华图数量关系模块宝典（李委明）

第一部分 数字推理

数字推理大纲标准定义：

每道题给出一个数列，但其中缺少一项，要求报考者仔细观察这个数列各数字之间的关 系，找出其中的排列规律，然后从四个供选择的答案中选出最合适、最合理的一个来填补空 缺项，使之符合原数列的排列规律。

核心提示： 一、如果选项当中有不止一个数字都可满足原数列，则需要考察哪个答案最合适、最合理， 实践操作过程当中就是找出哪个规律更加直接，更加简单。 二、如果按一个合理的规律找出的答案在选项当中没有，则需要重新思考其它规律，并且 需要揣摩出题人的意图。 三、有些设计不好的模拟题甚至极少数真题，由于数字较少无法确定规律，或者规律太偏 无法短时间内想到，对于这样的题目不宜深究。

备考重点方向： ?? 基础数列类型 ? 五大基本题型 ? 基本运算速度 ? 少量计算技巧

第零章 数字推理基础知识

一、数 列：按一定次序排列的一列数叫做数列 二、数列的项：数列中的每个数称为数列的项，其中第 N 个数称为第 N 项 三、基本数列：

1、

由一个固定的常数构成的数列叫做常数数列 【例】7、7、7、7、7、7、7、7、7? 200 以内质数表 2、 2、3、5、7、11、13、17、19、 相邻两项之差（后项减去前项）等于定值的数列 23、29、31、37、41、43、47、 【例】2、5、8、11、14、17、20、23? 53、59、61、67、71、73、79、 3、 83、89、97、101、103、107、 相邻两项之比（后项除以前项）等于定值的数列 109、113、127、131、137、139、 【例】5、15、45、135、405、1215、3645、10935 ?

149 、151、157、163、167、173、 4、

179、181、191、193、197、199 2、3、5、7、11、13、17、19? 4、6、8、9、10、12、14、15?

【注】 质数：只有 1 和它本身两个约数的自然数；合数：除了 1 和它本身还有其 它约数的自然数；1 既不是质数、也不是合数。

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5 自某一项开始重复出现前面相同（相似）项的数列叫做周期数列或循环数列 【例 1】1、3、4、1、3、4? 【例 2】1、3、1、3、1、3? 【例 3】1、3、4、-1、-3、-4? 6、 关于某一项对称（相同或相似）的数列

【例 1】1、3、2、5、2、3、1? 【例 2】1、3、2、5、5、2、3、1? 【例 3】1、3、2、5、-5、-2、-3、-1? 【例 4】1、3、2、0、-2、-3、-1?

【例题分析】

【例 1】0、6、12、18、( )【河北 2005 真题】

D.28

【例 2】11、22、44、88、（ ）【广东 2004 上-2】

A.128 B.156 C.166 D.176

【例 3】18、-27、36、( )、54 【河北 2003 真题】

A.44 B.45 C.-45 【例 4】-81、-36、-9、0、9、36、（ ）【广州 2005-3】 A.49 B.64 C.81 D.100

【例 5】582、554、526、498、470、（ ）

Ａ.442 B. 452 C.432 D. 462

【例 6】8、12、18、27、（ ）【江苏 2004A 类真题】

A.39

B.37

C.40.5

D.42.5

)【江苏 2004A 类真题】 C.

A. 22 B.24 C.32

D.-44

【例 7】2、-1、 、

A.

1

2

【例 8】

1

10 5 、5、（

1 1

、 、( 4 8

1 B.

12

1 16

D.

1 14

）、25、 25 5 【山东 2006-3】 B. 5 5

A. 5 5 C. 15 5

D.15 5 第一章 多级数列

第一节

【例 1】12、13、15、18、22、(

A.25

B.27

二级数列

)【国 2001-41】 C.30

D.34

【例 2】-2、-1、1、5、(

A.17

)、29【国 2000-24】 B.15

C.13 )【国 2002B-3】

D.11

【例 3】32、27、23、20、18、(

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A.14 B.15 C.16 D.17

【例 4】102、96、108、84、132、(

A.36

B.64 )、17、34 B.7

C.8

D.10

)【国 2006 一类-31】【国 2006 二类-26】 C.70

D.72

【例 5】8、4、(

A.4

【例 6】6、9、(

)、24、36【广东 2002-87】 B.11

C.13

D.15

A.10

【例 7】60、77、96、( ) 、140【江苏 2006C-4】

A．111 B．117 C．123 D．127

9 、8、（ ）【浙江 2007 一类-1】 【例 8】0.5、2、 2

1 D．16 27

A．12.5 B． C．14

2 2 【例 9】-2、1、7 、16、(

A.25 B.28 【例 10】2、3、5、9、17、（

A.29

B.31

)、43【国 2002B-5】

C.31 D.35 ）【国 1999-28】

C.33

D.37

【例 11】5、13、37、109、(

A.327

B.325

) 【江苏 2004B 类真题】 C.323

D.321

【例 12】4、7、13、25、49、（

A.80

B.90

）【北京社招 2006-1】 C.92

D.97

【例 13】3、4、6、10、18、（ ）【山东 2003-1】

A.34

B.36

C.38

D.40

【例 14】118、199、226、235、（

A.255

B.253

）【广东 2005 下-4】 C.246 )【国 2003B-4】

C. 62

D. 87 D.238

【例 15】1、2、6、15、31 (

A. 53

B. 56

【例 16】0、2、6、14、（ ）、62【浙江 2002-1】

A.40

B.36

C.30

D.38

【例 17】20、22、25、30、37、（

A.39

B.45

）【国 2002A-2】 C.48

D.51

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【例 18】16、17、19、22、27、（ ）、45【浙江 2003-8】

A. 35 B.34 C.36 D.37

【例 19】1、2、2、3、4、6、(

)【国 2005 二类-30】

A.7 B.8 C.9 D.10

【例 20】1、4、8、13、16、20、(

A. 20

B. 25

)【国 2003A-1】 C. 27

D. 28

【例 21】6、12、19、27、33、（

）、48【浙江 2004-5】 C.41

)、 234【国 2000-22】

A.39 B.40 D.42

【例 22】22、35、56、90、(

A.162 B.156 C.148 D.145

【例 23】3、4、（ ）、39、103【浙江 2003-5】

A.7

B. 9 C.11 D.12

第二节

三级数列

【例 1】1、10、31、70、133、(

)【国 2005 一类-33】

A.136 B.186 C.226 D.256

【例 2】0、4、18、48、100、( )【国 2005 二类-33】

A.140

【例 3】(

B.160 C.180 D.200

)、36、19、10、5、2【国 2003A-4】

B. 69

C. 54

)【国 2007-44】

A. 77 D. 48

【例 4】0、4、16、40、80、 (

A. 160 B. 128 C. 136 D.140

【例 5】1、4、8、14、24、42、(

A.76

B.66

)【江苏 2004B 类真题】 C.64

D.68

【例 6】17、24、33、46、(

)、92【浙江 2003-7】

C.69

D.71

）【广东 2006 上-2】

A.65 B.67

【例 7】-8、15、39、65、94、128、170、（

A. 180 B. 210 C. 225 D. 256

【例 8】9、8、12、4、(

)、-116【广东 2003-5】

C.-33

)【国 2005 一类-35】

A.-32 B.-34 D.-8

【例 9】0、1、3、8、22、63、(

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A.163 B.174 C.185 D.196

第三节

做商多级数列

核心提示： 多级数列绝大部分题目集中在相邻两项两两做差的“做差多级数列”当中，除此之外 还有相当一部分相邻两项两两做商的“做商多级数列”。做商数列相对做差数列的特点 是：

【例 1】1、1、2、6、24、(

A. 48 B. 96 )【国 2003B-2】

C. 120 D. 144 )【国 2005 一类-26】

C.240 C.20

D.480 D.30

【例 2】2、4、12、48、(

A.96 A.15

B.120 B.18

【例 3】3、9、6、9、27、( )、27【北京社招 2007-2】

【例 4】0.25、0.25、0.5、2、16、（ ）【江苏 2005 真题】

A.32 B.64 C.128 D.256

2 1 、

（ ）【山东 2006-4】 【例 5】100、20、2、 、 15 150

1 1 1 A. B. C. 3 D. 3750 225 500

【例 6】1、6、30、 ( )、360【浙江 2007 一类-3】 A.80 B.90 C.120 D.140

【例 7】2、2、3、6、15、（ ） A.30 B.45 C. 18 D. 24

第二章 多重数列

基 本 多重数列：

定 义

基本特征：

【例 1】3、15、7、12、11、9、15、( )【国 2001-44】

A.6 B.8 C.18 D.19

【例 2】1、3、3、5、7、9、13、15、(

)、(

A.19、21

【例 3】1、1

B.19、23 C.21、23

)【国 2005 一类-28】

D.27、30

)【国 2005 二类-32】

、8、16、7、21、4、16、2、(

A.10 B.20 C.30 D.40

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【例 4】1、4、3、5、2、6、4、7、( )【国 2005 二类-35】

A.1 B.2 C.3 D.4

)【上海 2004-8】 D. 19 )【江苏 2006A-4】

D.238

)、 123【江苏 2004B 类真题】

D.24，23

【例 5】4、27、16、25、36、23、64、21、(

A. 81

B. 100

C. 121

【例 6】1、2、7、13、49、24、343、(

A.35 B.69 C.114

【例 7】1、3、2、6、5、15、14、 ( )、 (

A.41，42 B.42，41 C.13，39

【例 8】0、3、1、6、 2 、12、（

）、（ ）、2、48【江苏 2005 真题】 D.2、36

) 【江苏 2006C-1】

D.40

A. 3 、24

B. 3 、36 C.2、24

【例 9】400、360、200、170、100、80、50、(

A.10 B.20 C.30

【例 10】0、1、3、2、6、4、9、 ( ) 【江苏 2004B 类真题】 C.6

D.12

A.7 B.8

【例 11】1、2、3、7、8、17、15、( ) A.31 B.10 C.9

D.25

【例 12】15、3、12、3、9、3、(

A.4

B.5

)、3【河北 2005 真题】 C.6

D.7

) 【江苏 2004A 类真题】

D.24

)

C.9，12

D.10，10

【例 13】1、3、3、6、7、12、15、 (

A.17

B.27

C.30

【例 14】5、24、6、20、（ ）、15、10、(

B.8，12 A.7，15

第三章 分数数列

核 心 分式数列 提 示 核 心 多数分数→→

单独通过分子或分母来排除选项。

②

① 提 示 少数分数→→ 核 心 提 示 ?? 整 化 分： ?? 观察特征： ?? 分组看待：

?? 有 理 化：

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?? 约 分： ?? 广义通分： ?? 反 约 分：

2 5 8 、（ 【例 1】 、 、 5 8 11 6 11 A. B. 5 14

）【广东 2004 上-1】

C.

