排列组合、二项式定理

排列组合、二项式定理

1．（2014?广西）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ） A．60种 B． 70种 C． 75种 D． 150种 2．（2014?黄冈模拟）用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数为（ ） 36 48 72 120 A．B． C． D． 3．（2014?蓟县一模）从星期一到星期六安排甲、乙、丙三人值班，每人值2天班，如果甲不安排在星期一，乙不安排在星期六，那么值班方案种数为（ ） 42 30 72 60 A．B． C． D． 4．（2014?张掖三模）我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H7N9禽流感防御宣传工作，则在选出的宣传者中，男、女都有的概率为（ ） A．B． C． D． 5．（2014?宜宾一模）已知5名医生和3名护士被分配到甲、乙两所学校为学生体检，每校至少要分配2名医生和1名护士，则不同的分配方案共有（ ） A．30种 B． 60种 C． 90种 D． 120种 6．（2014?黄冈模拟）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ） A．6种 B． 12种 C． 30种 D． 36种 7．（2014?漳州模拟）用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（ ） 432 288 216 144 A．B． C． D． 8．（2014?达州二模）一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（ ） A．12种 B． 15种 C． 17种 D． 19种 9．（2014?雅安三模）从1，3，5，7，9这5个奇数中选取3个数字，从2，4，6，8这4个偶数中选取2个数字，再将这5个数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排列．这样的五位数的个数是（ ） 180 360 480 720 A．B． C． D． 10．（2014?唐山二模）将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有（ ） A．240种 B． 120种 C． 60种 D． 180种 11．（2014?河北模拟）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ） A．36种 B． 30种 C． 24种 D． 6种 12．（2014?达州一模）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字，且3与4相邻，1与2不相邻的五位数的个数为（ ） 1120 48 24 12 A．B． C． D． 13．（2014?金华模拟）已知集合A={1，2，3，4，5，6}，在A中任取三个元素，使它们的和小于余下的三个元素的和，则取法种数共有（ ） 4 10 15 20 A．B． C． D．

1

14．（2014?郑州模拟）现有4名同学及A、B、C三所大学，每名同学报名参加且只能参加其中一所大学的自主招生考试，并且每所学校至少有1名同学报名参考，其中同学甲不能参加A学校的考试，则不同的报名方式有（ ） A．12种 B． 24种 C． 36种 D． 72种 15．（2013?福建）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（ ） 14 13 12 10 A．B． C． D． 16．（2014?安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（ ） A．24对 B． 30对 C． 48对 D． 60对 17．（2014?邢台二模）身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿红色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A．48种 B． 72种 C． 78种 D． 84种 18．（2014?揭阳模拟）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有（ ） A．210种 B． 180种 C． 120种 D． 95种 19．用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ） 243 252 261 279 A．B． C． D． 20．（2014?马鞍山一模）用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为（ ） 144 120 108 72 A．B． C． D． 21．（2014?湖南二模）如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1）组 成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角 形的个数是（ ） 13 14 15 17 A．B． C． D． 22．（2014?张掖模拟）现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位男生和任何两位女生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是（ ） 20 40 60 80 A．B． C． D． 23．（2014?宝鸡三模）某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为（ ） 8 16 24 60 A．B． C． D． 24．（2014?南昌模拟）在1，2，3，4，5，6，7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有（ ） 576 720 864 1152 A．B． C． D． 25．（2014?余姚市模拟）用红、黄、绿、蓝四种不同颜色给一个正方体的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法）（ ） A．10种 B． 12种 C． 24种 D． 48种 26．（2014?巴州区模拟）（理科）将A、B、C、D、E五种不同文件随机地放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，则文件A、B被放在相邻抽屉内且文件C、D被放在不相邻的抽屉内的放法种数为（ ） 240 480 840 960 A．B． C． D． 27.(2014·南充模拟)一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进， 2

Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有( )

A．6种 C．12种

B．8种 D．48种

28．(2014·大连模拟)把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法有( )

A．36种 B．45种 C．54种 D．96种

29．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( ) A．60 B．48 C．36 D．24

30．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )

A．40 B．16 C．13 D．10

31．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，?，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂

1 4 7 2 5 8 3 6 9 法共有( ) A．108种 B．60种 C．48种 D．36种 32．在(

1?x1n

)的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项 的二3x4

项式系数是 （ ） A. 462 B. 330 C.682 D.792 33.有多少个整数n能使(n+i)成为整数（ ）A.0 B.1 C.2 D.3 34. 2?x1??展开式中不含．．x项的系数的和为（ ）A.-1 B.0 C.1 D.2

8435．若S=A1?A2?A3?23100，则S的个位数字是（ ） ?A100 A 0 B 3 C 5 D 8 36．已知（x－

a8

）展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的x8

和是（ ） A.2

7

B.38 C.1或38 D.1或28

3

2

5

37．在(1+ax)的展开式中,x项的系数是x项系数与x项系数的等比中项,则a的值为( ) A.

