极值点偏移问题专题(五)——对数平均不等式(本质回归)

极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）

笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：

2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b， ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数a，b，且a?b，定义有ab?a?b为a，b的对数平均值，且

lna?lnba?ba?b?，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为

lna?lnb2G?a,b??L?a,b??A?a,b?．

先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设

R?a?b?0lna?lnb，则

kln?akl?nb?，

k?1得xabklna?a?klnb?b，构造函数f?x??klnx?x，则f?a??f?b?．由f??x??f??k??0，且f?x?在?0,k?上

平均不等式即ab?k?，在?k,???上，x?k为f?x?的极大值点．对数

a?b?a?b?2k，等价于?，这是两个常规的极值点偏移问题，2ab?k2?留给读者尝试．

证法2（比值代换） 令t?a?1，则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??

lna?lnb2lnt2?t?2?t?1?t?1t?11???lnt?t?，构造函数可证． lnt2t?1t证法3（主元法） 不妨设a?b，

ab?a?babab?lna?lnb???lna?lnb???0．

lna?lnbbabaab，a??b,???，则 ?ba记f?a??lna?lnb?11bf??a??????a2ab2aa?a?b2aab?2?0，得f?a?在?b,???上

，有

f?a??f?b??0，左边得证，右边同理可证．

证法4（积分形式的柯西不等式） 不妨设a?b，则由

??lnalnbedxx?2????e?lnalnbx2dx???alnalnb12dx得?b?a??2?12a?b2??lna?lnb?，?2a?ba?b?；

lna?lnb2?a1??a1?由??dx????2dx?bx???bx?2?a?b2?11?2ab?得，． lna?lnb??a?b1dx???????blna?lnb?ba?1?a?b2?上点?作切线，由曲边梯形面积，大于直,?x?2a?b??证法5（几何图示法） 过f?x??角梯形面积，可得?a?b??a1a?ba?b1?； ??dx?lna?lnb，即

a?bbxlna?lnb22如上右图，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得

?ab1dx?lna?b?x?1??1??a?a?bba?b?． ?，即ab?lna?lnb2???????由对数平均不等式的证法1、2即可看出，它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题．

再解例1：f?x1??f?x2?即x1e?x1?x2e?x2，lnx1?x1?lnx2?x2，则数x1，x2的对数平均数为1），于是x1x2?1?2x1?x2?1（正

lnx1?lnx2x1?x2，得x1x2?1，且x1?x2?2． 22xx再解例2：f?x???x?2?e?a?x?1??0即?2?x?e?a?x?1??0；由

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nty7.html