6

7

D.

13 15

【例 2】 、 、

5 7 12 19

、 、(

12 19 7 31 31 1 A. B.

49 39 2 3

5 8

)【国 2003B-5】

31 C.

50

D.

50 31

【例 3】1、 、 、

21

A.

33 13 【例 4】 2 、(

17

18A. 3 23

13 、（ ）【国 2008-43】 21 354134B. C. D. 64 70 55

25 31 372005 真题】 、8 、10 【江苏 31 38 45 192021B. 4 C. 4 D. 5 24 25 26

)、 6

133119 91 49【例 5】 、 、 、 、(

28

A.

12

60

56

57 51 39

B.

21

21

72003B-1】 )、 【国 28 C.

9

3

D.

14

48

31 15

05 、 98 、 91 、 84 、 ( 【例 6】1、、、、

52

21 【浙江 )、 、2005-10】 12

77 76 62 7 A. B. C. D. 42 44 36 4 2 1 2 1 2

【例 7】 、 、 、 、 、 ( )【国 2003A-5】

3 2 5 3 7 1 1 2 2 A. B. C. D.

4 6 11 9 1 2 3 8 【例 8】、 、 、 、( )【国 2005 二类-27】 6 3 2 3

3510 25

A. B. C. 5 D. 6 3 6

分母有理化：利用平方差公式将分母当中的根号转移到分子当中来。例：

1 2 1 1 4 3

分子有理化：利用平方差公式将分子当中的根号转移到分母当中来。例： 4 4 3 3 (4 1 3)(4 3) 42 ( 3)2 4 3 4 3 16 3 4 3 13 4 3 \试用版本创建 www.fineprint.cn PDF 文件使用

1

【例 9】 2 1 、 5 1

A. 4

1 、 、( 3 1 3

B. 2

)【国 2005 二类-31】

1 C.

5 1

7 4

、 【浙江 2005-2】 15 9

2 3 C. D. 13 7

D. 3 【例 10】1、 、 、(

1 3

A. B. 2 4 3 1 3 1

【例 11】 、 、 、 、( )【广东 2006 上-1】

15 3 7 2

15 5 4

A. B. C. D. 8 9 27 8 5

（ ）【江苏 2006C-3】 【例 12】4、3、 、 、

3 2 13 12 11 A. B. C. 5 5 5

2 3 5 9

) 、 3

D.

14 5

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第四章 幂次数列

幂次数列十条核心法则

一、30 以内数的平方：

1、 4、 9、 16、 25、 36、 49、 64、 81、100 121、144、169、196、 、 、 、 、 、400

441、484、529、576、625、676、729、784、841、900 二、10 以内数的立方：

1、8、27、64、125、216、343、512、729、1000 三、2、3、4、5、6 的多次方：

2 的 1-10 次幂： 2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024 3 的 1--6 次幂： 3、9、27、81、243、729 4 的 1--5 次幂： 4、16、64、256、1024 5 的 1--5 次幂： 5、25、125、625、3125 6 的 1--4 次幂： 6、36、216、1296 四、关于常数 0 和 1

0 0N ：0 是 0 的任意自然数次方（0 的 0 次方没有意义！即此处 N

；0 ）

1 a0 1N ( 1)2 N （ a 0 ）

1 是任意非零数的 0 次方，是 1 的任意次方，是-1 的任意偶次方。 五、16、64、81 的多种分解方式

16 ； 64 ；81 六、256、512、729、1024 的多种分解方式

； 512 ； 729

七、关于单位分数（分母是整数、分子是 1 的分数）

256 ；1024

1 1 1 1 1

a 1 （ a 0 ），例如 5 ； 7 1 ； 27 1 3 3 a 5 7 27

八、关于其它普通非幂次数 a ，例如5 ； 7 九、注意底数是负数的情况，如：

32 ； 49

；81

十、平方数列与立方数列的加 1、减 1、加减 1，以及相关类似变形要特别引起重视（详见

相关章节）

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第一节

【例 1】4、 9、 16、 25、 (

A.18

B.26

普通幂次数列

) 【广东 2002-89】 C.33

D.36

【例 2】100、8l、64、49、36、（

A.30

B.25

） 【广东 2002-94】 C.20

D.15

【例 3】9、1、（ ）、9、25、49【江苏 2005 真题】

A.1

B.2

C.4

D.5

【例 4】1、4、16、49、121、 (

A.256

B.225

)【国 2005 一类-31】 C.196

D.169

【例 5】16、81、256、625、(

A.1296

B.1725

)【河北 2005 真题】 C.1449 )

C.189

D.216

D.4098

【例 6】8、 27、 64、 125、 (

A.293

【例 7】-8、（

A.-1

B.176

）、0、1、8、27

B.-2

C.-4 ) 、4096

C.512

D.-5

【例 8】-64、-8、1、125、 (

A.729 B.1000 【例 9】1、4、27、(

D.1331

)、3125【国 2003A-03】 B. 184

C. 256

D. 351

A. 70

【例 10】27、16、5、(

1 【国 2005 二类-26】

)、 7

C.0

D.2

A.16 B.1

【例 11】1、32、81、64、25、(

)、1【国 2006 一类-32】【国 2006 二类-27】

C.10

D.12

A.5 B.6

【例 12】1、8、9、4、(

1 【国 2000-25】

)、 6

C.1

A.3 B.2

1 D. 3

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第二节

【例 1】2、3、10、15、26、(

幂次修正数列

)【国 2005 一类-32】

A.29 B.32 C.35 D.37

【例 2】0、5、8、17、(

)、37【浙江 2004-6】

C.24

D.22

A.31 B. 27

【例 3】5、10、26、65、145、( )【浙江 2005-5】 C.257

D.290

A.197 B.226

【例 4】8、17、24、35、( )【上海 2004-6】

A.47

A. 165

B.50

B. 193

C.53

)【国 2007-43】

D.69

D. 239

【例 5】0、9、26、65、124、(

C. 217

【例 6】2、7、28、63、(

A.116

)、215【浙江 2002-2】 B.126

C.138

D.142

【例 7】0、-1、(

)、7、28【浙江 2003-2】 B.3

C.4

D.5

A.2

【例 8】4、11、30、67、(

A.121

B.128

)【江苏 2006A-2】

C.130 ) C.238

D.240

D. 3121

D.135

【例 9】-1、10、25、66、123、(

A.214

A. 256

B.218

B. 484

【例 10】-3、 0、 23、 252、 （

）【广东 2005 下-2】

C. 3125

第五章 递推数列

核 心 提 示 递推数列具有

六种基本形态并包括其变式。

核 心 看趋势：根据数列当中数字的整体变化趋势初步判断此递推数列的具体形式。

注意要从大的数字开始看，并且结合选项来看。 法 则 作试探 根据初步判断的趋势作合理的试探，得出相关修正项。 修正项要么是一个 ，要么就是一个 。 【例 1】1、3、4、7、11、（ ）【国 2002A-04】

A.14

B.16

C.18

D.20

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【例 2】4、5、（ ）、14、23、37【北京社招 2005-1】

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【例 3】18、12、6、 (

A.6

B.4

)、0、6【国 1999-29】

C.2

D.1

【例 4】1、3、3、9、(

A. 12

)、243【国 2003B-3】

C. 124

D. 169

B. 27

【例 5】–1、9、8、（ ）、25、42【浙江 2002-3】

A.17

B.11

C.16

D.19

【例 6】2、3、5、8、13、（

A.15

B.18

）【广东 2005 上-1】

C.19

D.21

【例 7】1、2、3、5、(

)、13【江苏 2005 真题】

C.8

)、32【国 2000-23】

A.9 B.11 D.7

【例 8】1、2、2、4、(

A.4 B.6 C.8 D.16

【例 9】0、1、1、2、4、7、13、 (

A.22

B.23

)【国 2005 一类-30】 C.24

D.25

【例 10】25、15、10、5、5、( )【国 2002B-4】

A.10 B.5 C.0 D.-5

3

【例 11】9、6、 、4、(

2

A.2

B.

)【北京应届 2007-5】

C.3

D.

3

4 3 8

【例 12】40、23、(

A.7 )、6、11【浙江 2003-1】 B. 13 C. 17

D.19

【例 13】2、3、5、8、13、(

A. 24

B. 23

)【浙江 2007 二类-3】 C. 22

D. 21 )

D.169

【例 14】1、1、2、4、7、13、24、44、81、(

A.125 B.149 C.162

【例 15】85、52、 (

A.28

)、19、14【浙江 2007 一类-2】 B.33

C.37

D.41

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【例 16】17、10、(

A.7 )、3、4、-1【浙江 2004-2】 B.6 C.8 D.5

【例 17】1、2、2、（ ）、8、32【浙江 2003-6】

A.4

B. 3

C.5

D.6

【例 18】3、7、16、107、 (

) 【国 2006 一类-35】【国 2006 二类-30】 C.1086

D.1072

A.1707 B.1704

【例 19】2、5、11、56、( )【江苏 2004A 类真题】

A.126 B.617 C.112 D.92

【例 20】144、18、9、3、4、( )

C.1.75

)【国 2005 一类-35】

A.0.75 B.1.25 D. 2.25

【例 21】0、1、3、8、22、63、(

A.163 B.174 C.185 D.196

【例 22】1、1、3、7、17、41、(

A.89

B.99

)【国 2005 二类-28】 C.109

D.119

【例 23】118、60、32、20、(

A.10

B.16

)【北京应届 2007-2】 C.18

D.20

【例 24】323， 107， 35， 11， 3， ？【北京社招 2007-5】

1

C.1 D.2 A.-5 B.

