广东省广州市六校2012届高三第一次联考（理数）

广东省广州市六校2012届高三第一次联考（理数）

数学（理科）试题

（广东省实验中学、华师附中、广州二中、广雅中学、广州执信中学、广州六中联考）

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

??????????7．在△OAB中，OA?a, OB?b，OD是AB边上的高，若AD??AB，则实数λ等于

????????????a?b?aa?a?ba?b?aa?a?bA．??2 B．??2 C．?? D．??

|a?b||a?b||a?b||a?b|????????第 Ⅰ 卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1．设U?R，A?{x|x?0}，B?{x|x?1}，则A?CUB=

A．{x|0?x?1} B．{x|0?x?1} C．{x|x?0} D．{x|x?1} 2．已知sin??8．已知集合A??1,2,3,4?，函数f?x?的定义域、值域都是A，且对于任意i?A，f?i??i，

? a1 a2 a3 a4?设a1，a2，a3，a4是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表??，

fa fa fa fa?2??3??4????1?若两个数表对应位置上至少有一个数不同，就说这是两个不同的数表，那么满足条件的不同的数

表共有

A．216个 B．108个 C．48个 D．24个

3，且?在第二象限，那么2?在 4A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

23．已知命题p：?x?R,x?x?1?0，则命题p的否定?p是 41122A．?x?R,x?x??0 B．?x?R,x?x??0

441122C．?x?R,x?x??0 D．?x?R,x?x??0

44123第 Ⅱ 卷

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 9．设i为虚数单位，复数z满足iz?1?i，则z? ．

1??410．在二项式?x2??的展开式中，含x项的系数为_____________．（用数字作答）

x??11．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶

员血液酒精浓度在20?80 mg/100mL（不含80）之

间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车。

据有关调查，在一周内，某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共500人.如图是对这500人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为__________.

12．函数f?x??2x?1?x?4的最小值是 . 13．如果在一次试验中，某事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A发生偶数次的概率为 .

（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）

54．已知a?2,b?logA．

3,运算原理如右图所示，则输出的值为

2 B．2 22?12?1C． D．

2215．函数f(x)?log2x?的零点所在区间为

x?1??1? A．?0,? B．?,1? C．?1,2? D．?2,3?

?2??2?

6．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 ．．．．

1?x??22?t??x?1?cos??2(t为参数）曲线C1：?（?为参数）上的点到曲线C2：??y?sin? ?y?1?1t??2

上的点的最短距离为 ．

15．（几何证明选讲选做题）

如图，已知：△ABC内接于?O，点D在OC的延长线上，

AD是?O的切线，若?B?30?，AC?1，则AD的长为 ．

1

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本题满分12分） 已知函数f?x??cos2x?3sinxcosx?12． （Ⅰ）若x???0, ???2??，求f?x?的最大值及取得最大值时相应的x的值； （Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若f??A??2???1，b=l，c?4，求a

的值．

17．（本题满分13分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?n2．数列{bn}为等比数列，且b1?1，b4?8．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{cn}满足cn?abn，求数列{cn}的前n项和Tn． 18．（本题满分13分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC,?BAD?90?,PA?底面ABCD，PA?AD?AB?2BC，M,N分别为PC,PB的中点．

（Ⅰ）求证：PB?DM；

（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．

2

19．（本小题满分14分）

为了让更多的人参与2011年在深圳举办的“大运会”，深圳某旅游公司向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是旅游金卡（简称金卡），向境内人士发行的是旅游银卡（简称银卡）。现有一个由36名游客组成的旅游团到深圳参观旅游，其中34是境外游客，其余是境内游客。在境外游客中有

13持金卡，在境内游客中有23持银卡． （Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX． 20．（本小题满分14分） 如图，已知抛物线C的顶点在原点O，焦点为F?0,1?．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）在抛物线C上是否存在点P，使得过点P的直线交抛物线C于另一点Q, 满足

PF?QF，且PQ与抛物线C在点P处的切线垂直? 若存在, 求出点P的坐标；若不存在，请说

明理由．

21．（本小题满分14分）

设函数f(x)=lnx-px+1?p?0?．

（Ⅰ）求函数f(x)的极值点，并判断其为极大点还是极小值点； （Ⅱ）若对任意的x＞0，恒有f(x)?0，求p的取值范围；

（Ⅲ）证明：ln22ln32lnn22n2?n?122?32???n2?2(n?1)(n?N,n?2).．

六校2012届高三第一次联考（理数）

参考答案

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． B C A D C C B A

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

9． ?1?i； 10． 10； 11．75； 12．?92； 13．1n2??1??1?2p???

选做题： 14． 1； 15． 3 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．解：（Ⅰ）f?x??cos2x?3sinxcosx?12 ?1?cos2x2?32sin2x?1???2?sin??2x?6??． ?????4分 ∵0?x??2，∴?6?2x??7?6?6，