105 B.5 C.25 D.25

393 3

1?的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（ ） 38.在??x????3x??24A．3项 B．4项

5

6

C．5项 D．6项

3

39．在(1－x)－(1－x)的展开式中，含x的项的系数是（ ）

A、－5 B、 5 C、10 D、－10 40．(1?x)?(1?x)的展开式中x3的系数为（ ）

A．6 B．-6 C．9 D．-9 41.二项式(2x?A．7

4531n)的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（ ） 3x3B．12

C．14

D．5

2

42.设函数f(x)?(1?2x)10,则导函数f?(x)的展开式x项的系数为（ ） A．1440 B．-1440 C．-2880 D．2880 43．在(x?

44．若(x?1)n?xn?A．9

?ax3?bx2??1(n?N?)，且a:b?3:1，则n的值为（ ）

1?1)5的展开式中，常数项为（ ）A．51 B．－51 C．－11 D．11 x B．10

210 C．11 D．12

45．若多项式x?x=a0?a1(x?1)?????a9(x?1)9?a10(x?1)10，则a9?（ ） A. 9 B. 10 C. ?9 D. ?10

46．设a、b、m为整数（m>0),若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为

2320a≡b(mod m).已知a=1+C120+C20·2+C20·2+?+C20·2，b≡a(mod 10)，则b的值可以

2

19

是（ ） A.2015 B.2011 C.2008 D.2006

sin??x)6展开式的常数项为20，则?值为（ ） x????A. 2k??(k?Z) B. 2k??(k?z) C. D. ?

222247.若二项式(48．53被8除的余数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、7

6

49.数(1.05)的计算结果精确到0.01的近视值是（ ） A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.44

50.(x+1)(2x+1)(3x+1)?(nx+1)的展开式中，x的系数是（ ） A.Cn B.Cn C.Cn?1 D.Cn?1

51.若对任意实数x,y都有?x?2y?5?a0?x?2y?5?a1?x?2y?4y?a2?x?2y?3y2?a3?x?2y?2y3?

n?122210

?a4?x?2y?y4?a5y5，则a0?a1?a2?a3?a4?a5? . 252.设a为sinx?3cosx?x?R?的最大值，则二项式(ax?1)6展开式中含x项的系数是 x53.已知等式(1?x?x2)3?(1?2x2)4?a0?a1x?a2x2???a14x14成立，则

4

a1?a2?a3???a13?a14的值等于 .

参考答案 1．（2014?广西）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ） A．60种 B． 70种 C． 75种 D． 150种 考点：排 列、组合及简单计数问题；排列、组合的实际应用． 专题：排 列组合． 分析：根 据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 解答： ：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法， 解1再从5名女医生中选出1人，有C5=5种选法， 则不同的选法共有15×5=75种；故选C． 点评：本 题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同． 2．（2014?黄冈模拟）用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数为（ ） 36 48 72 120 A．B． C． D． 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：计 算题；分类讨论． 分析：由 题意知本题是一个分类计数问题，按照以5开头的数字，以6开头的数字，依次列举出以9开头的数字，把所有的结果相加 解答：解 ：由题意知本题是一个分类计数问题， 以5开头符合要求的数：56798 56978 57698 57896 58796 58976 59678 59876 以6开头符合要求的数：65879，65897，65789，65987，67859，67895，67589，67985，69857，69875，69587，69785，共12种情形； 以7开头符合要求的数：75698 75896 76598 76958 78596 78956 79658 79856 以8开头符合要求的数：85679 85697 85769 85967 87659 87695 89657 89675 87569 87965 89567 89765 共12种情形； 以9开头符合要求的数：95678 95876 96578 96758 97658 97856 98756 98576 用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数， 5

