江苏省南京市、盐城市2012届高三第一次模拟考试数学

南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试

数 学 试 题

(总分160分，考试时间120分钟)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位

置上. 1.已知集合A??1,3?,B??1,2,m?,若A?B,则实数m= ▲ . 2.若(1?2i)i?a?bi(a,b?R,i为虚数单位),则ab= ▲ . 3.若向量a?(2,3),b?(x,?6),且a∥b,则实数x= ▲ . 4.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 ▲ . 5.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直

方

图

如

图

所

示

(

成

绩

分

组

为

频率组距 0.030 0.025 0.015 0 50 60 70 80 90 100 成绩

第5题

[0,10),[10,20),???,[80,90),[90,100]).则在本次竞赛中,得分不低

于80分以上的人数为 ▲ .

6.在?ABC中,已知sinA:sinB:sinC?2:3:4,则cosC? ▲ .

7.根据如图所示的伪代码,当输入a的值为3时,最后输出的S的值 为 ▲ .

8.已知四边形ABCD为梯形, AB∥CD,l为空间一直线,则“l垂直于两腰AD,BC”是“l垂直于两底AB,DC”的 ▲ 条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).

9.函数f(x)?(x?x?1)e(x?R)的单调减区间为 ▲ .

2xRead a S?0 I?1 While I≤3 S?S＋a a?a×2 I?I＋1 End While Print S 第7题

10.已知f(x)?a?▲ .

12?1x是定义在(??,?1]?[1,??)上的奇函数, 则f(x)的值域为

11.记等比数列

?an?的前

n项积为Tn(n?N),已知am?1am?1?2am?0,且T2m?1?128,

*则m? ▲ .

12.若关于x的方程kx?1?lnx有解,则实数k的取值范围是 ▲ . 13.设椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)恒过定点A(1,2),则椭圆的中心到准线的距离的最小值▲ .

14.设a?x?xy?y,b?p22xy,c?x?y,若对任意的正实数x,y,都存在以a,b,c为三边长的三角形,

则实数p的取值范围是 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写

在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)

已知函数f(x)?3sinxcosx?cosx?212(x?R).

(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)在区间[0,?4]上的函数值的取值范围.

16．(本小题满分14分)

如图,在四棱锥P?ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA?PC,E为PB的中点. (1)求证:PD∥面AEC；

(2)求证:平面AEC?平面PDB.

17．(本小题满分14分)

A 第16题

P

E

D C B

在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其

中矩形ABCD的三边AB、BC、CD由长6分米的材料弯折而成,BC边的长为2t分米(1?t?32)；

曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种:曲线C1是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为y?cosx?1),此时记门的最高点O到BC边的距离为h1(t)；曲线C2是一段抛物线,其焦点到准线的距离为

98,此时记门的最高点O到BC边的距离为h2(t).

(1)试分别求出函数h1(t)、h2(t)的表达式；

(2)要使得点O到BC边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?

y O A D x B 第17题

C

18．(本小题满分16分)

如图,在平面直角坐标系xoy中,已知点A为椭圆

????????BP?DA.

(1)求直线BD的方程；

x29?2y92?1的右顶点, 点D(1,0),点P,B在椭圆上,

(2)求直线BD被过P,A,B三点的圆C截得的弦长；

(3)是否存在分别以PB,PA为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由.

19．(本小题满分16分)

对于函数f(x),若存在实数对(a,b),使得等式f(a?x)?f(a?x)?b对定义域中的每一个x都成立,

则称函数f(x)是“(a,b)型函数”.

(1)判断函数f(x)?4x是否为“(a,b)型函数”，并说明理由；

(2)已知函数g(x)是“(1,4)型函数”, 当x?[0,2]时,都有1?g(x)?3成立,且当x?[0,1]时,

g(x)?x?m(x?1)?1(m?0),若,试求m的取值范围.

2y B P · D 0 A x 第18题

20．(本小题满分16分)

**已知数列?an?满足a1?a(a?0,a?N),a1?a2?????an?pan?1?0(p?0,p??1,n?N).

(1)求数列?an?的通项公式an；

(2)若对每一个正整数k,若将ak?1,ak?2,ak?3按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为dk.

