2011年湖北省高考数学试卷（理科）答案及解析 - 图文

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2011年湖北省高考数学试卷（理科）

一、选择题（共10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） 1．（5 分）（2011?湖北） i 为虚数单位，则（ A．﹣i

B．﹣1

2011

） =（ C．i

）

D．1

2．（5 分）（2011?湖北）已知 U={y|y=log 2x，x＞1} ，P={y|y= ，x＞ 2} ，则 CuP=（ A．

[ ，+∞）

B．（0， ）

C．（0，+∞）

）

D．（﹣∞，0）∪（ ，+∞）

3．（5 分）（2011?湖北）已知函数 f（x）= A．

{x|k π+

≤x≤kπ+π，k∈Z}

sinx﹣cosx，x∈R，若 f（ x）≥1，则 x 的取值范围为（

B．

{x|2k π+

）

≤x≤2kπ+π，k∈Z}

C．

{x|k π+

≤x≤kπ+

，k∈Z}

D．

{x|2k π+

≤x≤2kπ+

，k∈Z}

2

4．（5 分）（2011?湖北）将两个顶点在抛物线 n，则（

A．n=0

）

B．n=1

y =2px （p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为

C．n=2

2

D．n≥3

），且 P（ξ＜4） =0.8，则 P（0＜ξ＜2）=（ A．0.6

B．0.4

） 5．（5 分）（2011?湖北）已知随机变量

C．0.3

ξ服从正态分布N（2，a D．0.2

x﹣x

a ﹣

6．（5 分）（2011?湖北）已知定义在

R 上的奇函数 f（x）和偶函数 g（x）满足 f（x）+g（ x）=a

）

2

+2（a＞ 0，

且 a≠0）．若 g（a）=a，则 f（a）=（ A．2

B．

C． D．a

7．（5 分）（2011?湖北）如图，用K 、A 1、A 2 三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且 A 1、A 2 至少有一 个正常工作时，系统正常工作，已知 （

）

K、A1、A2 正常工作的概率依次是

0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为

A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576

8．（5 分）（2011?湖北）已知向量∵ 取值范围为（ A．[﹣2，2]

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=（x+z，3）， =（2，y﹣z），且 ⊥ ，若 x， y 满足不等式|x|+|y|≤1，则 z 的

）

B．[﹣2，3]

C．[﹣3，2]

D．[﹣3， 3]

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9．（5 分）（2011?湖北）若实数 a，b 满足 a≥0，b≥0，且 ab=0，则称a 与 b 互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b 那么 φ（a， b）=0 是 a 与 b 互补的（ A．必 要不充分条件

）

B． 充分不必要的条件

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C．充 要条件 D． 既 不充分也不必要条件

10．（5 分）（2011?湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称 为衰变．假设在放射性同位素铯137 的衰变过程中，其含量 系： M （t）=M 0 年），则 M （60）=（ A．5 太贝克

M （单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关

，其中 M 0 为 t=0 时铯137 的含量．已知 t=30 时，铯137 含量的变化率是﹣10In2 （太贝克 /

）

B．75In2 太贝克

C．150In2 太贝克

D．150 太贝克

二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分） 11．（5 分）（2011?湖北）（x﹣）

15 18

的展开式中含 x 的项的系数为

_________ ．（结果用数值表示）

12．（5 分）（2011?湖北）在 30 瓶饮料中，有 3 瓶已过了保质期．从这 保质期的概率为

_________ ．（结果用最简分数表示）

30 瓶饮料中任取 2 瓶，则至少取到一瓶已过

13．（5 分）（2011?湖北）《九章算术》“竹九节 ”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上 面 4 节的容积共为 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第5 节的容积为 14．（5 分）（2011?湖北）如图，直角坐标系 面为 β，∠ xOx ′=45°．

（Ⅰ）已知平面 β内有一点 P′（ 2

，2），则点 P′在平面 α内的射影 P 的坐标为 _________ ；

2 2

（Ⅱ）已知平面 β内的曲线C′的方程是（x′﹣） 2=0，则曲线﹣C′在平面 α内的射影 C 的方程是 _________ ．

+2y

_________ 升．

xOy 所在平面为 α，直角坐标系 x′Oy′（其中 y′与 y 轴重合）所在的平

15．（5 分）（2011?湖北）给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当 正方形互不相连的着色方案如图所示： 至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有

n≤4 时，在所有不同的着色方案中，黑色

_________

种，

由此推断， 当 n=6 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有

_________ 种，（结果用数值表示）

三、解答题（共 6 小题，满分 75 分）

16．（10 分）（ 2011?湖北）设 △ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 a=1，b=2，cosC=