3

【例 25】157、65、27、11、5、（ ）【国 2008-41】

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【例 26】6、15、35、77、(

A.106

B.117

) 【江苏 2004A 类真题】

C.136

D.163

【例 27】1、4、13、40、121、（ ）【山东 2006-5】 C.927

D.264

A.1093 B.364

【例 28】1、2、3、7、46、 ( )【国 2005 一类-34】

A.2109 B.1289 C.322 D.147

【例 29】2、3、13、175、(

A.30625

)【国 2006 一类-34】【国 2006 二类-29】

C.30759

D.30952

B.30651

【例 30】1、 2、 5、 26、 (

A.31

B.51

) 【广东 2002-93】 C.81

D.677

【例 31】0、1、1、4、19、( )

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A.373 B.252 C.268 D.254

【例 32】172、84、40、18、(

A、5 B、7 C、16

)【湖北真题】

D、22 ） C.55

D.63

【例 33】0、1、3、8、21、（

A.42

B.29

【例 34】（ ）、13.5、22、41、81【北京社招 2006-3】

A.10.25

B. 7.25

C. 6.25

D. 3.25

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第二部分 数学运算

【直接代入法】

【例 1】装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装 11 个，小盒每盒能装 8 个，要把 89 个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？【北京社招 2007-17】

A.3，7 B.4，6 C.5，4 D.6，3

5 ，求第 1 个数？【北京社招 2007-23】 【例 2】有 10 个连续奇数，第 1 个数等于第 10 个数的 11

A.5

B.11

C.13

D.15

【例 4】一个小于 80 的自然数与 3 的和是 5 的倍数，与 3 的差是 6 的倍数，这个自然数最 大是多少？【国 2004B-43】

A.32 B.47 C.57 D.72

【例 5】某剧场共有 100 个座位，如果当票价为 10 元时，票能售完，当票价超过 10 元时，

每升高 2 元，就会少卖出 5 张票。那么当总的售票收入为 1360 元时，票价为多少元? 【国 2003A-8】

A.12 元 B.14 元 C.16 元 D.18 元 【例 6】1998 年，甲的年龄是乙的年龄的 4 倍。2002 年，甲的年龄是乙的年龄的 3 倍。问

甲、乙二人 2000 年的年龄分别是多少岁? 【国 2002A-6】

A.34 岁，12 岁 B.32 岁，8 岁 C.36 岁，12 岁 D．34 岁，10 岁

【例 7】若干学生住若干房间，如果每间住 4 人则有 20 人没地方住，如果每间住 8 人则有

一间只有 4 人住，问共有多少名学生？【国 2002B-8】

A.30 人 B.34 人 C.40 人 D.44 人 【例8】何老师带领一班学生去种树，学生恰好被平分为4个小组，总共种树667棵，如果师

生每人种数的棵数一样多，那么这个班共有学生多少人？【广东2003下-6】

A.28 B.36 C.22 D.24

【例 9】用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳对折后垂到井水面，绳子超过井台 9 米，

把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台 2 米，绳子长多少米？【北京社招 2005-23】

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y 【例 3】有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛的长度是粗蜡烛长度的 2 倍， 点完细蜡烛需要 1 小时，点完粗蜡烛需要 2 小时。有一次停电，将这 样两支蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩长度一样，则此次 停电共停了多少分钟？【国 2006 二类-35】

A.10 分钟 B.20 分钟 C.40 分钟 D.60 分钟

L 2L

A.12 米

B.29 米 C.36 米 D.42 米

【例 10】直线 2x y 4 0 与 X 轴的哪一点相交？【北京应届 2006-12】

A.4

B.2

C.0

D.-2

【例 11】1999 年，一个青年说：“今年我的生日已过了，我现在的年龄正好是我出生的年 份的四个数之和”这个青年是哪年出生的？【北京社招 2006-22】

A.1975 B.1976 C.1977 D.1978

核心提示 “直接代入法”在同余问题、不定方程问题、多位数问题等诸多典型问题当中都可以发 挥巨大的作用，部分题目在相关章节当中还有具体阐述。 【例 12】共有 20 个玩具交给小王手工制作完成，规定制作的玩具每合格一个得 5 元，不合格一个扣 2 元，未完成的不得不扣，最后小王共收到 56 元，那么他制作的玩具中，不合格的共有多少个？【国 2007-58】

A.2 B.3 C.5 D.7

【例 13】一个五位数，左边三位数是右边两位数的 5 倍，如果把右边的两位数移到前面，

则所得新的五位数要比原来的五位数的 2 倍还多 75，则原来的五位数是多少？【国 2006 一 类-44】

A.12525 B.13527 C.17535 D.22545

【常识代入法】

核心提示 常识代入法是指不通过具体计算，只运用一定常识，从而直接得到答案的方法。

【例 14】有甲、乙两个项目组。乙组任务临时加重时，从甲组抽调了四分之一的组员。此 后甲组任务也有所加重，于是又从乙组调回了重组后乙组人数的十分之一。此时甲组与乙组 人数相等。由此可以得出结论是？【国 2006 一类-40】【国 2006 二类-40】

A.甲组原有 16 人，乙组原有 11 人 B.甲、乙两组原组员人数之比为 16∶11 C.甲组原有 11 人，乙组原有 16 人 D.甲、乙两组原组员人数之比为 11∶16

【例 15】现有一种预防禽流感药物配置成的甲、乙两种不同浓度的消毒的消毒溶液。若从甲中取 2100

克、乙中取 700 克混合而成的消毒溶液的浓度为 3％；若从甲中取 900 克、乙中取 2700 克，则混合而成的 消毒溶液的浓度为 5％。则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为（ ）【浙江 2006-37】

A.3％，6％ B.3％，4％ C.2％，6％ D.4％，6％

【例 16】甲班与乙班同学同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时 4 千米，乙

班步行的速度是每小时 3 千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时 48 千米，这辆汽车恰 好能坐一个班的学生。为了使这两班学生在最短的时间内到达，那么，甲班学生与乙班学生 需要步行的距离之比是（ ）【山东 2006-14】

A.15∶11 B.17∶22 C.19∶24 D.21∶27

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奇偶运算基本法则 【基础】奇数±奇数=偶数； 偶数±偶数=偶数； 偶数±奇数=奇数； 奇数±偶数=奇数。 【推论】 一、任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。整除判定基本法则 二、任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。 一、能被 2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性 能被 2（或 5）整除的数，末一位数字能被 2（或 5）整除； 能被 4（或 25）整除的数，末两位数字能被 4（或 25）整除； 能被 8（或 125）整除的数，末三位数字能被 8（或 125）整除； 一个数被 2（或 5）除得的余数，就是其末一位数字被 2（或 5）除得的余数 一个数被 4（或 25）除得的余数，就是其末两位数字被 4（或 25）除得的余数 一个数被 8（或 125）除得的余数，就是其末三位数字被 8（或 125）除得的余数 二、能被 3、9 整除的数的数字特性 能被 3（或 9）整除的数，各位数字和能被 3（或 9）整除。 【数字特性法】

一个数被 3（或 9）除得的余数，就是其各位相加后被 3（或 9）除得的余数。 倍数关系核心判定特征 三、能被 11 整除的数的数字特性 ，则 如果 a : b m : n (m, n互质) a 是 m 的倍数；b 是 n 的倍数。 能被 11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被 11 整除。 m y (m, n互质) ，则 x 是 m 的倍数； y 是 n 的倍数。 n 【例 17】下列四个数都是六位数，X 10 Y 是零，一定能同时被 2、3、5 整除的数 如果 a : b m : n (m, n互质) 是比，则 a 小的自然数，b 应该是 m n 的倍数。 如果 x A.XXXYXX B.XYXYXY C.XYYXYY D.XYYXYX

是多少？【上海 2004-12】 【例 18】某次测验有 50 道判断题，每做对一题得 3 分，不做或做错一题倒扣 1 分，某学生 共得 82 分，问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少？【山东 2004-12】

A.33

B.39 C.17 D.16

【例 19】小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改 围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用 5 枚硬币，则小 红所有五分硬币的总价值是多少元？【国 2005 一类-44】【国家 2005 二类-44】

A.1 元 B.2 元 C.3 元 D.4 元

【例 20】1998 年，甲的年龄是乙的年龄的 4 倍。2002 年，甲的年龄是乙的年龄的 3 倍。问

甲、乙二人 2000 年的年龄分别是多少岁? 【国 2002A-6】

A.34 岁，12 岁 B.32 岁，8 岁 C.36 岁，12 岁 D.34 岁，10 岁

【例 21】若干学生住若干房间，如果每间住 4 人则有 20 人没地方住，如果每间住 8 人则有

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一间只有 4 人住，问共有多少名学生？【国 2002B-8】

A.30 人 B.34 人 C.40 人 D.44 人

【例 22】一块金与银的合金重 250 克，放在水中减轻 16 克。现知金在水中重量减轻 1/19，银在水中

重量减轻 1／10，则这块合金中金、银各占的克数为多少克？【国 2000-29】

A.100 克，150 克 B.150 克，100 克 C.170 克，80 克D.190 克，60 克

【例 23】师徒二人负责生产一批零件，师傅完成全部工作数量的一半还多 30 个，徒弟完成

了师傅生产数量的一半，此时还有 100 个没有完成，师徒二人已经生产多少个？【国 1999-35】

A.320

B.160 C.480 D.580

【例 24】一只木箱内有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个。小明一次取出 5 个黄球、3 个白球， 这样操作 N 次后，白球拿完了，黄球还剩?8 个；如果换一种取法：每次取出 7 个黄球、3 个白球，这样操作 M 次后，黄球拿完了，白球还剩 24 个。问原 木箱内共有乒乓球多少个? 【浙江 2005-24】

A.246 个 B.258 个 C.264 个 D.272 个

4 5 ，丙区人

【例 25】某城市共有四个区，甲区人口数是全城的 ，乙区的人口数是甲区的 6 13

4

4000 人，全城共有人口多少万？【浙江 2003-17】 口数是前两区人口数的 ，丁区比丙区多

11

A.18.6 万

B.15.6 万

C.21.8 万

D.22.3 万

1

【例 26】小平在骑旋转木马时说：“在我前面骑木马的人数的 ，加上在我后面骑木马的人 3

数的 ，正好是所有骑木马的小朋友的总人数。”请问，一共有多少小朋友在骑旋转木马?

