山东省淄博市2022届新高考第二次适应性考试数学试题含解析

山东省淄博市2021届新高考第二次适应性考试数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ）

A ．正方体

B ．球体

C ．圆锥

D ．长宽高互不相等的长方体 【答案】C

【解析】

【分析】

根据基本几何体的三视图确定．

【详解】

正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形． 故选：C ．

【点睛】

本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键．

2．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A

B =（ ） A ．(3,)+∞

B ．(,1)(3,)-∞-+∞

C ．(2,)+∞

D ．(2,3) 【答案】A

【解析】

【分析】

计算()

(),13,B =-∞-+∞，再计算交集得到答案.

【详解】 {}()()2230,13,B x x x =-->=-∞-?+∞，{}2,A x x x R =>∈，故(3,)A B =+∞. 故选：A .

【点睛】

本题考查了交集运算，属于简单题.

3．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ）

A ．c b a <<

B ．a b c <<

C ．b a c <<

D ．b c a << 【答案】A

【解析】

【分析】

首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可.

【详解】

因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ

====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.

故选：A

【点睛】

本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若

12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2-

B ．2

C ．12-

D ．12 【答案】C

【解析】

【分析】

把()12112z ai a R z i =+∈=+，代入

12

z z ，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可．

【详解】

∵()12112z ai a R z i =+∈=+，， ∴121(1)(12)12212(12)(12)55

z ai ai i a a i z i i i ++-+-===+++-， ∵12

z z 为纯虚数， ∴12020

a a +=??-≠?，解得12a =-． 故选C ．

【点睛】

本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．

5．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）

A ．2020年6月

B ．2020年7月

C ．2020年8月

D ．2020年9月

【答案】C

【解析】

【分析】 根据图形，计算出,x y ，然后解不等式即可.

【详解】 解：1(12345)35x =?++++=，1(0.020.050.10.150.18)0.15

y =?++++= 点()3,0.1在直线??0.042y

x a =+上 ?0.10.0423a

=?+，?0.026a =- ?0.0420.026y

x =- 令?0.0420.0260.5y

x =-> 13x ≥

因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，

故选：C

【点睛】

考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题.

6．已知抛物线2:4C x y =,过抛物线C 上两点,A B 分别作抛物线的两条切线,,PA PB P 为两切线的交点O 为坐标原点若.0PA PB =,则直线OA 与OB 的斜率之积为（ ）

A ．14-

B ．3-

C ．1

8- D ．4-

【答案】A

【解析】

【分析】

设出A ，B 的坐标，利用导数求出过A ，B 的切线的斜率，结合0PA PB ?=，可得x 1x 2＝﹣1．再写出OA ，

OB 所在直线的斜率，作积得答案．

【详解】

解：设A （2114x x ，），B （2224

x x ，）， 由抛物线C ：x 2＝1y ，得214y x =

，则y′12x =． ∴112AP k x =，212

PB k x =， 由0PA PB ?=，可得12114

x x =-，即x 1x 2＝﹣1． 又14OA x k =，24

OB x k =， ∴124116164

OA OB x x k k -?===-． 故选：A ．

点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路，由于与切线有关，所以一般先设切点，先设A 2(2,)a a ,B 2(2,)b b ,a b ,再求切线PA,PB 方程，

求点P 坐标，再根据.0PA PB =得到1,ab =-最后求直线OA 与OB 的斜率之积.如果先设点P 的坐标，计算量就大一些.

7．计算2543log sin

cos ππ?? ???等于( ) A ．32- B ．32 C ．23- D ．23

【答案】A

【解析】

【分析】

利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.

【详解】

原式2221log cos 2log cos log 232322πππ???????=-==??? ? ???????????

3223log 22-==-. 故选：A

【点睛】

本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.

8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ）

A ．23

B ．25

C ．28

D ．29

【答案】D

【解析】

【分析】

由981S =可求59a =，再求公差，再求解即可.

【详解】

解：{}n a 是等差数列

95981S a ∴==

59a ∴=，又45a =，

∴公差为4d =，

410629a a d ∴=+=，

故选：D

【点睛】

考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.

9．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ?∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】 {}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，

充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >， 0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；

若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意. 所以，“*n N ?∈，1n n S S +>”?“{}n a 为递增数列”；

必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.

所以，“*n N ?∈，1n n S S +>”?/“{}n a 为递增数列”.

