机械控制工程课后习题解答

祝守新,邢英杰,韩连英主编 清华大学出版社

机械控制工程基础答案提示

第二章 系统的数学模型

2-1 试求如图2-35所示机械系统的作用力F(t)与位移y(t)之间微分方程和传递函数。

F(t)

图2-35 题2-1图

解：依题意： m

d2y t dt2dy t a

F t f ky t bdt

d2y t dy t a

故 m f kyt F t 2

dtbdt

Y s 传递函数: G s 2

Fsms fs k

2-2 对于如图2-36所示系统，试求出作用力F1(t)到位移x2(t)的传递函数。其中，f为粘性阻尼系数。F2(t)到位移x1(t)的传递函数又是什么？

图2-36 题2-2图

解：依题意：

d2x1 t dx1 t dx2 t

m1 对m1： F1 k1x1 t f 2 dt dt dt

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对两边拉氏变换：F1 s k1x1 f sX1 s sX2 s m1sX1 s ①

2

d2x2 t dx1 t dx2 t

对m2： F2 t f k2x2 t m2dt2 dtdt

对两边拉氏变换：F2 s f sx1 s sx2 s k2x2 s m2sX2 s ②

2

m1s2 fs k1x1 s fsx2 s F1 s

故： 2

fsxs ms fs kxs FS12222

F1 s m2s2 fs k2 fsF2 s x1 s 2 m1s2 fs k1m2s2 fs k2 fs故得： 2

fsFs Fsms fs k1212 x2 s

222 m1s fs k1m2s fs k2 fs

故求F1 t 到x2 t 的传递函数 令：F2 s 0

G1 s

x2 s F1s

fs

ms

1

2

fs k1m2s2 fs k2 fs

2

fs

m1m2s4 fm1 m2s3 m1k2 m2k1s2 fk1 k2s k1k2

求F2 t 到x1 t 的传递函数 令：F1 s 0

G1 s

x1 s F2s

fs

ms

1

2

fs k1m2s2 fs k2 fs

2

fs

m1m2s4 fm1 m2s3 m1k2 m2k1s2 fk1 k2s k1k2

2-3 试求图2-37所示无源网络传递函数。

o

图2-37 题2-3图

解 （a）系统微分方程为

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1

i1 t dt i2 t R1C

ui i2 t R1 i t R2 u0 i t R2

i t i1 t i2 t

拉氏变换得

1

I1 s R1I2 s Cs

Ui s I2 s R1 I1 s R2 U0 s I1 s R2I s I1 s I2 s

R2

R1Cs 1 U0 s R2 CsR1 1 R1 R2

消去中间变量I1 s ,I2 s ,I s 得：G s

R1R2UisR1 R2CsR1 1Cs 1R1 R2

（b）设各支路电流如图所示。

系统微分方程为

ui t R1i3 t u0 t R1i3 t L1

1 2 3 4

di2 t dt

u0 t

1

i4 t dtC2 di5 t

u0 t L2

dt

u0 t R2i6 t

5

i2 t i3 t i4 t i5 t i6 t 6

由（1）得：Ui s R1I3 s Uo s 由（2）得：R1I3 s L1sI2 s 由（3）得：Uo s

1

i4 s 。。。。。。。 （I4） C2s

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由（4）得：Uo s L2sI5 s 由（5）得：Uo s R2I6 s

由（6）得：I2 s I3 s I4 s I5 s I6 s

故消去中间变量I1 s ,I2 s ,I3 s ,I4 s ,I5 s ,I6 s 得：

L2 L1

s 1

Uo s L1 L2 R1

LLR RUisL1L22

C2s2 121s 1L1 L2L LRR1212

2-4 证明L cos t

s

22

s

证明：设f t cos t

d2f t 2(1)

sFs sf0 f由微分定理有L 0 （1） 2

dt

由于f 0 cos0 1，f

1

0 sin0 0，

d2f t dt

2

2cos t （2）

将式（2）各项带入式（1）中得

22

L cos t sF s s

即 F s sF s s

2

2

整理得F s 2-5 求f(t)

s

22

s

12

t的拉氏变换。 2 12

解：F s L t 2令st x，得

12 st1 12

tedt 3 st e std st 220s

1

F s 3

2s

x2e xdx

由于伽马函数 n 1 所以F s

xne xdx n!，在此n 2

11

2! 33

2ss

2-6 求下列象函数的拉氏反变换。 （１）X(s)

