数学理A卷·2014届山东省广饶一中高三上学期期末考试(2014.01)

广饶一中2013-2014学年高三上学期期末测试

数学试题(理A)

（考试时间：120分钟 满分：150分）

一、选择题：12个小题，每题5分，满分60分.

1??1.已知U??yy?log2x,x?1?,P??yy?,x?2?,则CUP等于( )

x???1??1??1?A. ?,??? B. ?0,? C. ?0,??? D. ???,0???,???

?2??2??2?x2y2?1的离心率为（ ） 2.双曲线?1695534 A． B． C． D．

34553.等比数列?an?的前n项和为Sn,已知S3?a2?10a1,a5?9,则a1等于（ ）

1111 A． B．? C． D．?

3399??4.已知a、b为非零向量，则“a?b”是“函数f(x)?(xa?b)?(xb?a)为一次函数”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若2x?2y?1，则x?y的取值范围是( )

A. ?0,2? B. ??2,0? C. ??2,??? D. ???,?2?

6.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不 ．可能等于（ ） ．．

A．1

B．2

C．

2-1 2D．

2+1 27.已知等差数列?an?的前n项和是Sn,若M,N,P三点共线, O为坐标原点，且

?????????????ON?a15OM?a6OP(直线MP不过点O)，则S20等于（ ）

A. 15 B. 10 C. 40 D. 20

8.函数f(x)?Asin(?x??)（其中A?0,??? ）的图象如图所示，为了得到g(x)?sin3x的图象，

2只需将f(x)的图象（ ）

A．向右平移π个单位长度 B．向左平移

4π个单位长度 4第 1 页 共 11 页

C．向右平移π个单位长度 D．向左平移π个单位长度

12129.已知m,n为两条不同的直线，?,?为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若???,m??,n??,则m?n B．若?//?,m??,n??,则m//n C．若m?n,m??,n??,则??? D．若m??,m//n,n//?,则??? 10. 函数y?xln|x|的图像可能是（ ） |x|

????????11.若直线ax?by?c?0与圆O:x?y?1相交于A、B两点，且AB=3，则OA?OB

22

的值是( )

113A．? B． C．? D．0

224?log1(x?1),x???0,1?,?12.定义在R上的奇函数f(x)，当x?0时， f(x)??2 则函数

?1?|x?3|,x???1,???,?F(x)?f(x)?a?0?a?1?的所有零点之和为（ ）

A. 1-2a B. 2a?1 C.1?2?a D.2?a?1

二、填空题：4个小题，每题4分，满分16分.

13. 3n?3n?1?4?3n?2?42???3?4n?1?4n? . 14.抛物线y2?8x的顶点为O，A?1,0?，过焦点且倾斜角为

?的直线l与抛物线交于 4M,N两点，则?AMN的面积是 ．

15. 已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中AA1?2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值 等于 . 16.给出下列四个命题:

①直线2x?3y?1?0的一个方向向量是(2， ?3)；

②若直线l过抛物线y?2x2的焦点,且与这条抛物线交于A,B两点,则AB的最小值

第 2 页 共 11 页

1； 22222③若⊙C⊙C,则这两圆恰有2条公切线； :x?y?2x?0,:x?y?2y?1?0122④若直线l与直线l互相垂直,则a????1. :4x?a?3y?9?0:ax?y?6?021其中正确命题的序号是______.(把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题：6个小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分）叙述并证明余弦定理.

18.（本题满分12分）

3在?ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A?B)cosB?sin(A?B)sin(A?C)??.

5 (1)求sinA的值；

????????(2)若a?42,b?5,求向量BA在BC方向上的投影.

19.（本题满分12分）

四棱锥P?ABCD底面是平行四边形，面PAB?面ABCD,

1PA?PB?AB?AD,?BAD?600,E,F分别为AD,PC的中点.

2（1）求证：EF//面PAB； （2）求证：EF?面PBD； （3）求二面角D?PA?B的余弦值.

第 3 页 共 11 页

20.（本题满分12分）

数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1?a1，b4?S3. （1）求数列?an?、?bn?的通项公式； （2）设cn?111，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：?Tn?. bnbn?132

21.（本题满分12分）

已知函数f?x??x?x2?ax?3?.

1（1）若x??是f?x?的极值点，求f?x?在?1,4?上的最大值；

3（2）若f?x?在区间?1,???上是增函数，求实数a的取值范围；

（3）在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g?x??bx的图象与函数f?x?的 图象恰有三个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.

