2019届高考数学大一轮复习第十三章系列4选讲13.1坐标系与参数方程第1课时绝对值不等式学案文北师大版

第1课时 坐标系

1．平面直角坐标系

设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：?

???? x ′＝λ·x ，λ>0，y ′＝μ·y ，μ>0的作用

下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系

(1)极坐标与极坐标系的概念

在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．

(2)极坐标与直角坐标的互化

设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：

?

??

??

x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或?

???

?

ρ2＝x 2＋y 2

，tan θ＝y x (x ≠0).

这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 3．常见曲线的极坐标方程

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( × )

(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是? ????2，－π3.( √ )

(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( √ )

(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( × )

题组二 教材改编

2．若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )

A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2

B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4

C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2

D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4

答案 A

解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，

∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)；

∴ρ＝1sin θ＋cos θ? ??

??0≤θ≤π2. 3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )

A.?

????1，π2 B.? ????1，－π2 C ．(1,0)

D ．(1，π)

答案 B 解析 方法一 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2

＝－

2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为?

????1，－π2. 方法二 由ρ＝－2sin θ＝2cos ? ????θ＋π2，知圆心的极坐标为?

????1，－π2，故选B. 题组三 易错自纠 4．在极坐标系中，已知点P ?

????2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( ) A ．ρsin θ＝1

B ．ρsin θ＝ 3

C ．ρcos θ＝1

D ．ρcos θ＝ 3 答案 A

解析 先将极坐标化成直角坐标表示，P ?

????2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，

再化为极坐标为ρsin θ＝1.

5．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为 ．

答案 x 2＋y 2

－2y ＝0

解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.

6．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．当△AOB 是等边三角形时，求a 的值．

解 由ρ＝4sin θ可得圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，

即x 2＋(y －2)2＝4.

由ρsin θ＝a 可得直线的直角坐标方程为y ＝a (a >0)．

设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示． 由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a .

在Rt△DOB 中，易求DB ＝

33a ， ∴B 点的坐标为?

????33a ，a . 又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，

∴? ??

??33a 2＋a 2－4a ＝0， 即43

a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.

题型一 极坐标与直角坐标的互化

1．(2016·北京改编)在极坐标系中，已知曲线C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ.

(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；

(2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两交点间的距离．

解 (1)∵C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，

∴x －3y －1＝0，表示一条直线．

由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，

∴x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.

∴C 2是圆心为(1,0)，半径为1的圆．

(2)由(1)知，点(1,0)在直线x －3y －1＝0上，

∴直线C 1过圆C 2的圆心．

因此两交点A ，B 的连线是圆C 2的直径．

∴两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2.

2．(1)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程．

(2)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 1和C 2交点的直角坐标．

解 (1)∵????? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，

∴y ＝1－x 化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，

即ρ＝1cos θ＋sin θ

. ∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2

. (2)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρsin 2θ＝cos θ，

得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，

∴曲线C 1的直角坐标方程为y 2＝x .

由ρsin θ＝1，得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝1.

由????? y 2＝x ，y ＝1，得????

? x ＝1，y ＝1，

故曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(1,1)．

思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．

(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．

题型二 求曲线的极坐标方程

典例 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C .

(1)求曲线C 的标准方程；

(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与直线l 垂直的直线的极坐标方程．

解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，由题意，得????? x ＝x 1，y ＝2y 1.

由x 21＋y 21＝1，得x 2＋? ??

??y 22＝1， 即曲线C 的标准方程为x 2＋y 24＝1. (2)由????? x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得????? x ＝1，y ＝0或????? x ＝0，y ＝2.

不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为? ??

??12，1，所求直线的斜率为k ＝12， 于是所求直线方程为y －1＝12? ??

??x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，

故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ

. 思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤

(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点．

(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．

(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．

跟踪训练 已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0，直线l 的参数方程为????? x ＝－1＋t ，y ＝t (t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4

. (1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；

(2)已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解 (1)∵ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，

圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0，

∴ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0，

∴圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ?

