．4

?XY?cov(X,Y)D(X)D(Y)?4?0.4． 2?5?1?18．设X～B?4,?，则E(X2)?___________．

?2?n?4,p?1，E(X2)?D(X)?[E(X)]2?np(1?p)?n2p2?5． 219．设E(X)?2，E(Y)?3，E(XY)?7，则cov(X,Y)?___________．

cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?7?2?3?1．

2??cx,?2?x?228．设随机变量X的概率密度为f(x)??，

?0,其他?试求：（1）常数c；（2）E(X)，D(X)；（3）P{|X?E(X)|?D(X)}．

2cx3解：（1）由1??f(x)dx?c?xdx?2c?xdx?3???2022??222?016c3，得c?；(注F(x)为偶函数316才可以这样变换)

33xdx?0， （2）E(X)??xf(x)dx??16?2????23343x5224E(X)??xf(x)dx??xdx?8?xdx?4016???20??222?012， 5D(X)?E(X2)?[E(X)]2?（

12； 53

125）

22212P{|X?E(X)|?D(X)}?P{|X|?}?332x32f(x)dx?xdx??xdx????1．

5?1216?280805 200707

3．设随机变量X～N(1,4)，Y?2X?1，则Y所服从的分布为（ C ） A．N(3,4)

B．N(3,8)

C．N(3,16)

D．N(3,17)

E(Y)?2E(X)?1?3，D(Y)?4D(X)?16，Y～N(3,16)．

7．设X，Y是任意随机变量，C为常数，则下列各式中正确的是（ D ） A．D(X?Y)?D(X)?D(Y) B．D(X?C)?D(X)?C C．D(X?Y)?D(X)?D(Y)

D．D(X?C)?D(X)

??0,x?28．设随机变量X的分布函数为F(x)???x?1,2?x?4，则E(X)?（ D ）

?2??1,x?4A．

13 B．

12 C．

32 D．3

?f(x)?F?(x)??1?2,2?x?4??，E(X)??xf(x)dx?14142?xdx?x2?3．

??0,其他??2429．设随机变量X与Y相互独立，且X～B???36,1?6??，Y～B???12,1?3??，则D(X?Y?1)?（ C A．

4

B．

723263 3 C．

3 D．3 D(X?Y?1)?D(X)?D(Y)?36?15128236?6?12?3?3?5?3?3．

19．已知随机变量X满足E(X)??1，E(X2)?2，则D(X)?___________．

）

D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2?(?1)2?1．

20．设随机变量X，Y的分布列分别为

X 1 2 3 Y P -1 1 20 1 41 1 4， 111 P 623且X，Y相互独立，则E(XY)?___________． 11??111?13?1E(XY)?E(X)E(Y)??1??2??3????1??0??1????．

62??244?24?3?xy,0?x?1,0?y?229．设二维随机向量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??，试求：

0,其他?（1）E(X)，E(Y)；（2）D(X)，D(Y)；（3）?XY．

?y???2x,0?x?1?,0?y?2解：fX(x)??f(x,y)dy??，fY(y)??f(x,y)dx??2．

0,其他??????0,其他???2x32（1）E(X)??xfX(x)dx?2?xdx?3??0????11?02， 3E(Y)????yfT(y)dy???y12ydy?2?601232?04； 31x4223（2）E(X)??xfX(x)dx?2?xdx?2??0222?01， 21?2?1D(X)?E(X)?[E(X)]?????，

2?3?18y41322E(Y)??yfT(y)dy??ydy?208??222??22?2，

02?4?D(Y)?E(Y)?[E(Y)]?2????；

9?3?x322（3）E(XY)???xyf(x,y)dxdy??xdx?ydy?3????00????1210y332?08， 9cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?824???0，?XY?933cov(X,Y)D(X)D(Y)?0．

200710

6．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（ B ） A．E(X)?0.5，D(X)?0.25 C．E(X)?0.5，D(X)?0.5

B．E(X)?2，D(X)?2 D．E(X)?2，D(X)?4

?1?7．设随机变量X服从参数为3的泊松分布，Y～B?8,?，且X，Y相互独立，则D(X?3Y?4)?3??（ C ） A．-13

B．15

C．19

D．23

12D(X?3Y?4)?D(X)?9D(Y)?3?9?8???19．

338．已知D(X)?1，D(Y)?25，?XY?0.4，则D(X?Y)?（ B ） A．6

B．22

C．30

D．46

由?XY?cov(X,Y)D(X)D(Y)，即0.4?cov(X,Y)，得cov(X,Y)?2，所以 5D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)?1?25?2?2?22．

17．随机变量X的所有可能取值为0和x，且P{X?0}?0.3，E(X)?1，则x? ____________．

由P{X?0}?0.3，可得P{X?x}?0.7，又由1?E(X)?0?0.3?x?0.7，可得x?

18．设随机变量X的分布律为

则D(X)?____________．

X P

-1 0.1

0 0.2

1 0.3

2 0.4

10． 7E(X)?(?1)?0.1?0?0.2?1?0.3?2?0.4?1， E(X2)?(?1)2?0.1?02?0.2?12?0.3?22?0.4?2， D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2?12?1．

19．设随机变量X服从参数为3的指数分布，则D(2X?1)?____________．

D(2X?1)?4D(X)?4?14?． 293?x?,0?x?229．设随机变量X的概率密度为f(x)??2．

?0,其他?试求：（1）E(X)，D(X)；（2）D(2?3X)；（3）P{0?X?1}．

x2x3dx?解：（1）E(X)??xf(x)dx??26??0??2204x3x422?，E(X)??xf(x)dx??dx?328??0??22?2，

02?4?D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2????；

9?3?（2）D(2?3X)?9D(X)?9?1122?2； 91（3）P{0?X?1}??0xx2f(x)dx??dx?240?01． 4 200801

?1?7．设X～B?10,?，则E(X)?（ C ）

?3?A．

1 3 B．1 C．

10 3 D． 10

E(X)?10?110?． 338．设X～N(1,32)，则下列选项中，不成立的是（ B ） ．．．A．E(X)?1

B．D(X)?3

C．P{X?1}?0

D．P{X?1}?0.5

D(X)?32?3．

18．设X～N(?1,4)，Y～N(1,9)，且X与Y相互独立，则X?Y～___________．

E(X?Y)?E(X)?E(Y)??1?1?0，D(X?Y)?D(X)?D(Y)?4?9?13，X?Y～

N(0,13)．

20．设随机变量X具有分布P?X?k??1，k?1,2,3,4,5，则E(X)?___________． 511111E(X)?1??2??3??4??5??3．

5555511?2??． 2221．设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，Y?3X?2，则E(Y)?___________．

E(Y)?3E(X)?2?3?