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（I） 求△ABC 的周长； （II ）求 cos（ A﹣C）的值．

17．（12 分）（ 2011?湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车 流速度 v（单位：千米 /小时）是车流密度 x（单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成 堵塞，此时车流速度为

0；当车流密度不超过

20 辆/千米时，车流速度为

60 千米 /小时，研究表明：当 20≤x≤200 时，

车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数．

（I）当 0≤x≤200 时，求函数 v（ x）的表达式； （Ⅱ）当车流密度

x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆

/小时） f（x）=x ?v（x）

可以达到最大，并求出最大值． （精确到 1 辆/小时）．

18．（12 分）（2011?湖北）如图，已知正三棱柱ABC=A 1B1C1 的各棱长都是 4，E 是 BC 的中点，动点 F 在侧棱 CC1 上，且不与点 C 重合．

（Ⅰ）当 CF=1 时，求证： EF⊥A 1C；

（Ⅱ）设二面角C﹣AF﹣E 的大小为 θ，求 tanθ的最小值．

19．（13 分）（ 2011?湖北）已知数列 {a n}的前 n 项和为 Sn，且满足： a1=a（a≠0），an+1=rSn （n∈N （Ⅰ）求数列 {a n}的通项公式；

*

*

*

，r∈R， r≠﹣1）．

，且 m≥2，am+1，am，am+2 是否

（Ⅱ）若存在 k∈N ，使得 Sk+1，Sk，Sk+2 成等差数列，试判断：对于任意的 成等差数列，并证明你的结 ．论

m∈N

20．（14 分）（2011 ?湖北）平面内与两定点 A 1（﹣a，0），A 2（a，0）（ a＞0）连线的斜率之积等于非零 数常的轨迹，加上 A1、A2 两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆成双曲线． （Ⅰ）求曲线 C 的方程，并讨论C 的形状与 m 值的关系； （Ⅱ）当 m=﹣1 时，对应的曲线为 的两个焦点．试问：在 请说明理由．

m 的点

C1；对给定的 m∈（1，0）∪（ 0，+∞），对应的曲线为 C2，设 F1、F2 是 C2 ﹣

2

C1 上，是否存在点 N，使得 △F1NF2 的面积 S=|m|a ．若存在，求 tanF1NF2 的值；若不存在，

21．（14 分）（ 2011?湖北）（Ⅰ）已知函数 f（x）=lnx﹣x+1 ，x∈（0，+∞），求函数 f（x）的最大值； （Ⅱ）设 a1，b1（ k=1，2? ，n）均为正数，证明： （1）若 a1b1+a2b2+? anbn≤b1+b2+? bn，则?

≤1；

2

2

2

（2）若 b1+b2+? bn=1，则≤ ? ≤b1

．

+b2 +? +bn

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2011年湖北省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） 1．（5 分）