????θ－π4. 又直线l 的参数方程为????? x ＝－1＋t ，y ＝t (t 为参数)，

消去t 后得y ＝x ＋1，

∴直线l 的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ

. (2)当θ＝3π4时，|OP |＝22sin ? ????3π4

－π4＝22， ∴点P 的极坐标为? ????22，3π4，|OQ |＝122＋22

＝22， ∴点Q 的极坐标为? ????22，3π4，故线段PQ 的长为322. 题型三 极坐标方程的应用

典例 (2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.

(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；

(2)设点A 的极坐标为?

????2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题意知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ

. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．

因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．

(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．

由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，

于是△OAB 的面积S ＝12

|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·??????sin ?

????α－π3 ＝2????

??sin ? ????2α－π3－32≤2＋ 3. 当α＝－π12

时，S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.

思维升华 极坐标应用中的注意事项

(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正半轴重合；③取相同的长度单位．

(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位

置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．

(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．

跟踪训练 (2017·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin ?

????θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长．

解 由ρsin ?

????θ＋π4＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2，可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2

＝16，

圆心(0,0)到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝|22|2

＝2， 由圆中的弦长公式，得弦长 l ＝2r 2－d 2＝242－22＝4 3.

故所求弦长为4 3.

1．(2018·武汉模拟)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ?

????θ－π4＝22

. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．

解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，

圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，

即x 2＋y 2－x －y ＝0，

直线l ：ρsin ?

????θ－π4＝22， 即ρsin θ－ρcos θ＝1，

则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，

即x －y ＋1＝0.

(2)由????? x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得????? x ＝0，y ＝1，

故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为?

????1，π2. 2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．

解 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y －x ＝1.

联立方程组????? x ＋y ＝1，y －x ＝1，得????? x ＝0，y ＝1，

则交点为(0,1)，对应的极坐标为?

????1，π2. 3．在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4

对称的曲线的极坐标方程． 解 以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，且圆心为(1,0)．

直线θ＝π4

的直角坐标方程为y ＝x ， 因为圆心(1,0)关于y ＝x 的对称点为(0,1)，

所以圆(x －1)2＋y 2＝1关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋(y －1)2＝1.

所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4

对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ. 4．(2017·贵阳调研)在以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，

已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ

. (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程． 解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，

∴ρ＝21－sin θ

化为ρ－ρsin θ＝2， ∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.

(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )，

根据题意21－sin θ0＝3·21－sin (θ0＋π)

， 解得θ0＝π6或θ0＝5π6

， ∴直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R )．

5．已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ?

????θ－π4－4＝0，求圆C 的半径． 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .

圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ?

????22sin θ－22cos θ－4＝0， 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.

则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，

即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.

6．在极坐标系中，P 是曲线C 1：ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线C 2：ρ＝12cos ?

????θ－π6上的动点，求|PQ |的最大值．

解 对曲线C 1的极坐标方程进行转化，

∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，

即x 2＋(y －6)2＝36.

对曲线C 2的极坐标方程进行转化，

∵ρ＝12cos ?

????θ－π6， ∴ρ2＝12ρ? ????cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，

∴|PQ |max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.

7．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为ρsin ? ????θ－2π3＝－3，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.

(1)求直线l 和⊙C 的直角坐标方程；

(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长．

解 (1)直线l ：ρsin ? ????θ－2π3＝－3， ∴ρ?

????sin θcos 2π3－cos θsin 2π3＝－3， ∴y ·? ??

??－12－x ·32＝－3，即y ＝－3x ＋2 3. ⊙C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ，ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ，

∴x 2＋y 2＝4x ＋2y ，即x 2＋y 2－4x －2y ＝0.

(2)⊙C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5.

∴圆心C (2,1)，半径R ＝5，

∴⊙C 的圆心C 到直线l 的距离

d ＝|1＋23－23|

(3)2＋1

2＝12， ∴|AB |＝2R 2－d 2＝2

5－? ??

