备战2022年高考理数一轮复习第五节 三角恒等变换

第五节三角恒等变换

[考纲要求]

1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．2．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．

3．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．

突破点一三角函数求值

[基本知识]

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

2.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．()

(2)在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．()

(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β

可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都

1

2 成立．( )

(4)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( )

答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×

二、填空题

1．已知tan α＝2，则tan ???

?α－π4＝________. 解析：∵tan α＝2，∴tan ????α－π4＝tan α－11＋tan α＝13.

答案：13

2．化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为________．

解析：法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12

. 法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12

. 答案：12

3.3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝________. 解析：3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝ 2. 答案： 2

4．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________．

解析：由题可知，tan α＝sin αcos α

＝2， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α

＝－43. 答案：－43

[全析考法]

考法一 三角函数式的化简求值

1．三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．

2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．

[例1] (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°

＝( ) A ．－

32 B ．－12 C.12 D.32

3 (2)化简：2cos 2α－1

2tan ????π4－αsin 2???

?π4＋α＝________ .

[解析] (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°

＝sin (17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°

＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°

＝sin 30°＝12.

(2)法一：原式

＝cos 2α－sin 2α

2×1－tan α

1＋tan α????sin π4cos α＋cos π4sin α2

＝(cos 2α－sin 2α)(1＋tan α)

(1－tan α)(cos α＋sin α)2

＝(cos 2α－sin 2α)???

?

1＋sin αcos α????1－sin αcos α(cos α＋sin α)2

＝1.

法二：原式＝cos 2α

2tan ????π4－αcos 2???

?π4－α

＝cos 2α

2sin ????π4－αcos ???

?π4－α

＝cos 2αsin ???

?π2－2α＝cos 2αcos 2α＝

1.

[答案] (1)C (2)1

[方法技巧] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则

考法二 三角函数的给值求值(角)

[例2] (1)(2019·辽宁师大附中期末)若α，β均为锐角且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin ????32π＋2β＝(

) A ．－12 B.12

4

(2)(2019·福州外国语学校适应性考试)已知A ，B 均为钝角，sin 2A 2＋cos ????A ＋π3＝5－1510，且sin B ＝1010

，则A ＋B ＝( ) A.3π

4 B.5π

4

C.7π

4 D.7π

6

[解析] (1)∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<π.

∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－11

14，

∴sin α＝437，sin(α＋β)＝53

14.

∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝????－11

14×17＋5314×437＝1

2.

∴sin ????3

2π＋2β＝－cos 2β＝1－2cos 2β＝1

2.故选B.

(2)因为sin 2A

2＋cos ????A ＋π

3＝5－1510，

所以1－cos A

2＋1

2cos A －3

2sin A ＝5－15

10，

即12－32sin A ＝5－1510，解得sin A ＝5

5.

因为A 为钝角，所以cos A ＝－1－sin 2A ＝－ 1－????5

52＝－25

5.

由sin B ＝10

10，且B 为钝角，可得cos B ＝－1－sin 2B ＝－ 1－????10102＝－310

10.

所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B

＝????－255×????－310

10－55×10

10

＝2

2.

又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈????π

2，π，所以A ＋B ∈(π，2π)，故A ＋B ＝7π

4，故选C.

[答案] (1)B (2)C

[方法技巧]

1．给值求值问题的求解思路

(1)化简所求式子．

(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．

(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．

2．给值求角问题的解题策略

5 (1)讨论所求角的范围．

(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．

①已知正切函数值，选正切函数；

②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是???

?0，π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为???

?－π2，π2，选正弦函数较好． (3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角．

[集训冲关]

1.[考法二]已知sin 2α＝23

，则cos 2????α＋π4＝( ) A.16

B.13

C.12

D.23

解析：选A ∵sin 2α＝23，∴cos 2????α＋π4＝1＋cos ????2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16

.故选A. 2.[考法一](1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( ) A. 3

B ．1＋ 2

C ．2

D ．2(tan 18°＋tan 27°)

解析：选C (1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋ tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2.故选C.

3.[考法二]若cos ????π8－α＝16，则cos ???

?3π4＋2α的值为( ) A.1718

B ．－1718 C.1819 D ．－1819

解析：选A ∵cos ????π8－α＝16，∴cos ????π4－2α＝2cos 2????π8－α－1＝2×????162－1＝－1718

， ∴cos ( 3π4

＋2α )＝cos ????π－????π4－2α＝－cos ????π4－2α＝1718.故选A. 4.[考法二]定义运算????a c b d ＝ad －bc .若cos α＝17，????sin αcos α sin βcos β＝3314，0<β<α<π2

，则β＝________. 解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314.又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2

，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437

，于是sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3

. 答案：π3

6 突破点二 三角恒等变换的综合问题

利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点．在高考中以解答题的形式出现，考查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题．

[典例] (2019·北京朝阳期末)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2－cos 2x .

(1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)求证：当x ∈???

?0，π2时，f (x )≥0. [解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝1＋sin 2x －cos 2x ＝2sin ?

???2x －π4＋1， 所以函数f (x )的最小正周期为π.

(2)证明：由(1)可知，f (x )＝2sin ?