考点 ： 复数代数形式的混合运算． ： 计算题． 题专

分析：

由复数的运算公式，我们易得 解答：

解：∵

∴（ 故选 A

2011

n

2011

=i，再根据 i 的周期性，我们易得到（

） 的结果．

=i

2011 2011 3 ）

=i =i =﹣i

点评： 本题考查的知识点是复数代数形式的混合运算，其中根据复数单调幂的周期性，将i

题的关键．

2．（5 分）

考点 ： 对数函数的单调性与特殊点；补集及其运算． ： 计算题． 题专

分析： 先求出集合 U 中的函数的值域和 P 中的函数的值域，然后由全集

属于集合 P 的元素构成的集合为集合 所以全集 U= （0， +∞）， 同样： P=（0， ）， 得到 CUP=[ ，+∞）． 故选 A．

点评： 此题属于以函数的值域为平台，考查了补集的运算，是一道基础题． 3．（5 分）

考点 ： 正弦函数的单调性． ： 计算题． 题专

分析： 利用两角差的正弦函数化简函数

求出 x 的范围即可．

解答：

解：函数 f（x） =

sinx﹣cosx=2sin（ x﹣），因为 f （x）≥1，所以 2sin（x﹣）≥1，所以，

f（x）=

A 的补集，求出集合

解答： 解：由集合 U 中的函数 y=log 2x，x＞1，解得 y＞0，

转化为 i 是解答本

3

U，根据补集的定义可知，在全集 U 中不

P 的补集即可．

sinx﹣cosx，为一个角的一个三角函数的形式，根据 f（x） ≥1，

所以 f（ x）≥1，则x 的取值范围为： {x|2k π+ 故选 B

≤x≤2kπ+π，k∈Z}

点评： 本题是基础题考查三角函数的化简，三角函数不等式的解法，考查计算能考题型常，力． 4．（5 分）

考点 ： 抛物线的简单性质． ： 计算题． 题专

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分析： 根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直线，每条直线与

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抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．进而可知这样的三角形有

解答： 2 解： y

=2px（P＞0）的焦点 F（ ，0）

2

2 个．

等边三角形的一个顶点位于抛物线 x 轴轴对称

y

=2px（P＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于

两个边的斜率k=±tan30°=± ，其方程为： y=± （ x﹣），

每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形． 故 n=2， 故选C

点评： 本题主要考查了抛物线的简单性质．主要是利用抛物线和正三角形的对称性．

5．（5 分）

考点 ： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． ： 计算题． 题专

2

分析： 根据随机变量X 服从正态分布 N（2， σ），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴

特点，得到 P（0＜ξ＜ 2）= P（ 0＜ξ＜4），得到结果．

2

x=2，根据正态曲线的

解答： 解：∵随机变量X 服从正态分布 N（2，σ

），

μ=2，得对称轴是 x=2． P（ξ＜4）=0.8

∴ P（ξ4≥）=P（ ξ＜0）=0.2， ∴ P（0＜ξ＜ 4）=0.6 ∴ P（0＜ξ＜ 2）=0.3． 故选C．

点评： 本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为

并在 x=μ时取最大值 从 x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与 x 轴相交， 因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的．

6．（5 分）

考点 ： 函数奇偶性的性质．

x﹣x

x=μ，

分析： 由已知中定义在

R 上的奇函数 f（x）和偶函数 g（ x）满足f（x）+g（x）=a﹣a

+2（a＞ 0，且 a≠0），我

x

﹣

x

们根据函数奇偶性的性质，得到关于 f（ x），g（x）的另一个方程 f（x）+g（x）=a﹣a

（ x），g（ x）的解析式，再根据 g（a）=a 求出 a 值后，即可得到 f（a）的值．

解答： 解：∵ f（x）是定义在 R 上的奇函数， g（ x）是定义在 R 上的偶函数

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+2，并由此求出 f

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xx﹣

由 f（x）+g（x）=a﹣a

得 f（﹣x）+g（﹣x） =a﹣a

x﹣

+2

x

①

+2=﹣f（x）+g（x）

②

x﹣x

﹣a ，g（x） =2 ①② 联立解得 f （x） =a

由已知 g（a）=a

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∴ a=2

2

﹣

2

∴ f（a）=f（2）=2 ﹣2

=

故选B

点评： 本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣方程组法，函数奇偶性的性质，其中利用奇偶性的性质，求出

（ x），g（ x）的解析式，再根据

7．（5 分）

考点 ： 相互独立事件的概率乘法公式． ： 计算题． 题专

分析： 首先记K、A 1、A2 正常工作分别为事件

A、B、C，易得当 K 正常工作与 A 1、A2 至少有一个正常工作为相

A1、A 2 至少有

互独立事件，而 “A 1、A 2 至少有一个正常工作 ”与 “A 1、 A2 都不正常工作 ”为对立事件，易得 一个正常工作的概率；由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．