其中有且仅有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数为48个故选B． 点评：本 题考查分类计数原理的应用，本题解题的关键是按照一定的顺序，列举出所有符合条件的数字，注意做到不重不漏． 3．（2014?蓟县一模）从星期一到星期六安排甲、乙、丙三人值班，每人值2天班，如果甲不安排在星期一，乙不安排在星期六，那么值班方案种数为（ ） 42 30 72 60 A．B． C． D． 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：计 算题． 分析：因 为甲不安排在星期一，乙不安排在星期六，，所以先排甲乙，而甲若排在星期六，则乙就没有限制，所以可按甲的排法分类，分为两类，一类是甲排在星期六，其他人没有限制，有C4C4种排法，一类是甲不排在星期六，则甲从星期二到星期五之间2选一天，有C4种选法，再排乙，不能安排在星期六，所以从剩下的3天中选2天，2有C3中选法，最后排丙，没有限制，最后，再把两类相加即可． 解答：解 ；分两类 12第一类，甲排在星期六，有C4C4=24种排法． 22第二类，甲不排在星期六，有C4C3=18种排法 ∴值班方案种数为24+18=42种故选A 点评：本 题考查了有限制的排列问题，做题时要按限制条件分类． 4．（2014?张掖三模）我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H7N9禽流感防御宣传工作，则在选出的宣传者中，男、女都有的概率为（ ） A．B． C． D． 考点：排 列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式． 专题：计 算题；概率与统计． 分析： 所有的选法共有 种，其中，男、女都有的选法有4×2种，由此求得男、女都有的12概率． 解答： 解：所有的选法共有故男、女都有的概率为 =15种，其中，男、女都有的选法有4×2=8种， ，故选A． 点评：本 题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题． 5．（2014?宜宾一模）已知5名医生和3名护士被分配到甲、乙两所学校为学生体检，每校至少要分配2名医生和1名护士，则不同的分配方案共有（ ） A．30种 B． 60种 C． 90种 D． 120种 考点：排 列、组合及简单计数问题． 分析：先 为第一个学校安排医生和护士，其余的给另一所学校，根据分步计数原理得到结果． 解答：解 ：由于每校至少要分配2名医生和1名护士，所以分配的方案为2名医生和1名护士，2名医生和2名护士，其余的给另一所学校． 6

所以有×（）=120种分法．故选D． 点评：本 题考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于基础题． 6．（2014?黄冈模拟）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ） A．6种 B． 12种 C． 30种 D． 36种 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：计 算题；概率与统计． 分析：“ 至少1门不同”包括两种情况，两门均不同和有且只有1门相同，再利用分步计数原理，即可求得结论． 解答：解 ：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类： 1、甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，22有C4C2=6种． 2、甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相1同的课程，有C4=4种选法；②甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任11111选1门有C3C2=6种选法，由分步计数原理此时共有C4C3C2=24种． 综上，由分类计数原理，甲、所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种． 故选C． 点评：本 题考查排列组合知识，合理分类、正确分步是解题的关键． 7．（2014?漳州模拟）用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（ ） 432 288 216 144 A．B． C． D． 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：概 率与统计． 分析： 2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有 从=6种．先排3个奇数：用插空法求得结果，再排除1在左右两端的情况，问题得以解决． 解答： 解：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有 =6种， 先排3个奇数，有 =6种，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数=12种． 形成的4个空中，方法有 根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×6×12=432种． 若1排在两端，1的排法有 ?=4种， =6 形成了3个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中，方法有 种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×4×6=144种， 故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻， 则这样的六位数的个数为432﹣144=288种．故选：B．

7

点评：本 题主要考查排列、组合、两个基本原理的应用，注意不相邻问题用插空法，相邻问题用捆绑法，属于中档题． 8．（2014?达州二模）一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（ ） A．12种 B． 15种 C． 17种 D． 19种 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：计 算题． 分析：由 分步计数原理可得总的取法由27种，列举可得不合题意得有8种，进而可得符合题意得方法种数． 解答：解 ：由题意结合分部计数原理可得，总的取球方式共3×3×3=27种， 其中，（1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1），（1，2，2）， （2，1，2），（2，2，1），（2，2，2）共8种不符合题意， 故取得小球标号最大值是3的取法有27﹣8=19种，故选D 点评：本 题考查计数原理的应用，采用间接的方式结合列举法是解决问题的关键，属中档题． 9．（2014?雅安三模）从1，3，5，7，9这5个奇数中选取3个数字，从2，4，6，8这4个偶数中选取2个数字，再将这5个数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排列．这样的五位数的个数是（ ） 180 360 480 720 A．B． C． D． 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：概 率与统计． 分析：先 按要求取出5个数，再根据奇数数字与偶数数字相间排列，利用插空法，由乘法原理可得结论． 解答：解 ；从1，3，5，7，9这5个奇数中选取3个数字，从2，4，6，8这4个偶数中选取2个数字，共有=60个，奇数数字与偶数数字相间排列，利用插空法，共有=12个，所以这样的五位数共有60×12=720个．故选D． 点评：本 题考查排列组合知识，考查乘法原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 10．（2014?唐山二模）将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有（ ） A．240种 B． 120种 C． 60种 D． 180种 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：排 列组合． 分析：先 分组，因为两组的男生和女生的人数一样，需要除以顺序数，再分配到参加两项不同的活动，求出即可． 解答： 解：先将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，有不同的组，然后将这两 8