???2x －π4＋1. 当x ∈????0，π2时，2x －π4∈???

?－π4，3π4， sin ????2x －π4∈???

?－22，1， 2sin ?

???2x －π4＋1∈[0，2＋1]． 当2x －π4＝－π4

，即x ＝0时，f (x )取得最小值0. 所以当x ∈???

?0，π2时，f (x )≥0. [方法技巧]

求函数周期、最值、单调区间的方法步骤

(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式；

(2)利用公式T ＝2πω(ω>0)求周期；

(3)根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；

(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间．

[针对训练]

(2019·襄阳四校期中联考)设函数f (x )＝cos ????π2－x cos x －sin 2(π－x )－12

. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；

(2)若f (α)＝3210

－1，且α∈????π8，3π8，求f ????α－π8的值． 解：(1)∵f (x )＝sin x cos x －sin 2x －12＝12(sin 2x ＋cos 2x )－1＝22

sin ????2x ＋π4－1， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2

＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2

，k ∈Z ，

7 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8

，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为?

???k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (2)∵f (α)＝22sin ????2α＋π4－1＝3210

－1， ∴sin ?

???2α＋π4＝35. 由α∈????π8，3π8知2α＋π4∈????π2

，π， ∴cos ????2α＋π4＝－45

. ∴f ????α－π8＝22sin ????2?

???α－π8＋π4－1 ＝

22sin ????????2α＋π4－π4－1 ＝

22????sin ????2α＋π4cos π4－cos ????2α＋π4sin π4－1 ＝

22×????35×22＋45×22－1＝－310

.

[课时跟踪检测]

[A 级 基础题——基稳才能楼高]

1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )

A ．1

B.12

C.32 D ．－12 解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12

. 2．(2019·贵阳高三监测考试)sin 415°－cos 415°＝( )

A.12 B ．－12 C.32 D ．－32

解析：选D sin 415°－cos 415°＝(sin 215°－cos 215°)(sin 215°＋cos 215°)＝sin 215°－cos 215°＝－cos 30°＝－

32.故选D.

3．(2018·成都七中一模)已知tan α＝m 3

，tan ????α＋π4＝2m ，则m ＝( ) A ．－6或1

B ．－1或6

C ．6

D ．1

8 解析：选A ∵tan α＝m 3

，∴tan ????α＋π4＝tan α＋11－tan α＝3＋m 3－m .∵tan ????α＋π4＝2m ， ∴2m ＝3＋m 3－m

.解得m ＝－6或m ＝1.故选A. 4．若2cos ( θ－π3

)＝3cos θ，则tan θ＝( ) A.23

B.32 C ．－33 D.233

解析：选D 由2cos ????θ－π3＝3cos θ可得cos θ＋3sin θ＝3cos θ，故tan θ＝233

.故选D. 5．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45

，且α为第二象限角，则tan ????α＋π4＝( ) A ．7

B.17 C ．－7 D ．－17

解析：选B ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45

， ∴cos α＝－45.又∵α为第二象限角，∴tan α＝－34

，∴tan ????α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17. [B 级 保分题——准做快做达标]

1．(2018·襄阳四校联考)下列各式中，值为

32的是( ) A ．sin 15°cos 15° B ．cos 2π12－sin 2π12 C.1＋tan 15°1－tan 15° D. 1＋cos 30°2

解析：选B A ．sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.B.cos 2 π12－sin 2π12＝cos π6＝32.C.1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 60°＝ 3.D. 1＋cos 30°2＝cos 15°＝6＋24

.故选B. 2．若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β

的值为( ) A ．5

B ．－1

C ．6 D.16

解析：选A 由题意知sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13

， 所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以sin αcos βcos αsin β＝5，即tan αtan β

＝5，故选A. 3．对于锐角α，若sin ????α－π12＝35，则cos ?

???2α＋π3＝( )

9 A.2425

B.38

C.28 D ．－2425

解析：选D 由α为锐角，且sin ????α－π12＝35，可得cos ????α－π12＝45，则cos ????α＋π6＝cos ???

?????α－π12＋π4＝cos ????α－π12cos π4－sin ????α－π12sin π4＝45×22－35×22＝210，于是cos ????2α＋π3＝2cos 2????α＋π6－1＝2×???

?2102－1＝－2425，故选D.

4．(2019·吉林百校联盟高三联考)已知cos ????π2＋α＝3sin ????α＋7π6，则tan ???

?π12＋α＝( ) A ．4－2 3

B ．23－4

C ．4－4 3

D ．43－4

解析：选B 由题意可得－sin α＝－3sin ????α＋π6，即sin ????????α＋π12－π12＝3sin ????????α＋π12＋π12，sin ( α＋π12

)·cos π12－cos ????α＋π12sin π12＝3sin ????α＋π12cos π12＋3cos ????α＋π12sin π12，整理可得tan ????α＋π12＝－2tan π12＝－2tan ????π4－π6＝ －2×tan π4－tan π61＋tan π4tan π6

＝23－4.故选B. 5．(2018·四川联考)已知角α∈????0，π2，且cos 2α＋cos 2α＝0，则tan ???