解答： 解：根据题意，记K、A1、A2 正常工作分别为事件

则 P（ A） =0.9；

A 1、A2 至少有一个正常工作的概率为 1﹣P（ ）P（ ）=1﹣0.2×0.2=0.96；

则系统正常工作的概率为 0.9×0.96=0.864 ； 故选B．

点评： 本题考查相互独立事件的概率乘法公式，涉及互为对立事件的概率关系，解题时注意区分、分析事件之间

的关系．

8．（5 分）

考点 ： 数量积判断两个平面向量的垂直关系；简单线性规划的应用． ： 数形结合． 题专分析：

根据平面向量的垂直的坐标运算法则，我们易根据已知中的 一个关于 x，y，z 的方程，即关于 Z 的目标函数，画了约束条件 的坐标，代入即可求出目标函数的最值，进而给出

解答：

解：∵ 又∵ ⊥

∴（ x+z） ×2+3×（y﹣z）=2x+3y ﹣z=0， 即 z=2x+3y

∵满足不等式 |x|+|y|≤1 的平面区域如下图所示： 由图可知当 x=0，y=1 时， z 取最大值 3， 当 x=0，y=﹣1 时， z 取最小值﹣ 3， 故 z 的取值范围为 [﹣3，3] 故选D

=（x+z，3）， =（2，y﹣z），

z 的取值范围．

=（x+z，3）， =（2，y﹣z）， ⊥ ，构造出 |x|+|y|≤1 对应的平面区域，并求出各个角点

A、B、C；

g（a）=a 求出 a 值，是解答本题的关键．

f

点评： 本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，简单线性规划的应用，其中利用平面向量的垂

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直的坐标运算法则，求出目标函数的解析式是解答本题的关键．

9．（5 分）

考点 ： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． ： 压轴题专题．

分析： 我们先判断 φ（a，b）=0? a 与 b 互补是否成立，再判断

条件的定义，我们即可得到得到结 ．论

解答：

解：若 φ（a，b）=﹣a﹣b=0 则

=（a+b）

a 与 b 互补 ? φ（a，b）=0 是否成立，再根据充要

两边平方解得 ab=0，故 a，b 至少有一为0， 不妨令 a=0 则可得 |b|﹣b=0，故 b≥0，即 a 与 b 互补 而当 a 与 b 互补时， 易得 ab=0 此时﹣a﹣b=0 即 φ（a，b）=0

故 φ（a，b）=0 是 a 与 b 互补的充要条件 故选C

点评： 本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的，其中判断

? φ（a，b）=0 的真假，是解答本题的关键．

10．（5 分）

考点 ： 有理数指数幂的运算性质． ： 计算题；题专压轴题． 分析：

由 t=30 时，铯137 含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），先求出 M' （t）=M 0×

