4大数定理及中心极限定理典型题解

第四章 大数定理与中心极限定理典型题解

1．计算器在进行时，将每个加数舍入，最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在(?0.5,0.5)上服从均匀分布，将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

解 设第k个加数的舍入误差为Xk(k?1,2,?,1500),已

Xk在(?0.5,0.5)15001上服从均匀分布，故知E(Xk)?0,D(Xk)?．记X??Xk，由中心极限定理，

12k?1当n充分 时有近似公式

P{X?1500?01500112?x}??(x)，

于是

P{x?15}?1?P{x?15}?1?P{?15?X?15}?15?0X?015?0??}15001150011500112121215?15 ?1?[?()??()]1500115001121215?1?[2?(?1]?2?(1.342)?2[1?0.9099]150012?0.1802.即误差总和的绝对值超过15的概率近似地为0.1802．

2．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现在从这批木柱中地取100根，求其中至少有30根短于3m的概率．

?1?P{解 以X记被抽取的100根木柱长度短于3m的根数，则X~b(100,0.2)．于是由中心极限定理得

P{X?30}?P{30?X??}30?100?0.2X?100?0.2??100?0.2??}100?0.2?0.8100?0.2?0.8100?0.2?0.830?20??(?)??()?1??(2.5)

16?1?0.9938?P{?0.0062.3．将一枚硬币投掷49次，（I）求至多出现28次正面的概率；（II）求出现20-25次正面的概率．

解 以X表示49次投掷中出现正面的次数，则有X~b(49,1)．

2（I）由中心极限定理得

12)??(1)?0.8413； P{X?28}??(1149??2228?49?（II）由中心极限定理得

1120?49?2)??(2)??(1)??(?9)P{20?X?25}??(77 111149??49??2222?0.5557?0.0985?0.4572.25?49?4．某厂有同号机器100台，且独立工作，在一段时间内每台正常工作的概率为0.8．求正常工作的机器超过85台的概率．

解 设?为100台中正常工作的机器数，则?~B(100,0.8)，且

np?E??80, npq?D??16．

由中心极限定理可得所求概率为

P{??85}?1?P{0???85}?1?P{?1?[?(1.25)??(?20)]?0.1056.0?80??8085?80??} 4445．一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的．假设每箱平均重

50kg，标准差5kg．若用最大载重量5t的汽车承运最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977．

解 设n为每辆车所装的箱数，?i(i?1,2,?,n)是装运的第i箱的重量，且

E?i?50,D?i?25．n箱的总重量 ???1??2????n有E??50n,D??25n，由中心极限定理?近似服从正态分布N(50n,25n)．现求使下面不等式成立的n:

P{??5000}?P{??50n5n?5000?50n5n1000?10n}??()?0.977

n查正态分布表得

1000?10nn?2，

从而n?98.0199，即最大可以装98箱．

6．设一大批产品中一级品率为10%，现从中任取500件，这500件中一件级品的比例与10%之差的绝对值小于2%的概率．

解 设?为所取500件中的一级品数，则?~B(500,0.1)且

E??50, D??45

由中心极限定理得

P{?500?0.1?0.02}?P{??50?10}?P{??5045?10}45

?2?(1.49)?1?0.8638.7．设一袋味精的重量是随机变量，平均值100g,标准差2g．求100袋味精的重量超过10.05kg的概率．

解 设?i(i?1,2,?100)第i袋味精的重量，100袋的总重量

???1??2????100，

而E?i?100,D?i?4，所以所求概率为

0?100?100??100?10010050?100?100??}100?2100?2100?2?1?[?(2.5)??(?500)]?1?0.99379?0.00621.P{??10050}?1?P{0???10050}?1?P{ 8．一本200页的书，每页上的错误数服从参数为0.1的泊松分布，求该书的错误数大于15个的概率．

解 设?为该书的总错误数，则E??20，D??20,于是所求概率为

0?20??2015?20??}202020

?1?[?(?1.12)??(?4.47)]?0.8686.P{??15}?1?P{0???15}?1?P{9．某射手打靶，得10分，9分，8分，7分，6分的概率分别为 0.5,0.3,0.1,0.05,0.05．现射击100次，求总分多于880分的概率．

解 设?为100次射击的总分数，依题意，E??915,D??122.75．根据中心极限定理得

P{??880}?1?P{0???915}?1?P{?1??(?3.16)?0.9992.0?915??915880?915??}122.75122.75122.75

10．一生产过程的次品率为12%，随机地自这一生产过程生产的产品中取出

120只，求次品不多余15只的概率．

解 以X记120只产品中的次品数，则X~B(120,0.12)．所需求的概率为

X?120?0.1215?120?0.12?}120?0.12?0.88120?0.12?0.88

??(0.17)?0.5675.P{X?15}?P{11．某种难度很大的心脏手术成功率为0.9，对100个病人进行这种手术，以X记手术成功的人数．求P{84?X?95}．

解 依题意有

95?100?0.984?100?0.9)??()100?0.9?0.1100?0.9?0.1

??(1.67)??(?2)?0.9525?0.9772?1?0.9297.P{84?X?95}??(12．在一零件商店中，其结帐柜台替各顾客服务的时间（以分计）是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1.求对100位顾客的总服务时间不多余2小时的概率．

解 以Xi(i?1,2,?,100)记对第i位顾客的服务时间．按题设需求概率为

P{?Xii?1100??120}?P{100i?1Xi?100?1.5100?1?120?100?1.5}100?1

120?150??()??(?3)?0.0013.1013．某种电子元件的寿命服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互独立，随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率．

解 设X为100只元件的寿命之和，则E(X)?200,D(X)?400，则所求概率为

P{X?180)?1?P{0?X?180}?1?{?1?[?(?1)??(?10)]?0.8413.0?200X?200180?200??}400400400

14．某工厂有200台同类型的机器，每台机的实际工作时间只占全部工作时

间的75%，各台机器是否工作是相互独立的，求一时刻有144至160台机器正在工作的概率．

解 设随机变量Y表示任一时刻正在工作的机器的台数，则Y服从二项分布

B(200,0.75)．所以所求概率为

160?200?0.75144?200?0.75)??()200?0.75?0.25200?0.75?0.25

??(1.63)??(?0.98)?0.7849.P{144?Y?160}??(115．在次品率为的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用中心极限定

6理计算抽取的产品中次品书在40~60之间的概率．

解 设X为300件产品中次品的件数，依题意知

1250X~B(300,),E(X)?50,D(X)?，

66利用中心极限定理得

40?60X?5060?50P(40?X?60)?P(??250250250

666??(1.55)??(?1.55)?2?(1.55)?1?0.8788.

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