椭圆外一点引椭圆的两条切线互相垂直问题巧解

椭圆外一点引椭圆的两条切线互相垂直问题巧解

x2y2 问题： 已知椭圆c: 2?2?1(a?b?0)，点P（x0 ，y0)是椭圆外一点，且由点P引椭

ab圆的两条切线互相垂直，则点P（x0，y0）的轨迹方程为解：设两切点为A（x1，y1），B（x2，y2），

则pA?PB?0,即：（x1-x0）（x2-x0）+（y1-y0）（y2-y0）=0

22所以，x1x2?x0(x1?x2)?x0?y1y2?(y1?y2)?y0?0 (1)

22x0?y0?a2?b2。

由椭圆的切线、切点弦知识可得直线AB的方程为：将（2）代人椭圆c消去y得：

x0xy0y?2?1 (2) a2b?1b2x0?22b2x0b2??a2?a4y2??x?ay2x?y2?1?0

0?200?22a2b2x0a4b2?a4y0所以：x1?x2?22 (3) ,x1x2?2222bx0?a2y0bx0?a2y0将（2）代人椭圆c消去x得：

222a2y0a2?x01a2y02(2?42)y?22y??0 2bbx0bx0x0242a2b2yoa2b4?x0b所以：y1?y2?22 (4) ,yy?12222bx0?a2y0b2x0?a2y02222将（3）、（4）代人（1）整理得：(x0?y0?a2?b2)(b2x0?a2y0?a2b2)?0 22x0y0所以：x?y?a?b,或2?2?1

ab202022因为点P在椭圆外，所以点P（x0,y0)的轨迹方程是：巧遇高考题，广东省2014年高考数学压轴题20题

22x0?y0?a2?b2。

x2y25已知椭圆c：2?2?1(a?b?0)的一个焦点为（5，，离心率为 0）

ab3（1）求椭圆c的标准方程

（2）若动点P（x0,y0)为椭圆外c一点，且点P引椭圆c的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方程 解:

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