5s 3

(s 1)(s 2)(s 3)

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s2 2s 3

（２）X(s)

(s 1)3

（３）X(s) 解：（1）

1

3

s(s 1)(s 2)

X(s)

AAA5s 3

1 2 3

(s 1)(s 2)(s 3)s 1s 2s 3

5 1 3( 1 2)( 1 3)

1

A1 X(s)(s 1) s 1

同理 A2 7，A3 6

X(s)

176

s 1s 2s 3

拉式反变换得

x(t) e t 7e 2t 6e 3t

s2 2s 3 s 1 221

（2）X(s)

(s 1)3(s 1)3(s 1)3s 1

拉式反变换得

2

x(t) t2e t e t

（3）X(s)

A3A5A1A2A41

s(s 1)3(s 2)(s 1)3(s 1)2(s 1)ss 2

A1

11

1

s(s 2)s 1 1( 1 2)

2s 2 d 1

0 22

ds s(s 2)s(s 2) s 1s 1

A2

1d2

A3

2ds2

A4

1 1d 2s 2 s2(s 2)2 (s 1)(4s3 12s2 8s)

1 2 s(s 2) 2 44

s(s 2) s 12ds s(s 2) s 1s 1

11

(s 1)3(s 2)s 021s(s 1)3

s 2

A5

1 2

所以X(s)

1111

3

(s 1)s 12s2(s 2)

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拉式反变换得

111

x(t) t2e t e t e 2t

222

2-7绘制图2-38所示机械系统的方框图。

f1

x

f2

y

图2-38 题2-7图

解

d x t y t dy t d2y t 依题意：k x t y t f1 f2 m

dtdtdt2

两边拉氏变换得：k X s Y s f1s X s Y s f2sY s msY s

2

k f1s X s Y s f2sY s ms2Y s

1

k f1s X s Y s f2sY s Y s 2

ms

故得方块图：

2-8 如图2-39所示系统，试求

（１） 以X(s)为输入，分别以Y(s)、X1(s)、B(s)、E(s)为输出的传递函数。 （２） 以N(s)为输入，分别以Y(s)、X1(s)、B(s)、E(s)为输出的传递函数。

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图2-39 题2-8图

解

（1）G1 s

G1 s G2 s Y s

Xs1 G1sG2sHsY cs E s G1 s B s Y1 s G2 s H s

E s X s B s X s Y1 s G2 s H s

Y1 s X s Y1 s G2 s H s G1 s G2 s

故

Y1 s G1 s

X1s1 G1sG2sHsG1 s G2 s H s B s

Xs1 G1sG2sHs

G3 s G4 s

E s 1

Xs1 G1sG2sHsG2 s Y s G1 s

Ns1 G1sG2sHsG2 s

Y1 s G1 s G2 s H s

Ns1 G1sG2sHs（2）

G2 s H s B s G3 s

Ns1 G1sG2sHsG4 s

G2 s H s E s

Ns1 G1sG2sHs

2-9 化简如图2-40所示各系统方块图，并求其传递函数。

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X(s)

Y(s)X(s)

Y(s)

X(s)

X(s)

Y(s)

Y(s)

图2-40 题2-9图

解：

（a） 第三回路传递函数：F2 s

G3

1 H3G3

第二回路传递函数：F2 s

G2 F3 s

1 G2F3sHsG2G3

G3H3G2G3

G2G3H21 G3H3 G2H2G31

1 G3H3

第一回路传递函数：故原图可化简为：

G1G2G3G1F2Y s

Xs1 G1H1F21 G2G3H2 G3H3 G1G2G3H1

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（b）

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(c)

(d)

F3 s

F2 s

G1

1 G1H1G2

1 G2H2

F3F2Y s

Xs1 H3F2F3

F s

2-10

解：

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P1 G3P2 G1L1 G1H1L2 G2H2L3 G2 G1 L4 G2G3