，

φ（a，b）=0? a 与 b 互补与 a 与 b 互补

再由 M' （30） =M 0×

解答：

解： M' （t） =M 0×

=﹣10ln2，求出 M 0，然后能求出 M （60）的值．

，

M' （30）=M 0× ∴ M 0=600． ∴ 故选D．

=﹣10ln2，

．

点评： 本题考查有理数指数幂的运算法则，解题时要注意导数的合理运用． 二、填空题（共5 小题，每小题 5 分，满分 25 分） 11．（5 分）

考点 ： 二项式定理． ： 计算题． 题专

15

分析： 利用二项展开式的通项公式求出通项，令 解答：

解：二项展开式的通项为

----

x 的指数为15，求出展开式中含 x

的项的系数．

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令

得 r=2

15

所以展开式中含 x 的项的系数为 故答案为 17

点评： 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 12．（5 分）

考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 计算题．

分析： 本题是一个古典概型， 试验发生所包含的事件是从

30 个饮料中取 2 瓶，共有 C30

种结果， 满足条件的事件 2

是至少取到一瓶已过保质期的，它的对立事件是没有过期的，共有 C27

种结果，计算可得其概率；根据对 立事件的概率得到结果．

解答： 解：由题意知本题是一个古典概型，

2

2

试验发生所包含的事件是从 30 个饮料中取 2 瓶，共有 C30 =435 种结果， 满足条件的事件是至少取到一瓶已过保质期的，

2

它的对立事件是没有过期的，共有

C27

=351 种结果， P=1﹣

=

=

，

根据对立事件和古典概型的概率公式得到 故答案为：

点评： 本题考查古典概型的概率公式，考查对立事件的概率，在解题时若从正面考虑比较麻烦，可以从事件的对

立事件来考虑． 本题是一个基础题．

13．（5 分）

考点： 数列的应用． 专题： 计算题． 分析：

由题设知

，先求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式

求第 5 节的容积．

解答：

解：由题设知

，

解得 ∴ 故答案为：

．

=

， ．

点评： 本题考查等式数列的通项公式和前 14．（5 分）

考点： 平行投影及平行投影作图法．

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n 项和公式，解题时要注意公式的灵活运用．

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专题： 计算题；压轴题．

分析： （I）根据两个坐标系之间的关系，由题意知点

距离变成 2

cos45°，写出坐标．

P′在平面上的射影 P 距离 x 轴的距离不变是 2，距离 y 轴的

----

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（II ）设出所给的图形上的任意一点的坐标，根据两坐标系之间的坐标关系，写出这点的对应的点，根据所 设的点满足所给的方程，代入求出方程．

解答： 解：（I）由题意知点 P′在平面上的射影 P 距离 x 轴的距离不变是 2，

距离 y 轴的距离变成 2

2

cos45°=2，

2

∴点 P′在平面 α内的射影 P 的坐标为（ 2，2） （II ）设（ x′﹣

）

+2y

根据上一问的结果，得到 ∵ ∴

2

2

﹣2=0 上的任意点为 A（x0，y0），A 在平面 α上的射影是（ x，y） x=

x0，y=y0， ，

∴（ x﹣1） +y =1，

2 2

故答案为： （2，2）；（x﹣1） +y =1．

点评： 本题考查平行投影及平行投影作图法，考查两个坐标系之间的坐标关系，是一个比较简单的题目，认真读

题会得分．

15．（5 分）

考点： 归纳推理；计数原理的应用． 专题： 计算题；压轴题．

分析： 根据所给的涂色的方案，观测相互之间的方法数，得到规律，根据这个规律写出当

利用给小正方形涂色的所有法数减去黑色正方形互不相邻的着色方案，得到结果．

解答： 解：由题意知当 n=1 时，有 2 种，

当 n=2 时，有 3 种， 当 n=3 时，有 2+3=5 种， 当 n=4 时，有 3+5=8 种， 当 n=5 时，有 5+8=13 种，

当 n=6 时，有 8+13=21 种，

6

n 取不同值时的结果数；

种涂法，

当 n=6 时，黑色和白色的小正方形共有 黑色正方形互不相邻的着色方案共有 故答案为： 21；43

2 21 种结果，

64﹣21=43 种结果，

∴至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有

点评： 本题考查简单的排列组合及简单应用，考查观察规律，找出结果的过程，是一个比较麻烦的题目，当作为

高考题目比前几年的排列组合问题不难．

三、解答题（共 6 小题，满分 75 分） 16．（10 分）

考点： 余弦定理；两角和与差的余弦函数． 专题： 计算题．

分析： （I）利用余弦定理表示出

c 的平方，把 a，b 及 cosC 的值代入求出 c 的值，从而求出三角形

ABC 的周长；

（II ）根据 cosC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 弦定理即可求出 sinA 的值，根据大边对大角，由 利用同角三角函数间的基本关系求出 的值代入即可求出值．

解答： 2 2 2

解：（I）∵c ﹣2abcosC=1+4﹣4× =4，

=a +b

∴c=2，

∴△ ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5 ．

----

sinC 的值，然后由 a，c 及 sinC 的值，利用正

a 小于 c 得到 A 小于 C，即 A 为锐角，则根据 sinA 的值

cosA 的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自

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（II ）∵cosC= ，∴ sinC= = = ．

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∴ sinA= = = ．

∵ a＜c，∴ A ＜C，故 A 为锐角．则cosA= = ，

∴ cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC= × + × = ．

点评： 本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础

题．

17．（12 分）

考点 ： 函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用． ： 应用题． 题专

分析： （ I）根据题意，函数

v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数

v（ x）在 20≤x≤200 时的表达式，

根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；

（ II ）先在区间（ 0，20]上，函数 f（x）为增函数，得最大值为 基本不等式求出函数 大值即为函数在区间（

0， 200] 上的最大值．

f （20）=1200，然后在区间 [20，200] 上用

x 值，两个区间内较大的最

f（ x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的

解答： 解：（I） 由题意：当 0≤x≤20 时， v（x）=60；当 20＜ x≤200 时，设v（x）=ax+b

再由已知得 ，解得

故函数 v（x）的表达式为

（ II ）依题并由（ I）可得

当 0≤x＜20 时， f（x）为增函数，故当 当 20≤x≤200 时，

当且仅当 x=200﹣x，即 x=100 时，等号成立．

所以，当 x=100 时， f（x）在区间（ 20，200]上取得最大值 综上所述，当 x=100 时， f（ x）在区间 [0，200]上取得最大值为 即当车流密度为

