清华大学一元微积分期末考题 答案

一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）

1.

lnx?(1?x)2dx? lnx?ln|1?x|?lnx?C 1?xdx? 。 2. ?1?cos2x答案：答案：

??1?1?arctantanx??C ?2?2?3.

?1arctanxdx? 2x??1??arctanxarctanxdx?ln2 dx?????22?1x2xx(1?x)41??解：

?4.xf(x)dx?arctanx?C，则

??1dx? 。 f(x)x2x4??C 答案：245.

(1?x)cosx???21?sin2xdx? 。

2?答案：

? 2d?x2t2?6. ??xedt?? 。

dx??答案：2xex4?ex

k2x?0xF(x)，当时，与是同阶tf(t)dt?27. 设f(x)为连续函数，f(0)?0，F(x)?无穷小，则k? 。

答案：3

x08. 将(x?3)?y?1绕y轴转一圈，则所得图形围成的体积为 。 答案：6?

9. 设m?0，且广义积分答案：m?1

222???dxx?xm0收敛，则m的范围为

x2n10．幂级数?n的收敛域为 。 n2?(?5)n?1?答案：(?5,5)

11. 级数

?n?1??(?1)nsinnp1n条件收敛，则参数p的范围为 。

答案：?1?p?0 12.在x0?0点，函数

??n?x0e?tdt的幂级数展开为

2x2n?1答案：?(?1)，x??

n!(2n?1)n?013.y'?ex?ex?y，的通解是 。

eyx?e?C 答案：lny1?e14.xdy?(x?2y)dx?0满足y(1)?0的解为 。 答案：y?x?x

2?y???2x?y??2?015. 初值问题?的解为 。

?y(0)?1,y(0)?0?答案：y?1

二．计算题（每题10分，共40分）

??dx1．求p的范围，使得?sin收敛

1xlnpx??2?dx?dx???dx?sinsin解：?sin， pp?2p?11xlnxxlnxxlnx2?dx1?1?1x?1附近，sinsin2?p?0，所以仅当时收敛 ~?1???pp?1xlnxxlnpxx(x?1)??? ……………………………………………….5分

x???,sin???1?p~dx对任意的成立,所以只需要考虑广义积分ppp?2xlnxxlnxxlnx的收敛性。因为

?a2lnadu?dx??,p?1所以仅当时广义积分?2xlnpxdx收敛. xlnpx?ln2up ……………………………………………….5分 最终,我们得到仅当p?(1,2)时

2．计算摆线x?t?sint,y?1?cost,解：旋转体的体积

??1sin?dxxlnxp收敛。

t?[0,2?]， 绕x轴旋转体的体积和表面积。

2?V???ydx???(1?cost)dt???(1?3cost?3cos2t?cos3t)dt?5?2

0002?22?3………………………………………………5分

旋转体的表面积

S?2??2?02?2?t6422??yx?ydt?2??(1?cost)2?2costdt?8??sin3dt??

0023………………………………………………5分

(?1)nn23．求级数?的和。 n2n?1??(?1)nn2?1?解：记S(x)??nx，则??S???， n2?2?n?1n?1??2n??S??2n?1??nx, xn?1??Sndx?nx,……………………………………3分 ??0xn?1x??x?1xS?ndxdx?x?, ……………3分 ???0?x?0x??1?xn?1x??1xSn?1dx?nx, ??0xxn?11xS1, 故 ?dx?x0x(1?x)2?x0Sxdx?, x(1?x)2S(x)1?xx(1?x)?,S(x)?, 33x(1?x)(1?x)(?1)nn22?1? ……………………………………4分 ?S??????n227?2?n?1??4．设f(x)?C(0,??)，且对任意x?0满足x?10f(tx)dt??2?f(t)dt?xf(x)?x4，

0xf(1)?0，求f(x)。

解：令u?tx，则原方程可化为

?x0f(u)du??2?f(t)dt?xf(x)?x4

0x两边求导得，f(x)??2f(x)?f(x)?xf?(x)?4x3， 从而得一阶线性ODE，f?(x)?2f(x)??4x2， ……………………………………5分 x解得，f(x)?x2(C?4x) ，由于f(1)?0，得C?4

所以f(x)?x2(4?4x)。 ……………………………………5分

三．证明题

xn?21.（8分）己知函数y?f(x)?xlnx??。求f(x)的定义域, 并证明

(n?1)?(n?1)!n?0?y?f(x)满足微分方程xy??y?xex，并且lim?y(0)?0。

x?0xn?2证明：xlnx的定义域为?0,???,?收歛域为???,???.

n?0(n?1)?(n?1)!?所以函数f(x)的定义域为?0,???. ……………………………………2分 以下证明f(x)为所设初值问题的解。

(n?2)xn?1 y??1?lnx??n?0(n?1)?(n?1)!?(n?2)xn?2 ?xy??x?xlnx??(n?1)?(n?1)!n?0??(n?2)xn?2xn?2 ?xy??y?x????n?0(n?1)?(n?1)!n?0(n?1)?(n?1)!???xn?1xn??x?x??x?x?(?1)?1????xex. ……………4分 ??n?0(n?1)!n?1n!???xn?2 lim?xlnx??xlimy?x??lim?0 ……………2分 ?x?0?x?0??0?n?0(n?1)?(n?1)!?

2．（7分）设f(x)在[0,1]上可导，且f(0)?0,0?f?(x)?1,?x?[0,1]，求证：

?1f(x)dx??1?f(x)?3dx

????0??02xx3??证明：记?(x)??f(t)dt???f(t)?dt ??0?0?2xx32则 ??(x)?2f(x)??f(t)dt??f(x)?f(x)?2?f(t)dt?f(x)?……………2分

?????0??0?2记 ?(x)??2?f(t)dt?f(x)?

x2??0??则 ??(x)?2f(x)?1?f?(x)? ……………….……………2分 因为f(x)在[0,1]上可导，且f(0)?0,0?f?(x)?1,?x?[0,1]，

f(x)?0,1?f?(x)?0,?x?[0,1]

故?(x)?0,?x?[0,1]，??(x)?0,?x?[0,1]。又?(0)?0，所以

xx?(x)???f(t)dt????f(t)?3dt?0,?x?(0,1]

??0?0?211?(1)???f(t)dt????f(t)?3dt?0 ……………3分

??0?0?22.（备选）设f(x)在[0,??)上连续，且存在常数k?0，使得

f(x)?k?f(t)dt

0x证明：在[0,??)上，f(x)?0。 证明：f(0)?0，且?x?[0,??),?x0f(t)dt?0。

x0f(x)?k?f(t)dt f(x)?k?f(t)dt?0

0xe?kx?f(x)?k?f(t)dt??0

??0??x??e?kxxf(t)dt??0

?0????积分，e?kx?x0f(t)dt?0,?x?[0,??)，

?x0f(t)dt?0,?x?[0,??)

于是

?x0f(t)dt?0,?x?[0,??)，在[0,??)上，f(x)?0。

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