4

【广东 2004 下-15】

A.11

B.12

C.13

D.14

3

【例 27】甲、乙、丙、丁四人为地震灾区捐款，甲捐款数是另外三人捐款总数的一半，乙

1 1 ，丁捐款 169 元。问

捐款数是另外三人捐款总数的，丙捐款数是另外三人捐款总数的3 4

四人一共捐了多少钱？【广东 2005 上-11】

A.780 元 B.890 元 C.1183 元 D.2083 元

【例 28】两个数的差是 2345，两数相除的商是 8，求这两个数之和？【北京社招 2005-11】

A.2353

B.2896

C.3015

D.3456

【例 29】某剧院有 25 排座位，后一排比前一排多 2 个座位，最后一排有 70 个座位。这个

剧院共有多少个座位？【北京社招 2005-13】

A.1104

B.1150

C.1170

D.1280

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第一章 计算问题模块 第一节 基本计算问题

核心提示 本节基本计算问题因为技巧性较弱，只在地方考试和早年的国考试题当中出现较多。所以，复 习国考的考生可以将本节作为提高自己基本运算速度的练习来做，不需要深究其中的原理。

第二节 凑整法

核心提示 凑整法一般包括以下三种： ? 加/减法凑整法：通过交换运算次序，把可以通过加/减法得到较整的数先进行运算的方法。 ? 乘/除法凑整法：通过交换运算次序，把可以通过乘/除法得到较整的数先进行运算的方法。 ? 参照凑整法：将一个数看成与之接近的另外一个较整的数来计算，然后进行修正的方法。 凑整法不仅仅是一种“运算方法”，更重要的是一种“运算思想”，需要考生灵活应用并学会拓展。 【例 1】12.5 0.76 0.4 8 2.5 的值是（ A.7.6 B.8 C.76

）【国 2002B-09】 D.80

）【国 2002B-10】 D.3877

【例 2】3 999 8 99 4 9 8 7 的值是（

A.3840 B.3855 C.3866

第三节 乘法分配律法

核心提示 正向乘法分配律： ac bc (a b)c 逆向乘法分配律： (a b)c ac bc （又叫“提取公因式法”） 【例 1】454＋999×999＋545 的值为（ ）【国 1999-33】

A.899998 B.999998 C.1008000 D.999000 【例 2】0.0495×2500＋49.5×2.4＋51×4.95 的值是（

）【国 2004A-36】

A.4.95 B.49.5 C.495 D.4950

【例 3】37 18 27 42 的值是（ ）【北京社招 2006-11】 A.1800 B.1850 C.1900 D.2000

【例 4】 231 597

403 769 597 769 231 403

B.1 105

C.1 106

D.95769

( )【江苏 2006A-7】

A.45597

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第四节 公式法

核心提示 ? 平方差： a2 b2 (a b)(a b) a b 2 ? 完全平方和/差： a 2 2ab b 2 ? 立方和/差： a3 b3 (a b)(a2 m ab b2 ) 【例 1】 78

2

22

2

2 78 22 的值是（

B.1000

）【山东 2004-2】 C.1500

D.20000

A.10000

【例 2】173 173 173 162 162 162 （

A.926183

B.936185

C.926187

）【国 2005 二类-38】 D.926189

第五节 分组计算法

【例 1】12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 的值为（ ）【国 1999-31】

C.50 D.-50 A.55 B.-55

【例 2】 12345

A.22222

【例 3】 12345

A.22222

51234 23451 45123 34512 5 的值等于（

B.33333 C.44444 D.55555 51234 23451 45123 34512

B.33333

C.44444

）【江苏 2006C-6】

3 的值等于（

D.55555

）【江苏 2006B-67】

第六节 裂项相加法

1 1 1 1 的值为（ ）【广州 2005-7】 【例 1】计算 ?

2004 2005 1 2 2 3 3 4

2004 1 5050 55 A. B. C. D. 2005 2005 2005 2005

【例 2】

1 1 1 1 的值为【江苏 2006A-9】

＋ ＋…＋ ＋ 2 3 3 4 4 5 99 100

99 1 49 51

A. B. C. D. 100 2 100 100

3 的值是（

29 32

）

【例 3】 3 + 3 + 3 +...+ 2 5 5 8 8 11

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3 A. 32

【例 4】 + B.

7

16

15 C. 32

D. 1 2

1 1 1 1 1 1 1 1

+ + + + + +的值是（ 3 15 35 63 99 143 195 255 6 6 8 A.B.C. 17 19 17

）【浙江 2006-32】 D. 8

19

第七节 整体消去法

【例 1】1994×2002-1993×2003 的值是(

)【国 2004B-37】

D.39

）【国 2001-46】 D.5554

A.9

B.19

C.29

【例 2】1235×6788 与 1234×6789 的差值是（

A.5444

B.5454

C.5544

【例 3】 (873×477-198)÷（476×874＋199)的值是【北京应届 2007-24】

A.1

B.2

C.3

D.4

) 【广东 2004 上-13】

【例 4】19961997×19971996-19961996×19971997 的值是(

A.0 B.1 C.10000 D.100

第八节 尾数法

【例 1】173 173 173 162 162 162 （

A.926183 B.936185 C.926187

）【国 2005 二-38】

D.926189

【例 2】1.12 1.22 1.32 1.42 的值是（ 2005-11】

A.4.98

B.5.49

C.6.06

）【国 2002A-11】【国 2002B-15】【北京应届

D.6.30

【例 3】 3434

A.35

350 35350 34 的值等于【江苏 2006B-66】

B.34

C.1

D.0

【例 4】 12345 51234 23451 45123 34512 3 的值等于（

）【江苏 2006B-67】

A.22222 B.33333 C.44444 D.55555

【例 5】 (873×477-198)÷（476×874＋199)的值是【北京应届 2007-24】

A.1

B.2

C.3

D.4

第九节 乘方尾数问题

1) 2) 乘方尾数问题核心口诀

底数留个位 指数末两位除以 4 留余数(余数为 0 则看作 4) \试用版本创建 www.fineprint.cn PDF 文件使用

【例 1】1999

1998

的末位数字是（ ）【国 2005 一类-38】

A.1

9

B.3 C.7 D.9

【例 2】9

1919 9999 的个位数字是（

B.2

C.3

）【国 2004A-38】

D.7

A. 1

【例 3】1

2007

32007 52007 72007 92007 的值的个位数是（

B.6

2008

）【07 浙江真题】

A.5

【例 4】 2008

C.8 D.9

的值的个位数是（

B.4

1995

）

D.6

A.1 C.8

【例 5】 (1995

19961996 19971997 19981998 )2008 的值的个位数是（

B.3

C.6

D.9

）

A.1

【例 6】 9

A. 1

2008

的个位数是（

B. 2

1989

）。【浙江 2006-31】

C. 8 D. 9

C.5

）【00 国家 2000-28】

D.3

【例 7】1988

A.9

19891988 的个位数是（

B.7 的个位数是（

B.2

【例 8】 2002

A.1

2002

）【广东 2002-96】

C.4 D.6

第十节 估算法

【例 1】 (873×477-198)÷（476×874＋199)的值是【北京应届 2007-24】

A.1

B.2

C.3

D.4

）【国 2004A-36】

【例 2】0.0495×2500＋49.5×2.4＋51×4.95 的值是（

A.4.95 B.49.5 C.495 D.4950

第十一节 比较大小问题

核心提示

比较大小问题也是计算问题当中经常出现的题型。 传统的方法有作差法和作商法，而实际应用较多的是平方法、参照比较法和放缩法等等。 ．．．．．．．．．．．．．．．．． 【例 1】已知甲的 12％为 13，乙的 13％为 14，丙的 14％为 15，丁的 15％为 16，则甲、乙、丙、丁 四个数中最大的数是（ ）【国 2001-47】【广东 2006 上-8】

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A.甲 B.乙 C.丙

D.丁

4 17 101 3 151 中最大的一个是【国 2005 一类-36】【国 2005 二类 【例 2】分数 、 、 、 、 9 35 203 7 301

-37】

A. 4 9

B.

17 35 1C. 101 203

D. 151 301 3 2

）【广州 2005-12】 <

<

【例 3】下列选项中，值最小的是（

A. 3 B. ）【浙江 2002-14】

D.

3 C. 3 1

【例 4】比较大小

13 4 21 11

、 、（ 、 、

3 20 12 10

<

<

B. D.

<

A. C.

3 10 12 20

21 11 13 4 < < < 20 10 12 3

<

3 12 10 20 13 11 4 21

<< <

12 10 3 20

第二章 初等数学模块 第一节

多位数问题

核心提示 多位数问题是针对“一个数及其个位、十位、百位等位置上的数字，以及小数点后一 位、两位、三位等位置上的数字”的问题。 掌握多位数问题首先要掌握多位数的基本概念： 1 位数 从 1 到 9 共 9 个 从 10 到 99 共 90 个 2 位数 从 100 到 999 共 900 个 3 位数 从 1000 到 9999 共 9000 个 4 位数 ?? 另外一定要学会“直接代入法”，这个方法在解决多位数问题时显得非常重要。 【例 1】最大的四位数比最大的两位数大的倍数是（ ）【国 2000-27】 A.99 B.100 C.101 D.102

【例 2】一个三位数，百位上的数比十位上的数大 4，个位上的数比十位上的数大 2，这个

三位数恰好是后两个数字组成的两位数的 21 倍，那么，这个三位数是（ ）【山东 2006-7】

A.532 B.476 C.676 D.735

【例 3】一个小数的小数点向右移动一位与向左移动一位所得的两数之和为 1214.222，这个小数是多

少【江苏 2006A-14】

A．118.82 B.119.22 C．119.82 D．120.22

【例 4】编一本书的书页，用了 270 个数字（重复的也算，如页码 115 用了 2 个 1 和 1 个 5

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共 3 个数字），问这本书一共有多少页？（

A. 117 B. 126 C. 127 ）【国 2008-51】

D. 189

第二节

余数相关问题

余数问题核心基础公式 余数基本关系式：被除数÷除数=商??余数（0≤余数＜除数） 余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数 同余问题核心口诀 “余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期” 1、余同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同 此时该数可以选这个相同的余数，余同取余 例：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1”，则取 1，表示为 60n+1 2、和同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的和相同 此时该数可以选这个相同的和数，和同加和 例：“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1”，则取 7，表示为 60n+7 3、差同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的差相同 此时该数可以选除数的最小公倍数减去这个相同的差数，差同减差 例：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3”，则取-3，表示为 60n-3