①求p的值及对应的数列?dk?．

②记Sk为数列?dk?的前k项和，问是否存在a,使得Sk?30对任意正整数k恒成立?若存在,求出a的最大值；若不存在,请说明理由．

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数学附加题部分

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定

区域内.

A.（选修4—1：几何证明选讲）

如图，?O的半径OB垂直于直径AC，D为AO上一点，BD的延长线交?O于点E，过E 点的圆的切线交CA的延长线于P.

B

2求证：PD?PA?PC.

B．（选修4—2：矩阵与变换）

?1??10??12?，若矩阵AB对应的变换把直线l：x?y?2?0变为直线l'，求,B?已知矩阵A?????02??01??直线l'的方程.

C

· O

D E

A

P

C．（选修4—4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，圆C的方程为??42cos(??平面直角坐标系，直线l的参数方程为?D.（选修4—5：不等式选讲） 已知x、y、z均为正数，求证：

[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）

如图所示,在棱长为2的正方体AC1中,点P、Q分别在棱BC、CD上,满足B1Q?D1P,且PQ?(1)试确定P、Q两点的位置.

(2)求二面角C1?PQ?A大小的余弦值.

?4)，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立

?x?t?1?y?t?1（t为参数），求直线l被?C截得的弦AB的长度.

3111(??)?3xyz1x2?1y2?1z2.

2.

A1 B1 C1 D1

A B P Q C D

第22题

23．（本小题满分10分）

已知整数n≥4,集合M??1,2,3,???,n?的所有3个元素的子集记为A1,A2,???,A3.

Cn(1)当n?5时,求集合A1,A2,???,A3中所有元素之和.

C5(2)设mi为Ai中的最小元素,设Pn=m1?m2?????mC3,试求Pn.

n

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数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1.3 2. 2 3. －4 4.10.[?32,?12)?(12 5.120 6.?14 7.21 8.充分不必要 9.(?2,?1)(或闭区间)

131,] 11.m?4 12.(??,2] 13.5?2 14. (1,3) 22e

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解: (1)因为f(x)?2? ?sin(x32sin2x?12cos2x……………………………………………………………4分

?6 )……………………………………………………………………………………………6分

故f(x)的最小正周期为?………………………………………………………………………………8分 (2)当x?[0,?4]时,2x??6?[???6,3]…………………………………………………………………10分

]………………………………………………………………………………14分

2216．（1）证明:设AC?BD?O,连接EO,因为O,E分别是BD,PB的中点,所以PD∥EO…………4分

,故所求的值域为[?13 而PD?面AEC,EO?面AEC,所以PD∥面AEC…………………………………………………7分 (2)连接PO,因为PA?PC,所以AC?PO,又四边形ABCD是菱形,所以AC?BD…………10分

而PO?面PBD,BD?面PBD,PO?BD?O,所以AC?面PBD……………………………13分 又AC?面AEC,所以面AEC?面PBD……………………………………………………………14分 17．解:(1)对于曲线C1,因为曲线AOD的解析式为y?cosx?1,所以点D的坐标为(t,cost?1)……2分

所以点O到AD的距离为1?cost,而AB?DC?3?t, 则h1(t)?(3?t)?(1?cost)??t?cost?4(1?t?对于曲线C2,因为抛物线的方程为x??232)…………………………………………………4分 49x,所以点D的坐标为(t,?49t?t?3(1?t?2294y,即y??49t)………2分

2所以点O到AD的距离为

49t,而AB?DC?3?t,所以h2(t)?32232)……………7分

(2)因为h1?(t)??1?sint?0,所以h1(t)在[1,]上单调递减,所以当t?1时,h1(t)取得最大值

为3?cos1…………………………………………………………………………………………………9分 又h2(t)?