?α＋π4＝( ) A ．－3－2 2

B ．－1

C ．3－2 2

D ．3＋2 2

解析：选A 由题意结合二倍角公式可得2cos 2α－1＋cos 2α＝0，∴cos 2α＝13

. ∵α∈????0，π2，∴cos α＝33，∴sin α＝1－cos 2α＝63

， ∴tan α＝sin αcos α＝2，tan ????α＋π4＝tan α＋tan

π41－tan αtan π4＝2＋11－2＝－3－22，故选A. 6．(2019·沧州教学质量监测)若cos α＋2cos β＝2，sin α＝2sin β－3，则sin 2(α＋β)＝( )

A ．1

B.12

C.14 D ．0

解析：选A 由题意得(cos α＋2cos β)2＝cos 2α＋4cos 2β＋4cos αcos β＝2，(sin α－2sin β)2＝sin 2α＋4sin 2β－4sin αsin β＝3.两式相加，得1＋4＋4(cos αcos β－sin αsin β)＝5，∴cos(α

＋β)＝0，∴sin 2(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1.

7．(2018·永州二模)已知tan ????α＋π4＝34，则cos 2???

?π4－α＝( )

10 A.725

B.925

C.1625

D.2425

解析：选B ∵tan ????α＋π4＝34，∴cos 2????π4－α＝sin 2???

?α＋π4＝sin 2???

?α＋π4sin 2????α＋π4＋cos 2????α＋π4 ＝tan 2????α＋π4tan 2???

?α＋π4＋1＝916916＋1＝925.故选B. 8．(2018·河北武邑中学二调)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则 cos θ＝( ) A.255

B.55 C ．－255 D ．－55

解析：选C 利用辅助角公式可得f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x －φ)，其中cos φ＝

55，sin φ＝255.当函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值时，θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，∴θ＝2k π＋π2

＋φ(k ∈Z)，则cos θ＝cos ????2k π＋π2＋φ＝－sin φ＝－255

(k ∈Z)，故选C. 9．(2018·濮阳一模)设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－35

，则sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝( ) A.110

B.220 C ．－110 D ．－

220 解析：选B 因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因为sin(75°＋2α)＝－35

<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－45.所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝12

sin(30°＋2α)＝12sin [(75°＋2α)－45°]＝12[sin(75°＋2α)·cos 45°－cos(75°＋2α)sin 45°]＝12×( －35×22＋45

×

22 )＝220

，故选B.

10．(2019·沈阳四校协作体联考)化简：1cos 80°－3sin 80°

＝________. 解析：1cos 80°－3sin 80°＝sin 80°－3cos 80°sin 80°cos 80°＝2sin (80°－60°)12sin 160°＝2sin 20°12sin 20°＝4. 答案：4

11 11．(2018·宝清一中月考)已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213

，且α∈????π2，π，β∈????－π2，0，则sin α的值为________． 解析：∵π2

<α<π，∴π<2α<2π. ∵－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2

. ∵sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45

. ∵－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513

. ∴cos 2α＝cos [(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)·sin β＝45×513－35×????－1213＝5665

. ∵cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝

9130

. ∵α∈????π2，π，∴sin α＝3130130

. 答案：3130130 12．(2018·南京一模)已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________． 解析：因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β

＝－1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝

3π4. 答案：3π4 13．(2018·大庆实验中学期中)A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，cos ????B ＋π3＝－45

，则cos ????A －π3＝________. 解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，cos ????B ＋π3＝－45，所以π2

?A －π3＝cos ????(A ＋B )－????B ＋π3＝－2425×????－45＋725×35＝117125

. 答案：117125

14．(2019·六安第一中学月考)已知cos ????π6＋α·cos ????π3－α＝－14

，α∈????π3，π2. 求：(1)sin 2α；

(2)tan α－1tan α

. 解：(1)由题知cos ????π6＋α·cos ????π3－α＝cos ( π6＋α )·sin ????π6＋α＝12sin ????2α＋π3＝－14

， ∴sin ????2α＋π3＝－12

.

12

∵α∈????π3，π2，∴2α＋π

3∈????π，4π3， ∴cos ????2α＋π3＝－32

， ∴sin 2α＝sin ????????2α＋π3－π3＝sin ????2α＋π3cos π3－cos ????2α＋π3sin π3＝12

. (2)由(1)得cos 2α＝cos ????????2α＋π3－π3＝cos ( 2α＋π3 )·cos π3＋sin ????2α＋π3sin π3＝－32， ∴tan α－1

tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2

α－cos 2

αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－

3

21

2

＝2 3.

15．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2????x －π

6，x ∈R. (1)求f (x )的最小正周期；

(2)求f (x )在区间???

?－π3，π

4上的最大值和最小值． 解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ?

???2x －π32

＝12????12cos 2x ＋32sin 2x －1

2cos 2x ＝

34sin 2x －14cos 2x ＝1

2sin ?

???2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π

2

＝π.

(2)因为f (x )在区间????－π3，－π6上是减函数，在区间????－π6，π4上是增函数，且f ????－π3＝ －14，f ????－π6＝－12，f ????π4＝34，所以f (x )在区间????－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12

.