22.（本题满分14分）

x2y2设椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴

ab?????????上有一点B，满足BF1=F1F2，且AB?AF2.

(1)求椭圆C的离心率；

（2）若过A、B、F2三点的圆与直线x?3y?3?0相切，求椭圆C的方程；

（3）在（2）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，线段MN0?，求实数m的取值范围. 的中垂线与x轴相交于P?m，Ay

BF1OF2x第 4 页 共 11 页

高三数学理科A卷

一、选择题：

ABCBD CBCDB AA

二、填空题

213. 4n?1?3n?1 14. 42 15. 16. ②③

3

三、解答题

17.解：余弦定理：a2?b2?c2?2bccosA；

b2?a2?c2?2accosB

AcBbaCc2?a2?b2?2abcosC -----3分

????????????下面证明：在?ABC中BC?BA?AC -----6分

????2????2????2????????平方得：BC?BA?AC?2BA?AC

????????????因为BC?a,BA?c,AC?b.

????????ccos?BA,AC?，即：a2?b2?c2?2bccosA；-----10分 所以a?b?c?2b?222同理可证：b2?a2?c2?2accosB；

c2?a2?b2?2abcosC. -----12分

(其他证明方法酌情给分)

18.解:(1)由cos(A?B)cosB?sin(A?B)sin(A?c)?? 得

3cos(A?B)cosB?sin(A?B)sinB??,

533则 cos(A?B?B)??,即 cosA?? -----2分

5535又0?A??,则 sinA? -----4分 (2)由正弦定理,有

abbsinA2,所以sinB?, -----6分 ??a2sinAsinB45由题知a?b,则 A?B,故B??4.

35根据余弦定理,有 (42)2?52?c2?2?5c?(?),

第 5 页 共 11 页

解得 c?1 或 c??7(负值舍去), -----9分

????????2向量BA在BC方向上的投影为BAcosB? -----12分

219解：（解法一）（1）取PB的中点，连FG,由题设FG//BC,FG??AE//BC,AE?1BC?FG//AE 2P1BC -----1分 2AEFG是平行四边形,所以 EF//AG---2分

G BFAE?面PAB,EF?面PAB?EF//面PAB

C------------------------4分 （2） ??PAB是等边三角形，AG?PB----------------① ?ABD中，AD?2AB,?BAD?600,由余弦定理??ABD?900AEDBD2?AB2?AD2?2AB?AD?cos600?AD2?AB2 所以 BD?AB-------6分

又?面PAB?面ABCD,面PAB?面CD?AB,BD?面ABCD?DB?面PAB 又?AG?面PAB

DB?AG-------------②

---------------------7分

由 ①②可知，AG?PB,AG?BD，PB?BD=B?AG?面PBD

又EF//AG,?EF?面PBD-----------------------------------------8分

(3)取PA 的中点N,连BN,DN

?PAB是等边三角形?BN?PA

第 6 页 共 11 页

?Rt?PBD?Rt?ABD?PD?AD ?DN?PA

?ANB??是二面角D?PA?B

的平面角 ----------------------------11分

由 （2）知 BD?面PAB,BD?BN

在Rt?DBN中，BD?3AB?2BN

tan??5BD5?2,cos??即二面角D?PA?B的余弦值为---------------12分

5BN5（本题也可使用三垂线定理证明DN?PA）

（解法二） （1）

?ABD中，AD?2AB,?BAD?600,由余弦定理BD2?AB2?AD2?2AB?AD?cos600?AD2?AB2 所以 BD?AB ??ABD?900面PAB?面ABCD,BD?AB?DB?面PAB ????????建系{BA,BD,z}令 AB?2

A?2,0,0?,D0,23,0,P1,0,3,C?2,23,0

APz F??????BCDE????1????????13x EF?AP?DC??3,0,3??3,0,1

222??????????因为平面PAB的法向量 n2??0,1,0?，EF?n2?0?EF//面PAB---------4分

???????y ????????(2)BD?0,23,0,BP?1,0,3

???????????????????EF?BD?0,EF?BP?0 EF?BD,EF?BP?EF?面PBD---------8分 ??????????(3) 设平面PAD的法向量为n1??x1,y1,z1? AP??1,0,3,AD??2,23,0

??????????????n1?AP??x?3z?0 令x?3所以n1??????????n1?AD??2x?23y?0???平面PAB的法向量 n2??0,1,0?