200804

6．设E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)及cov(X,Y)均存在，则D(X?Y)?（ C ） A．D(X)?D(Y)

B．D(X)?D(Y)

D．D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)

C．D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)

D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)．

?1?7．设随机变量X～B?10,?，Y～N(2,10)，又E(XY)?14，则X与Y的相关系数?XY??2?（ D ） A．?0.8

B．?0.16

C．0.16

D．0.8

E(X)?10?1115?5，E(Y)?2，D(X)?10???，D(Y)?10， 2222D(X)D(Y)?14?5?25?102?4?0.8． 5?XY?E(XY)?E(X)E(Y)

8．已知随机变量X的分布律为

且E(X)?1，则常数x?（ B ） A．2

由

B．4

C．6

D．8

P X

?2

1/4

1 p

x

1/4

111111?p??1，得p?；由1?E(X)?(?2)??1??x?，得x?4． 442424X P

21．已知随机变量X的分布律为

则P?X?E(X)??___________．

?1

0.5

0 0.3

5 0.2

E(X)?(?1)?0.5?0?0.3?5?0.2?0.5，

P?X?E(X)??P?X?0.5??1?P{X?0.5}?1?P{X?5}?1?0.2?0.8．

22．已知E(X)??1，D(X)?3，则E(3X2?2)?___________．

由D(X)?E(X2)?[E(X)]2，即3?E(X2)?1，E(X2)?4，

E(3X2?2)?3E(X2)?2?3?4?2?10．

23．设X1，X2，Y均为随机变量，已知cov(X1,Y)??1，cov(X2,Y)?3，则

covX(1?2X2,Y)?___________．

cov(X1?2X2,Y)?cov(X1,Y)?2cov(X2,Y)??1?2?3?5．

28．设二维随机变量(X,Y)的分布律为

X

0 1 Y 0 0.1 0.2

1 0.2

2 0.1

? ?

且已知E(Y)?1，试求：（1）常数?，?；（2）E(XY)；（3）E(X)． 解：（1）Y的分布律为

Y P

0 0.3

1 0.2+?

2 0.1+?

?0.3?0.2???0.1???1由题意，有?，解得????0.2；

0?0.3?1?(0.2??)?2?(0.1??)?1?（2）E(XY)?0?0?0.1?0?1?0.2?0?2?0.1?1?0?0.2?1?1?0.2?1?2?0.2?0.6； （3）X的分布律为

X P

E(X)?0?0.4?1?0.6?0.6．

0 0.4

1 0.6

200807

8．已知随机变量X服从参数为2的指数分布，则随机变量X的期望为（ C ） A． ?1 2 B．0 C．

1 2 D．2

X～E(2)，E(X)?1． 2?1?19．设X～N(0,1)，Y～B?16,?，且两随机变量相互独立，则D(2X?Y)?

?2?________________．

11D(2X?Y)?4D(X)?D(Y)?4?1?16???8．

22ak27．设随机变量X只取非负整数值，其概率为P{X?k}?，其中a?2?1，试k?1(1?a)求E(X)及D(X)． 解：记x?2?1xk?12?1k?1a，则x?，P{X?k}?x?x，k?0,1,2,?，

21?a22k?0?kxk?1??2???????k??1?1???x???2， ?????21?x(1?x)???k?0????????k????k?1????k??x?1???????kx?xkx?xx???2， ???????????21?x?(1?x)?k?0??k?0??k?0??k?0?kxk?1E(X)?2?1??k?1?kx?2k?02?1?2?2?1， 22?1??2k?12?1E(X)?kx??2?2?1， ?2k?022D(X)?E(X2)?E2(X)?2?1?(2?1)2?2?2．

29．2008年北京奥运会即将召开，某射击队有甲、乙两个射手，他们的射击技术由下表给出．其中X表示甲射击环数，Y表示乙射击环数，试讨论派遣哪个射手参赛比较合理？

X P

解：E(X)?8?0.4?9?0.2?10?0.4?9，E(Y)?8?0.1?9?0.8?10?0.1?9，

8 0.4 9 0.2 10 0.4

Y P 8 0.1 9 0.8 10 0.1 E(X2)?82?0.4?92?0.2?102?0.4?81.8，E(Y)?82?0.1?92?0.8?102?0.1?81.2， D(X)?E(X2)?E2(X)?81.8?92?0.8，D(Y)?E(Y2)?E2(Y)?81.2?92?0.2．

E(X)?E(Y)，D(X)?D(Y)，派遣射手乙参赛比较合理．

200810

Y~N(2,9)，7．设随机变量X和Y相互独立，且X~N(3,4)，则Z?3X?Y~（ C ）

A．N(7,21) B．N(7,27)

C．N(7,45) D．N(11,45)

19．设二维随机变量(X,Y)的分布律为

Y X 1 2 0 16 26 1 26 16 则E(XY)?__2/3_____.

X -1 1 2E(X)=__1_____. 12X20．设随机变量的分布律为 ，则P 33

21．设随机变量X与Y相互独立，且D(X)?0,D(Y)?0，则X与Y的相关系数?XY?_0_____.（此为定理）

29．设连续型随机变量X的分布函数为

x?0,?0,?xF(x)??0?x?8,8?x?8.?1,

D(X)??P?X?E(X)??f(x)E(X),D(X)8??. 求：（1）X的概率密度；（2）；（3）

200901

D(X)?1?7．设X～B?10,?，则?（ B ）

3E(X)??A．

1 3 B．

2 3 C．1 D．

10 3D(X)npq2??q?． E(X)np3?1?e?2x,x?08．已知随机变量X的分布函数为F(x)??，则X的均值和方差分别为

?0,x?0（ D ）

A．E(X)?2，D(X)?4 C．E(X)?

B．E(X)?4，D(X)?2

1111，D(X)? D．E(X)?，D(X)? 4224111X～E(2)，E(X)?，D(X)?2?．

422120．设随机变量X具有分布P{X?k}?，k?1,2,3,4,5，则D(X)?___________．

511E(X)?(1?2?3?4?5)??3，E(X2)?(1?4?9?16?25)??11，

55

D(X)?E(X2)?[E(X)]2?11?9?2．

21．若X～N(3,0.16)，则D(X?4)?___________．

D(X?4)?D(X)?0.16．

29．已知随机变量X，Y的相关系数为?XY，若U?aX?b，V?cY?d，其中ac?0． 试求U，V的相关系数?UV．

解：cov(U,V)?cov(aX?b,cY?d)?accov(X,Y)，

D(U)?D(aX?b)?a2D(X)，D(V)?D(cY?d)?c2D(Y)，

?UV?cov(U,V)D(U)D(V)?accov(X,Y)acD(X)D(Y)?cov(X,Y)D(X)D(Y)??XY

200904

7．设二维随机变量(X,Y)的分布律为

Y0

1 1/3 0

X

则E(XY)?（ B ） A．?1 91 90 1 1/3 1/3 1D．

3 B．0 C．

E(XY)?0?0?111?0?1??1?0??1?1?0?0． 3331??19．设随机变量X～B?18,?，则D(X)?____________．

3??12D(X)?18???4．

33?2x,0?x?120．设随机变量X的概率密度为f(x)??，则E(X)?___________．

0,其他?2x32E(X)??xf(x)dx??2xdx?3??0??11?02． 321．已知E(X)?2，E(Y)?2，E(XY)?4，则X，Y的协方差cov(X,Y)?____________．

cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?4?2?2?0．

29．设离散型随机变量X的分布律为

X 0 1

P p1 p2

且已知E(X)?0.3，试求：（1）p1，p2；（2）D(?3X?2)． 解：X～B(1,p2)，所以E(X)?p2，D(X)?p1p2． （1）由E(X)?p2，得p2?0.3，p1?1?p2?1?0.3?0.7；