组分配到两项不同的活动中，则不同的分配方法有=120种．故选：B． 点评：本 题主要考查了排列组合种的分组分配问题，属于中档题． 11．（2014?河北模拟）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ） A．36种 B． 30种 C． 24种 D． 6种 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：排 列组合． 分析：间 接法：先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，可得结论． 解答：解 ：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节， 先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共=6种方法， =36种方法， 故总的方法种数为：36﹣6=30故选：B． 点评：本 题考查排列组合及简单的计数问题，采用间接法是解决问题的关键，属中档题． 12．（2014?达州一模）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字，且3与4相邻，1与2不相邻的五位数的个数为（ ） 1120 48 24 12 A．B． C． D． 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：计 算题． 分析：先 把3和4捆绑在一起，当做一个数；再把1和2单独挑出来，其余的2个数排列；再把1和2插入2个数排列形成的3个空中，求出每一步的方法数，相乘即得所求． 解答： 解：先把3和4捆绑在一起，当做一个数，这样，5个数变成立4个数，方法有种． 再把1和2单独挑出来，其余的2个数排列有种方法． 种． 再把1和2插入2个数排列形成的3个空中，方法有根据分步计数原理，五位数的个数为??=24种，故选C． 点评：本 题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，注意相邻的问题用捆绑法，不相邻的问题用插空法，属于中档题． 13．（2014?金华模拟）已知集合A={1，2，3，4，5，6}，在A中任取三个元素，使它们的和小于余下的三个元素的和，则取法种数共有（ ） 4 10 15 20 A．B． C． D． 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：概 率与统计． 9

分析：直 接利用6个数之和为21，分为2组，必要一组数之和是小于另一组，求解即可． 解答：解 ：∵1+2+3+4+5+6=21，∴在A中任取三个元素它们的和与余下的三个元素的和，一定不相等， 并且一组数之和是小于另一组， ∴满足题意的求法有：．故选：B． 点评：本 题考查计数原理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力． 14．（2014?郑州模拟）现有4名同学及A、B、C三所大学，每名同学报名参加且只能参加其中一所大学的自主招生考试，并且每所学校至少有1名同学报名参考，其中同学甲不能参加A学校的考试，则不同的报名方式有（ ） A．12种 B． 24种 C． 36种 D． 72种 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：应 用题；排列组合． 分析：分 类讨论：甲在B、C两所大学选一所，其余3位同学，未选甲选的学校；有一位选甲选的学校，相加后得到结果． 解答 解：分类讨论：甲在B、C两所大学选一所，其余3位同学，未选甲选的学校，共有=12种； 甲在B、C两所大学选一所，其余3位同学，有一位选甲选的学校，共有=12种，故共有12+12=24种，故选：B． 点评：本 题考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是其余3位同学，选育未选甲选的学校，要分类讨论． 15．（2013?福建）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（ ） 14 13 12 10 A．B． C． D． 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：计 算题． 分析： 于关于x的方程ax2+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：由（1）当a≠0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a的取值范围；（2）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解． 解答：解 ：（1）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解； 此时b=﹣1，0，1，2；即（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）；四种． （2）当a≠0时，方程为一元二次方程， 2∴△=b﹣4ac=4﹣4ab≥0， ∴ab≤1．所以a=﹣1，1，2此时a，b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1）；（2，﹣1），（2，0），共9种， 2关于x的方程ax+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种，故选B． 点评：本 题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根，在解题时要注意分类讨论思想运用．考查分类讨论思想． 2 10