L1L2 G1G2H1H2

△ 1 L1 L2 L3 L4 L1L2 1 G1H1 G2H2 G1G2 G2G3 G1G2H1H2 而L2与P1P2都不接触，所以

1 1 L2 1 G2H2 2 1 L2 1 G2H2

Y s P G s Xs故综上：

G3 1 G2H2 G1 1 G2H2

1 G1H1 G2H2 G1G2 G2G3 G1G2H1H2

G1 G3 1 G2H2

1 G1H1 G2H2 G1G2 G2G3 G1G2H1H2

k

k

k

P

第三章 时间特性分析法

3-1

解：依题意，系统的闭环传递函数为：G s

11

2

ss 1s s 1

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Wn 1Wn 112

rad 1

2 2 arctan3

2

2

2 Wn 1 Wd Wn 2

arctan

Wd

2

3

tr

34 s 2.42 s

932

tp

Wd

23

3.63 s 3

1 2

Mp% e

ts

100% e

3

3

100% 16.4%

3

6s 5% Wn

4

8s 2% Wn

ts

3-2

解：依题意：

Y s Xsk 1 k

2

12

1

as b s2

k

2

s aks bk

bk 102 Wn b 10

2 Wn ak 10a Wn 5a

a2

则 Mp% e

2

100% e

a3

16% 0.16

a 1 a 1,b 10

3-3

解：依题意：

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Mp% tp

1.3 1.0 100% 30%

1.0

0.1 Wd 10

Wd

2

Wn 33.65 e 100% 30%

2 0.36 Wn 10

Wn 1132.3

WnY s 1132.3G s 2

Xss 2 Wns Wn2s2 24.1s 1132.3Gs 1

2

2

G s

1132.3ss 24.13-4

k2

kkY s ss a 212解：依题意：

kXss as k22

1

ss ak1

由于阶跃值为2，故可知k1 2 而

k2 Wn

2

a 2 Wn

2.18 2.00 2

Mp% e 100% Wn 4.95 2.00 2 0.61 tp 0.8 1.25 Wd Wn Wd

k2 Wn 24.46a 2 6.01

2

3-5

解：依题意：

Y s

Xsk1ss 11 1 14s

k1ss 1

k1k1

2

ss 1 k11 ktss 1 k1kts k1

故可知：

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k1 Wn

2

1 k1kt 2 Wn

Mp% etp

1 2

100% 15%

2

Wd

0.8s 1.25 Wn

Wn 4.59

0.52

k 21.05 1 kt 0.178 k1kt 1 4.74ttd r

2

2

arctan

tr

WdWn 2 td ts ts

0.538

tr

0.269s23 1.265 5% Wn4 1.686 2% Wn

3-6

解：依题意

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dx2 t dx t m kxt f P t

dtdt2

X s 1

Psms2 fs k

300

P s

s

1300

X s

ms2 fs ks X limsX s lim

s 0

s 0

k 30000N

11

0.095

1300300

0.01m2

kms fs kk

Mp% 9.5%

ln

0.6

2

2 ln

tp

Wd

Wn

2

0.8Wn

2s

W 1.96n

k300002

Wn 1.962 m 7809kg

mm

f

2 Wn

m

f 2 Wnm 2 0.6 1.96 7809 18366N S

第四章 频率特性分析法

4-5用分贝数(dB)表达下列量：

（1）10；（2）100； （3）0.01；（4）1；

解：（1）10； L( )=20lg10=20 dB （3）0.01； L( )=20lg0.01=-40 dB

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（2）100； L( )=20lg100=40dB （4）1； L( )=20lg1=0dB

4-6 当频率 1 2rad/s和 2 20rad/s时，试确定下列传递函数的幅值和相角。 （1）G1(s) 解 (1)

110

（2）G2(s)

s(0.1s 1)s

10

s1010

G j j

j 10

A G s

10

arctan arctan 900

0

1 2 A1 s 1 90o

1o 2 20rad A2 2 90

2

(2)

G2 s

1

s0.1s 111 0.1 2 j 1

G j 0.1 2 j 24242

j 0.1j 1 0.1 j 0.01 0.01 1

0.1 j

0.01 3

故

A

10.01 3

0.01 2 1

1

0.01 2 1

arctan

110

arctan 0.1

1 2rads A1 0.49, 1 101.3

2 20rads A2 0.022, 2 153.4

4-7 试求下列函数的幅频特性A( )，相频特性 ( )，实频特性U( )和虚频特性V( )。 （1）G1(j ) （1）

解：

530j 1

（2）G2(j )

1

j (0.j 1)

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5

;