（2）由D(X)?p1p2?0.7?0.3?0.21，得D(?3X?2)?9D(X)?9?0.21?1.89．

200907

8．已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量X的方差为（ D ） A．?2

B．0

C．

1 2 D．2

D(X)?2．

19．设X～N(0,1)，Y?2X?3，则D(Y)?____________．

D(Y)?4D(X)?4．

27．设(X,Y)服从在区域D上的均匀分布，其中D为x轴、y轴及x?y?1所围成，求X与Y的协方差cov(X,Y)．（此即P.106例4-29） 解：D的面积等于

?2,(x,y)?D1，所以f(x,y)??． 2?0,(x,y)?D?1?x21?x),0?x?1?2dy,0?x?1?（fX(x)??f(x,y)dy?????0?0,其他????0,其他??

21?y),0?y?1?（，同理fY(y)??，

?0,其他??10E(X)????xfX(x)dx??2x(1?x)dx

1?22x3?112??，同理E(Y)?， ??(2x?2x)dx??x??33???0301???dx??xy2E(XY)???xyf(x,y)dxdy???2xydy???????0?00?????11?x1?x011dx??(x?2x2?x3)dx

0?x22x3x4?1??， ?????234???0121cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?1111????． 123336 200910

?1?7．设随机变量X与Y相互独立，X～E(2)，Y～B?6,?，则E(X?Y)?（ A ）

?2?A．?5 2 B．

1 2 C．2 D．5

E(X?Y)?E(X)?E(Y)?8．设cov(X,Y)?A．

1 216115?6???． 222

1，且D(X)?4，D(Y)?9，则X与Y的相关系数?XY为（ B ） 611 B． C． D．1

636?1/61?． 2?336?XY?cov(X,Y)D(X)D(Y)23．设随机变量X与Y相互独立，其分布律分别为

0

X

3

Y

2

P

0

P

1 32 31 21 2则E(XY)?________．

12??11??E(XY)?E(X)E(Y)??0??3????0??2???2?1?2．

33??22??24．设X，Y为随机变量，已知协方差cov(X,Y)?3，则cov(2X,3Y)?________．

cov(2X,3Y)?2?3?cov(X,Y)?2?3?3?18． ?ax?b,28．X的概率密度为f(x)???0,0?x?1,其他，且E(X)?7．求：（1）常数a,b；（2）D(X)． 12??解：（1）由

?ax?a??f(x)dx?(ax?b)dx??bx??b?1，以及 ???2?2??0??011121?ax3bx2?1ab72????，可得a?1，b?； E(X)??xf(x)dx??(ax?bx)dx????322???03212??0?x4x3?125223??， （2）E(X)??xf(x)dx??(x?x)dx????426???012??05?7?11D(X)?E(X2)?E2(X)?????

12?12?1442????11201001

8．设随机变量X具有分布P{X?k}?A．2

B．3

1，k?1,2,3,4,5，则E(X)?（ B ） 5

C．4

D．5

E(X)?1?11111?2??3??4??5??3．同08年1月第20题． 555553?5?4?12??8． 219．设X服从正态分布N(2,4)，Y服从均匀分布U(3,5)，则E(2X?3Y)?__________．

E(2X?3Y)?2E(X)?3E(Y)?2?2?3?27．已知D(X)?9，D(Y)?4，相关系数?XY?0.4，求D(X?2Y)，D(2X?3Y)． 解：由?XY?cov(X,Y)D(X)D(Y)，即0.4?cov(X,Y)，得cov(X,Y)?2.4，

3?2D(X?2Y)?D(X)?D(2Y)?2cov(X,2Y)?D(X)?4D(Y)?4cov(X,Y)

?9?4?4?4?2.4?34.6，

D(2X?3Y)?D(2X)?D(?3Y)?2cov(2X,?3Y)?4D(X)?9D(Y)?12cov(X,Y)

?4?9?9?4?12?2.4?43.2．

29．某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X～P(?)，已知P{X?1}?P{X?2}，且该柜台销售情况Y（千元），满足Y?12（1）参数?的值；（2）一小时内X?2．试求：

2至少有一个顾客光临的概率；（3）该柜台每小时的平均销售情况E(Y)．（只是第三问属于本章）

解：X的分布律为P{X?k}??kk!e??，k?0,1,2,?．

??（1）由P{X?1}?P{X?2}，即?e??22e??，得??2，X～P(2)；

（2）所求概率为P{X?1}?1?P{X?0}?1?e?2；

（3）由X～P(2)，得E(X)?D(X)?2，E(X2)?D(X)?E2(X)?2?4?6，

E(Y)?11E(X2)?2??6?2?5． 22 201004

7．设随机变量X服从参数为A．

1 41的指数分布，则E(X)?（ C ） 2

C．2

D．4

B．

1 2??11，则E(X)??2． 2?8．设X与Y相互独立，且X～N(0,9)，Y～N(0,1)，令Z?X?2Y，则D(Z)?（ D ） A．5

B．7

C．11

D．13

D(Z)?D(X)?4D(Y)?9?4?1?13．

9．设(X,Y)为二维随机变量，且D(X)?0，D(Y)?0，则下列等式成立的是（ B ） A．E(XY)?E(X)?E(Y)

B．Cov(X,Y)??XY?D(X)?D(Y) D．Cov(2X,2Y)?2Cov(X,Y)

C．D(X?Y)?D(X)?D(Y)

由?XY的定义可得．

18．设随机变量X的期望E(X)?2，方差D(X)?4，随机变量Y的期望E(Y)?4，方差

D(Y)?9，又E(XY)?10，则X，Y的相关系数??_________．

??E(XY)?E(X)E(Y)D(X)D(Y)?10?2?44?9?1． 3?1?19．设随机变量X服从二项分布B?3,?，则E(X2)?_________．

?3?1E(X)?np?3??13E(X2)?D(X)?E2(X)?，

122D(X)?npq?3???333，

25?1?． 33?A,?2?x?2;28．设随机变量X的概率密度为f(x)??