【例 1】两个整数相除，商是 5，余数是 11，被除数、除数、商及余数的和是 99，求被除数 是多少？【北京社招 2006-14】 A.12

B.41

C.67

D.71

【例 2】有四个自然数 A、B、C、D，它们的和不超过 400，并且 A 除以 B 商是 5 余 5，A 除以 C 商是 6 余 6，A 除以 D 商是 7 余 7。那么，这四个自然数的和是（ ）【山东 2006-8】

A. 216 B. 108 C. 314 D. 348

【例 3】一个三位数除以 9 余 7，除以 5 余 2，除以 4 余 3，这样的三位数共有（ ）【国 2006 一类-50】【国 2006 二类-34】

A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个 【例 4】一堆苹果，5 个 5 个的分剩余 3 个；7 个 7 个的分剩余 2 个。问这堆苹果的个数最

少为：（ ）【山东 2003】

A.31

B.10

C.23

D.41

【例 5】自然数 P 满足下列条件：P 除以 10 的余数为 9，P 除以 9 的余数为 8，P 除以 8 的 余数为 7。如果：100

A.不存在 B.1 个 C.2 个 D.3 个

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第三节

平年 闰年 判断方法 年份不能被 4 整除 年份可以被 4 整除 星期日期问题

一共天数 365 天 366 天 2 月 有 28 天 有 29 天 共有天数 31 天 30 天（2 月除外）

大月与小月 大月 小月

包括月份 一、三、五、七、八、十、腊（十二）月 二、四、六、九、十一月

【例 1】如果今天的前三天是星期五的前一天，那么明天后面的一天是星期几？【广东

2004-11】

A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期四 【例 2】2003 年 7 月 1 日是星期二，那么 2005 年 7 月 1 日是（

）。【国 2005 一类-41】

D. 星期六

A. 星期三 B. 星期四 C. 星期五

【例 3】2003 年 8 月 1 日是星期五，那么 2005 年 8 月 1 日是（

A. 星期一

B. 星期二

C. 星期三

）。【国 2005 二类-48】

D. 星期四

【例 3】甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔 5 天去一次，乙每隔 11 天去一次， 丙每隔 17 天去一次，丁每隔 29 天去一次，如果 5 月 18 日四人在图书馆相遇，则下一次四 个人相遇是几月几号？（ ）【国 2008-59】

A. 10 月 18 日 B. 10 月 14 日 C. 11 月 18 日 D. 11 月 14 日

第三章

第一节

比例问题模块

普通比例问题

【例题分析】

【例 1】一辆汽车油箱中的汽油可供它在高速公路上行驶 462 公里或者在城市道路上行驶 336 公里，每公升汽油在城市道路上比在高速公路上少行驶 6 公里，问每公升汽油可供该汽车在 城市道路上行驶多少公里?【国 2003B-14】

A.16 B.21 C.32 D.27

【例 2】养鱼塘里养了一批鱼，第一次捕上来 200 尾，做好标记后放回鱼塘，数日后再捕上

100 尾，发现有标记的鱼为 5 尾，问鱼塘里大约有多少尾鱼？【国 2004B-42】

A.200

B.4000

C.5000

D.6000

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第二节

工程问题

【例题分析】

【例 1】一个浴缸放满水需要 30 分钟，排光水需要 50 分钟，假如忘记关上出水口，将这个 浴缸放满水需要多少分钟?【国 2003B-11】

A. 65

B. 75

C. 85

D. 95

【例 2】一项工作，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成。问：两人合作 3 天完成工作 的几分之几? 【国 2002A-7】

1

A. 2 1 B. 3 1 C. 5

D. 1 6

【例 3】完成某项工程，甲单独工作需要 18 小时，乙需要 24 小时，丙需要 30 小时。现按 甲、乙、丙的顺序轮班工作，每人工作一小时换班。当工程完工时，乙总共干了多少小时？ 【广东 2005 上-9】

A.8 小时 B.7 小时 44 分 C.7 小时 D.6 小时 48 分

【例 4】一篇文章，现有甲乙丙三人，如果由甲乙两人合作翻译，需要 10 小时完成，如果由乙丙两人

合作翻译，需要 12 小时完成。现在先由甲丙两人合作翻译 4 小时，剩下的再由乙单独去翻译，需要 12 小 时才能完成，则，这篇文章如果全部由乙单独翻译，要多少个小时完成。【国 2007-57】

A.15 B.18 C.20 D.25

第三节

浓度问题

【例题分析】

【例 1】浓度为 70％的酒精溶液 100 克与浓度为 20％的酒精溶液 400 克混合后得到的酒精 溶液的浓度是多少？【浙江 2007 二类-19】

A.30％ B.32％ C.40％ D.45％ 【例 2】甲容器中有浓度为 4％的盐水 250 克，乙容器中有某种浓度的盐水若干克。现从乙

中取出 750 克盐水，放人甲容器中混合成浓度为 8％的盐水。问乙容器中的盐水浓度约是多 少? 【浙江 2005-19】

A.9.78％ B.10.14％ C.9.33％ D.11.27％ 【例 3】在 20℃时 100 克水中最多能溶解 36 克食盐。从中取出食盐水 50 克，取出的溶液的

浓度是多少？【上海 2005-7】

A.36.0% B.18.0% C.26.5% D.72.0%

第四节

坏表问题

【例题分析】

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【例 1】有一只钟，每小时慢 3 分钟，早晨 4 点 30 分的时候，把钟对准了标准时间，则钟 走到当天上午 10 点 50 分的时候，标准时间是多少【国家 2005 二类-46】

A.11 点整 B.11 点 5 分 C.11 点 10 分 D.11 点 15 分 【例 2】一个快钟每小时比标准时间快 1 分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢 3 分钟。如将

两个钟同时调到标准时间，结果在 24 小时内，快钟显示 10 点整时，慢钟恰好显示 9 点整。 则此时的标准时间是多少【国家 2005 一类-46】

A.9 点 15 分 B.9 点 30 分 C.9 点 35 分 D.9 点 45 分

第五节

十字交叉法

【例 1】某市现有 70 万人口，如果 5 年后城镇人口增加 4％，农村人口增加 5.4％，则全市 人口将增加 4.8％，那么这个市现有城镇人口多少万？【国 2005 一类-40】

A.30 万 B.31.2 万 C.40 万 D.41.6 万 【例 2】某公司职员 25 人，每季度共发放劳保费用 15000 元，已知每个男职员每季度发 580 元，每个女职员比每个男职员每季度多 50 元，该公司男女职员之比是多少？【江苏 2006A-18】

A.2∶1

B.3∶2

C. 2∶3

D.1∶2

第四章 行程问题模块

第一节

平均速度问题

核心提示 等距离平均速度公式： v

2v1v2 v1 v2

【例 1】有一货车分别以时速 40km 和 60km 往返于两个城市，往返这两个城市一次的平均 时速为多少？【国家 1999-39】

A.55km

B.50km

C.48km

D.45km

【例 2】一辆汽车从 A 地到 B 地的速度为每小时 30 千米，返回时速度为每小时 20 千米， 则它的平均速度为多少千米/时？【浙江 2003-20】

A.24 千米／时 B.24.5 千米／时 C.25 千米／时 D.25.5 千米/时 【例 3】一辆汽车以 60 千米/时的速度从 A 地开往 B 地，它又以 40 千米/时的速度从 B 地返回 A 地，则汽车行驶的平均速度为多少千米/小时？【广州 2005-9】

A.50

B.48

C.30

D.20

【例 4】一辆汽车驶过一座拱桥，拱桥的上、下坡路程是一样的。汽车行驶拱桥上坡时的时 速为 6 公里；下坡时的时速为 12 公里。则它经过该桥的平均速度是多少？【广东 2004 上-8】

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A.7 公里/小时 B.8 公里/小时 C.9 公里/小时 D.10 公里/小时

第二节

比例型行程问题

核心提示

路程＝速度×时间（ S1或2

S

v1或2t1或2 ） 路程比＝速度比×时间比，即 1S2 v1 t1 v2 t2

运动时间相等，运动距离正比与运动速度 运动速度相等，运动距离正比与运动时间 运动距离相等，运动速度反比与运动时间

【例题分析】

【例 1】乘火车从甲城到乙城，1998 年初需要 19.5 小时，1998 年火车第一次提速 30％，1999 年第二次提速 25％，2000 年第三次提速 20％。经过三次提速后，从甲城到乙城乘火车只需 要多少小时【国 2005 二类-41】

A.8.19 小时 B.10 小时 C.14.63 小时 D.15 小时

【例 2】 A、B 两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在 A 站和 B 站，甲火车 4 分钟走的路

程等于乙火车 5 分钟走的路程，乙火车上午 8 时整从 B 站开往 A 站，开出一段时间后，甲火车从 A 站出发 开往 B 站，上午 9 时整两列火车相遇，相遇地点离 A、B 两站的距离比是 15∶16，那么，甲火车在什么时 刻从 A 站出发开往 B 站。【国 2007-53】

A.8 时 12 分 B.8 时 15 分 C.8 时 24 分 D.8 时 30 分

第三节 相遇追及问题

核心提示

在相遇追及问题中： 凡有益于相对运动的用“加”，速度取“和”，包括相遇、背离等问题。 凡阻碍 相对运动的用“减”，速度取“差”，包括追及等问题。 【例 1】姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走 40 米，走 80 米后姐姐去追他。姐姐每分钟 走 60 米，姐姐带的小狗每分钟跑 150 米。小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追 弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗共跑了多少米? 【国 2003A-14】

A.600

B.800 C.1200 D.1600

【例 2】红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行 60 米，队尾的王老师以每分钟 步行 150 米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用 10 分钟。求队伍的长度？（ ） 【北京社招 2005-20】

A.630 米 B.750 米 C.900 米 D.1500 米

核心提示

队列相遇追及问题中： 从队尾到队头的时间＝队伍长度÷速度差 从队头到队尾的时间＝队伍长度÷速度和

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第四节

流水行船问题

核心提示 流水行船问题包括顺/逆着水流、风、电梯等问题，核心问题是弄明白： 凡促进相对运动的用“加”，速度取“和”，即顺流取“和”；凡阻碍 相对运动的用“减”，速度取“差”，即逆流取“差”。