因此，“*n N ?∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．

10．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB

为直径的半圆的面积之比为14

，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）

A ．925

B ．1225

C ．35

D ．45

【答案】D

【解析】

【分析】

由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比，从而可知1tan 2

AC AB α=

=，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos αα，由二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】 解：由题意知0,2πα??∈ ??? ，以AB 为直径的半圆面积21122AB S π??= ???， 以AC 为直径的半圆面积22122AC S π??= ???，则222114S AC S AB ==，即1tan 2AC AB α==. 由22sin cos 1sin 1tan cos 2ααααα?+=??==?? ，得5sin 25cos αα?=????=??

，所以5254sin 22sin cos 25ααα===. 故选:D.

【点睛】

本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值. 11．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ ）

A ．(5,)π

B ．(4,)π

C ．(1,2)π-

D ．(4,2)π

【答案】B

【解析】 函数23353sin (3sin 4cos )3sin 4sin cos 2sin 2cos 2sin(2)2222

y x x x x x x x x x θ=+=+=-+=-+（θ为辅助角）

∴函数的最大值为4M =，最小正周期为22

T ππ=

= 故选B

12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）

A ．10000立方尺

B ．11000立方尺

C ．12000立方尺

D ．13000立方尺

【答案】A

【解析】

由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：

沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，

则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，

则三棱柱的

四棱锥的体积

由三视图可知两个四棱锥大小相等，

立方丈立方尺．

故选A ． 【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的

关键．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某市公租房源位于A 、B 、C 三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源的概率是______ .（用数字作答） 【答案】

80243

【解析】

【分析】

基本事件总数53243n ==，恰好有2人申请A 小区房源包含的基本事件个数235280m C ==，由此能求出该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源的概率．

【详解】

解：某市公租房源位于A 、B 、C 三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，

该市的任意5位申请人中，基本事件总数53243n ==，

该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源包含的基本事件个数： 235280m C ==，

∴该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源的概率是80243m p n =

=． 故答案为：

80243

． 【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

14．已知函数()sin 6f x x πω??=+ ??

?（0>ω）在区间[),2ππ上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是________. 【答案】511,

612?? ??? 【解析】

【分析】

首先根据x 的取值范围，求得6x π

ω+的取值范围，由此求得函数()f x 的值域，结合()f x 区间[)

,2ππ上的值小于0恒成立列不等式组，解不等式组求得ω的取值范围.

【详解】

由于2,0x ππω≤<>，所以2666x π

π

π

ωπωωπ+≤+<+，

由于()f x 区间[),2ππ上的值小于0恒成立， 所以2222666k x k π

π

π

ππωπωωπππ+<+≤+<+≤+（k Z ∈）. 所以522661121122266212k k k k k πωωππππωπππω?>+??+>+??????+??+≤+≤=+????

， 由于0>ω，所以511210612120k k k k ?+<+??≤

， 由于k Z ∈，所以令0k =得

511612ω<≤. 所以ω的取值范围是511,612?? ???

. 故答案为：511,612?? ???

【点睛】

本小题主要考查三角函数值域的求法，考查三角函数值恒小于零的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

15．有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，则1ξ=对应的排法有______种；()E ξ= ______；

【答案】36 ；1.

【解析】

【分析】

ξ的可能取值为0，1，2，3，1ξ=对应的排法有：123323C A A 36=.分别求出()0P ξ=，

()1P ξ=，()2P ξ=，()3P ξ=，由此能求出()E ξ.

【详解】

解：有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用ξ表示两名老师之间的学生人数，

则ξ的可能取值为0，1，2，3，

1ξ=对应的排法有：1

23323C A A 36=.

∴1ξ=对应的排法有36种；

()242455A A 480A 120P ξ

===， ()12332355

C A A 361A 120P ξ===， ()22232255A A A 242A 120

P ξ===， ()223255

A A 123A 120P ξ===， ∴()4836241201231120120120120

E ξ=?+?+?+?= 故答案为：36；1.