100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为

3333辆/小时． ．

，

x=20 时，其最大值为 60×20=1200

答：（I） 函数 v（x）的表达式

（ II ） 当车流密度为 100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为

3333辆/小时．

点评： 本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能，属力于中等题． 18．（12 分）

考点 ： 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系． ： 计算题． 题专

分析： （ I）过E 作 EN⊥AC 于 N，连接EF，NF，AC1，根据面面垂直的性质可知

NF 为 EF 在侧面 A1C 内的射影，

----

****

根据

，得 NF∥AC ，又 AC 1⊥A1C，故 NF⊥ A1C，由三垂线定理可得结论；

EM⊥ AF，则∠ EMN 是二面角 C﹣AF

（ II ）连接AF，过N 作 NM ⊥AF 与 M ，连接ME 根据三垂线定理得

E 的平面角即∠ EMN= θ，在直角三角形 CNE 中，求出 NE，在直角三角形 AMN 中，求出 MN ，故 ﹣tanθ=

，根据 α的范围可求出最小值．

ABC ⊥侧面 A1C

解答： 解：（I）过E 作 EN⊥AC 于 N，连接EF，NF，AC 1，由直棱柱的性质可知，底面

∴ EN⊥侧面 A 1C

NF 为 EF 在侧面 A1C 内的射影 在直角三角形 CNF 中， CN=1 则由

由三垂线定理可知

，得 NF∥AC 1，又 AC1⊥A1C，故 NF⊥A1C EF⊥A 1C

EM⊥ AF

（ II ）连接AF，过N 作 NM ⊥ AF 与 M ，连接ME 由（ I）可知 EN⊥侧面 A1C，根据三垂线定理得 ∴∠ EMN 是二面角 C﹣AF﹣E 的平面角即∠ EMN= θ 设∠ FAC=α则 0°＜ α≤45°， 在直角三角形 CNE 中， NE= 故 tanθ=

，在直角三角形 AMN 中， MN=3sin α

，又 0°＜ α≤45°∴0＜sinα≤

故当 α=45°时， tanθ达到最小值， tanθ=

，此时 F 与 C1 重合

点评： 本题主要考查了空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查了空间想象能力推理论证能 、

力和运算求解能力．

19．（13 分）

考点 ： 等差数列的性质；数列递推式． ： 综合题；转化思题专 ．想

分析： （ I）由已知中 an+1=rSn，我们可以得到以 an+2=rSn+1，两式相减后结合数列前

数列 {a n} 中从第二项开始，后一项与前一项之间的关系，因为式子中含有参数

讨论，即可得到答案． （ II ）根据（ I）的结论，我们同样要对 am+2 是否成等差数列，即判断 an+2﹣an+1=r（Sn+1﹣Sn）=ran+1 即 an+2=（ r+1）an+1 又 a2=ra1=ra

∴当 r=0 时，数列 {an} 为： a，0，0，? ； 当 r≠0 时，由 r≠﹣1，a≠0，∴ an≠0

由 an+2=（ r+1）an+1 得数列 {a n} 从第二项开始为等比数列

n﹣2

n 项和定义，我们可以判断出

r，故我们可以对 r 进行分类

am+1，am，

r 进行分类讨论，结合等差数列的判定方法，即要判断

am+1+am+2=2am 是否成立，论证后即可得到答案．

解答： 解：（I）由已知 an+1=rSn，则 an+2=rSn+1，两式相减得

∴当 n≥2 时， an=r（r+1）

a

综上数列 {an} 的通项公式为

（ II ） 对于任意的 m∈N ，且 m≥2，a，a，a

m+1mm+2 成等差数列，理由如下： 当 r=0 时，由（ I）知，

∴对于任意的 m∈N ，且 m≥2，a， a，am+1mm+2 成等差数列；

*

*

----

****

当 r≠0， r≠﹣1 时

∵ Sk+2=Sk+ak+1+ak+2， Sk+1=Sk+ak+1

*

若存在 k∈N ，使得 Sk+1， Sk，Sk+2 成等差数列，则2Sk=Sk+1+Sk+2 ∴ 2Sk=2Sk+ak+2+2ak+1，即 ak+2=﹣2ak+1