0,其他.?

求?XY．

0 1 0.1 0.3 0.1 0.2 0.2 0.1 解：E(X)?0.6，E(Y)?0.9，E(X2)?0.6，E(Y2)?1.5，E(XY)?0.4，

D(X)?E(X2)?E2(X)?0.6?(0.6)2?0.24， D(Y)?E(Y2)?E2(Y)?1.5?(0.9)2?0.69，

cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.4?0.6?0.9??0.14，

?XY?cov(X,Y)D(X)D(Y)??0.140.24?0.69??0.14??0.34． 0.41 201110

8．设X为随机变量，E(X)?2，D(X)?5，则E(X?2)2?（ D ） A．4

B．9

C．13

D．21

E(X2)?D(X)?E2(X)?5?4?9，

E(X?2)2?E(X2?4X?4)?E(X2)?4E(X)?4?9?4?2?4?21．

14．设随机变量X～N(1,1)，为使X?C～N(0,1)，则常数C?___________． 由E(X?C)?E(X)?C?1?C?0，得C??1．

16．设随机变量X的分布律为

X P ?1 0.5 1 0.5 则E(X2)?___________．

E(X2)?(?1)2?0.5?12?0.5?1．

17．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则E(2X)?___________．

E(2X)?2E(X)?2?2?4．

18．设随机变量X～N(1,4)，则D(X)?___________．

D(X)?4．

29．设随机变量X的分

X 0 1 2

布律为

P 0.5 0.4 0.1

记Y?X2，求：（1）D(X)，D(Y)；（2）cov(X,Y)．

解：E(X)?0?0.5?1?0.4?2?0.1?0.6，E(X2)?02?0.5?12?0.4?22?0.1?0.8，

E(X3)?03?0.5?13?0.4?23?0.1?1.2，E(X4)?04?0.5?14?0.4?24?0.1?2，

（1）D(X)?E(X2)?E2(X)?0.8?(0.6)2?0.44，

D(Y)?D(X2)?E(X4)?E2(X2)?2?(0.8)2?1.36；

（2）cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?E(X3)?E(X)E(X2)?1.2?0.6?0.8?0.72．

201201

8．设随机变量X～N(?1,3)，Y～N(1,2)，且X与Y相互独立，则X?2Y～（ B ） A．N(1,10)

B．N(1,11)

C．N(1,5)

D．N(1,7)

E(X?2Y)?E(X)?2E(Y)??1?2?1?1，D(X?2Y)?D(X)?4D(Y)?3?4?2?11，

X?2Y～N(1,11)．

9．设随机变量X服从参数为p的两点分布，若随机变量X取1的概率p为它取0的概率q的3倍，则方差D(X)?（ A ） A．

3 16 B．

1 4 C．

3 4 D．3

由p?3q，即p?3(1?p)，得p?331，q?，D(X)?pq?． 416419．设随机变量X服从[2,5]上的均匀分布，则E(X)?__________．

E(X)?2?5?3.5． 220．设X,Y为随机变量，已知D(X)?4，D(Y)?9，cov(X,Y)?5，则D(X?Y)?_____．

D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)?4?9?2?5?23．

?ax,0?x?23?29．设随机变量X的概率密度为f(x)??cx?b,2?x?4，已知E(X)?2，P{1?X?3}?．

4?0,其他?求：（1）常数a,b,c；（2）E(eX)．（缺答案）

?cx2?ax2??2a?2b?6c?1， 解：（1）?f(x)dx??axdx??(cx?b)dx????bx??20?2?2??02?cx3bx2?ax85622??a?6b?c?2， E(X)??xf(x)dx??axdx??(cx?bx)dx????30?2?3?3?23??023??24324??2424P{1?X?3}??1?cx2?ax2353??a?b?c?， f(x)dx??axdx??(cx?b)dx????bx?21?24?2?22122323??2a?2b?6c?1?2a?2b?6c?1?5611?8?c?2，即?8a?18b?56c?6，得a?，b?1，c??． 解方程组?a?6b?344?3?6a?4b?10c?3?53?3a?b?c??24?2 201204

7．设随机变量X~B(n,p)，且E(X)?2.4,D(X)1.44?A．4和0.6

C.8和0.3

B.6和0.4 D.3和0.8

，则参数n,p的值分别为( B )

8．设随机变量X的方差D(X)存在，且D(X)>0，令Y??X，则?X??( A ) A．?1 B.0

C.1 D.2 注：很明显X和Y为负相关的线性关系。

19．设随机变量X服从参数为3的泊松分布，则E?X?3??__0____．

20．设随机变量X的分布律为 ，a,b为常数，且E(X)=0，则a?b=___0.2___．

28．设随机变量X与Y相互独立，且都服从标准正态分布，令??X?Y,??X?Y． 求：(1)E(?),E(?),D(?),D(?)； (2)???．

201207

6. 设离散随机变量X的分布列为，

X P 2 0.7 3 0.3 则D（X）＝（ C ） A. 0.21 C. 0.84

B. 0.6 D. 1.2

27. 设二维随机向量（X,Y）~N(μ1，μ2，?1的是（ D ） ,?22,?)，则下列结论中错误．．

2A. X~N（?1,?1），Y~N（?2,?22）

B. X与Y相互独立的充分必要条件是ρ=0 C. E（X+Y）=?1??2

2D. D（X+Y）=?12??2

8. 设二维随机向量（X，Y）～N（1，1，4，9，），则Cov（X，Y）＝（ B ）

A. C. 18

18. 设随机变量X的概率密度为f(x)=

12?e?x221212B. 3 D. 36

,???x???，则E(X+1)=____1________.

20. 设随机变量X与Y相互独立，且D(X)=2,D(Y)=1,则D(X-2Y+3)=____6_______.

201210

4.设随机变量X服从参数为2的指数分布，则E(2X－1)=A A.0 B.1 C.3 D.4 5.设二维随机变量(X，Y)的分布律

则D(3X)=B A.

2 9B.2

C.4 D.6 19.设随机变量X～U(-1，3)，则D(2X-3)=___16/3______. 20.设二维随机变量(X，Y)的分布律 Y -1 1 X -1 1 则E(X2+Y2)=____2______.