【点睛】

本题考查了排列、组合的应用，离散型随机变量的分布列以及数学期望，属于中档题. 16．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为___________．

【答案】13

【解析】

根据题意得到：a=0,b=1,i=2

A=1,b=2,i=4,

A=3,b=5,i=6,

A=8,b=13,i=8

不满足条件，故得到此时输出的b 值为13. 故答案为13.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，设A 是由n n ?个实数组成的n 行n 列的数表，其中a ij (i ，j=1，2，3，…，n)表示位于第i 行第j 列的实数，且a ij ∈{1，-1}.记S(n ，n)为所有这样的数表构成的集合．对于()A n n ∈，，记r i (A)为A 的第i 行各数之积，c j (A)为A 的第j 列各数之积．令()()()11n n

i j

i j l A r A c A ===+∑∑ a 11 a 12 … a 1n

a 21

a 22 a 2n …

… … … a n1 a n2 … a nn （Ⅰ）请写出一个A ∈S(4，4)，使得l(A)=0；

（Ⅱ）是否存在A ∈S(9，9)，使得l(A)=0？说明理由；

（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的A ∈S(n ，n)，求l(A)的取值集合．

【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）不存在，理由见解析；（Ⅲ）{2(2)|0,1,2,,}n k k n -=?

【解析】

【分析】

（Ⅰ）可取第一行都为-1，其余的都取1，即满足题意；

（Ⅱ）用反证法证明：假设存在，得出矛盾，从而证明结论；

（Ⅲ）通过分析正确得出l(A)的表达式，以及从A 0如何得到A 1，A 2……，以此类推可得到A k ．

【详解】

（Ⅰ）答案不唯一，如图所示数表符合要求.

（Ⅱ）不存在A ∈S(9，9)，使得l(A)=0，证明如下:

假如存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =.

因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}129)3(j c A i j ∈-=?，,

,,,， 所以1()r A ，2()r A ，...，9()r A ，1()c A ，2()c A ，...，9()c A 这18个数中有9个1，9个-1. 令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =?????.

一方面，由于这18个数中有9个1，9个-1，从而9(1)1M =-=-①， 另一方面，129()()()r A r A r A ??表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）； 129()()()c A c A c A ??也表示m ，从而21M m ==②，

①，②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =.

（Ⅲ）记这2n 个实数之积为p.

一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =??；

另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =??；

从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ??=??③，

注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}(1,1)j c A i n j n ∈-≤≤≤≤，

下面考虑1()r A ，2()r A ，...，()n r A ，1()c A ，2()c A ，...，()n c A 中-1的个数，

由③知，上述2n 个实数中，-1的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤，则1的个数为2n-2k ， 所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-?+?-=-，

对数表0:1(,1,2,3,,)ij A a i j n ==?，显然()02l A n =.

将数表0A 中的11a 由1变为-1，得到数表1A ，显然()124l A n =-，

将数表1A 中的22a 由1变为-1，得到数表2A ，显然()228l A n =-，

依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为-1，得到数表k A ，

即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ==?==-≤≤，其余1ij a =，

所以12()()()1k r A r A r A ==?==-，12()()()1k c A c A c A ==?==-，

所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-?+-=-，

由k 的任意性知，l （A ）的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -=?.

【点睛】

本题为数列的创新应用题，考查数学分析与思考能力及推理求解能力，解题关键是读懂题意，根据引入的概念与性质进行推理求解，属于较难题.

18．已知函数2()ln (1)1(,).f x x ax a b x b a b R =-+--++∈

（1）若0a =，试讨论()f x 的单调性；

（2）若02,1a b <<=，实数12,x x 为方程2()f x m ax =-的两不等实根，求证：

121142a x x +>-. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意得()f x '，分1b ≤-与1b >-讨论即可得到函数()f x 的单调性；

（2）根据题意构造函数()g x ，得12()()g x g x m ==，参变分离得2112ln ln 2x x a x x --=-，

分析不等式121142a x x +>-，即转化为122211

2ln x x x x x x -<-，设21(1)x t t x =>，再构造函数()12ln g t t t t

=-+，利用导数得单调性，进而得证. 【详解】

（1）依题意0x >，当0a =时，1()(1)f x b x

'=-+， ①当1b ≤-时，()0f x '>恒成立，此时()f x 在定义域上单调递增；

②当1b >-时，若10,1x b ??∈ ?+??，()0f x '>；若1,1x b ??∈+∞ ?+??

，()0f x '<； 故此时()f x 的单调递增区间为10,1b ?

? ?+??，单调递减区间为1,1b ??+∞ ?+??