30j 1

5 30j 1 5

1 30 j G1 j

30j 1 30j 11 900 2

5 30

A , 1 w arctan arctan 30 21 900 G1 j U1

5900 2 1

,V1

150

900 2 1

（2） G2 w 解：

1

;

j 0.1j 11

0.1 2 j 12

G2 j 0.1 j22242

0.01 j 0.1 j 0.1 j 0.01

11

A2

422

0.01 0.01 1

2

0.1 o0

2 arctan 90 arctan 90 arctan 0.1 2

0.1 0.1 2 0.1 1

U2 ,V 2

0.01 4 20.01 2 10.01 4 20.01 3

10

4-8 设单位反馈系统的开环传递函数为G s ，当系统作用有以下输入信号：

s 1

（1） x t sin t 30

（2） x t 2cos 2t 45

（3） x t sin t 30 2cos 2t 45 求系统的稳态输出 。 解：

1 X t sint 30; 2 X t 2cos2t 45; 3 X t sint 30

2cos 2t 45

依题意：

10

Y s G s 10

10XsGs 1s 111

s 1

1010 11 jw G jw jw 11121 w210102

A w w

121 w2 w2

w arctan

w w

arctan 11 11

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X1 t sint 300 w 1（1）当 A1 w

1

5.190 5011' 11

10

y1 t 0.905sint 300 5011' 0.905sint 24049'

0.905, 1 w arctan

（2）当

X2 t 2cos2t 450 w 2 A2 w

2

10.30 10018' 11

10

y2 t 0.894 2cos2t 450 10018' 1.788cos2t 55018'

0.894, 2 w arctan

（3） 当

X3 t sint 30依据叠加原理可可知：

y3 t y1 t y2 t 0.905sint 2449' 1.788cos2t 5518'

2cos 2t 45 X t X t X t

3

1

2

4-9 某单位反馈的二阶Ⅰ型系统，其最大百分比超调量为Mp% 16.3%，峰值时间tp 114.6ms，试求其开环传递函数，并求出闭环谐振峰值Mr和谐振频率 r。

解：依题意：

nY s G s s 2

Xss 2 ns n2Gs 1

2

G s

由

n

ss 2 n

Mp% e

1 2

100% 16.3%

ln

2

ln

2

1Mp%

2

12

1.814.16

0.5

1 ln Mp%

由

1

ln

0.163

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tp

3.14 n 31.65 32 d n 2114.6 10 0.25tp

31.65231.65

G s

ss 31.65s0.0316s 1

11

Mr 1.1547

22

2 2 0.5 0.5

r n 2 2 31.65 2 0.52 22.38ra

4-10 画出下列传递函数的极坐标图。 (1) G(s) 解：（1） 依题意：

21 2s

(2) G(s)

s(1 0.02s)1 0.125s

8 2 15 j

G j 8

2

64 2

8 8 2 28 15

实频特性：U 虚频特性： V

64 264 2

则由

8 24 24 2

limu 1,limu lim 16 lim 16,limV 0

u w 64 2w w 0w 064 2

120 120120120

V V 7.5

64 2 216264

当且仅当

64

时取等号，此时 =8.

171 16

22

将 =8代入U中得到，U

故可得到如图所示的极坐标图。

（2）依题意

2100 50j

j 1 0.02j 2 502

100 5000

U 2,V

502 2 502G j

随着 的增大，U( )，V( )都增大。

limU

w 0

1001

,limV ,limU limV 0

w 0w 250025w 0

故可得到其极坐标图如图所示：

4-11 试绘出具有下列传递函数的系统的波德图。

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（1） G s （2） G s

1

0.2s 1

2.5(s 10)

2

s(0.2s 1)1250(s 2)

s2(s2 6s 25)

（3） G s 解：（1）

4-12 已知各最小相位系统的对数幅频渐近特性曲线如图4-39所示。试分别写出对应的传递函数。

（1）20lgk 60 k 1000，无积分环节

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惯性环节：

1

1ss 1 12200

;

1

;一阶微分环节：

1

s 1；惯性环节：400

11

s 14000

故传递函数：

1 1000 s 1

400 G s

1s1

1 s 1 s 1

2 200 4000

（2）

20lgk 12 k 3.98,惯性环节：

11

s 1100

故G s

3.98

1

s 1100

（3）20lgk 40 k 100 积分环节有两个为：

11

一阶微分环节：s 1 2

100s

1

100 s 1

1 100

惯性环节： 故G s

s 1 192 s 1 1000 1000

（4）

20lgk 20 k 10，积分环节：

11

，惯性环节:

ss

12

一阶微分环节：

11s

, 1；惯性环节：s110

1s 180200

1

100 s 1 10 故G s

s s s s 1 1 1 280200

（5）

20lgk 20 k 10 无积分环节

惯性环节：

11

s 10.05

11

, 一阶微分环节：2s+1

20s 110s 1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/nrn4.html