27.已知二维随机变量(X，Y)的分布律 Y -1 X 0 0.3 1 0.1 求：(1)X和Y的分布律；(2)Cov(X，Y). 0.25 0.25 0.25 0.25 0 0.2 0.3 1 0.1 0

201301

解：若X~P(?)，则E(X)?D(X)??，故 D。

解：由方差的性质和二项分布的期望和方差：

1512D(X?Y?1)?D(X)?D(Y)?36???9???5?2?7

6633选A。

121C解：E(X)??2??1??C???1，所以C?4。

4444

解：D(X)?E(X2)?E(X)2?E(X2)=D(X)+E(X)2=4

所以E(3X2?2)?3E(X2)?2?10。

解：E(X)?8?0.4?9?0.2?10?0.4?9

E(Y)?8?0.1?9?0.8?10?0.1?9

由此可见甲乙射击的平均环数是相同的。

D(X)?E[X?E(X)]2?1?0.4?0?1?0.4?0.8 D(Y)?E[Y?E(Y)]2?1?0.1?0?1?0.1?0.2

从方差上看，乙的射击水平更稳定，所以选派乙去参赛。

201304

6.设随机变量X的分布律为

X ﹣2 0 2 P 0.4 0.3 0.3

则E（X）=（ ）

A.﹣0.8 B.﹣0.2 C.0 D.0.4 【答案】B

【解析】E（X）=（﹣2）×0.4+0×0.3+2×0.3＝﹣0.2 故选择B.

的分布律为

【提示】1.离散型一维随机变量数学期望的定义：设随机变量 若级数

，

1，2，?.

的数学期望为

绝对收敛，则定义

.

2.数学期望的性质： ①E（c）=c，c为常数；

②E（aX）=aE（x），a为常数；

③E（X+b）=E（X+b）=E（X）+b，b为常数； ④E（aX+b）=aE（X）+b，a，b为常数.

7.设随机变量X的分布函数为 ，则E（X）=（ ）

A. B. C. D. 【答案】C

【解析】根据连续型一维随机变量分布函数与概率密度的关系得

，

所以，=，故选择C. 【提示】1.连续型一维随机变量概率密度的性质 ① ② ③

;

;

;

④ ⑤设x为

的连续点，则

；

存在，且

.

，如

2.一维连续型随机变量数学期望的定义：设连续型随机变量X的密度函数为果广义积分

绝对收敛，则随机变量

的数学期望为

.

17.设C为常数，则C的方差D （C）=_________. 【答案】0

【解析】根据方差的性质，常数的方差为0. 【提示】1.方差的性质 ①D （c）=0，c为常数；

2

②D （aX）=aD （X），a为常数； ③D （X+b）=D （X），b为常数；

2

④D （aX+b）= aD （X），a，b为常数.

22

2.方差的计算公式：D （X）=E （X）－E （X）.

-2x

18.设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E （e）= ________.

【答案】

1的指数分布，则

【解析】因为随机变量X服从参数

则

，

故填写.

，

【提示】连续型随机变量函数的数学期望：设X为连续性随机变量，其概率密度为又随机变量

，则当

收敛时，有

29.设随机变量X与Y相互独立，X～N（0,3），Y～N（1,4）.记Z=2X+Y，求 （1）E（Z），D（Z）；（2）E（XZ）；（3）PXZ.

【分析】本题考察随机变量的数字特征.

【解析】

（1）因为X～N（0,3），Y～N（1，4），Z=2X+Y，所以 E（Z）=E（2X+Y）=2E（X）+E（Y）=1 D（Z）=D（2X+Y）=4D（X）+D（Y）=16 （2） 而随机变量

所以 E（XZ）=6. （3）因为

，所以

与

相互独立，

.

201307

第五章 大数定律及中心极限定理 200704 200707

21．将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为___________．（附：?(2)?0.9772）

设正面出现的次数为X，则n?100，p?0.5，q?0.5，X近似服从N(np,npq)，即

?60?50?N(50,25)，P{X?60}?1?????1??(2)?1?0.9772?0.0228．

?5? 200710

23．设随机变量序列X1,X2,?,Xn,?独立同分布，且E(Xi)??，D(Xi)??2?0，

?n???Xi?n????i?1,2,?，则对任意实数x，limP?i?1?x??____________． n????n??????n??n?X?n??i????Xi?n???i?1????x???(x)，得limP?i?1由limP??x??1??(x)． n??n??n?????n????????? 200801

?0,事件A不发生(i?1,2?,10000)，且P(A)?0.8，X1,X2,?,X10000相互独立，9．设Xi??1,事件A发生?

10000令Y??Xi，则由中心极限定理知Y近似服从的分布是（

i?1D ）

D．N(8000,1600))

A．N(0,1) B．N(8000,40) C．N(1600,8000)

n?10000，p?0.8，q?0.2，Y近似服从N(np,npq)，即N(8000,1600)．

22．设随机变量X的E(X)??，D(X)??2，用切比雪夫不等式估计P{|X?E(X)|?3?}? ___________．

?218P{|X?E(X)|?3?}?1??1??1??． 2299(3?)(3?)D(X) 200804 200807

?11?20．设随机变量X～U(0,1)，用切比雪夫不等式估计P?|X?|? ??________________．

23??E(X)?D(X)111，D(X)?，??，由切比雪夫不等式，有P{|X?E(X)|??}?，212?231?11?121即P?|X?|???1?．

243??3 200810

22．设随机变量X~B(100,0.8)，由中心极限定量可知，

P?74?X?86??_0.8664______.(Φ(1.5)=0.9332)

解：EX=100*0.8=80 DX=100*0.8*0.2=16 P{74＜X≤86}=P ((74-80)/4<(X-80)/4≤(86-80)/4)

=P(-1.5<(X-80)/4≤1.5) ≈2Φ(1.5)-1=0.8664

200901

9．设随机变量X的E(X)??，D(X)??2，用切比雪夫不等式估计P{|X?E(X)|?3?}?（ C ） A．

1 9 B．

1 3D(X) C．

8 9 D．1

?218?1??1??． P{|X?E(X)|?3?}?1?99(3?)29?2?0,事件A不发生22．设Xi??（i?1,2,?,100），且P(A)?0.8，X1,X2,?,X100相互独立，

1,事件A发生?令Y??Xi，则由中心极限定理知Y近似服从于正态分布，其方差为___________．

i?1100i?1100Xi～B(1,0.8)，Y??Xi～B(100,0.8)，?2?D(X)?100?0.8?0.2?16．

200904

22．设随机变量X～B(100,0.2)，应用中心极限定理计算P{16?X?24}?_____________． （附：?(1)?0.8413）

??E(X)?100?0.2?20，?2?D(X)?100?0.2?0.8?16，X近似服从N(20,16)，

?24?20??16?20?P?16?X?24??????????2?(1)?1?2?0.8413?1?0.6826．

?4??4? 200907

9．设?n是n次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，

???则对于任意的??0，均有limP?n?p???（ A ）

n???n?A．=0

B．=1

C．> 0

D．不存在

???limP?n?p????0． n???n?