. （2）方法1：由2()f x m ax =-得ln (2)20x a x m +-+-=

令()ln (2)2g x x a x =+-+，则12()()g x g x m ==，

依题意有1122ln (2)ln (2)x a x x a x +-=+-，即2112

ln ln 2x x a x x --=-， 要证121142a x x +>-，只需证()21121212

2ln ln 2(2)x x x x a x x x x --+>-=-（不妨设12x x <）， 即证122211

2ln x x x x x x -<-， 令21(1)x t t x =>，设()12ln g t t t t

=-+，则22211()1(1)0g t t t t '=--=--<， ()g t ∴在(1,)+∞单调递减，即()(1)0g t g <=，从而有12

1142a x x +>-. 方法2：由2()f x m ax =-得ln (2)20x a x m +-+-=

令()ln (2)2g x x a x =+-+，则12()()g x g x m ==，1()(2)g x a x '=

-- 当1(0,)2x a ∈-时()0g x '>，1(,)2x a

∈+∞-时()0g x '<， 故()g x 在1(0,)2a -上单调递增，在1(,)2a

+∞-上单调递减， 不妨设12x x <，则12102x x a

<<<-， 要证121142a x x +>-，只需证212(42)1x x a x <--，易知221(0,)(42)12x a x a ∈---，

故只需证212()()(42)1x g x g a x <--，即证222()()(42)1

x g x g a x <-- 令()()()(42)1x h x g x g a x =---，（12x a

>-）， 则()21

()()()(42)1

421x h x g x g a x a x '''=+----???? =()21(2)1(2)1421a x a x x x a x ----??+????--????=()()224(2)210421a a x a x ----????<--????

， （也可代入后再求导）

()h x ∴在1,2a ??+∞ ?-??

上单调递减，1()()02h x h a ∴<=-， 故对于12x a

>-时，总有()()(42)1x g x g a x <--.由此得121142a x x +>- 【点睛】

本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题.

19．试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M 1002??=????，N 10201????=????

． 【答案】y ＝2sin2x ．

【解析】

【分析】

计算MN 11100022020102??????????==???????????

?

，计算得到函数表达式. 【详解】 ∵M 1002??=????，N 10201????=????

，∴MN 11100022020102??????????==????????????， ∴在矩阵MN 变换下，x y ??????→1'2'2x x y y ??????=????????

∴曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin2x ．

【点睛】

本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力.

20．已知多面体ABCDE 中，AE 、CD 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=，2AE CD =，AB BC CD ==，F 是BE 的中点．

（1）求证：//DF 平面ABC ；

（2）求直线BD 与平面ABE 所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（26 【解析】

【分析】

（1）取AB 的中点H ，连接FH 、CH ，推导出四边形FHCD 为平行四边形，可得出//DF CH ，由此能证明//DF 平面ABC ；

（2）由//AE CD ，得//CD 平面ABE ，则点D 到平面ABE 的距离等于点C 到平面ABE 的距离，在平面ABC 内过点C 作CG AB ⊥于点G ，CG 就是C 到平面ABE 的距离，也就是点D 到平面ABE 的距离，由此能求出直线BD 与平面ABE 所成角的正弦值．

【详解】

（1）取AB 的中点H ，连接FH 、CH ， H 、F 分别为AB 、BE 的中点，则//FH AE 且12

FH AE =， AE ∵、CD 均垂直于平面ABC ，且2AE CD =，则//CD AE ，//FH CD ∴且FH CD =， 所以，四边形FHCD 为平行四边形，则//DF CH ，

DF ?平面ABC ，CH ?平面ABC ，因此，//DF 平面ABC ； （2）由//AE CD ，AE ?平面ABE ，CD ?平面ABE ，//CD ∴平面ABE ， ∴点D 到平面ABE 的距离等于点C 到平面ABE 的距离，

在平面ABC 内过点C 作CG AB ⊥于点G ， AE 平面ABC ，CG ?平面ABC ，CG AE ∴⊥，

CG AB ⊥，AE AB A =，CG ∴⊥平面ABE ，

即CG 就是C 到平面ABE 的距离，也就是点D 到平面ABE 的距离，

设2AB BC CD ===，

则D 到平面ABE 的距离sin 60

3h BC ==

，2222BD BC CD =

+=， 因此，直线BD 与平面ABE 所成角的正弦值为364

22h BD ==．

【点睛】

本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

21．如图ABC ?中，D 为BC 的中点，213AB =，4AC =，3AD =. （1）求边BC 的长；

（2）点E 在边AB 上，若CE 是BCA ∠的角平分线，求BCE ?的面积.