【例 1】一艘游轮逆流而行，从 A 地到 B 地需 6 天；顺流而行，从 B 地到 A 地需 4 天。问 若不考虑其他因素，一块塑料漂浮物从 B 地漂流到 A 地需要多少天? 【浙江 2005-22】

A.12 天 B.16 天 C.18 天 D.24 天 【例 2】商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶

梯上，男孩每秒钟向上走 2 个梯级，女孩每 2 秒钟向上走 3 个梯级。结果男孩用 40 秒钟到 达，女孩用 50 秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级【国 2005 一类-47】

A. 80 级 B. 100 级 C. 120 级 D.140 级

第五节

火车过桥问题

核心提示 列车完全在桥上的时间 列车从开始上桥到完全下桥所用的时间 桥长 车长 桥长 车长 列车速度 列车速度

【例 1】某铁路桥长 1000 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用

120 秒，整列火车完全在桥上的时间 80 秒，则火车速度是？【北京社招 2007-21】

A.10 米/秒 B.10.7 米/秒 C.12.5 米/秒 D.500 米/分

第八节

钟面问题

【例 1】中午 12 点整时，钟面上时针与分针完全重合。那么到当晚 12 点时，时针与分针还 要重合了多少次？【广东 2002-98】

A.10 B.11 C.12 D.13

【例 2】 从 12 时到 13 时，钟的时针与分针可成直角的机会有多少次?【国 2006 一类-45】

【国 2006 二类-45】

A.1 次 B.2 次 C.3 次 D.4 次

【例 3】某时刻钟表时针在 10 点到 11 点之间，此时刻再过 6 分钟后分针和此时刻 3 分钟前的时针正

好方向相反且在一条直线上，则此时刻为？【国 2000-30】

A.10 点 15 分 B.10 点 19 分 C.10 点 20 分 D.10 点 25 分

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第五章 计数问题模块

第一节

枚举法

【例 1】有 9 颗相同的糖，从明天起，每天至少吃一颗糖，吃完为止，请问一共有多少种吃糖的方式？

A.256 B.512 C.1024 D.2048

吃糖问题核心公式 吃 N 颗糖，每天至少一颗， 则共有吃糖方法的个数为： 第二节 排列组合问题

核心提示： 排列组合问题是考生最头痛的问题之一，形式多样，对思维的要求相对比较高。 掌握排列组合问题的关键是明确基本概念、熟练基本题型、背诵常用数字。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．核心概念： 加法原理：分类用加法 乘法原理：分步用乘法 排列：与顺序有关 组合：与顺序无关 核心公式： m n P排列公式：

n! n (n 1) (n 2) L (n m 1) (n m)!

组合公式：C n mn! n (n 1) (n 2) L (n m 1) (n m)! m! m (m 1) (m 2) L 1 【例 1】把 4 个不同的球放入 4 个不同的盒子中，每个盒子最多放一个球，有多少种放法？ 【国 2004B-44】

A.24

B.4

C.12

D.10

【例 2】参加会议的人两两都彼此握手，有人统计共握手 36 次，到会共有多少人【上海 2004-18】

A.9

B.10 C.11 D.12

【例 3】林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的二种不同 蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少种不同的选 择方法?【国 2004A-47】

A.4 B.24 C.72 D.144

【例 4】要从三男两女中安排两人周日值班，至少有一名女职员参加，有多少种不同的安排

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方法【江苏 2006A-17】

A.7 B.10

C.14 D.20

【例 5】一张节目表上原有 3 个节目，如果保持这三个节目的相对顺序不变，再添加 2 个新

节目，有多少种安排方法?（ ）【国 2008-57】

A. 20 B. 12 C. 6 D. 4

捆绑法与插空法 捆绑法与插空法是排列组合问题当中常用的解题方式，可以很好的简化问题。 对于这两种方法，大家牢记下面两句话： ?邻问题—捆绑法． 相．．．．．．．． ?邻问题—插空法． 不．．．．．．．． 【例 6】A、B、C、D、E 五个人排成一排，其中 A、B 两人不站一起，共有多少种排法？ A.120 B.72 C.48 D.24

【例 7】A、B、C、D、E 五个人排成一排，其中 A、B 两人必须站一起，共有多少种排法？

A.120 B.72 C.48 D.24

第三节

容斥原理

1】现有 50 名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有 40 人， 例 题 【例

31 人，两种实验都做错的有 4 人，则两种实验都做对的有多 精 讲 化学实验做正确的有

少人【国 2006 一类-42】 A.27 人 B.25 人 C.19 人 D.10 人 【例 2】某大学某班学生总数为 32 人，在第一次考试中有 26 人及格，在第二次考试中有 24

人及格，若两次考试中，都没有及格的有 4 人，那么两次考试都及格的人数是多少【国 2004A-46】

A.22 B.18 C.28 D.26

核 心 涉及到两个集合的容斥原理的题目相对比较简单，可以按照下面公式代入计算：

的个数+ 的个数－ 的个数＝ － 公 式 【例 3】某大学某班学生总数为 32 人，在第一次考试中有 26 人及格，在第二次考试中有 24

人及格，若两次考试中，都及格的有 22 人，那么两次考试都没有及格的人数是多少【国 2004B-46】

A.10

B.4

C.6

D.8

【例 4】某班有 50 名学生，在第一次测验中有 26 人得满分，在第二次测验中有 21 人得满 分。如果两次测验中都没有得满分的学生有 17 人，那么两次测验中都获得满分的人数是多 少? 【广东 2005 上-3】【山东 2004-14】

A.13 人 B.14 人 C.17 人 D.20 人

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【例 5】有 62 名学生，会击剑的有 11 人，会游泳的有 56 人，两种都不会用的有 4 人，问 两种都会的学生有多少人? 【广东 2005 下-8】

A.1 人 B.5 人 C.7 人 D. 9 人 【例 6】一个俱乐部，会下象棋的有 69 人，会下围棋的有 58 人，两种棋都不会下的有 12

人，两种棋都会下的有 30 人，问这个俱乐部一共有多少人？【广东 2006 上-11】

A.109 人 B.115 人 C.127 人 D.139 人 【例 7】电视台向 100 人调查昨天收看电视情况，有 62 人看过 2 频道，34 人看过 8 频道，

11 人两个频道都看过。问，两个频道都没有看过的有多少人？【北京社招 2007-18】

A.4

B.15

C.17

D.28

【例 8】一个停车场有 50 辆汽车,其中红色轿车 35 辆,夏利轿车 28 辆,有 8 辆既不是红色轿车 又不是夏利轿车,问停车场有红色夏利轿车多少辆?【山东 2003-12】

A.14

B.21

C.15

D.22

【例 9】某单位有青年员工 85 人，其中 68 人会骑自行车，62 人会游泳，既不会骑车又不会 游泳的有 12 人，则既会骑车又会游泳的有多少人。【山东 2004-13】

A.57 B.73 C.130 D.69

【例 10】对某单位的 100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中 58 人喜欢看球赛，38 人喜欢看戏剧，52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18 人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有 12 人，则只喜欢看电影的有 多少人【国 2005 一类-45】

A.22 人 B.28 人 C.30 人 D.36 人 【例 11】某工作组有 12 名外国人，其中 6 人会说英语，5 人会说法语，5 人会说西班牙语；

有 3 人既会说英语又会说法语，有 2 人既会说法语又会说西班牙语，有 2 人既会说西班牙语 又会说英语；有 1 人这三种语言都会说。则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多 多少人【国 2006 二类-43】

A. 1 人 B.2 人 C.3 人 D.5 人

【例 12】外语学校有英语、法语、日语教师共 27 人，其中只能教英语的有 8 人，只能教日 语的有 6 人，能教英、日语的有 5 人，能教法、日语的有 3 人，能教英、法语的有 4 人，三 种都能教的有 2 人，则只能教法语的有多少人【国 2005 二类-45】

A.4 人 B.5 人 C.6 人 D.7 人

第四节

抽屉原理问题

核心提示 抽屉原理是看似简单，但思维角度让很多考生头疼的一类问题。背诵抽屉原理相关定 理与公式基本上对解题没任何效果。 处理数学运算当中抽屉原理问题最常用方法：运用“最不利原则”。 ．．．．．．．．． \试用版本创建 www.fineprint.cn PDF 文件使用

【例 1】在一个口袋里有 10 个黑球，6 个白球，4 个红球，至少取出几个球才能保证其中有 白球？【北京应届 2007-15】

A.14

B.15

C.17

D.1849.

【例 2】有红、黄、蓝、白珠子各 10 粒，装在一只袋子里，为了保证摸出的珠子有两粒颜 色相同，应至少摸出几粒？（ ）【国 2004B-48】

A.3

B.4 C.5 D.6

【例 3】一个袋内有 100 个球，其中有红球 28 个、绿球 20 个、黄球 12 个、蓝球 20 个、白 球 10 个、黑球 10 个。现在从袋中任意摸球出来，如果要使摸出的球中，至少有 15 个球的 颜色相同，问至少要摸出几个球才能保证满足上述要求？【浙江 2007 二类-14】

A.78 个 B.77 个 C.75 个 D.68 个

【例 4】从一副完整的扑克牌中，至少抽出多少张牌，才能保证至少 6 张牌的花色相同。

【国 2007-49】

A.21

B.22

C.23

D.24

【例 5】一副扑克牌有四种花色，每种花色各有 13 张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张 牌，才能保证有 4 张牌是同一种花色的? 【浙江 2005-20】

A.12 B.13 C.15 D.16

第五节

比赛计数问题

核心公式：N 支队伍的比赛所需场次

比赛场次=N -1 淘汰赛 仅需决出冠、亚军

比赛场次=N 需决出第1、2、3、4名

2

单循环（任意两个队打一场比赛）比赛场次=C

N

循环赛

双循环（任意两个队打两场比赛）比赛场次=P2

N

【例 1】 100 名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男、女冠军各一名，则要安排单打赛多少 场【国 2006 二类-41】

A.90 B.95 C.98 D.99 【例 2】某足球赛决赛，共有 24 个队参加，它们先分成六个小组进行循环赛，决出 16 强，这 16 个队

按照确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军和第三、四名。总共需要安排 场比赛【上海 2004-16】

