关于三角形面积最小值的一个定理

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菇于三角移面置 值的一个定理‘四川省射洪县柳树中学 6 2 9 2 0 9—

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在许多参考书上均有这样一类题：求过定点的直线与坐标轴围成的三角形面积的最小三三；堋 值，及此时直线的方程 .该题解法较多 .主要有形 判别式法，基本不等式法 .通过研究发现有下面般性的结论： 期,一

:一睇舢

01 2 3 I

定理：

面

△ ABC

中 .边

利用该结论解此类问题非常方便、迅速 . 例 1直线过 P( 1、 2 )且与轴、 y轴正向交于 A、 B两点，求., x A O B面积取最小值时的方程 . 解：由定理知， . ' x AO B面积最小时， P为A B 的中点 . 易求 A( 2, O ), K m=一2,^ B方程为一2=一

A B、 A t 2所在的直线为定直线， 边 B C所在的直线是经过 B 4 C 内一定点 P的动直线，过 P作 I D/ '/ 交A B于 D. P E// AB交 A C于 E.那么直线 BC变动时 -", AD C面积的最小值为 2 s D∞ .此时 P为线段 B c的中点 . 证明：过 C作C F上 EP于 F,过 P作 P C .上 AB于 G,令 I ADl=m、 l弼{=h、 l f=口、 I D BI= 6.因为直线 A B、^ c为定直线， P为定点，所以 m、h为定值，。、b为变量 .易求1 1

2 ( x一1 ) 即 2 z+ v一4:0

s△∞=最小值为 2×2=4 .例 2

S￣ a o r z=m h、 s△ c E P=言、 s△ m=言h b .由△ 0璺△脚=

△ A弼是抛物线 0=2/ z r的顶点为直角顶点的内接三角形 .试求 ' x, a/￣ B面积的最小值 图3 解：因为 GA上 OB,所以^B过定点 P(印， 0 ),△^ 0 B面积最小时 P为 A B中点，则 A B上 O P.由对称性知平行四边 Og 2: ' D为正方形，故-

知

最小面积为 2 . 5口㈣例 3 已知直线 z 1; z— +1 0, 2: +3 y

=2 (, r 2 p) =4/, .

即=

/1B~

所以曲=砌 ①因为 s△ A B c= s口 D阿+ S△ ( E P+ S, x v￣

P ( 1, 1 ) ’I 1

r a h+{ ( 4 m+h b)≥r a h+土， - j 2√删‘ h b= r a h+=r a h+= 2mh .

+2=0,求直线 z 的方程.使 z过 P( 1, 1 )且与直线 z 1、 z 2围成的三

,C

图 4

所以 S^ B[:≥2 s口∞所以 -"AI 3 C面积最小值为 2 S r] a o m. 当面积取到 最小值时一= 胁②由①、②知 m=6,所以 D为A B中点，从而 P为线段 B C中点.

角形面积最小 . 解：如图 4,当 P为 AB中点时 - ' x A B C面积最小，令 A( m, ),则 B( 2一m, 2一n) 由 A、 B在 2、 l上有f m+3 +2= 0

I 2一 一( 2一 )+1=01

所以m:言一 n一号 .由两点式可知方程为 7 x一3 y一4:0 .

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