49(t?98)?23916,而1?t?32,所以当t?32时,h2(t)取得最大值为

52……………………11分

因为cos1?cos?3?12,所以3?cos1?3?312?52,

5 故选用曲线C2,当t?22????????18．解: (1)因为BP?DA,且A(3,0),所以BP?DA=2,而B,P关于y轴对称,所以点P的横坐标为1,

从而得P(1,2),B(?1,2)……………………………………………………………………………………3分

时,点E到BC边的距离最大,最大值为

分米……………………………14分

所以直线BD的方程为x?y?1?0………………………………………………………………………5分 (2)线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为y?x?1, 所以圆C的圆心为(0,－1),且圆C的半径为r?又圆心(0,－1)到直线BD的距离为d?2210……………………………………………………8分

2,所以直线BD被圆C截得的弦长

为2r?d?42 ……………………………………………………………………………………10分 (3)假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线y?x?1上,当圆M和圆N是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN…………………………………………………………………………………………12分 设M(0,b),则N(2,4?b),根据N(2,4?b)在直线y?x?1上,

解得b?3…………………………………………………………………………………………………14分 所以M(0,3),N(2,1),PM?PN?22222,故存在这样的两个圆,且方程分别为

x?(y?3)?2,(x?2)?(y?1)?2………………………………………………………………16分

19．解: (1)函数f(x)?4x是“(a,b)型函数”…………………………………………………………2分 因为由f(a?x)?f(a?x)?b,得16a?b,所以存在这样的实数对,如a?1,b?16………………6分 (2) 由题意得,g(1?x)g(1?x)?4,所以当x?[1,2]时, g(x)?4g(2?x),其中2?x?[0,1],

m2而x?[0,1]时,g(x)?x2?m(1?x)?1?x2?mx?m?1?0,且其对称轴方程为x?① 当

m2,

?1,即m?2时,g(x)在[0,1]上的值域为[g(1),g(0)],即[2,m?1],则g(x)在[0,2]上的值域

44?m?1?3?,2]?[,m?1],由题意得?4为[2,m?1]?[,此时无解………………………11分 m?1m?1?1?m?1?②当

12?m2?1,即1?m?2时,g(x)的值域为[g(m2),g(0)],即[m?1?m42,m?1],所以则g(x)在

4??322?mm44?m?1?,m?1]?[,],则由题意得且[0,2] 上的值域为[m?1??24m4m?1?m?1?m?1?3?4?2?mm?1??1??4,解得1?m?2……………………………………………………………………13分 ?4??1??m?1③ 当0?m2?12,即0?m?1时,g(x)的值域为[g(m2),g(1)],即[m?1?m42,2],则g(x)在[0,2]上

的值域为[m?1?m42,2]?[2,4m?1?m42]=[m?1?m42,4m?1?m42],

??m?1??则?4??m?1??m4m42?1?3,解得2?263?m?1.

2综上所述,所求m的取值范围是2?263?m?2…………………………………………………16分

20．解:(Ⅰ)因为a1?a2?????an?pan?1?0,所以n?2时, a1?a2?????an?1?pan?0,两式相减,得

an?1an?p?1p(n?2),故数列?an?从第二项起是公比为

p?1p的等比数列…………………………3分

又当n=1时,a1?pa2?0,解得a2?app?1papap(2)①由(1)得ak?1?()k?1,ak?2?a?(n?1)?,从而an??ap?1n?2…………………………5分

()(n?2)?pp?p?1kap?1k?1(),ak?3?(), pppp?1pp?1pp?1p?1或

p?1p??2,解得p??13[1]若ak?1为等差中项,则2ak?1?ak?2?ak?3,即

…………6分

k?1kk?1此时ak?1??3a(?2),ak?2??3a(?2),所以dk?|ak?1?ak?2|?9a?2……………………8分

[2]若ak?2为等差中项,则2ak?2?ak?1?ak?3,即[3]若ak?3为等差中项,则2ak?3?ak?1?ak?2,即此时ak?1??3a2(?112)k?1?1,此时无解………………………………9分 ?1或

p?1p??12,解得p??9a23,

,ak?3??3a2(?12)k?1,所以dk?|ak?1?ak?3|?9a1k?1?()……………11分 821k?1?()…………………………………12分

3382110k ②[1]当p??时,Sk?9a(2?1),则由Sk?30,得a?, k33(2?1)综上所述,p??k?1, dk?9a?2或p??2,dk?当k?3时, [2]当p??103(2?1)23k?1,所以必定有a?1,所以不存在这样的最大正整数……………………14分