16．（2014?安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（ ） A．24对 B． 30对 C． 48对 D． 60对 考点：排 列、组合及简单计数问题；异面直线及其所成的角． 专题：排 列组合． 分析：利 用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果． 解答： 解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条， 同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数， 不满足题意的共有：3×6=18． 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18=48．故选：C． 点评：本 题考查排列组合的综合应用，逆向思维是解题本题的关键． 17．（2014?邢台二模）身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿红色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A．48种 B． 72种 C． 78种 D． 84种 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：计 算题；压轴题． 5分析： 题意知先使五个人的全排列，由共有A5种结果，去掉相同颜色衣服的人相邻的情况，穿蓝色相邻和穿黄色相邻两种情况，得到结果 解答： ：由题意知先使五个人的全排列，共有A55种结果． 解去掉相同颜色衣服的人相邻的情况，穿蓝色相邻和穿黄色相邻两种情况 ∴穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是A5﹣A2A2A3﹣2A2A2A3=48故选A． 点评：本 题是一个简单计数问题，在解题时注意应用排除法，从正面来解题时情况比较复杂，所以可以写出所有的结果，再把不合题意的去掉． 18．（2014?揭阳模拟）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有（ ） A．210种 B． 180种 C． 120种 D． 95种 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：排 列组合． 分析：利 用排列组合的方法即可得到结论． 解答： 解：从7个专业选3个，有种选法，甲乙同时兼报的有种选法， 5223222则专业共有35﹣5=30种选法，则按照专业顺序进行报考的方法为×30=180， 故选：B 点评：本 题主要考查排列组合的应用，利用对立法是解决本题的关键． 19．（2013?山东）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ） 243 252 261 279 A．B． C． D．

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考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：计 算题． 分析：求 出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可． 解答：解 ：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900， 其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648， 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．故选B． 点评：本 题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力． 20．（2014?马鞍山一模）用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为（ ） 144 120 108 72 A．B． C． D． 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：概 率与统计． 分析：如 果重复数字为0，则须要从1，2，3中选出两个，然后根据首位不能放0，得到个数为??个，如果重复数字不为0，则根据首位不能为0，得到个数为+，综合两个情况可得答案． 解答：解 ：用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数， ①如果重复数字为0， 则需要从1，2，3中再选取两个不同的数字，且0不能放在首位， 故首位应从两个非零数字中选择一个，而另一个非零数字可从剩余的三个数位中选择一位进行放置， 则共有：??=3×2×3=18个 ②如果重复数字不为0，但抽取的数字含0， 则需要从1，2，3中先选取一个数字重复，再选取一个不重复，从后三位中选择一位放置0，再从剩余的三位中选择一位放置非重复数字， 故有=54种 ③如果重复数字不为0，但抽取的数字不含0， 则需要从1，2，3中先选取一个数字用做重复，再选取两个用做不重复， 放置时，应先从四位中先后选择二位放置非重复数字， 故有=36种 故有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为108个故选C 点评：本 题考查的知识点是排列组合及简单计数问题，本题解答中一定要注意所组成的四位数不能是0 21．（2014?湖南二模）如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是（ ）

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13 14 15 17 A．B． C． D． 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：概 率与统计． 分析： 边长分为1，2，3，共4类，分别计算出个数即可． 按解答：解 ：如图所示，边长为1的正三角形共有1+3+5=9个；边长为2的正三角形共有3个；边长为3的正三角形共有1个．边长为的有2个：红颜色和蓝颜色的两个三角形．综上可知：共有9+3+1+2=15个．故选：C． 点评：正 确按边长分类是解题的关键． 22．（2014?张掖模拟）现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位男生和任何两位女生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是（ ） 20 40 60 80 A．B． C． D． 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：应 用题；排列组合． 分析：分 成两类，第一类：男女男女男女；第二类：女男女男女男，即可得出结论． 解答：解 ：分成两类，第一类：男女男女男女．先排男生，当男生甲在最前的位置时，女生乙只能在其右侧，当男生甲不在最前的位置时，女生乙均有两种排法，另外两位男生和女生的排法都有种，所以第一类的排法总数有种． 第二类：女男女男女男，与第一类类似，也有20种排法， 所以满足条件的排法总数是40种．故选：B． 点评：本 题考查排列、组合的运用及简单计数问题，一般要先处理特殊（受到限制的）元素． 23．（2014?宝鸡三模）某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为（ ） 8 16 24 60 A．B． C． D． 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：计 算题；概率与统计． 分析：由 题意知将空位插到四个人中间，四个人有三个中间位置和两个两边位置，就是将空位分为五部分，五个空位五分只有1，1，1，1，空位无差别，最后进行四个人排列． 解答：解 ：将空位插到四个人中间，四个人有三个中间位置和两个两边位置 就是将空位分为五部分，五个空位四分只有1，1，1，1． 空位无差别，有种排法，四个人排列有A种排法， 13