【答案】（1）10；（2）

607. 【解析】

【分析】

（1）由题意可得cos ∠ADB ＝﹣cos ∠ADC ，由已知利用余弦定理可得：9+BD 2﹣52+9+BD 2﹣16＝0，进而解得BC 的值．（2）由（1）可知△ADC 为直角三角形，可求S △ADC 1432

=??=6，S △ABC ＝2S △ADC ＝12，利用角平分线的性质可得

25

ACE BCE S S =，根据S △ABC ＝S △BCE +S △ACE 可求S △BCE 的值． 【详解】 （1）因为D 在边BC 上，所以cos cos ADB ADC ∠=-∠，

在ADB ?和ADC ?中由余弦定理，得222222

022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC +-+-+=??，

因为AB =4AC =，3AD =，BD DC =，

所以229529160BD BD +-++-=，所以225BD =，5BD =.

所以边BC 的长为10.

（2）由（1）知ADC ?为直角三角形，所以14362

ADC S ?=

??=，212ABC ADC S S ??==. 因为CE 是BCA ∠的角平分线， 所以1

sin 21sin 2

ACE BCE AC CE ACE S S BC CE BCE ????∠=??∠42105

AC BC ===. 所以25ABC BCE ACE BCE BCE S S S S S ?????=+=+7125BCE S ?==，所以607

BCE S ?=. 即BCE ?的面积为607

. 【点睛】

本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．

22．已知函数()31f x x x =-+-.

（1）求不等式()6f x ≤的解集；

（2）设()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足224a b M +=，证明：24a b ab +≥.

【答案】（1）[]1,5-（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式()6f x ≤的解集.

（2）利用绝对值三角不等式求得()f x 的最小值M ，利用分析法，结合基本不等式，证得不等式24a b ab +≥成立.

【详解】

（1）()42,12,1324,3x x f x x x x -≤??=<

，

不等式()6f x ≤，即1426x x ≤??-≤?或3246x x ≥??-≤?或1326x <

， 即有11x -≤≤或35x ≤≤或13x <<，

所以所求不等式的解集为[]1,5-.

（2）()31312f x x x x

x =++-≥--+=，2M =，

因为0a >，0b >， 所以要证24a b ab +≥，只需证()222216a b a b +≥，

即证22224416a b ab a b ++≥，

因为2242a b +=，所以只要证222416ab a b +≥，

即证()28210ab ab --≤，

即证()()41210ab ab +-≤，因为410ab +>，所以只需证12≤

ab ， 因为22244a b ab =+≥，所以12

≤

ab 成立， 所以24a b ab +≥.

【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题. 23．如图,设点2(1,0)F 为椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的右焦点，圆222:(),C x a y a -+=过2F 且斜率为(0)k k >的直线l 交圆C 于,A B 两点，交椭圆E 于点,P Q 两点，已知当3k =时，2 6.AB =

（1）求椭圆E 的方程.

（2）当2103

PF =

时，求PQC ?的面积. 【答案】（1）22

198x y （2）409 【解析】

【分析】

（1）先求出圆心(),0C a 到直线l 的距离为()233

31a d -=+26AB =()

223164a a -+=，

解之即得a 的值，再根据c=1求出b 的值得到椭圆的方程.(2)先求出81,3P ??-- ???，716,39Q ?? ???

，再求得PQC ?的面积()214029Q P S CF y y =?-=.

【详解】

(1)因为直线l 过点()21,0F

，且斜率k =所以直线l

的方程为)1y x =-

0y -=， 所以圆心(),0C a 到直线l 的距离为

d =

又因为AB =C 的半径为a ， 所以2

222AB d a ??+= ???，即()223164

a a -+=， 解之得，3a =或9a =-（舍去）.

所以2228b a c =-=， 所以所示椭圆E 的方程为22

198

x y += . (2)由(1)得，椭圆的右准线方程为:9m x =，离心率13

c e a ==， 则点P 到右准线的距离为210

31013

PF d e

===， 所以910P x -=，即1P x =，把1P x =-代入椭圆方程22

198x y +=得，83P y =±， 因为直线l 的斜率0k >，

所以83P y =-，81,3P ??∴-- ??

? 因为直线l 经过()21,0F 和81,3P ??-- ???，

所以直线l 的方程为()413y x =-， 联立方程组()2241,31,9

8y x x y ?=-????+=??得23470x x --=， 解得1x =-或73x =

， 所以716,39Q ?? ???，

所以PQC ?的面积()21116840222939Q P S CF y y ??=

?-=??+= ???

. 【点睛】 本题主要考查直线和圆、椭圆的位置关系，考查椭圆的方程的求法，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.

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