由（ I）知， a2， a3，? ，an，? 的公比 r+1=﹣2，于是

*

对于任意的 m∈N ，且 m≥2，am+1=﹣2am，从而 am+2=4am， ∴ am+1+am+2=2am，即 am+1，am，am+2 成等差数列

*

综上，对于任意的 m∈N ，且 m≥2，am+1，am，am+2 成等差数列．

点评： 本题考查的知识点为等差数列、等比数列的基础知识，同时考查了推理论证能力，以及特殊与一 ．想思的般20．（14 分）

考点 ： 轨迹方程；圆锥曲线的综合．

： 计算题；综合题；压轴题；动点型题专；开放型；分类讨论． 分析： （Ⅰ）设动点为

M ，其坐标为（ x，y），求出直线 A 1、MA 2M 的斜率，并且求出它们的积，即可求出点

2

2

2

M

轨迹方程，根据圆、椭圆、双曲线的标准方程的形式，对 当 m=﹣1 时， C1 方程为 x F2（ a

m 进行讨论，确定曲线的形状； （Ⅱ）由（ I）知，

，0），

2

，当 m∈（1，0）∪（ 0，+∞）时， C2 的焦点分别﹣为 F1（﹣a

+y =a

，0），假设在 C1 上存在点 N（ x0， y0）（y0≠0），使得 △F1NF2 的面积 S=|m|a

，的充要条件为

，求出点 N 的坐标，利用数量积和三角形面积公式可以求得

tanF1NF2 的值．

解答： 解：（Ⅰ）设动点为 M ，其坐标为（ x，y），

当 x≠±a 时，由条件可得

2

2

2

，

2

y ﹣

2

2

即 mx﹣y

（ x≠±a），

=ma

=ma ．

又 A 1（﹣a，0），A 2（a，0）的坐标满足mx 当 m＜﹣1 时，曲线 C 的方程为

2

2

2

，C 是焦点在 y 轴上的椭圆；

当 m=﹣1 时，曲线 C 的方程为 x

， C 是圆心在原点的圆；

+y =a

，C 是焦点在 x 轴上的椭圆；

当﹣1＜m＜0 时，曲线 C 的方程为

当 m＞0 时，曲线 C 的方程为 ，C 是焦点在 x 轴上的双曲线；

2

（Ⅱ）由（ I）知，当 m=﹣1 时， C1 方程为 x

2 2

=a

， +y

，0），F2（a

，0），

2

当 m∈（1，0）∪（ 0，+∞）时， C2 的焦点分别﹣为 F1（﹣a

对于给定的 m∈（1，0）∪（ 0，+∞），C1 上存在点 N（x0， y0）﹣（y0≠0），使得 △F1NF2 的面积 S=|m|a

，

的充要条件为

----

****

由 ① 得 0＜|y0|≤a，由 ② 得|y0|= 当 0＜

≤a，即

2

， ，或

时，

存在点 N，使 S=|m|a ，

----

****

当 当 m∈[

，即

，0）∪（ 0，

2

，或 ]时，由

2

2

2

时，不存在满足条件的点 =（﹣ a

﹣x0，﹣ y0），

N． =（ a

﹣x0，﹣ y0），

可得

=x0 ﹣（ 1+m）a

+y0

=r1，|

=﹣ma

．

令

|=r2，∠ F1NF2=θ，

2

则由

=r1r2cosθ=﹣ma ，可得 r1r2= ，

2

从而 s= r1r2sinθ=

2

=﹣

=|m|a ，即 tanθ=

，

，于是由 S=|m|a ，

可得﹣

2

综上可得：当 m∈[

，0）时，在 C1 上存在点 N，使得 △F1NF2 的面积S=|m|a ，且 tanθ=2；

2

当 m∈（ 0， 当

] 时，在 C1 上存在点 N，使得 △F1NF2 的面积S=|m|a ，且 tanθ=﹣2；

时，不存在满足条件的点

N．

点评： 此题是个难题．考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数

形结合的思想．其中问题（ 问题的能力．

21．（14 分）

考点 ： 导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明． ： 计算题；证明题；综合题；压题专轴题．