?3,1,1 ---------10分

??????51cos?n1,n2??，即二面角D?PA?B的余弦值为 ---------12分

5520.解：（1）∵an是Sn和1的等差中项，∴Sn?2an?1

第 7 页 共 11 页

当n?1时，a1?S1?2a1?1，∴a1?1

当n?2时，an?Sn?Sn?1?(2an?1)?(2an?1?1)?2an?2an?1， ∴an?2an?1 ，即 an?2 an?1∴数列{an}是以a1?1为首项，2为公比的等比数列，

∴an?2n?1，Sn?2n?1 -----3分 设{bn}的公差为d，b1?a1?1，b4?1?3d?7，∴d?2

∴bn?1?(n?1)?2?2n?1 --------5分 （2）cn?11111??(?) bnbn?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?111111111n∴Tn?(1????...? -----7分 ?)?(1?)?23352n?12n?122n?12n?11?1?1∵n?N*, ∴Tn??1??? -----8分

2?2n?1?2∵Tn?Tn?1?nn?11???02n?12n?1?2n?1??2n?1? 1∴数列{Tn}是一个递增数列 ∴Tn?T1?. -----11分

311 综上所述，?Tn?-----12分

32 21.解：∵f?x??x?x2?ax?3?,x?R

∴f??x??3x2?2ax?3.………………………………………………1分

?1? （1）依题意，f?????0,

?3?12即?a?3?0.?a?4, 33∴f?x??x3?4x2?3x.令f??x??3x2?8x?3?0,

1得x1??,x2?3.则当x在［1，4］上变化时，f??x?与f?x?变化情况如下表：

3x 1 （1，3） 3 （3，4） 4 第 8 页 共 11 页

f??x? —6 — 减 0 —18 + 增 —12 f?x? ∴f?x?在?1,4?上的最大值是f?1???6.……………………………………4分

（2）∵f?x?在?1,???上是增函数，

∴在?1,???上恒有f??x??0，即3x2?2ax?3?0在?1,???上恒成立.

3?1?即a??x??在?1,???上恒成立.

2?x??3?1??∴只需a???x????x?1?即可. …………………………………6分

x??min?2??3?1??3而当x?1,??x?????1?1??0.

x??min2?2?∴a?0.………………………………………………………………………8分

（3）函数g?x??bx的图象与函数f?x?的图象恰有3个交点，

即方程x3?4x2?3x?bx恰有3个不等实根.………………………………9分 ∴x3?4x2?3x?bx?0,

∴x=0是其中一个根，…………………………………………………………10分 ∴方程x2?4x?3?b?0有两个非零不等实根.

????16?4?3?b?>0∴? ???3?b?0∴b>?7且b??3.

∴存在满足条件的b值，b的取值范围是??7,?3????3???.?????????22. 解：(1)连接AF1，因为AB?AF2，BF1=F1F2，所以

……………12分

AF1?F1F2,即a=2c,故椭圆的离心率为e?1； ……………2分 2(2)由（1）知e?径r?1?1??3??1?，得F2?a,0?，B??a,0?，Rt?ABF2的外接圆圆心为F1??a,0?，半2?2??2??2?1F2B?a， 2第 9 页 共 11 页

因为过A、B、F2三点的圆与直线l:x?3y?3?0相切，

所以：

1?a?32 ?a，解得：a=2，?c=1,b?3. 2x2y2所以所求椭圆方程为：??1. ……………6分

43（3）由（2）知F2?1,0?，设直线l的方程为：y?k(x?1),

?x2y2?1??由 ?4 得：?3?4k2?x2?8k2x?4k2?12?0. 3?y?k(x?1)?因为直线l过F2点，所以??0 恒成立.

8k24k2?12,x1x2?设M?x1,y1?、N?x2,y2?，由韦达定理得： x1?x2?，……8分

3?4k23?4k2所以y1?y2?k?x1?x2?2???6k. 23?4k?4k2?3k?,故MN中点为?. ……………10分 22??3?4k3?4k?当k?0时，MN为长轴，中点为原点，则m?0； ……………11分

3k1?4k2????x?当k?0时，MN中垂线方程为y??.

3?4k2k?3?4k2?k21331?令y?0，得m?.因为所以. ?0,?4?4,0?m?22233?4kkk4?42k第 10 页 共 11 页

……………13分

?1?综上可得实数m的取值范围是?0,?. ……………14分

?4?

第 11 页 共 11 页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nt1o.html