9a1k(1?()),则由Sk?30,得a?423k3(1?())240a?13满足Sk?30恒成立；但当a?14时,存在k?5,使得a?即Sk?30,

1k3(1?())2所以此时满足题意的最大正整数a?13……………………………………………………………16分

时,Sk?401,因为

401k3(1?())2?40,所以

数学附加题部分

21．A. 证明：连结OE，因为PE切⊙O于点E，所以∠OEP=900，所以∠OEB+∠BEP=900，因为

OB=OE，所以∠OBE=∠OEB，因为OB⊥AC于点O，所以∠OBE+∠BDO=900……………5分 故∠BEP=∠BDO=∠PDE，PD=PE，又因为PE切⊙O于点E，所以PE2=PA·PC，

故PD2=PA·PC………………………………………………………………………………………10分 ?1B. 易得AB???0?0?1?? ?2??01??1???2??1??01?2?……3分, 在直线l上任取一点P(x?,y?)，经矩阵AB变换为 ?2???x??1点Q(x,y)，则????y??0?1?1?1?1??x?y??x??x???x??y???x?x??y??4?，∴?，即?……………8分 2???22??y?????y?2y??y??y2??2y?????21y代入x??y??2?0中得x?y??2?0,∴直线l?的方程为4x?y?8?0…………………10分

42C. 解：?C的方程化为??4cos??4sin?，两边同乘以?，得?2?4?cos??4?sin?

由?2?x2?y2, x??cos?, y??sin?,得x2?y2?4x?4y?0………………………………5分 其圆心C坐标为(2,2)，半径r?22,又直线l的普通方程为x?y?2?0, ∴圆心C到直线l的距离d?22?1x22,∴弦长AB?28?2?26……………………………10分 ?1y2D. 证明:由柯西不等式得(12?12?12)( 则3?12?1z)?(21x?1y?1z2)……………………………………5分

xyzxyzxyz????????????22. 解:(1)以AB, AD, AA1为正交基底建立空间直角坐标系A?xyz,设CP?a (0?a?2),

?????????222则CQ?2?a, P(2,2?a,0), Q(2?2?a,2,0),B1Q?(?2?a,2,?2),D1P?(2,?a,?2),

?????????2∵B1Q?D1P,∴B1Q?D1P?0，∴?22?a?2a?解得a?1……………………………4分 4?0，

?12?12?1?1?1,即

3111(??)?3xyz12?12?12………………………10分

∴PC=1,CQ=1,即P、Q分别为BC, CD中点…………………………………………………………5分

?????????????????????(2)设平面C1PQ的法向量为n?(a,b,c)，∵PQ?(?1,1,0), PC1?(0,1,2),又n?PQ?n?PC1?0，

???a?b?0∴?，令c??1，则a?b?2,n?(2,2,?1)………………………………………………8分

b?2c?0????11∵k?(0,0,?2)为面APQ的一个法向量,∴cos?n,k??,而二面角为钝角,故余弦值为?……10分

33223.（1）解：当n?5时，含元素1的子集有C4?6个，同理含2,3,4,5的子集也各有6个,

2 于是所求元素之和为(1?2?3?4?5)?C4?6?15?90……………………………………………5分 2 （2）证明:不难得到1?mi?n?2, mi?Z，并且以1为最小元素的子集有Cn?1个，以2为最小元素的

222子集有Cn?2个，以3为最小元素的子集有Cn?3，…，以n?2为最小元素的子集有C2个,

则Pn?m1?m2???mC?1?Cn?1?2Cn?2?3Cn?3???(n?2)C2………………………………8分

22223n?(n?2)C2?(n?3)C3?(n?4)Cn???Cn?1?C2?(n?3)(C2?C3)?(n?4)C4???Cn?1 ?C2?(n?3)(C3?C3)?(n?4)C4???Cn?1?C2?(n?3)C4?(n?4)C4???Cn?1 ?C2?C4?(n?4)(C4?C4)???Cn?1?C2?C4?(n?4)C5???Cn?1

23322233243334232222322222222222?C4?C4?C5???Cn?Cn?1……………………………………………………………………10分

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