200910 201001

20．设?n为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意的??0,limP{|n???nn?p|??}=___________．

n??limP{|?nn?p|??}?1．

201004

20．设随机变量X～B(100,0.5)，应用中心极限定理可算得P{40?X?60}?_________． （附：?(2)?0.9772）

??E(X)?100?0.5?50，?2?D(X)?100?0.5?0.5?25，

?60?50??40?50?P{40?X?60}??????????(2)??(?2)?2?(2)?1

?5??5??2?0.9772?1?0.9544．

201007

9．设X服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P{|X?2|?3}?（ A ） A．

4 9

1B．

3 C．

1 2 D．1

11?4，??3，由切比雪夫不等式有?2，D(X)?0.50.52D(X)4P{|X?E(X)|??}?2，即P{|X?2|?3}?．

9?E(X)?20．设X1,X2,?,Xn是独立同分布随机变量序列，具有相同的数学期望和方差E(Xi)?0，

D(Xi)?1，则当n充分大的时候，Zn?1n． ?Xi的分布近似服从________（标明参数）

i?1n1n1D(Z)?D(X)??n?1，Zn近似服从N(0,1)． E(Zn)?E(X)?0，??niinnni?1i?11n 201010

???Zn?np??x??（ B ） 9．设Zn～B(n,p)，n?1,2,?，其中0?p?1，则limP?n???np(1?p)???xA．?01?2edt 2?t2xB．

???1?2edt 2?x??t20C．

t2???1?2edt 2?t2??D．

???1?2edt 2?t2???Z?np?limP?n?x???(x)?n???np(1?p)????1?2edt． 2?D(Xn)??2，23．设X1,X2,?,Xn,?是独立同分布的随机变量序列，E(Xn)??，n?1,2,?，

?n?X?n??i???i?1?则limP??0??_________． n??n????????n?X?n???i??i?1?limP??0???(0)?0.5． n??n??????? 201101

9．设Xn为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，

?X?则对任意的??0，limP?n?p????（ A ）

n???n?A．0

B．?

C．p

D．1

?X??X?由大数定律limP?n?p????1，可得limP?n?p????0．

n??n???n??n?22．设随机变量X～N(2,4)，利用切比雪夫不等式估算概率P{|X?2|?3}?_________．

E(X)?2，D(X)?4，??3，由P{|X?E(X)|??}?D(X)?2，得P{|X?2|?3}?4． 9

201104

19．设随机变量X1,X2,?,Xn,?相互独立同分布，且E(Xi)??，D(Xi)??2，i?1,2,?，

?n?X?n???i??i?1??0??______． 则limP?n??n????????X???limP??0??1??(0)?0.5． n????/n? 201107

21．设随机变量X的数学期望E(X)与方差D(X)都存在，且有E(X)?10，E(X2)?109，试由切比雪夫不等式估计P{|X?10|?6}?_________．

D(X)?E(X2)?E2(X)?109?100?9，P{|X?10|?6}?D(X)91??． 36462 201110

9．设随机变量X1,X2,?,X100独立同分布，E(Xi)?0，D(Xi)?1，i?1,2,?,100，则由

?100?中心极限定理得P??Xi?10?近似于（ B ）

?i?1?A．0

B．?(1)

C．?(10)

D．?(100)

100?100?100?100?100E???Xi????E(Xi)?0，D???Xi????D(Xi)?100，?Xi近似服从N(0,100)，

i?1?i?1?i?1?i?1?i?1?100??10?0?P??Xi?10???????(1)．

10???i?1?19．设E(X)?0，D(X)?0.5，则由切比雪夫不等式得P{|X|?1}?___________．

P{|X|?1}?P{|X?E(X)|?1}?D(X)?0.5． 12

201201

?11?21．设随机变量X～U(0,1)，用切比雪夫不等式估计P?X????__________．

23??E(X)?D(X)1/121111，D(X)?，??，P{|X?E(X)|??}?2??．

1/34212?322．设随机变量X1,X2,?,Xn,?，相互独立且均服从参数为??0的泊松分布，则当n充分大时，Y??Xi近似地服从__________分布．

i?1nnnnn E(Y)??E(Xi)????n?，D(Y)??D(Xi)????n?，Y近似地服从N(n?,n?)．

i?1i?1i?1i?1 201204

21．设随机变量X~N(1，1)，应用切比雪夫不等式估计概率PX?E(X)≥2?≤_0.25_____.

? 201207

9. 设随机变量X1，X2，?，Xn，?独立同分布，且i=1，2?，0

2，?.Φ（x）为标准正态分布函数，则 令Yn??Xi,n?1，i?1n???Yn?np?limP??1??（ B ） n???np(1?p)???A. 0

C. 1－Φ（1） B. Φ（1） D. 1

?1,事件A发生；10. 设Ф(x)为标准正态分布函数，Xi=?i=1，2，?，100，且

?0,事件A不发生，P(A)=0.8,X1,X2,?,X100相互独立。令Y=?Xi，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于

i?1100（ B ） A. Ф(y)

B. Ф(y?80) 4 C. Ф(16y+80) D. Ф(4y+80)

201210

6.设X1，X2，?，Xn?为相互独立同分布的随机变量序列，且E(X1)=0，D(X1)=1，则

?n?limP??Xi?0??n???i?1? C

A.0 B.0.25

C.0.5 D.1

21.设m为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p为事件A的概率，则对任意正数ε，有limP?n???m??p???=_____1_______. ?n? 201301

解：由切比雪夫不等式P{|X?E(X)|??}?1?P{7800?X?8200}?P{|X?8000|?200}?1?D(X)?2，可得

1600?0.96 2200选C。

201304

19.设随机变量X～B （100，0.5），则由切比雪夫不等式估计概率________.

【答案】

，

，所以

【解析】由已知得

.

【提示】切比雪夫不等式：随机变量

，总有

具有有限期望和，则对任意给定的

或.

故填写

.

201307

第六章 统计量及其抽查分布 200704

20．设总体X～N(0,1)，x1,x2,?,xn为来自该总体的样本，则统计量?xi2的抽样分布为

i?1n___________．

?2(n)．

1n21．设总体X～N(1,?)，x1,x2,?,xn为来自该总体的样本，x??xi，则

ni?12E(x)?___________．

1nE(x)??E(xi)?1．

ni?1 200707

6．设随机变量X～?2(2)，Y～?2(3)，且X，Y相互独立，则A．F(2,2)

B．F(2,3)

3X所服从的分布为（ B ） 2YC．F(3,2) D．F(3,3)

X～?2(2)，Y～?2(3)，且X与Y独立，则

3XX/2～F(2,3)． ?2YY/323．设总体X服从正态分布N(?,?2)，X1,X2,?,Xn为来自该总体的一个样本，令

U?n(X??)?n，则D(U)?___________．

D(U)??2D(X)?n?2??2n?1．

200710

1424．设总体X～N(?,?），x1,x2,x3,x4为来自总体X的样本，且x??xi，则

4i?12?(xi?x)2i?14?2服从自由度为____________的?2分布．

?(xi?x)2i?14?2?(n?1)S2?2，自由度为n?1?3．

200801

110．设X1,?,Xn为正态总体N(?,?)的样本，记S?n?12

2?(xi?x)2，则下列选项中

i?1n正确的是（ A ） A．

(n?1)S2?2~?(n?1)

