2022_2022学年高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.5椭圆模拟

1 2018版高考数学一轮总复习 第8章 平面解析几何 8.5 椭圆模拟演

练 文

[A 级 基础达标](时间：40分钟)

1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12

，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 2

3

＝1 答案 D 解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12

?a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此椭圆C 的方程是x 24＋y 23

＝1. 2．[20172泉州质检]已知椭圆

x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5 答案 A

解析 ∵椭圆x 2

m －2＋y 2

10－m ＝1的长轴在x 轴上，

∴????? m －2>0，10－m >0，

m －2>10－m ，

解得6

＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8. 3．椭圆x 225＋y 29

＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( ) A ．2

B ．4

C ．8

D.32

答案 B

2

解析 如图，连接MF 2，已知|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝10，

∴|MF 2|＝10－|MF 1|＝8.由题意知|ON |＝12

|MF 2|＝4.故选B. 4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2

上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )

A.12

B.23

C.34

D.45

答案 C

解析 设直线x ＝32

a 与x 轴交于点Q ，由题意得∠PF 2Q ＝60°，|F 2P |＝|F 1F 2|＝2c ，|F 2Q |＝32a －c ，所以32a －c ＝1232c ，e ＝c a ＝34

，故选C. 5．[20172新疆检测]椭圆x 24

＋y 2＝1的右焦点为F ，直线x ＝t 与椭圆相交于点A 、B ，若△FAB 的周长等于8，则△FAB 的面积为( )

A ．1 B. 2 C. 3

D ．2 答案 C

解析 ∵a ＝2，△FAB 的周长为8＝4a ，∴由椭圆的定义得直线x ＝t 经过椭圆的左焦点，

把x ＝－3代入椭圆方程，得34＋y 2＝1，|y |＝12，∴△FAB 的面积为12

22|y |22c ＝ 3. 6．M 是椭圆x 29＋y 24

＝1上的任意一点，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，则|MF 1|2|MF 2|的最大值是________．

答案 9

解析 |MF 1|＋|MF 2|＝2a .

|MF 1|2|MF 2|≤? ??

??|MF 1|＋|MF 2|22＝a 2＝9. 当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立．

3 7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.

答案 3

解析 由题意知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，PF 1→

⊥PF 2→，

所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，

所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，

所以2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，

所以|PF 1||PF 2|＝2b 2，

所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝12

32b 2＝b 2＝9. 所以b ＝3.

8．[20142江西高考]过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．

答案 22 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 2

1b

2＝1①， x 22a 2＋y 2

2b

2＝1②. ①、②两式相减并整理，得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 22x 1＋x 2y 1＋y 2

. 把已知条件代入上式，得－12＝－b 2a 2322， 即b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22

. 9．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a >b >0)的焦距为4且过点(2，－2)． (1)求椭圆C 的方程；

(2)过椭圆焦点的直线与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →2OF →

的取值范围．

解 (1)椭圆C ：y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a >b >0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0,2)，2a ＝2＋0＋2＋ 2＋2 2＝42，所以a ＝22，b ＝2，即椭圆C 的方程是y 28＋x 24

＝1. (2)若直线l 垂直于x 轴，则点E (0,22)，F (0，－22)，OE →2OF →

＝－8. 若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋2，点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，

4 将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到：(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0，则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－4

2＋k 2， 所以OE →2OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－4－4k 22＋k ＋－8k 2

2＋k ＋4＝202＋k －8， 因为0<202＋k 2≤10，所以－8

的取值范围是[－8,2]．

10．[20172兰州模拟]已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22

.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .

(1)求椭圆C 的方程；

(2)当△AMN 的面积为103

时，求k 的值． 解 (1)由题意得?????

a ＝2，c a ＝22，a 2＝

b 2＋

c 2，解得b ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由????? y ＝k x －1 ，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2

－4＝0. 设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，

则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，

5 x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2， 所以|MN |＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2 ＝ 1＋k 2 [ x 1＋x 2 2－4x 1x 2] ＝2 1＋k 2 4＋6k 2 1＋2k

2. 又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝

|k |1＋k 2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |2d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103

，解得k ＝±1. [B 级 知能提升](时间：20分钟)

11．[20172湖北八校联考]设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 2

5

＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|

的值为( ) A.514 B.513 C.49 D.59

答案 B

解析 由题意知a ＝3，b ＝ 5.由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6.在△PF 1F 2中，因为PF 1的中点在y 轴上，O 为F 1F 2的中点，由三角形中位线性质可推得PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|＝b 2a ＝53

，所以|PF 1|＝6－|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513

，故选B. 12．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2

3

＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →2FP →的最大值为( )

A ．2

B ．3

C ．6

D ．8 答案 C

解析 由椭圆x 24＋y 2

3

＝1，可得点F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →2FP →＝(x ，y )2(x ＋1，y )＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3? ????1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →2FP →

取得最大值6.

13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66

|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e ＝______.

6 答案 22

解析 设椭圆C 的焦距为2c (c

ab a 2＋b 2＝63c ，又b 2＝a 2－c 2，所以3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0，解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍)，所以e ＝22

. 14．[20162四川高考]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T .

(1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；

(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2

＝λ|PA |2|PB |，并求λ的值．

解 (1)由已知，a ＝2b ， 则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2

b

2＝1. 由方程组????? x 22b 2＋y 2b

2＝1，y ＝－x ＋3，

得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①

方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，

由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，

所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23

＝1. 点T 的坐标为(2,1)．

(2)由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组????? y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，

可得????? x ＝2－2m 3，y ＝1＋2m 3.

所以P 点的坐标为?

????2－2m 3，1＋2m 3， |PT |2＝89

m 2. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nrrl.html