∴?12?sin???2x???6???1， 即?12?f?x??1．

∴f?x????man?1，此时2x?6?2，∴x?6． ?????8分

（Ⅱ）∵f??A??2???sin???A???6???1 ，

在?ABC中，∵0?A??，?6?A??6?7?6，

∴ A??6??2，A??3． ?????10分

又b?1，c?4，由余弦定理得a2?42?12?2?4?1cos60??13，

故a?13． n ???????????????????12分 17．解：（Ⅰ）∵ 数列{an}的前项和为S2n，且Sn?n，

∴ 当n?2时，an?Sn?Sn?1?n2?(n?1)2?2n?1． ?????2分 当n?1时，a1?S1?1亦满足上式，

故a*n?2n?1（n?N）． ?????4分 又数列{bn}为等比数列，设公比为q，

∵ b31?1，b4?b1q?8， ∴q?2． ?????6分 ∴ bn?1*n?2 （n?N）． ?????8分

（Ⅱ）cann?bn?2bn?1?2?1． ?????10分

Tn?c1?c2?c3??cn

?(21?1)?(22?1)???(2n?1)?(21?22??2n)?n?2(1?2n)1?2?n． 所以 Tn?2n?1?2?n． ??????13分 18．解：（Ⅰ）解法1：∵N是PB的中点，PA?AB，∴AN?PB． ∵PA?平面ABCD，所以AD?PA．

又AD?AB，PA?AB?A，∴AD?平面PAB，AD?PB． 又AD?AN?A，∴PB?平面ADMN．

∵DM?平面ADMN，∴PB?DM． ??????6分

解法2：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A?xyz，设BC?1，

可得，A?0,0,0?，P?0,0,2?，B?2,0,0?，C?2,1,0?，M??1??1,2,1??，D?0,2,0?．

因为 ???PB??????DM???2,0,?2????3??1,?2,1???0，所以PB?DM． ??????6分

（Ⅱ）解法1：取AD中点Q，连接BQ和NQ，则BQ//DC，又PB?平面ADMN，∴CD与平面ADMN所成的角为?BQN．

设BC?1，在Rt?BQN中，则BN?2，BQ?5，故sin?BQN?105． 所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为

105． ?????13分 解法2：因为???PB?????AD???2,0,?2???0,2,0??0 ．

所以 PB?AD，又PB?DM，所以PB?平面ADMN，

因此???PB?,???DC?的余角即是CD与平面ADMN所成的角．

因为 cos???PB?,???DC?????PB?????|???PB??DC||???DC?10|?5．

所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为105． ??????13分 19．解：（Ⅰ）由题意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡。设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”， 事件A2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”．.w.w. P(B)?P(A1)?P(A2)

?C121119C21C9C6C21C3?3 ?9?27 ?36． 36C363417085所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685． ?6分 （Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3

3

P(X?0)?C031126C3C6C33C3?, P(X?1)?3? 984C914 P(X?2)?C2136C315C3?，P(X?3)?C6153?， ???10分 928C921 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 38414 1528 521 故EX?0?184?1?314?2?1528?3?521?2． ????????14分 20．（Ⅰ）解：设抛物线C的方程是x2?2py，由于焦点为F?0,1?，

∴

p2?1，即p?2， 故所求抛物线C的方程为x2?4y． ???????4分

（Ⅱ）解：设P?x1,y1?，Q?x2,y2?，则抛物线C在点P处的切线斜率为k?y?|x1x?x1?2，切线方程是： y?x12x?y1， 直线PQ的方程是 y??2xx?2?y1． ???????6分

1将上式代入抛物线C的方程，得

x2?8xx?4?2?y1??0， 1故 x81?x2??x，x1?x2??8?4y1， ???????8分 1∴x?8?x1242?1，y2?x2??y1?4又???FP?x。

1??x???4?y11,y1?1?，FQ??x2,y2?∴ ???FP?????FQ?1?，

?x1x2??y1?1??y?21?

?x1x2?y1y2??y1?y2??1 ??4?2?y?41??y1??y?y??4?1?4???y?2y1?4??1 1??1?

?y?4??y1?1?2?1 ???????12令???FP?y分

1????FQ??0，得y1＝4, 此时, 点P的坐标是??4, 4? .

经检验, 符合题意.

所以, 满足条件的点P存在, 其坐标为??4, 4? . ???????14分 21．（本小题满分14分）

设函数f(x)=lnx-px+1?p?0?．

（Ⅰ）求函数f(x)的极值点，并判断其为极大点还是极小值点； （Ⅱ）若对任意的x＞0，恒有f(x)?0，求p的取值范围；

（Ⅲ）证明：ln22ln32lnn22n2?n?122?32???n2?2(n?1)(n?N,n?2).．

解：（1）?f(x)?lnx?px?1,?f(x)的定义域为(0,??)，

f?(x)?1x?p?1?pxx， ????2分 令f?(x)?0，?x?1p?(0,??),f?(x)、f(x)随x的变化情况如下表： x (0，11p) p (1p,+ ) f'(x) + 0 － f(x) ↗ 极大值 ↘ 从上表可以看出：当p>0 时，f(x)有唯一的极大值点x?1p

． ????5分

（Ⅱ）x=1p处取得极大值f(11p)=lnp，此极大值也是最大值，

要使f(x)?0恒成立，只需f(1p)?ln1p?0， ∴p?1

∴p的取值范围为[1，+∞)． ????9分

（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，lnx?x?1?0,?lnx?x?1，?n?N,n?2 ∴lnn2?n2?1，

lnn2∴n?n2?12n2?1?1n2 ????11分 ∴ln22ln32lnn222?32???n2?(1?122)?(1?132)???(1?1n2) ?(n?1)?(11122?32???n2)

?(n?1)?(1112?3?3?4???n(n?1))

?(n?1)?(12?13?13?14???1n?1n?1)

?(n?1)?(112n2?n?12?n?1)?2(n?1) ∴结论成立． ????14分

4

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