2 B．

(n?1)S2?S22~?2(n)

C．(n?1)S~?(n?1)

22 D．

?2~?2(n?1)

23．当随机变量F～F(m,n)时，对给定的?（0???1） ，P(F?Fa(m,n))??，若F～

F(10,5)，则P(F?1)?___________．

F0.95(5,10)F～F(10,5)，则

111～F(5,10)，P(F?)?P(?F0.95(5,10))?0.95．

F0.95(5,10)FF

200804

10．设x1,x2,?,xn与y1,y2,?,yn分别是来自总体N(?1,?2)与N(?2,?2)的两个样本，

12它们相互独立，且x，y分别为两个样本的样本均值，则x?y所服从的分布为（ A ） A．N(?1??2,(11?)?2) n1n2

B．N(?1??2,(11?)?2) n1n2C．N(?1??2,(11?)?2) 22n1n2

D．N(?1??2,(11?)?2) 22n1n2D(x?y)?D(x)?D(y)??2n1??2?11?2?????． ?n2?n1n2?? 200807

9．设X1,X2,?,Xn是来自总体N(?,?2)的样本，对任意的??0，样本均值X所满足的切比雪夫不等式为（ B ） A．P{|X?n?|??}?n?2?2

?2B．P{|X??|??}?1?

n?2D．P{|X??|??}?C．P{|X??|??}?1?n?2?2

n?2?2

E(X)??，D(X)??2n，由切比雪夫不等式，有P{|X?E(X)|??}?1?D(X)?2，即

?2P{|X??|??}?1?2．

n?24．设总体X服从正态分布N(?1,?2)，总体Y服从正态分布N(?2,?2)，X1,X2,?,Xn和

Y1,Y2,?,Ym分别是来自总体

X和Y的简单随机样本，则

m?n22?(X?X)?(Y?Y)?i??i?i?1i?1??________________．E?（不用计算太复杂，直接把分子变换??n?m?2????成以方差来表示然后求期望）

?(Xi?X)由P.140定理6-4可知，

i?1n2?2～?2(n?1)，

?(Yi?Y)2i?1m?2～?2(m?1)，

?n?m2?2?(X?X)(Y?Y)??i???i?i?1i?1??n?1，E???m?1， 所以（由P.137）E?22??????????????(注：

分布的期望等于自由度，方差等于2倍自由度)

?n?m?2?2从而E??(Xi?X)??(n?1)?，E??(Yi?Y)2??(m?1)?2，

?i?1??i?1?m?n22???(Xi?X)??(Yi?Y)?(n?1)?2?(m?1)?2i?1??E?i?1??2．

??n?m?2n?m?2????解法二：Xi～N(?1,?2)，E(Xi2)?D(Xi)?E2(Xi)??2??12，

X～N(?1,?2n)，E(X)?D(X)?E(X)?22?2n??12，

n2?2?n?n22?2?E??(Xi?X)??E?X?nX?E(X)?nE(X) i??i???i?1??i?1?i?1?n(???221)?n(?2n??12)?(n?1)?2，

?m?同理可得E??(Yi?Y)2???(m?1)?2，

?i?1?m?n22?(X?X)?(Y?Y)?i??i?(n?1)?2?(m?1)?2i?1i?1??E???2． ??n?m?2n?m?2???? 200810

8．设总体X的分布律为P?X?1??p，P?X?0??1?p，其中0?p?1.设X1,X2,?,Xn为来自总体的样本，则样本均值X的标准差为 （ A ）

A．C．

p(1?p)n np(1?p)p(1?p)nB．

D．np(1?p)

229．设随机变量X~N(0,1),Y~N(0,1)，且X与Y相互独立，则X?Y~（ B ） 2?N(0,2)A． B．(2)

C．t(2) D．F(1,1)

1~F~F(n,n)F1223．设随机变量，则__

_____.

200901

10．记F1??(m,n)为自由度m与n的F分布的1??分位数，则有（ A ） A． F?(n,m)?1

F1??(m,n)

B．F1??(n,m)?1

F1??(m,n)C．F?(n,m)?1

F?(m,n)

D．F?(n,m)?1

F1??(n,m)则F～F(m,n)，

?1?11～F(n,m)．由P?F?F1??(m,n)??1??，即P????1??，F?FF1??(m,n)??1?1111??得P??，这表明是的分位数，即． F(n,m)????FF(m,n)F(m,n)F(m,n)F1??1????1??23．设总体X～N(?,?)，X1,X2,?,X20为来自总体X的样本，则?220(Xi??)2i?1?2服从参

数为___________的?2分布．

Xi???～N(0,1)，?i?120(Xi??)2?2～?2(20)．

200904

9．设x1,x2,?,x100为来自总体X～N(0,42)的一个样本，以x表示样本均值，则x～

（ B ） A．N(0,16)

B．N(0,0.16)

C．N(0,0.04)

D．N(0,1.6)

42E(x)?0，D(x)??0.16，x～N(0,0.16)．

100?32?x,|x|?123．设总体X的概率密度为f(x)??2，x1,x2,?,xn为来自总体X的一个样本，

?0,其他?x为样本均值，则E(x)?_______________．

??E(x)?E(X)????xf(x)dx?33?2xdx?0． ?11 200907

20．设X1,X2,X3,X4为来自总体X～N(0,1)的样本，设Y?(X1?X2)2?(X3?X4)2，则当C?____________时，CY～?2(2)．

X1?X2～N(0,2)，

2X1?X22～N(0,1)，同理

X3?X42～N(0,1)，所以

?X1?X21Y???22???X3?X4?????2???12??(2)～，即． C??2?221．设随机变量X～N(?,22)，Y～?2(n)，T?____________的t分布．

X??2Yn，则T服从自由度为

X～N(?,22)，则

(X??)/2X??～N(0,1)，又Y～?2(n)，所以T?～t(n)． 2Y/n 200910

9．设总体X～N(?,?2)，X1,X2,?X10为来自X的样本，X为样本均值，则X～（ C ）

10?) A．N(?，2B．N(?,?)

2

?2C．N(?，)

10 D．N(?，?210)

10．设X1,X2,?Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则样本方差S2?（ B ）

1nA．?(Xi?X)2

ni?1

1nB．(Xi?X)2 ?n?1i?11nD．(Xi?X)2 ?n?1i?11nC．(Xi?X)2 ?ni?1

225．设X～N(?1,?12)，X1,X2,?Xn为X的样本，X为其样本均值；设Y～N(?2,?2)，

Y1,Y2,?Yn为Y的样本，Y为其样本均值，且X与Y相互独立，则D(X?Y)?________．

D(X?Y)?D(X)?D(Y)??12n?2?2n?2?12??2n．

201001

7．设随机变量X，Y相互独立，且X～N(2,1)，Y～N(1,1)，则（ A ）

1 21C．P{X?Y?1}?

