大学物理1

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第一篇力学

1一炮弹质量为m，以速度v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹

?片增加的动能为T，且一块的质量为另一块质量的k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为v?2kTm ，v?2Tkm。

证明：设一块的质量为m1，则另一块的质量为m2?km1。利用m1?m2?m，有 m1?mkm， m2? ① k?1k?1又设m1的速度为v1，m2的速度为v2，则有

T?1112m1v12?m2v2?mv2 ② 222m1v1?m2v2?mv [动量守恒] ③

联立①、③解得

v1?kv2?(k?1)v，v1?(k?1)v?kv2 ④

联立④、②解得

2T2T ?(v2?v)2，于是有v2?v?kmkm将其代入④式，有

?2T?2kTv1?(k?1)v?k?v??v? ???kmm??又因为爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，当k?1时只能取 v1?v?

2. 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为a0，质点出发后，每经过?时间，加速度均匀增加b。求经过t时间后，质点的速度和位移。 解: 由题意知，加速度和时间的关系为

2kT2T,v2?v?。 mkmba?a0?t

?利用dv?adt，并取积分得

b?b2?dv?a?tdv，v?at?t ?0?0???2???00再利用dx?vdt，并取积分[设tvt?0时x0?0]得

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xtx0?dx??vdt，?x?012b3a0t?t 26?3. 两滑冰运动员，质量分别为MA=60kg，MB=70kg，它们的速率VA=7m/s，VB=6m/s，在相距1.5m的两平行线上相向而行，当两者最接近时，便拉起手来，开始绕质心作圆周运动并保持两者间的距离为1.5m。求该瞬时：⑴系统的总角动量；⑵系统的角速度；⑶两人拉手前、后的总动能。这一过程中能量是否守恒，为什么？ 解：⑴设两滑冰运动员拉手后，两人相距为s，两人与质心距离分别为rA和rB，则

rA?MBMAs ， rB?s

MA?MBMA?MB 两人拉手前系统总角动量为

L?LA?LB?MAVArA?MBVBrB?MAMB?VA?VB?s?630kgm2/s

MA?MB ⑵设两人拉手后系统的角速度为?，由于两人拉手后系统角动量不变

2L?MArA??MBrB2?

所以，

??VA?VBL??8.67rad/s 2sMArA?MBrB2 ⑶两人拉手前总动能为：

W1?112MAVA?MBVB2?2730J22

拉手后，由于整个体系的动量保持为零，所以体系动能为

W2?111MAMB22?VA?VB?2?2730J MArA??MBrB2?2?222MA?MB所以体系动能保持守恒。可以算出，当且仅当MAVA?MBVB时，体系能量守恒，否则能量会减小，且

??W?W1?W2?1?MAVA?MBVB?2

2?MA?MB?4. 质量为m质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力F质点的速度为v0，证明： （1）t时刻的速度为v??kv（k为常数）作用，t?0时

?v0e?ktm；

?(mv0k)?[1?e?ktm]；

（2）由0到t的时间内经过的距离为x（3）停止运动前经过的距离为mv0 证明：

k。

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(1) 由

vma?mdvdvk?F??kv 分离变量得 ??dt，积分得 dtvmtkvkdv ，ln??t，v?v0e?ktm ??dt?v0v?0mv0m(2)

x??vdt??v0e?kt/mdt?0tmv0(1?e?kt/m) k?0?kt/m(3) 质点停止运动时速度为零，即t??，故有x???v0edt?mv0k。

5. 一长l=0.40m的均匀木棒，质量M=1.00kg，可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始时 棒自然地竖直悬垂。现有质量m=8g的子弹以v=200m/s的速率从A点与O点的距离为开始运动时的角速度；⑵棒的最大偏转角。

习题5图

解：系统绕杆的悬挂点的角动量为 子弹射入后，整个系统的转动惯量为

2?1L?34mvl?0.48kgms

34l，如图。求：⑴棒

?34? ? 19I?Ml2?ml2?0.054kgm2

316L所以 ???8.88rad/s

I⑵子弹射入后，且杆仍然垂直时，系统的动能为

2W动?12I??2.13J

当杆转至最大偏转角?时，系统动能为零，势能的增加量为

3?W势?12Mgl?1?cos???4mgl?1?cos??

由机械能守恒，W动 9.P49页例2.3

??W势 得??94.24?

10. 一质量为m的子弹射入置于光滑水平面上质量为M并与劲度系数为k的轻弹簧连着的木块后使弹簧

最大压缩了L，求子弹射入前的速度v0.

M m v0

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习题10图

解： 子弹射入木块到相对静止的过程是一个完全非弹性碰撞，时间极短，木块获得了速度，尚未位移，因而弹簧尚未压缩.此时木块和子弹有共同的速度v1，由动量守恒，

?m?M?v1?mv0

此后，弹簧开始压缩，直到最大压缩，由机械能守恒，

11?m?M?v12?kL2 22由两式消去v1，解出v0得

11. 一小船质量为100kg，船头到船尾共长3.6m。现有一质量为50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。

v0?Lmk??m M?L S人 S船

习题11图 解：由动量守恒

M船V船?m人v人?0

又

ttS船??V0t船dt，

s人??v人dt??0M船m人0V船dt?M船m人S船，

如图，船的长度

L?S船?s人

所以

S船?L3.6??1.2m M船1001?1?50m人即船头相对岸边移动S船?1.2m

12. 质量为m长为l的均质杆，可以绕过B端且与杆垂直的水平轴转动。开始时，用手支住A端，使杆与地

面水平放置，问在突然撒手的瞬时，(1)绕B点的力矩和角加速度各是多少？(2)杆的质心加速度是多少？

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习题12图

B A ??解：(1)绕B点的力矩Mm，则绕B点的力矩为 lmgml1 M??xdG??gxdm??gx?dx?mgl

0002ml1222 杆绕B点的转动惯量为 I??xdm??x?dx?ml

003M3g角加速度为 ?? ?I2ll3 (2)杆的质心加速度为 a???g

24由重力产生，设杆的线密度为?，??13. 飞轮的质量为60kg，直径为0.50m，转速为1000r/min，现要求在5s内使其制动，求制动力F。假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数μ=0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外周上。尺寸如图所示。 13图

解：设在飞轮接触点上所需要的压力为F?，则摩擦力为?F?，摩擦力的力矩为?F?摩擦力的力矩不变，而角动量由mv

0.5m0.75m闸瓦F?Ad?d2，在制动过程中，

d2变化到0，所以由

?Mdt?L?L有

0?F?t?m?d2dd? 22解得F??m?d0.5?785.4N。由杆的平衡条件得 F?F??314.2N。 2?t1.2514. 如图所示，两物体1和2的质量分别为m1与m2，滑轮的转动惯量为I，半径为r。 ⑴如物体2与桌面间的摩擦系数为?，求系统的加速度a及绳中的张力T1与T2 (设绳子与滑轮间无相对滑动)；

⑵如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a及绳中的张力T1与T2。

T2 m2

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nrvv.html