根据分步计数不同的坐法种数为=24．故选C． 点评：此 题类似于“5位女生与4位男生站成一排，要求女生左右两边都有男生”这道题，故用插空法．但又不完全相同，因为5个空位没有什么不同，无须把5个空位全排列． 24．（2014?南昌模拟）在1，2，3，4，5，6，7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有（ ） 576 720 864 1152 A．B． C． D． 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：综 合题． 分析： 排1，3，5，7，有A44种排法，再排6，由于6不和3相邻，在排好的排列中，除先3的左右2个空，还有3个空可排6，故6有3种排法，最后排2和4，在剩余的4个空中排上2和4，有A4种排法，再由乘法原理进行求解． 4解答： ：先排1，3，5，7，有A4种排法， 解再排6，由于6不和3相邻，在排好的排列中，除3的左右2个空，还有3个空可排6，故6有3种排法， 2最后排2和4，在剩余的4个空中排上2和4，有A4种排法， 42共有A4×3×A4=864种排法，故选C． 点评：本 题考查排列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考，注意不要丢解． 25．（2014?余姚市模拟）用红、黄、绿、蓝四种不同颜色给一个正方体的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法）（ ） A．10种 B． 12种 C． 24种 D． 48种 考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：应 用题；排列组合． 分析：由 于涂色过程中，要保证满足用四种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的三对面来说，必然有三对同色或两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”． 解答：解 ：由于涂色过程中，要保证满足用四种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的三对面来说，必然有三对同色或两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此， 2三对同色：=4种不同的涂法； 两对同色，一对不同色：只需从四种颜色中选择2种涂在其中两对面上，剩下的两种颜色涂在另外两个面即可．因此共有=6种不同的涂法． 故共有4+6=10种不同的涂法．故选：A． 点评：本 题考查了排列，组合和简单的计数问题，解答该题的关键是对题目中注明的涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法的理解，这样使看似复杂的问题变为简单的选色（即组合）问题，属中档题． 26．（2014?巴州区模拟）（理科）将A、B、C、D、E五种不同文件随机地放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，则文件A、B被放在相邻抽屉内且文件C、D被放在不相邻的抽屉内的放法种数为（ ） 240 480 840 960 A．B． C． D．

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考点：排 列、组合及简单计数问题． 专题：应 用题；排列组合． 分析：根 据题意，用捆绑法，将A，B和C，D分别看成一个元素，相应的抽屉看成5个，把3个元素在5个位置排列，由排列数公式可得其排列数目，看成一个元素的A，B和C，D两部分还有一个排列，根据分步计数原理得到结果． 解答：解 ：∵文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放相邻的抽屉内 ∴A，B和C，D分别看成一个元素，相应的抽屉看成5个， 3则有3个元素在5个位置排列，共有A5种结果， 223组合在一起的元素还有一个排列，共有A2A2A5=240种结果，故选：A． 点评：本 题考查排列、组合的运用，题目中要求两个元素相邻的问题，一般把这两个元素看成一个元素进行排列，注意这两个元素内部还有一个排列． 27. 解析：选D 从P点处进入结点O以后，游览每一个景点所走环形路线都有2个入口(或2个出口)，若先游览完A景点，再进入另外两个景点，最后从Q点处出有(4＋4)×2＝16种不同的方法，同理，若先游览B景点，有16种不同的方法，若先游览C景点，有16种不同的方法，因而所求的不同游览线路有3×16＝48种．

28. 解析：选A 先把5号球放入任意一个盒子中有4种放法，再把剩下的四个球放入盒子中，根据4的“错位数”是9，得不同的放法有4×9＝36种．

29. 解析：选B 长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，6个对角面构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)．故共有36＋12＝48(个)． 30. 解析：选C 分两类情况讨论：

第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面； 第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面． 根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．

31. 答案：A解析：对1,5,9三位置涂色有三种方法，对2和6小正方形，若颜色相同则有两种方法，此时3也有两种方法；若2和6颜色不相同有两种方法，此时3只有一种涂色方法，所以涂2,3,6小正方形共有六种方法，同理涂4,7,8小正方形也有6种方法，故总的涂色方法有3×6×6＝108种．

32.A 33.B 34.B 35.C 36------40 CCCCC 41------45 CCBCD 46----50BB 51. -243 52. -192 53. 0 15

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