分析： （Ⅰ）求导，令导数等于零，解方程，分析该零点两侧导函数的符号，确定函数的单调性和极值，最终求

得函数的最值； （Ⅱ）（1）要证

?

≤1，只需证 ln

≤0，根据（ I）和∵ ak，bk（k=1， ?

，根据（1），令 ak=

2

2

2

II ）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决

2? ，n）均为正数， 从而有 lnak≤ak﹣1，即可证明结论；（2）要证 ≤

（ k=1， 2? ，n），再利用分数指数幂的运算法则即可证得结论；要证 ?

≤b1

+? +bn ，记 +b2

2

2

2

．令 ak=

s=b1 +b2 +? +bn

（k=1 ，2? ，n），同理可证．

解答： 解：（I）f（x）的定义域为（ 0，+∞），

令 f′（ x）= ﹣1=0，解得 x=1 ，

当 0＜ x＜1 时， f′（x）＞ 0，所以 f（x）在（ 0，1）上是增函数； 当 x＞ 1 时， f′（ x）＜ 0，所以 f（x）在（ 1，+∞）上是减函数； 故函数 f（x）在 x=1 处取得最大值 f（ 1）=0；

（ II ）（1）由（ I）知，当 x∈（0，+∞）时，有 f（x）≤f（1）=0，即 lnx≤x﹣ 1， ∵ ak， bk（k=1，2? ，n）均为正数，从而有

----

lnak≤ak﹣1，

****

得 bklnak≤akbk﹣bk（k=1 ，2? ，n）， 求和得

∵ a1b1+a2b2+? anbn≤b1+b2+? bn，

≤a1b1+a2b2+? +anbn﹣（ b1+b2+? +bn）

----

****

∴ ∴

?

≤1；

≤0，即 ln ≤0，

（ 2）先证 ≤ 令 ak=

? ，

（k=1 ，2? ，n），a1b1+a2b2+? +anbn=1=b1+b2+? bn， 则

b1+b2+? bn

于是由（ 1）得

≤1，即 ≤n

=n，

∴ ≤ ? ，

2 2 2 ≤b1 +b2 +? +bn

② 再证 ?

，

2 2 2

记s=b1 ．令 ak=

+b2 +? +bn

（k=1 ，2? ，n），

2

2

2

则a1b1+a2b2+? +anbn= （b1 ）=1=b 1+b2+? bn，

+b2 +? +bn

于是由（ 1）得 ≤1，

b1+b2+? bn

即

? ≤s

=s，

2

2

2

∴

? ≤b1

+b2 +? +bn

，

综合①② ，（2）得证．

点评：此题是个难题．本题主要考查函数、导数、不等式证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理

论证的能力，以及化归与转化的思 ．想

----

****

∴ ∴

?

≤1；

≤0，即 ln ≤0，

（ 2）先证 ≤ 令 ak=

? ，

（k=1 ，2? ，n），a1b1+a2b2+? +anbn=1=b1+b2+? bn， 则

b1+b2+? bn

于是由（ 1）得

≤1，即 ≤n

=n，

∴ ≤ ? ，

2 2 2 ≤b1 +b2 +? +bn

② 再证 ?

，

2 2 2

记s=b1 ．令 ak=

+b2 +? +bn

（k=1 ，2? ，n），

2

2

2

则a1b1+a2b2+? +anbn= （b1 ）=1=b 1+b2+? bn，

+b2 +? +bn

于是由（ 1）得 ≤1，

b1+b2+? bn

即

? ≤s

=s，

2

2

2

∴

? ≤b1

+b2 +? +bn

，

综合①② ，（2）得证．

点评：此题是个难题．本题主要考查函数、导数、不等式证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理

论证的能力，以及化归与转化的思 ．想

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