北京市东城区2022_2022学年高一数学下学期期末考试试题

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2016-2017学年下学期高一年级期末考试数学试卷 本试卷共100分，考试时长120分钟。

第一部分（选择题 共36分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 某同学参加期末模拟考试，考后对自己的语文和数学成绩进行了如下估计：语文成绩（x ）高于85分，数学成绩（y ）不低于80分，用不等式组可以表示为

A. ???≥>.80,85y x

B. ???≥<.80,85y x

C. ???>≤.80,85y x

D. ???<>.

80,85y x

2. 在数列}{n a 中，*1,1N n a a n n ∈+=+，则数列的通项可以是

A. 1+-=n a n

B. 1+=n a n

C. n n a 2=

D. 2n a n =

3. sin43°cos17°＋cos43°sin17°的值为

A. 21

B. 22

C. 23

D. 1

4. 在等差数列}{n a 中，已知15,2853=+=a a a ，则10a ＝

A. 64

B. 26

C. 18

D. 13

5. 执行如图所示的程序框图，则输出的s 值为

A. 21-

B. 32

C. 2

D. 3

6. 现有八个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这八个数中随

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———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升——————— - 2 - 机抽取一个数，则它大于8的概率是

A. 87

B. 85

C. 21

D. 8

3 7. 若不等式n m <与

n m 11<（m ，n 为实数）同时成立，则 A. 0<<n m B. n m <<0

C. n m <<0

D. 0>mn 8. 欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，

采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两个观测点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据：6≈2.45，sin75°≈0.97）

A. 170米

B. 110米

C. 95米

D. 80米

9. 已知}{n a 为等比数列，n S 为其前n 项和。若5,151213=-=-a a a a ，则4S ＝

A. 75

B. 80

C. 155

D. 160

10. 甲、乙、丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图所示。若s 甲，s 乙，s 丙分别表示他们测试成绩的标准差，则它们的大小关系为

A. 乙甲丙s s s <<

B. 乙丙甲s s s <<

C. 甲丙乙s s s <<

D. 甲乙丙s s s << 11. 若在区间［0，2］中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于3

2的概率是 A. 91 B. 31 C. 94 D. 3

2

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- 3 - 12. 已知数列2016，2017，1，－2016，－2017，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2017项之和等于

A. 0

B. 2016

C. 2017

D. 4033

第二部分（非选择题 共64分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。将答案填在题中横线上。

13. 不等式022≤-x x 的解集为___________。

14. 某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表所示。已知在全年级中随机抽取1名学生，抽到二班女生的概率是0.2，则x ＝________。现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为__________。

一班 二班 三班 女生人数

20 x y 男生人数 20 20 z 注度的评判标准，为了提升公众号的关注度，进一步了解大家的需求，小亮对之前推送的100篇文章的阅读量进行了统计，得到如下的频率分布直方图：

则图中的a ＝__________。

16. 当0>x 时，不等式a x

x ≥+1恒成立，则实数a 的取值范围是__________。 17. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*,1N n S a n n ∈=+，则1a ＝_______；n a ＝

___________。

18. 某共享单车公司欲在某社区投放一批共享单车，单车总数不超过100辆。现有A ，B 两种型号的单车：其中A 型为运动型，成本为500元/车，骑行半小时需花费0.5元；B 型车为轻便型，成本为3 000元/车，骑行半小时需花费1元。若公司投入成本资金不能超过10万元，且投入的车辆平均每车每天会被骑行2次，每次不超过半小时（不足半小时按半小时计

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算），则在该社区单车公司每天可获得的总收入最多为_________元。

三、解答题：本大题共5小题，共46分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19. （本题满分7分）

在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3。

（Ⅰ）求∠ADC 的大小；

（Ⅱ）求AB 的长。

20. （本题满分7分）

已知}{n a 为等差数列，6512,12a a a =-=。

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式以及前n 项和n S ；

（Ⅱ）求使得14>n S 的最小正整数n 的值。

21. （本题满分10分）

已知0cos 2sin =-αα。

（Ⅰ）求)4tan(πα+

的值； （Ⅱ）求α

αααsin sin cos 2sin -的值。 22. （本题满分10分）

长时间使用手机上网，会严重影响学生的身体健康。某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长（小时）作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）。

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- 5 - （Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；