A.48 B.51 C.52 D.54

【例 3】有 101 位乒乓球运动员在进行冠军争夺赛。通过比赛，将从中产生一名冠军。这次 比赛实行捉对淘汰制。在一轮比赛全部结束后，失败者失去继续比赛的资格，而胜利者再次 抽签，参加下一轮的比赛。问一共要进行多少场比赛才能最终产生冠军？【广东 2004 上-6】

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A.32 B.63 C.100 D.101

第六节

植树相关问题

核心公式 线形植树： 单边植树 双边植树 楼间植树： 单边植树 双边植树 环形植树： 单边植树 双边植树 棵数=总长 间隔+1 棵数= 总长 间隔+1 2 棵数=总长 间隔-1 棵数= 总长 间隔-1 2

棵数=总长 间隔 棵数=总长 间隔 2 【例 1】有一条大街长 20 米，从路的一端起，每隔 4 米种一棵树，则共有多少棵树？

A.5 棵 B.4 棵 C.6 棵 D.12 棵

【例 2】一块三角地，在三个边上植树，三个边的长度分别为 156 米、186 米、234 米，树 与树之间的距离均为 6 米，三个角上都必须栽一棵树，问共需植树多少棵? 【国 2002A-13】

【国 2002B-19】

A.90 棵 B.93 棵 C.96 棵 D.99 棵

【例 3】有两座塔间距 140 米，两塔间每隔 20 米种一棵树，则共有多少棵树？

A.7 棵 B.6 棵 C.8 棵 D.5 棵

【例 4】把一根钢管锯成 5 段需要 8 分钟，如果把同样的钢管锯成 20 段需要多少分钟? 【广

东 2005 下-12】

A.32 分钟 B.38 分钟 C.40 分钟 D.152 分钟

【例 5】将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪 6 刀。问这样操作后，原来的绳

子被剪成了几段？【浙江 2006-38】 A.18 段 B.49 段 C.42 段 D.52 段

剪绳问题核心公式 一 根绳连续对折 N 次，从中 M 刀，则被剪成了(2N×M+1)段

【例 6】一张面积为 2 平方米的长方形纸张，对折 3 次后得到的小长方形的面积是（ 【国 2008-50】

）

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A. m

1 2

2

B. m

1 3

2

C. m

1 4

2

D. m

1 8

2

第八节 方阵问题

假设方阵最外层一边人数为 N，则： 一、实心方阵人数=N×N 二、最外层人数=（N－1）×4

核心提示

【例 1】某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是 60 人，问这个方阵共有学生多少人？ 【国 2002A-9】【国 2002B-18】

A.256 人 B.250 人 C.225 人 D.196 人 【例 2】小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围

成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用 5 枚硬币，则小红 所有五分硬币的总价值是多少？【国 2005 一类-44】【国 2005 二类-44】

A. 1 元 B. 2 元 C. 3 元 D. 4 元

【例 3】某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是 96 人，问这个学校共有学生：【浙 江 2003-18】

A.600 人 B.615 人 C.625 人 D.640 人

第九节

过河问题

【例 1】有 37 名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载 5 人，需要几次才能渡完？

【广东 2005 上-10】

A.7 次 B.8 次 C.9 次 D.10 次 【例 2】49 名探险队员过一条小河，只有一条可乘 7 人的橡皮船，过一次河需 3 分钟。全体

队员渡到河对岸需要多少分钟？（ ）【北京应届 2006-24】

A.54 B.48 C.45 D.39

【例 3】32 名学生需要到河对岸去野营，只有一条船，每次最多载 4 人（其中需 1 人划船）， 往返一次需 5 分钟，如果 9 时整开始渡河，9 时 17 分时，至少有（ ）人还在等待渡河。 【国 2007-54】

A.15 B.17 C.19 D.22

【例 4】有一只青蛙掉入一口深 10 米的井中。每天白天这只青蛙跳上 4 米晚上又滑下 3 米，

则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出?

A.7

B.8

C.9

D.10

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第六章 几何问题模块

第一节

周长相关问题

核心提示 常用周长公式 正方形周长C ? 4a ；长方形周长C

? 2(a b) ；圆形周长C ? 2p R

【例题分析】

【例 1】假设地球是一个正球形，它的赤道长 4 万千米。现在用一根比赤道长 10 米的绳子 围绕赤道一周，假设在各处绳子离地面的距离都是相同的，请问绳子距离地面大约有多高? 【国 2003A-15】

A.1.6 毫米 B.3.2 毫米 C.1.6 米 D.3.2 米 【例 2】一个等腰三角形，一边长是 30 厘米，另一边长是 65 厘米，则这个三角形的周长是

多少厘米【浙江 2004-14】

A.125 厘米 B.160 厘米 C.125 厘米或 160 厘米 D.无法确定

核心提示 在处理三角形周长相关问题时要注意“三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边。”

第二节 面积相关问题

核心提示 常用周长公式 2 正方形面积 S S ? ? a；长方形面积

2 ab ；圆形面积 S p R ? 三角形面积 S 梯形面积 S梯形

1 ah ； 平行四边形面积 S ? ah ； 2 1 n 2 a b h ； 扇形面积 S扇形 p R 2 360

【例 1】把圆的直径缩短 20％，则其面积将缩小多少？【浙江 2007 二类-20】

A.40％ B.36％ C.20％ D.18％

【例 2】一个正方形的边长增加 20%后，它的面积增加百分之几? 【国 2002A-12】【山东

2003-13】

A.36%

B.40%

C.44%

D.48%

【例 3】有一个正方形花池，周围用边长 25cm 的方砖铺了一条宽 1.5 米 的小路，共用 1776 块。花池的面积是多少平方米？【北京应届 2007-21】

A.111 B.289

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C.400 D.10404

【例 4】半径为 5 厘米的三个圆弧围成如右图所示的区域，其中 AB 弧与 AD 弧为四分之一 圆弧，而 BCD 弧是一个半圆弧，则此区域的面积是多少平方厘米? 【国 2004A-41】

A.25 B.5π C.50 D.50+5π

第三节

周长-面积问题

【例 1】把一个边长为 4 厘米的正方形铁丝框制成两个等周长的圆形铁丝框，铁丝的总长不 变，则每个圆形铁丝框的面积为多少平方厘米？【国 2002B-7】

A.16π B.8π C.8/π D.16/π 【例 2】用同样长的铁丝围成三角形、圆形、正方形、菱形，其中面积最大的是【山东 2004-10】 A.正方形 B.菱形 C.三角形 D.圆形

第四节 角度相关问题

核心提示

三角形内角和 180° N 边形内角和为 N 2 180

【例 1】三角形的内角和为 180 度，问六边形的内角和是多少度？【国家 2002B-12】

A.720 度 B.600 度 C.480 度 D.360 度 【例 2】一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来方向上平 行前进，那么，这两次拐弯的角度可能是（ ）【山东 2006-6】 A. 第一次右拐 50 度，第二次左拐 130 度

B. 第一次右拐 50 度，第二次左拐 50 度 C. 第一次左拐 50 度，第二次左拐 50 度 D. 第一次右拐 50 度，第二次右拐 50 度

第五节

正方体的表面积 6a2 球的表面积 4p R2 p D2 表面积问题

核心提示

长方体的表面积 2ab 2bc 2ac 圆 柱的表面积 2p Rh 2p R2 侧面积 2p Rh 【例 1】一个油漆匠漆一间房间的墙壁，需要 3 天时间。如果用同等速度漆一间长、宽、高 都比原来大一倍的房间的墙壁，那么需要多少天？【国 2004B-40】 A.3 B.12 C.24 D.30 \试用版本创建 www.fineprint.cn PDF 文件使用

【例 2】设有边长为 2 的正方体。假定在它顶上的面再粘上一个边长为 1 的 正方体（如右图）。试问新几何体的表面积比原正方体的表面积增加的百分 比最接近于下面哪一个数？【国 2004B-39】

A.10 B.15 C. 17 D.21

第六节 体积问题 核心提示

正方体的体积 a3 长方体的体积 abc 圆 柱的体积 2 2 圆 锥的体积 1 p R p Rh 【例 1】甲、乙两个容器均有 50 厘米深，底面积之比为 5h∶4，甲容器水深 9 厘米，乙容器水深 5 厘米， 3

再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是多少厘米？【国 2007-56】

A.20 厘米 B.25 厘米 C.30 厘米 D.35 厘米

4 31 3 球的体积 p R p D3 6

【例 2】一家冷饮店，过去用圆柱形的纸杯子装汽水，每杯卖 2 元钱，一天能卖 100 杯。现

在改用同样底面积和高度的圆锥形纸杯子装，每杯只卖 1 元钱。如果该店每天卖汽水的总量 不变，那么现在每天的销售额是过去的多少? 【国 2003B-12】

A.50% B.100% C.150% D.200%

【例 3】一间长 250 米、宽 10 米、高 4 米的仓库放置了 1000 个棱长为 1 米的正方体箱子，

剩余的空间为多少立方米？【北京应届 2006-20】

A.0

B.1500

C.5000

D.9000

【例 4】在一个长 16 米，宽 12 米，高 8 米的库房中最多可以装下多少只长 4 市尺，宽 3 市 尺，高 2 市尺的箱子? 【浙江 2003-15】

A.1564

B.1728

C.1686

D.1835

)

【例 5】相同表面积的四面体、六面体、正十二面体及正二十面体其中体积最大的是( 【国 2008-49】

A. 四面体 B. 六面体 C. 正十二面体 D. 正二十面体

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第七章

第一节

杂题模块

年龄问题

。【上海 2004-10】

【例 1】小明今年 a 岁，芳芳明年（a-4）岁，再过 c 年，他们相差

A. 4 岁 B. c+4 岁 C. 5 岁 D. c-3 岁

【例 2】今年父亲年龄是儿子年龄的 10 倍，6 年后父亲年龄是儿子年龄的 4 倍，则今年父亲、

儿子的年龄分别是（ ）。【国 2000-31】

A.60 岁，6 岁 B.50 岁，5 岁 C.40 岁，4 岁 D.30 岁，3 岁 【例 3】甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才 4 岁。乙对甲说：当我的岁数到你现