2A．P{X?Y?1}?

1 21D．P{X?Y?0}?

2B．P{X?Y?0}??1?1?1???(0)?． X?Y～N(1,2)，P{X?Y?1}?????22??9．设x1,x2,?,x5是来自正态总体N(?,?2)的样本，其样本均值和样本方差分别为

5(x??)15152服从（ A ） x??xi和s??(xi?x)2，则

5i?14i?1sA．t(4)

B．t(5)

C．?2(4)

D．?2(5)

21．X～N(0,1)，Y～N(0,22)相互独立，设Z?X2?212则当C?_____时，Z～?2(2)． Y，C2YY?Y?因为X～N(0,1)，～N(0,1)，所以Z?X2????X2?～?2(2)，即C?4．

42?2? 201004

11021．设总体X～N(1,4)，x1,x2,?,x10为该总体的样本，x??xi，则D(x)?_________．

10i?1D(x)??2n?4?0.4． 10522．设X～N(0,1)，x1,x2,?,x5为X的样本，则?xi2服从自由度为_________的?2分布．

i?15因为x1,x2,?,x5独立同分布于N(0,1)，所以?xi2～?2(5)．

i?1 201007 201010

D(X)??2，10．设x1,x2,x3,x4为来自总体X的样本，则样本均值x的方差D(x)?（ D ）

A．?2

1B．?2

2

1C．?2

3

1D．?2

4D(x)??2n?12?． 4n24．设x1,x2,?,xn为来自总体X的样本，且X～N(0,1)，则统计量?xi2～_________．

i?1n?xi2～?2(n)．

i?125．设x1,x2,?,xn为样本值，经计算知?i?1nnnxi2 ?100，nx?64，则?(xi?x)2?_________．

i?12n?(xi?x)??xi2?nx?100?64?36．

2i?1i?12 201101

23．设随机变量X1,X2,?,Xn,独立同分布于标准正态分布N(0,1)，则

22?2?X12?X2???Xn服从?2分布，自由度为_________．

自由度为n．

201104

9．设随机变量X～?2(2)，Y～?2(3)，且X与Y相互独立，则A．?2(5)

B．t(5)

C．F(2,3)

X/2～（ C ） Y/3D．F(3,2)

2220．设X～?2(n)，?? (n)是自由度为n的?2分布的?分位数，则P{X???(n)}?______．22P{X???(n)}?1?P{X???(n)}?1??．

21．设总体X～N(?,64)，x1,x2,?,x8为来自总体X的一个样本，x为样本均值，则

D(x)?______． D(x)??2n?64?8． 822．设总体X～N(?,?2)，x1,x2,?,xn为来自总体X的一个样本，x为样本均值，s2为样本方差，则

x??～______． s/nx??～t(n?1)． s/n 201107

8．设总体X～N(0,1)，X1,X2,?,Xn（n?1）是来自X的一个样本，X,S分别是样本均值与样本方差，则有（ C ） A．X～N(0,1)

B．nX～N(0,1)

C．?Xi2～?2(n)

i?1nD．

X～t(n?1) S22．设随机变量X～N(0,1)，Y～?2(n)，且X,Y相互独立，则Z?X～_________． Y/nZ?X～t(n)． Y/n 201110

10．设x1,x2,?,xn是来自正态总体N(?,?2)的样本，x，s2分别为样本均值和样本方差，则

(n?1)s2?2～（ A ）

B．?2(n)

C．t(n?1)

D．t(n)

A．?2(n?1)

(n?1)s2?2～?2(n?1)．

20．设样本x1,x2,?,xn来自正态总体N(0,9)，其样本方差为s2，则E(s2)?___________．

E(s2)??2?9．

21．设样本x1,x2,?,x10来自正态总体N(1,22)，x为样本均值，则D(x)?___________．

22D(x)???0.4．

n10?2 201201

23．设从总体均值为50，标准差为8的总体中，随机抽取容量为64的一组样本，则样本均值的方差D(X)?__________．

82． ??50，??8，n?64，D(X)??n64?2 201204

9．设总体X~N(2,3),x1,x2,?，xn为来自总体X的样本，x为样本均值，则下列统计量中服从标准正态分布的是(C ) A.

2x?2 3x?2 3/nB.

x?2 9x?2 9/nC.D.22．设总体X服从二项分布B(2，0.3)，x为样本均值，则Ex=_0.6_____． 解：X~B(n，p)，本题n=2，p=0.3，所以 E(样本均值）=np=2×0.3=0.6.

23．设总体X~N(0，1)，x1，x2，x3为来自总体X的一个样本，且x1?x2?x3~?(n)，则

2222??n=___3___．

201207

19. 设随机变量X与Y相互独立，且X～N（0，5），Y～X2（5），则随机变量Z?自由度为5的____ t ___________分布。

22. 设总体X～N（(?,?),X1,X2,?,Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则D(X)= .

25. 设总体X服从正态分布N（0，0.25），X1，X2，?，X7为来自该总体的一个样本， 要使a?Xi2~?2(7)，则应取常数a＝_____4

i?172XY服从

?2n

__________.

201210

7.设x1,x2，?，xn为来自总体N(μ，σ2)的样本，μ，σ2是未知参数，则下列样本函数为统计

量的是D A.

?x??

ii?1nB.

?x?i?11n2i

1nC. ?(xi??)2

ni?11n2D. ?xi

ni?122.设x1，x2，?，xn是来自总体P(λ)的样本，x是样本均值，则D(x)=___

________.

201301

解：由方差的计算公式D(X)?E(X2)?E(X)2， 可得E(X)?D(X)?E(X)?选B。

22?2n??2

201304

8.设总体X服从区间[,为样本均值，则

]上的均匀分布（

），x1，x2，?，xn为来自X的样本，

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】，，

而均匀分布的期望为，故选择C.

【提示】1.常用的六种分布

（1）常用离散型随机变量的分布（三种）：

X 概率

0 q 1 p A.两点分布

①分布列

②数学期望：E（X）=P ③方差：D（X）=pq.

B.二项分布：X～B（n，p）

，k=0，1，2，?，n；

①分布列：

②数学期望： E（X）=nP ③方差： D（X）=npq. C.泊松分布：X～

①分布列： ②数学期望：

，0，1，2，?

③方差：＝

（2） 常用连续型随机变量的分布 （三种）： A.均匀分布：X～

①密度函数：,

②分布函数：，

③数学期望：E（X）＝,

④方差：D（X）＝ Ｂ.指数分布：X～

.

①密度函数：,

②分布函数：，

③数学期望：E（X）＝,

④方差：D（X）＝ Ｃ.正态分布 （A）正态分布：X～

.

①密度函数： ②分布函数： ③数学期望：

＝,

，－∞＋∞

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