（Ⅱ）从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求a>b 的概率。

23. （本题满分12分）

已知函数)(x f ，给出如下定义：若),(),(21x f x f …，)(x f n ，…均为定义在同一个数集下的函数，且))(()(,)(11x f f x f x x f n n -==，其中4,3,2=n ，…，则称)(),(21x f x f ，…，)(x f n ，…为一个嵌套函数列，记为)}({x f n 。若存在非零实数λ，使得嵌套函数列)}({x f n 满足)()(1x f x f n n λ=+，则称)}({x f n 为类等比函数列。

（Ⅰ）已知)}({x f n 是定义在R 上的嵌套函数列，若412)(+=

x x f 。 ①求)2(),2(),2(321f f f ； ②证明}21)({-x f n 是类等比函数列。

（Ⅱ）已知)}({x g n 是定义在),1(+∞上的嵌套函数列。 若)1(21)(x

x x g +=，求证：x x x g x g n n n 121|)()(|1-<-+。

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- 6 -

【试题答案】

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

三、解答题：本大题共5小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19. （本题满分7分） 解：（I ）在△ADC 中，

由余弦定理，得cos ∠ADC ＝DC

AD AC DC AD ?-+22

22

2

1

35249925-=??-+=

。

2分

又∠ADC ∈（0，180°）， 所以∠ADC ＝120°。

4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠ADC ＝120°， 所以在△ABD 中，∠ADB ＝60°。 由正弦定理，得

B

AD

ADB AB sin sin =

∠， 5分

所以6252

223

545sin 60sin 5sin sin =?

=

?

?

=∠?=

B ADB AD AB 。

7分

20. （本题满分7分）

解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，则有)5(2411d a d a +=+，即061=+d a 。 由121-=a ，可得2=d ，

故*

,142)1(212N n n n a n ∈-=-+-=，

2分

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- 7 - n n n n S n 132142122-=?-+-=。 4分

（Ⅱ）由14>n S 可得14132>-n n ，解得14>n 或1-<n （舍），

所以满足条件的最小正整数15=n 。

7分 21. （本题满分10分）

解：（Ⅰ）由已知，得2tan =α，

2分 所以32

112tan 11tan )4tan(-=-+=-+=+ααπ

α。 4分 （Ⅱ）原式＝αα

αααααα2cos sin )1cos 2(sin sin sin cos sin 222=-=-， 7分 53tan 1tan 1cos sin sin cos sin cos 2cos 22222222-=+-=+-=-=ααααααααα。 10分

注：其他方法相应给分。

22. （本题满分10分）

解：（Ⅰ）A 班样本数据的平均值为17)312014119(51=++++，

B 班样本数据的平均值为19)2625211211(51=++++，

据此估计B 班学生平均每周上网时间较长。…………………………………4分

（Ⅱ）依题意，从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b 的取法共有12种，分别为（9，11），（9，12），（9，21），（11，11），（11，12），（11，21），（14，11），（14，12），（14，21），（20，11），（20，

12），（20，21）。

其中满足条件“a>b ”的共有4种，分别为（14，11），（14，12），（20，11），（20，12）。 设“a>b ”为事件D ， 则3

1124)(==D P 。 答：b a >的概率为

31。 10分 23. （本题满分12分）

解：（Ⅰ）①87)2(;45)2(;2)2(321==

=f f f ； 4分 ②)21)((21412)(21412)(21))((21)(1-=-=-+=-=-

+x f x f x f x f f x f n n n n n

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- 8 - 所以}21)({-x f n 是类等比函数列。

7分 （Ⅱ）))(1)((21)(),)(1)((21)(111x g x g x g x g x g x g n n n n n n --++=+=， ))(1)((21))(1)((21|)()(|111x g x g x g x g x g x g n n n n n n --++-+=- ＝)

(1)(1)()(2111x g x g x g x g n n n n ---+- )()(11|)()(|2111x g x g x g x g n n n n ---?-=

， 8分 因为1)1(21)())(()(,1)(121>+===>=x

x x g x g g x g x x g ，…，1)(1>-x g n ， 1)(>x g n ，

9分 所以1)

()(111<--x g x g n n ， 10分 所以<-?<-<----+|)()(|21|)()(|21|)()(|21211x g x g x g x g x g x g n n n n n n (12)

1-<n · x x x x x x g x g n n 12

1)1(2121|)()(|112-?=-+=--， 11分 所以x x x g x g n n n 121|)()(|1-<

-+。 12分

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