在岁数时，你将有 67 岁。甲乙现在各有（ ）【国 2005 一类-49】【国 2005 二类-49】

A. 45 岁，26 岁 B. 46 岁，25 岁 C. 47 岁，24 岁 D. 48 岁，23 岁

【例 4】小白兔说：“妈妈，我到您现在这么大时，您就 13 岁啦！”大白兔说：“我像你这么大年龄时， 你只有 1 岁。”请问小白兔现在几岁？

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【例 5】在 1 和 31 之间插入 4 个数字构成 6 个数字的等差数列，请问正中间两个数字分别 是多少？

A. 12，19 B. 13，19 C. 12，18 D. 13，18

第二节

经济利润相关问题

经济利润相关问题核心公式： I II 总价＝单价×销售量；总利润＝单件利润×销售量 利润＝售价－成本 利润率＝利润/成本＝（售价－成本）/成本＝（售价/成本)－1 III “二折”，即现价为原价的 20%，“九折”，即现价为原价的 90% 【注释】现价为原价的 85%，可叫做“八五折”或“八点五折”

【例 1】张先生向商店订购某种商品 80 件，每件定价 100 元。张先生向商店经理说：“如果 你肯减价，每减 1 元，我就多订购 4 件。”商店经理算了一下，如果减价 5％，由于张先生 多订购，仍可获得与原来一样多的利润。则这种商品每件的成本是多少元【国 2005 二类-42】

A.75 元 B.80 元 C.85 元 D.90 元 【例 2】某商品按每个 5 元利润卖出 11 个的钱，与按每个 11 元利润卖出 10 个的钱一样多，

这种商品的成本是多少元？【北京社招 2006-19】

A.11 B.33 C.55 D.66

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220％，乙亏损 25％，两 【例 3】甲、乙两种商品，甲的成本价是乙的1 倍，出售时甲得利

3

者合算，还得利 20 元，求甲种商品成本价【山东 2006-9】

A.450 元

B.400 元

C.350 元

D.300 元

【例 4】一种收录机，连续两次降价 10％后的售价是 405 元，那么原价是多少元【国 2001-51】

A.490 B.500 元 C.520 元 D.560 元 【例 5】某商场促销，晚上八点以后全场商品在原来折扣基础上再打 9.5 折，付款时满 400

元再减 100 元，已知某鞋柜全场 8.5 折，某人晚上九点多去该鞋柜买了一双鞋，花了 384.5 元，问这双鞋的原价为多少钱？（ ）【国 2008-58】

A. 550 元 B. 600 元 C. 650 元 D.700 元

第三节

分段计算问题

【例 1】某市居民生活用电每月标准用电量的基本价格为每度 0.50 元，若每月用电量超过标 准用电量，超出部分按其基本价格的 80%收费，某户九月份用电 84 度，共交电费 39.6 元， 则该市每月标准用电量为多少度【国 2006 一类-41】

A.60 度 B.65 度 C.70 度 D.75 度

【例 2】为节约用水，某市决定对用水收费实行超额超收，月标准用水量以内每吨 2.5 元， 超过标准的部分加倍收费，某用户某月用水 15 吨，交水费 62.5 元，若该用户这个月用水 12 吨，则交水费是多少？（ ）【国 2008-53】

A. 42.5 元 B. 47.5 元 C. 50 元 D. 55 元

第四节

牛吃草问题

牛吃草问题核心公式

草场原有草量＝（牛数－每天长草量）×天数

【例 1】有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天，15 头牛吃 10 天，则它可供 25 头牛吃多少天？

A.3

B.4

C.5

D.6

【例 2】有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天，15 头牛吃 10 天，则它可供多少头牛吃 4 天？ 【广东 2003-14】

A.20

B.25 C.30 D.35

【例 3】有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用 2 台抽水机 排水，则用 40 分钟能排完；如果用 4 台同样的抽水机排水，则用 16 分钟排完。问如果计划 用 10 分钟将水排完，需要多少台抽水机？【广东 2006 上-14】

A.5 台 B.6 台 C.7 台 D.8 台

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【例 4】有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10 台抽水机需抽 8 小时， 8 台抽水机需抽 12 小时，如果用 6 台抽水机，那么需抽多少小时？【北京社招 2006-18】

A.16 B.20 C.24 D.28

【例 5】林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可以在 9 周内吃光，21 只猴子可以在 12 周

内吃光，问如果有 33 只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）【浙江 2007 一类-24】

A.2 周 B.3 周 C.4 周 D.5 周

第五节

盈亏问题

【例 1】若干学生住若干房间，如果每间住 4 人则有 20 人没地方住，如果每间住 8 人则有 一间只有 4 人住，问共有多少名学生？【国 2002B-8】

A.30 人 B.34 人 C.40 人 D.44 人 【例 2】若干个同学去划船，他们租了一些船，若每船 4 人则多 5 人，若每船 5 人则船上有 4 个空位，共有多少个同学？（ ）【北京应届 2006-23】

A. 17

B. 19

C. 26

D. 41

【例 3】有一堆螺丝和螺母，若一个螺丝配 2 个螺母，则多 10 个螺母；若 1 个螺丝配 3 个 螺母，则少 6 个螺母。共有多少个螺丝？【北京社招 2007-19】

A.16 B.22 C.42 D.48

第六节

鸡兔同笼问题

【例 1】鸡、兔同笼，共有头 40 个，足 92 只，求兔子有多少只？

A.5 只 B. 6 只 C. 7 只 D. 8 只

【例 2】100 个馒头给 100 个和尚吃，大和尚每人吃 3 个，小和尚每 3 人吃 1 个，大和尚有

多少人？

A.15 B.25 C.50 D.75

【例 3】有蜘蛛,蜻蜓,蝉三种动物共 18 只，共有 118 条腿，20 对翅膀，那么蝉有多少只?（蜘

蛛有八条腿，没有翅膀；蜻蜓有六条腿，两对翅膀；蝉有六条腿，一对翅膀）

A.5 B.6 C.7 D.8

第七节

统筹问题

【例题分析】

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【例 1】早晨妈妈要烙三张饼，每张饼每面需要烙两分钟，但锅里只能同时放入两张饼，则

至少需要多少分钟才能将饼全部烙好？ A.3 B.4 C.6 D.8 烙饼问题核心公式 如果已知共需烙的饼的个数、饼每个面需要烙的时间（默认每个饼需要烙两个面）、 用来烙饼的锅的个数（等同于一个锅里最多同时放饼的个数），则：

饼的个数 2 每个面需要烙的时间 最少需要的烙饼时间= 锅的个数

此公式理论上适用于所有“锅的个数≤饼的个数”的烙饼问题。 【例 2】在一条公路上每隔 100 公里有一个仓库，共有 5 个仓库，一号仓库存有 10 吨货物， 二号仓库存有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两个仓库是空的。现在要把所有的 货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1 公里需要 0.5 元运输费，则最少需要运费？ 【国 2006 一类-48】【国 2006 二类-37】

10 20 0 0 40

一号 A.4500 元

二号 三号 四号 C.5500 元

五号

D.6000 元

B.5000 元

“非闭合运输集中”问题核心法则

在非闭合的路径上（包括线形、树形等，不包括环形）有多个“点”，每个点之间通过 “路”来连通，每个“点”上有一定的货物，需要用优化的方法把货物集中到一个“点”上 的时候，通过以下方式判断货物流通的方向：

判断每条“路”的两侧的货物总重量，在这条“路”上一定是从轻的一侧流向重的一 侧。

【例 3】一个车队有三辆汽车，担负着五家工厂的运输任务，这五家工厂分别需要 7、9、4、10、6 名 装卸工，共计 36 名；如果安排一部分装卸工跟车装卸，则不需要那么多装卸工，而只需要在装卸任务较多 的工厂再安排一些装卸工就能完成装卸任务，那么在这种情况下，总共至少需要（ ）名装卸工才能保 证各厂的装卸需求。【国 2007-59】 A.26 B.27

C.28 D.29 A 厂 甲 7 6 E 厂 乙 9 B 厂

装卸问题核心公式 如果有 M 辆车和 N（N>M）个工厂，所 需装卸工的总数就是需要装卸工人数最多的 M 个工厂所需的装卸工人数之和。（若 M≥N， 则把各个点上需要的人加起来即答案） 10 4 C 厂 丙 D 厂 \试用版本创建 www.fineprint.cn PDF 文件使用

【小节练习】

【题 01】某大型企业的 8 个车间分布在一条环形铁路旁（如图）。 四列货车在铁道上转圈，货车到某一车间时，所需装卸工的人数已 在图上标出，装卸工可以固定在车间，也可以随车流动。问：至少 需要多少装卸工才能满足装卸要求？

A.235 B.237 C.238

D.239

【题 02】 如图，姚乡长召集甲、乙、丙、丁、戊、己六个村的干部参加会议，这六个村子 每两个村子之间的间隔和每个村参加会议的人数如图所示。请问姚乡长应该在哪个村子召集 会议可以使所有参加会议的人所走路程和最小？

A. 乙

B. 丙

C. 丁

15km 丙村

D. 戊

3km

5km

9km

甲村

5人

乙村 7人

丁村 3人

10人

戊村己村 12人 8人

1km

F

7吨 B

A 7吨

H 5吨 4吨 C

8吨

【题 03】 某镇共有八块麦地，每块麦地的产量如图 E

所示。如果单位重量的小麦单位距离运费是固定的， 2吨 那么把麦场设在什么地方最省总运费？

A.姚庄 B.李庄 C.江庄 D.张庄

G

D 5吨

12吨

A-张庄、B-姚庄、C-李庄、D-江庄 E-王庄、F-钱庄、G-黄庄、H-易庄

第九节

杂题专辑

【例 1】8 个一元真币和 1 个一元假币混在一起，假币与真币外观相同，但比真币略重。问 用一台天平最少称几次就一定可以从这 9 个硬币中找出假币？【浙江 2007 二类-15】

A.2 次 B.3 次 C.4 次 D.5 次 【例 2】如果 4 个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有 15 个矿泉水空瓶，不交钱最多可以

喝矿泉水多少瓶。【国 2006 二类-33】

A.3 瓶 B.4 瓶 C.5 瓶 D.6 瓶 【例 3】某品牌啤酒可以用 3 个空瓶再换回 1 瓶啤酒，某人买回 10 瓶啤酒，则他最多可以

喝到多少瓶啤酒【上海 2004-17】

A.13 B.15 C.16 D.17

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