??122＝19. ∴弦AB 的长为19. 8．(2016·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为????

? x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，

a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.

(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .

解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．

将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的直角坐标方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.

(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组

????? ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.

若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ

－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2

＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1.

当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．

所以a ＝1.

9．在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ?

????3，π3，半径r ＝3. (1)求圆C 的极坐标方程；

(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ →＝2QP →，求动点P 的轨迹方程．

解 (1)设M (ρ，θ)是圆C 上除极点外的任意一点．

在△OCM 中，∠COM ＝?

?????θ－π3，由余弦定理，得 |CM |2＝|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |cos ? ????θ－π3，

化简得ρ＝6cos ?

????θ－π3. ∵极点也适合上式，

∴圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos ?

????θ－π3. (2)设点Q (ρ1，θ1)，P (ρ，θ)，

由OQ →＝2QP →，得OQ →＝23

OP →， ∴ρ1＝23

ρ，θ1＝θ， 代入圆C 的方程，得

23ρ＝6cos ? ????θ－π3，即ρ＝9cos ?

????θ－π3. 10．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2

＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C 1，C 2的极坐标方程；

(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4

(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积． 解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，

所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.

(2)将θ＝π4

代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.

故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.

由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形，

所以△C 2MN 的面积为12

. 11．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C 2：ρ＝3

4sin ? ????π6－θ，θ∈[0,2π]．

(1)求曲线C 1的一个参数方程；

(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值．

解 (1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0，

可得x 2＋y 2－4x ＋3＝0.

∴(x －2)2＋y 2＝1.

令x －2＝cos α，y ＝sin α，

∴C 1的一个参数方程为?????

x ＝2＋cos α，

y ＝sin α(α为参数，α∈R )． (2)C 2：4ρ?

????sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3， ∴4? ????12

x －32y ＝3，即2x －23y －3＝0. ∵直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且圆心到直线的距离d ＝14

， ∴|AB |＝2× 1－? ????142＝2×154＝152. 12．已知曲线C 的参数方程为??? x ＝2＋5cos α，

y ＝1＋5sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点为

极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C 的极坐标方程；

(2)若直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ＋cos θ)＝1，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 解 (1)曲线C 的参数方程为

??? x ＝2＋5cos α，y ＝1＋5sin α(α为参数)，

∴曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.

将????? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ，

即曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.

(2)∵l 的直角坐标方程为x ＋y －1＝0，

∴圆心C (2,1)到直线l 的距离d ＝

22＝2， ∴弦长为25－2＝2 3.

13．在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，l ：ρcos ?

????θ－π3＝32，C 与l 有且仅有一个公共点．

(1)求a ；

(2)O 为极点，A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．

解 (1)曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，变形为ρ2＝2a ρcos θ，

化为x 2＋y 2＝2ax ，即(x －a )2＋y 2＝a 2，

∴曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆．

由l ：ρcos ?

????θ－π3＝32， 展开为12ρcos θ＋32ρsin θ＝32

， ∴l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.

由题意可知直线l 与圆C 相切，

即|a －3|2

＝a ，解得a ＝1. (2)由(1)知，曲线C ：ρ＝2cos θ.

不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3

， 则|OA |＋|OB |＝2cos θ＋2cos ? ????θ＋π3＝3cos θ－3sin θ＝23cos ?

????θ＋π6，当θ＝11π6

时，|OA |＋|OB |取得最大值2 3. 14．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标

方程为ρcos ?

????θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；

(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．

解 (1)由ρcos ?

????θ－π3＝1， 得ρ? ??

??12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32

y ＝1， 即x ＋3y －2＝0.

当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．

当θ＝π2时，ρ＝233

， 所以N ? ????233

，π2. (2)M 点的直角坐标为(2,0)，

N 点的直角坐标为? ??

??0，233， 所以P 点的直角坐标为? ????1，

33， 则P 点的极坐标为? ????233

，π6， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．

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